中考数学专题复习教学案——开放探究题

开放探究题

开放探究问题最常见的是命题中缺少一定的条件或无明确的结论，要求添加条件或概括结论；其次是给定条件，判断存在与否的问题；近几年来又逐步出现了一些根据提供的材料，按自己的喜好自编问题并加以解决的试题。

开放探究问题涉及知识面广，遍布整个初中阶段的所有知识，要求学生具有较强的解题能力和思维能力。

开放探究问题就开放而言，有条件开放、结论开放、解题方法开放、编制问题开放：就探究而言，可归纳为探究条件型、探究结论型、探究结论存在与否型及归纳探究型四种。

类型一：探究条件型

探究条件型是根据问题提供的残缺条件添补若干条件，使结论成立，解决此类问题的一般方法是：根据结论成立所需要的条件增补条件，此时要注意已有的条件及由已有的条件推导出的条件，不可重复条件，也不能遗漏条件。

例1．（2009丽水市）已知命题：如图，点A，D，B，E在同一条直线上，且AD=BE，∠A=∠FDE，则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个．．适当条件使它成为真命题,并加以证明.

解：是假命题.

以下任一方法均可：

①添加条件：AC=DF.

证明：∵AD=BE,

∴AD+BD=BE+BD，即AB=DE.

在△ABC和△DEF中,

AB=DE，

∠A=∠FDE，

AC=DF，

∴△ABC≌△DEF(SAS).

②添加条件：∠CBA=∠E.

证明：∵AD=BE,

∴AD+BD=BE+BD,即AB=DE.

在△ABC和△DEF中， ∠A=∠FDE，

AB=DE，

∠CBA=∠E ，

∴△ABC≌△DEF(ASA).

③添加条件：∠C=∠F.

证明：∵AD=BE,

∴AD+BD=BE+BD,即AB=DE.

在△ABC和△DEF中，

∠A=∠FDE，

∠C=∠F ，

AB=DE，

∴△ABC≌△DEF(AAS)

同步测试

1．(2009年牡丹江市)如图，□ABCD中，E、F分别为BC、AD边上的点，要使BFDE，需添加一个条件： ．

1. ;BEDFBFDEAFCEBFDBEDAFBADE或∥；；等

2．（2009东营）如图，在四边形ABCD中，已知AB与CD不平行，∠ABD＝∠ACD，请你添加一个条件： ，使得加上这个条件后能够推出AD∥BC且AB＝CD.

2.∠DAC＝∠ADB，∠BAD＝∠CDA，∠DBC＝∠ACB，∠ABC＝∠DCB，OB＝OC，OA＝OD；(任选其一)

B C D A

O

A

B C E D F

类型二：探究结论型

探究结论型问题是指根据题目所给的条件经过分析、推断，得出一个与条件相关的结论，解决此类问题的关键是需要对已知的条件进行综合推理，得出新的结论。

例2．（2009年安徽）如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，

且DM交AC于F，ME交BC于G．

（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；

（2）连结FG，如果α＝45°，AB＝42，AF＝3，求FG的长．

【答案】

（1）证：△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM

以下证明△AMF∽△BGM．

∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG，∠A＝∠B

∴△AMF∽△BGM．

（2）解：当α＝45°时，可得AC⊥BC且AC＝BC

∵M为AB的中点，∴AM＝BM＝22

又∵AMF∽△BGM，∴AFBMAMBG

∴2222833AMBMBGAF

又42cos454ACBC，∴84433CG，431CF

∴2222451()33FGCFCG

同步测试

3．（2009年福州）请写出一个比5小的整数

3.答案不唯一，小于或等于２的整数均可，如：2，1等

4．（2009年莆田）已知，如图，BC是以线段AB为直径的O⊙的切线，AC交O⊙于点D，过点D作弦DEAB，垂足为点F，连接BDBE、．．

（1）仔细观察图形并写出四个不同的正确结论：①________，②________ ，③________，④____________（不添加其它字母和辅助线，不必证明）；

（2）A=30°，CD=233，求O⊙的半径r．

4.（1）BCABADBD，，DFFEBDBE，，BDFBEF△≌△，

BDF△∽BAD△，BDFBEF，AEDEBC，∥等

（2）解:AB是O⊙的直径90ADB°

又30E°

30A°

12BDABr

又BC是O⊙的切线

90CBA°

60C

在RtBCD△中，233CD

tan60233BDrDC°

2r

C D

O F A B

E

C D

O F A B

E

类型三：探究结论存在与否型

探究结论存在与否型问题的解法一般先假定存在，然后以此为条件及现有的条件进行推理，然后得出问题的解或矛盾再加以说明。

例3．（2009仙桃）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，已知AD＝AB＝3，BC＝4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D 出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．

(1)求NC，MC的长(用t的代数式表示)；

(2)当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形？

(3)是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；

(4)探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形？

解：（1）在直角梯形ABCD中，

∵QN⊥AD，∠ABC＝90°，∴四边形ABNQ是矩形。

∵QD=t，AD=3，∴BN=AQ=3-t，∴NC=BC-BN=4-（3- t）= t+1。

∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，∴AC=5。

∵QN⊥AD，∠ABC＝90°，∴MN∥AB，∴CMCNACBC，

即154CMt，∴554tMC.

（2）当QD=CP时，四边形PCDQ构成平行四边形。

∴当t=4-t，即t=2时，四边形PCDQ构成平行四边形。

(3)∵MN∥AB，

∴△MNC∽△ABC，要使射线QN将△ABC的面积平分，则△MNC与△ABC的面积比为1：2，即相似比为1：2，∴12CNBC，即1142t，∴t=221.∴CN=22，MC=522，∴CN+MC=922，∵△ABC的周长的一半=3452=6≠922，∴不存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分。

（4）分3种情况：

①如图，当PM=MC时，△PMC为等腰三角形。

则PN=NC，即3-t-t=t+1，

∴23t，即23t时，△PMC为等腰三角形。

②如图，当CM=PC时，△PMC为等腰三角形。

即5544tt，

∴119t时，△PMC为等腰三角形。

③如图，当PM=PC时，△PMC为等腰三角形。

∵PC=4－t，NC=t+1，

∴PN=2t-3,

又∵34MNABNCBC，

∴MN=314t，

由勾股定理可得[314t]2+（2t-3）2=（4－t）2，

即当t=10357时，△PMC为等腰三角形。

同步测试

5．（2009年广西南宁·改编）如图，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AEEF，延长EF交正方形外角平分线CPP于点，AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

解法①AEEF

2390° 四边形ABCD为正方形

90BC°

1390°

12

90DAMABEDAAB°，

DAMABE△≌△

DMAE

AEEP

DMPE

四边形DMEP是平行四边形．

解法②：在AB边上存在一点M，使四边形DMEP是平行四边形

证明：在AB边上取一点M，使AMBE，连接ME、MD、DP．

90ADBADAMABE，°

RtRtDAMABE△≌△

14DMAE，

1590°

4590°

AEDM

AEEP

DMEP

四边形DMEP为平行四边形

6．（2009白银市）如图（1），抛物线22yxxk与x轴交于A、B两点，与y轴交于点

C（0，3）．［图（2）、图（3）为解答备用图］

（1）k ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；

（2）设抛物线22yxxk的顶点为M，求四边形ABMC的面积；

（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）在抛物线22yxxk上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形． B C E D A

F P 5 4

1

M F A D

C B E 1

3 2