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【2013年必修一学案及同步练习】第一章 集合与函数概念

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1 第1讲 §1.1.1 集合的含义与表示 ¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征. ¤知识要点： 1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性. 2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为123{,,,,}naaaa，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()xAPx}，既要关注代表元素x，也要把握其属性()Px，适用于无限集. 3. 通常用大写拉丁字母,,,ABC表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N，正整数集*N或N，整数集Z，有理数集Q，实数集R.

4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to）与不属于（not belong to），分别用符号、表示，例如3N，2N.

¤例题精讲： 【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）由方程2(23)0xxx的所有实数根组成的集合； （2）大于2且小于7的整数. 解：（1）用描述法表示为：2{|(23)0}xRxxx； 用列举法表示为{0,1,3}. （2）用描述法表示为：{|27}xZx； 用列举法表示为{3,4,5,6}. 【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}AxxkkZ，{|61,}BxxmmZ，则有： 17 A； －5 A； 17 B. 解：由3217k，解得5kZ，所以17A；

由325k，解得73kZ，所以5A； 由6117m，解得3mZ，所以17B. 【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P6 练习题2， P13 A组题4） （1）一次函数3yx与26yx的图象的交点组成的集合；

（2）二次函数24yx的函数值组成的集合；

（3）反比例函数2yx的自变量的值组成的集合.

解：（1）3{(,)|}{(1,4)}26yxxyyx. （2）2{|4}{|4}yyxyy. （3）2{|}{|0}xyxxx. 点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为{1,4}，也注意对比（2）与（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心.

*【例4】已知集合2{|1}2xaAax有唯一实数解，试用列举法表示集合A．

解：化方程212xax为：2(2)0xxa．应分以下三种情况： ⑴方程有等根且不是2：由 △=0，得94a，此时的解为12x，合． ⑵方程有一解为2，而另一解不是2：将2x代入得2a，此时另一解12x，合． ⑶方程有一解为2，而另一解不是2：将2x代入得2a，此时另一解为21x，合．

综上可知，9{,2,2}4A． 点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示. 注意分式方程易造成增根的现象. 2

第1练 §1.1.1 集合的含义与表示 ※基础达标 1．以下元素的全体不能够构成集合的是（ ）. A. 中国古代四大发明 B. 地球上的小河流 C. 方程210x的实数解 D. 周长为10cm的三角形

2．方程组23211xyxy的解集是（ ）.

A . 51， B. 15， C. 51， D. 15， 3．给出下列关系：①12R； ②2Q；③ *3N；④0Z. 其中正确的个数是（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4．有下列说法：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3，2，1}；（3）

方程2(1)(2)0xx的所有解的集合可表示为{1，1，2}；（4）集合{45}xx是有限集. 其中正确的说法是（ ）. A. 只有（1）和（4） B. 只有（2）和（3） C. 只有（2） D. 以上四种说法都不对 5．下列各组中的两个集合M和N, 表示同一集合的是（ ）. A. {}M, {3.14159}N B. {2,3}M, {(2,3)}N

C. {|11,}MxxxN, {1}N D. {1,3,}M, {,1,|3|}N 6．已知实数2a，集合{|13}Bxx，则a与B的关系是 . 7．已知xR，则集合2{3,,2}xxx中元素x所应满足的条件为 . ※能力提高 8．试选择适当的方法表示下列集合：

（1）二次函数223yxx的函数值组成的集合； （2）函数232yx的自变量的值组成的集合.

9．已知集合4{|}3AxNZx，试用列举法表示集合A.

※探究创新 10．给出下列集合：

①{(x，y)|x≠1，y≠1，x≠2，y≠-3}； ②12(,)13xxxyyy且

③12(,)13xxxyyy或 ； ④{(x，y)|[(x-1)2+(y-1)2]·[(x-2)2+(y+3)2]≠0}． 其中不能表示“在直角坐标系xOy平面内，除去点（1，1），（2，-3）之外的所有点的集合”的序号有 . 3

AB

BA

AB

A

B

A． B． C． D．

第2讲 §1.1.2 集合间的基本关系 ¤学习目标：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义；能利用Venn图表达集合间的关系. ¤知识要点： 1. 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A是集合B的子集（subset），记作AB（或BA），读作“A含于B”（或“B包含A”）. 2. 如果集合A是集合B的子集（AB），且集合B是集合A的子集（BA），即集合A与集合B的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作AB. 3. 如果集合AB，但存在元素xB，且xA，则称集合A是集合B的真子集（proper subset），记作AB（或BA）.

4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set），记作，并规定空集是任何集合的子集. 5. 性质：AA；若AB，BC，则AC； 若ABA，则AB；若ABA，则BA. ¤例题精讲： 【例1】用适当的符号填空： （1）{菱形} {平行四边形}； {等腰三角形} {等边三角形}. （2） 2{|20}xRx； 0 {0}；  {0}； N {0}. 解：（1）， ； （2）=， ∈， ，.

【例2】设集合1,,}22{|,{|nnxnnAxxBxZ}Z，则下列图形能表示A与B关系的是（ ）.

解：简单列举两个集合的一些元素，3113{,1,,0,,1,,}2222A，3113{,,,,,}2222B， 易知BA，故答案选A． 另解：由21,}2{|nxnBxZ，易知BA，故答案选A． 【例3】若集合2|60,|10MxxxNxax，且NM，求实数a的值. 解：由26023xxx或，因此，2,3M. （i）若0a时，得N，此时，NM；

（ii）若0a时，得1{}Na. 若NM,满足1123aa或，解得1123aa或.

故所求实数a的值为0或12或13. 点评：在考察“AB”这一关系时，不要忘记“” ，因为A时存在AB. 从而需要分情况讨论. 题中讨论的主线是依据待定的元素进行. 【例4】已知集合A={a,a+b,a+2b}，B={a,ax,ax2}. 若A=B，求实数x的值.

解：若22abaxabaxa+ax2-2ax=0, 所以a(x-1)2=0，即a=0或x=1. 当a=0时，集合B中的元素均为0，故舍去； 当x=1时，集合B中的元素均相同，故舍去.

若22abaxabax2ax2-ax-a=0.

因为a≠0，所以2x2-x-1=0, 即(x-1)(2x+1)=0. 又x≠1，所以只有12x. 经检验，此时A=B成立. 综上所述12x. 点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论. 融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合. 4

第2练 §1.1.2 集合间的基本关系 ※基础达标 1．已知集合3,,6,AxxkkZBxxkkZ, 则A与B之间最适合的关系是（ ）. A.AB B.AB C. AB D. AB 2．设集合|12Mxx，|0Nxxk，若MN，则k的取值范围是（ ）. A．2k B．1k C．1k D．2k 3．若2{,0,1}{,,0}aab，则20072007ab的值为（ ）. A. 0 B. 1 C. 1 D. 2

4．已知集合M={x|x=2k+14,k∈Z}, N={x|x=4k+12, k∈Z}. 若x0∈M，则x0与N的关系是（ ）. A. x0∈N B. x0N C. x0∈N或x0N D.不能确定 5．已知集合P={x|x2=1}，集合Q={x|ax=1}，若QP，那么a的值是（ ）. A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0，1或－1 6．已知集合,,,Aabc，则集合A的真子集的个数是 .

7．当2{1,,}{0,,}baaaba时，a=_________，b=_________. ※能力提高 8．已知A={2,3}，M={2,5,235aa}，N={1,3, 2610aa}，AM，且AN，求实数a的值.

9．已知集合25Axx，121Bxmxm.若BA，求实数m的取值范围.

※探究创新 10．集合S={0，1，2，3，4，5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有x-1A且x+1A，则称x为A的一个“孤立元素”，写出S中所有无“孤立元素”的4元子集.

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第一章 集合与函数概念一、选择题1．已知全集U ＝{0，1，2}且U A ＝{2}，则集合A 的真子集共有( )． A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2．设集合A ＝{x |1＜x ≤2}，B ＝{ x |x ＜a }，若A ⊆B ，则a 的取值范围是( )． A ．{a |a ≥1} B ．{a |a ≤1}C ．{a |a ≥2}D ．{a |a ＞2}3．A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且A B A =U ，则m 的取值集合是( )． A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧21－ ，31B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧21－ ，31－ ，0C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧21－ ，31 ，0 D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧21 ，31 4．设I 为全集，集合M ，N ，P 都是其子集，则图中的阴影部分表示的集合为( )． A ．M ∩(N ∪P )B ．M ∩(P ∩I N )C ．P ∩(I N ∩I M )D ．(M ∩N )∪(M ∩P )5．设全集U ＝{(x ，y )| x ∈R ，y ∈R }，集合M ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧1＝2－3－，x y y x |)(， P ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，那么U (M ∪P )等于( )．A ．∅B ．{(2，3)}C ．(2，3)D ．{(x ，y )| y ＝x ＋1}6．下列四组中的f (x )，g (x )，表示同一个函数的是( )． A ．f (x )＝1，g (x )＝x 0B ．f (x )＝x －1，g (x )＝xx 2－1C ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )4D ．f (x )＝x 3，g (x )＝39x7．函数f (x )＝x 1－x 的图象关于( )． A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称8．函数f (x )＝11＋x2(x ∈R )的值域是( )． A ．(0，1) B ．(0，1] C ．[0，1)D ．[0，1]9．已知f (x )在R 上是奇函数，f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0，2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)(第4题)＝( )．A ．－2B ．2C ．－98D ．9810．定义在区间(－∞，＋∞)的奇函数f (x )为增函数；偶函数g (x )在区间[0，＋∞)的图象与f (x )的图象重合．设a ＞b ＞0，给出下列不等式：①f (b )－f (－a )＞g (a )－g (－b )；②f (b )－f (－a )＜g (a )－g (－b )； ③f (a )－f (－b )＞g (b )－g (－a )；④f (a )－f (－b )＜g (b )－g (－a ). 其中成立的是( )．A ．①与④B ．②与③C ．①与③D ．②与④ 二、填空题11．函数x x y +-=1的定义域是 ．12．若f (x )＝ax ＋b (a ＞0)，且f (f (x ))＝4x ＋1，则f (3)＝ ．13．已知函数f (x )＝ax ＋2a －1在区间[0，1]上的值恒正，则实数a 的取值范围是 ．14．已知I ＝{不大于15的正奇数}，集合M ∩N ＝{5，15}，(I M )∩(I N )＝{3，13}，M ∩(I N )＝{1，7}，则M ＝ ，N ＝ ．15．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}且B ≠∅，若A ∪B ＝A ，则m 的取值范围是_________．16．设f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x (1＋x 3)，那么当x ∈(－∞，0]时，f (x )＝ ．三、解答题17．已知A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{ x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}，且∅(A ∩B )，A ∩C ＝∅，求a 的值． 18．设A 是实数集，满足若a ∈A ，则a－11∈A ，a ≠1且1 A ．(1)若2∈A ，则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素． (2)A 能否为单元素集合？请说明理由． (3)若a ∈A ，证明：1－a1∈A ． 19．求函数f (x )＝2x 2－2ax ＋3在区间[－1，1]上的最小值．∈20．已知定义域为R 的函数f (x )＝ab－x x ＋2＋21＋是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求k 的取值范围．参考答案一、选择题1．A解析：条件U A＝{2}决定了集合A＝{0，1}，所以A的真子集有∅，{0}，{1}，故正确选项为A．2．D∈解析：在数轴上画出集合A，B的示意图，极易否定A，B．当a＝2时，2 B，故不满足条件A⊆B，所以，正确选项为D．3．C解析：据条件A∪B＝A，得B⊆A，而A＝{－3，2}，所以B只可能是集合∅，{－3}，{2}，所以，m的取值集合是C．4．B解析：阴影部分在集合N外，可否A，D，阴影部分在集合M内，可否C，所以，正确选项为B．5．B解析：集合M是由直线y＝x＋1上除去点(2，3)之后，其余点组成的集合．集合P是坐标平面上不在直线y＝x＋1上的点组成的集合，那么M Y P就是坐标平面上除去点(2，3)外的所有点组成的集合．由此U(M Y P)就是点(2，3)的集合，即U(M Y P)＝{(2，3)}．故正确选项为B．6．D解析：判断同一函数的标准是两函数的定义域与对应关系相同，选项A，B，C中，两函数的定义域不同，正确选项为D．7．C解析：函数f(x)显然是奇函数，所以不难确定正确选项为C．取特殊值不难否定其它选项．如取x＝1，－1，函数值不等，故否A；点(1，0)在函数图象上，而点(0，1)不在图象上，否选项D，点(0，－1)也不在图象上，否选项B．8．B解析：当x＝0时，分母最小，函数值最大为1，所以否定选项A，C；当x的绝对值取值越大时，函数值越小，但永远大于0，所以否定选项D．故正确选项为B．9．A解析：利用条件f (x ＋4)＝f (x )可得，f (7)＝f (3＋4)＝f (3)＝f (－1＋4)＝f (－1)，再根据f (x )在R 上是奇函数得，f (7)＝－f (1)＝－2×12＝－2，故正确选项为A ．10．C解析：由为奇函数图像关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称，函数f (x )，g (x )在区间[0，＋∞)上图象重合且均为增函数，据此我们可以勾画两函数的草图，进而显见①与③正确．故正确选项为C ．二、填空题11．参考答案：{x | x ≥1}．解析：由x －1≥0且x ≥0，得函数定义域是{x |x ≥1}． 12．参考答案：319． 解析：由f (f (x ))＝af (x )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋1，所以a 2＝4，ab ＋b ＝1(a ＞0)，解得a ＝2，b ＝31，所以f (x )＝2x ＋31，于是f (3)＝319．13．参考答案：⎪⎭⎫ ⎝⎛ 21，． 解析：a ＝0时不满足条件，所以a ≠0． (1)当a ＞0时，只需f (0)＝2a －1＞0； (2)当a ＜0时，只需f (1)＝3a －1＞0． 综上得实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛ 21，． 14．参考答案：{1，5，7，15}，{5，9，11，15}．解析：根据条件I ＝{1，3，5，7，9，11，13，15}，M ∩N ＝{5，15}，M ∩(I N)＝{1，7}，得集合M ＝{1，5，7，15}，再根据条件(I M )∩(I N )＝{3，13}，得N ＝{5，9，11，15}．15．参考答案：(2，4]．解析：据题意得－2≤m ＋1＜2m －1≤7，转化为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧7 ≤1－21－2＜1＋2－ ≥1＋m m m m ，解得m 的取值范围是(2，4]．16．参考答案：x (1－x 3)．解析：∵任取x ∈(－∞，0]，有－x ∈[0，＋∞)， ∴ f (－x )＝－x ［1＋(－x )3］＝－x (1－x 3)，＋∞ ＋∞∵ f (x )是奇函数，∴ f (－x )＝－f (x )． ∴ f (x )＝－f (－x )＝x (1－x 3)，即当x ∈(－∞，0]时，f (x )的表达式为f (x )＝x (1－x 3)． 三、解答题17．参考答案：∵B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2，3}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}＝{－4，2}，∴由A ∩C ＝∅知，－ 4 ，2 A ； 由∅(A ∩B )知，3∈A ．∴32－3a ＋a 2－19＝0，解得a ＝5或a ＝－2．当a ＝5时，A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝B ，与A ∩C ＝∅矛盾． 当a ＝－2时，经检验，符合题意． 18．参考答案：(1)∵ 2∈A ， ∴a －11＝2－11＝－1∈A ； ∴a －11＝1＋11＝21∈A ； ∴a －11＝21－11＝2∈A ． 因此，A 中至少还有两个元素：－1和21． (2)如果A 为单元素集合，则a ＝a－11，整理得a 2－a ＋1＝0，该方程无实数解，故在实数范围内，A 不可能是单元素集．(3)证明： a ∈A Þa －11∈A Þ a1－1－11∈A Þ1＋－1－1a a ∈A ，即1－a 1∈A ．19．参考答案： f (x )＝222⎪⎭⎫ ⎝⎛a x －＋3－22a ．(1)当2a＜－1，即a ＜－2时，f (x )的最小值为f (－1)＝5＋2a ； (2)当－1≤2a ≤1，即－2≤a ≤2时，f (x )的最小值为⎪⎭⎫⎝⎛2a f ＝3－22a ；(3)当2a＞1，即a ＞2时，f (x )的最小值为f (1)＝5－2a ． ∈A ∈综上可知，f (x )的最小值为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧．＞ ，－，≤≤ ，－，＜－ ，＋22522232252a a a a a a － 20．参考答案：(1)∵函数f (x )为R 上的奇函数， ∴ f (0)＝0，即ab2＋－1＋＝0，解得b ＝1，a ≠－2， 从而有f (x )＝ax x ＋21＋2－＋1．又由f (1)＝－f (－1)知a4＋＋12－＝－a 1＋＋121－，解得a ＝2．(2)先讨论函数f (x )＝2＋21＋2－＋1x x ＝－21＋1＋21x 的增减性．任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，f (x 2)－f (x 1)＝1＋212x －1＋211x ＝))((1＋21＋22－21221x x x x ，∵指数函数2x为增函数，∴212－2x x ＜0，∴ f (x 2)＜f (x 1)， ∴函数f (x )＝2＋21＋2－＋1x x 是定义域R 上的减函数．由f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0得f (t 2－2t )＜－f (2t 2－k )， ∴ f (t 2－2t )＜f (－2t 2＋k )，∴ t 2－2t ＞－2t 2＋k (*)． 由(*)式得k ＜3t 2－2t ．又3t 2－2t ＝3(t －31)2－31≥－31，∴只需k ＜－31，即得k 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛31－ －∞，．。

数学必修一第一章集合与函数概念学案教案

数学必修一第一章集合与函数概念学案教案

1.1.1 集 合【学习目标】使学生初步了解集合在数学中的地位，了解集合、元素的含义，掌握集合的表示方法、常用数集及其记法，把握集合的三个特征。

培养学生抽象概括的能力，使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性。

【课前自学】1．下列各组对象能组成集合的是（ ）A ．著名影星B ．我国的小河流C ．泰安二中2011级高一学生D ．高中数学的难题 2．下列叙述错误的是（ ）A ．2{|20}x x -=表示方程220x -=的解集B ．1{∉小于10 的质数}C ．所有正偶数组成的集合表示为{|2,}x x n n N =∈D ．集合{,,}a b c 与集合{,,}a c b 表示相同的集合3．下列各集合：①2{|10,}x x x R +=∈；②{|51,}x x x Z -<∈；③2,x N x Q x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭；④22{(,)|0,,}x y x y x R y R +=∈∈中，空集为 ；有限集为 ； 无限集为 .问题思考1．集合与元素的含义。

2．讨论集合中的元素的特征：“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？ 3．两个集合能相等吗？若能应具备什么条件？4．表示集合的方法有几种?5.能否对集合进行分类？【问题展示】1．已知2{1,3,}x x ∈，试用适当的方法表示x 的集合。

2．用符号“∈”或“∉”填空（1）3.14 Q ；Z ；0 N（2） {|x x ；5 2{|1,}x x n n N =+∈ （3）(1,1)- 2{(,)|}x y y x =； (1,1)- 2{|}y y x =（4）0 {0}；0 φ； φ {}φ3．用描述法表示下列集合（1）偶数的集合；（2）不等式2x-3>5的解的集合；（3）以点A 为圆心，半径为3的圆。

4．（1）用列举法表示集合6,3x N x N x ⎧⎫∈∈⎨⎬-⎩⎭。

【拓展延伸】1．已知{|2,},{|21,}A x x n n Z B x x k k Z ==∈==+∈，{|41,}C x x n n Z ==+∈，若,a A b B ∈∈，试分别指出a b +与集合A 、B 、C 的关系。

高中数学必修一第一章 集合与函数的概念 习题课课件牛老师

高中数学必修一第一章 集合与函数的概念 习题课课件牛老师

答案
3.设集合 A＝{x|x≤ 13}，a＝ 11，那么( D )
A.a A
B.a∉A
C.{a}∈A
D.{a} A
1 23 45
答案
1 23 45
4.设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，b，c}，N＝{b，d，e}，
那么(∁IM)∩(∁IN)等于( A )
A.∅
B.{d}
C.{b，e} D.{a，c}
答案
4.
符号
子集 A⊆B
定义 x∈A⇒x∈B
真子集 A B A⊆B且存在x0∈B但x0∉A
并集 A∪B
{x|x∈A或x∈B}
交集 A∩B
补集 ∁UA(A⊆ U)
{x|x∈A且x∈B} {x|x∈U且x∉A}
Venn图
5.常用结论 (1)∅___⊆___A； (2)A∪∅＝___A___；A∪A＝___A___；A∪B＝A⇔___A_⊇_B____. (3)A∩∅＝___∅___；A∩A＝___A___；A∩B＝A⇔___A_⊆_B_____. (4)A∪(∁UA)＝____U____；A∩(∁UA)＝____∅____；∁U(∁UA)＝____A____.
第一章 集合与函数概念
习题课
集合
学习目标
1.系统和深化对集合基础知识的理解与掌握； 2.重点掌握好集合间的关系与集合的基本运算.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知探究 点点落实
1.集合元素的三个特性：_确__定__性___，_互__异__性___，__无__序__性__. 2.元素与集合有且只有两种关系：__∈______，__∉______. 3. 已 经 学 过 的 集 合 表 示 方 法 有 _列__举__法___ ， _描__述__法___ ， _V_e_n_n_图___ ， _常__用__数__集__字__母__代__号___.
高中数学第一章集合与函数概念1.1.3.2补集及综合应用学案(含解析)新人教A版必修1

高中数学第一章集合与函数概念1.1.3.2补集及综合应用学案(含解析)新人教A版必修1

第2课时补集及综合应用知识点补集1．全集如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.全集并不是一个含有任何元素的集合，仅包含所研究问题涉及的所有元素．2．补集∁U A的三层含义：(1)∁U A表示一个集合；(2)A是U的子集，即A⊆U；(3)∁U A是U中不属于A的所有元素组成的集合．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)全集一定包含任何元素．( )(2)同一个集合在不同的全集中补集不同．( )(3)不同的集合在同一个全集中的补集也不同．( )答案：(1)×(2)√(3)√2．设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩(∁U B)＝( )A．{x|0≤x<1} B．{x|0<x≤1}C ．{x |x <0}D ．{x |x >1}解析：画出数轴，如图所示． ∁U B ＝{x |x ≤1}，则A ∩(∁U B )＝{x |0<x ≤1}． 答案：B3．已知全集U ＝{1,2，a 2－2a ＋3}，A ＝{1，a }，∁U A ＝{3}，则实数a 等于( ) A ．0或2 B ．0 C ．1或2 D ．2解析：由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，a 2－2a ＋3＝3，则a ＝2.答案：D4．设全集U ＝R ，M ＝{x |x <－2，或x >2}，N ＝{x |1<x <3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A ．{x |－2≤x <1}B ．{x |－2≤x ≤2}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |x <2}解析：阴影部分所表示集合是N ∩(∁U M )， 又∵∁U M ＝{x |－2≤x ≤2}， ∴N ∩(∁U M )＝{x |1<x ≤2}． 答案：C类型一补集的运算例1 (1)已知U＝R，集合A＝{x|x<－2或x>2}，则∁U A＝( )A．{x|－2<x<2} B．{x|x<－2或x>2}C．{x|－2≤x≤2} D．{x|x≤－2或x≥2}(2)已知全集U，M，N是U的非空子集，且∁U M⊇N，则必有( )A．M⊆∁U N B．M∁U NC．∁U M＝∁U N D．M⊆N(3)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∁U B＝{1,4,6}，求集合B.【解析】(1)观察数轴可知，∁U A＝{x|－2≤x≤2}．(2)依据题意画出Venn图，观察可知，M⊆∁U N.(3)因为A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁U B＝{1,4,6}，所以B＝{2,3,5,7}．【答案】(1)C (2)A (3)见解析(1)画出数轴表示集合A，根据补集的定义写出∁U A.(2)画出Venn图，逐个选项分析判断．(3)先结合条件，由补集的性质求出全集U，再由补集的定义求出集合B，也可借助Venn 图求解．方法归纳求补集的原则和方法(1)一个基本原则．求给定集合A的补集，从全集U中去掉属于集合A的元素后，由所有剩下的元素组成的集合即为A的补集．(2)两种求解方法：①若所给的集合是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，注意端点值的取舍．②若所给的集合是用列举法表示，则用Venn 图求解．,跟踪训练1 (1)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |2<x ≤5}，则∁U A ＝________；(2)已知U ＝{x |－5≤x <－2或2<x ≤5，x ∈Z }，A ＝{x |x 2－2x －15＝0}，B ＝{－3,3,4}，则∁U A ＝________，∁U B ＝________.解析：(1)用数轴表示集合A 为图中阴影部分，故∁U A ＝{x |x ≤2或x >5}．(2)在集合U 中，因为x ∈Z ，则x 的值为－5，－4，－3,3,4,5，所以U ＝{－5，－4，－3,3,4,5}．又因为A ＝{x |x 2－2x －15＝0}＝{－3,5}，B ＝{－3,3,4}，所以∁U A ＝{－5，－4,3,4}，∁U B ＝{－5，－4,5}．答案：(1){x |x ≤2或x >5} (2){－5，－4,3,4} {－5，－4,5} (1)借助数轴求补集更直观．(2)先表示出全集U 、集合A ，再求补集． 类型二 集合交、并、补的综合运算例2 (1)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{2,3,5,6)，集合B ＝{1,3,4,6,7)，则集合A ∩(∁U B )＝( )A ．{2,5}B ．{3,6}C ．{2,5,6}D ．{2,3,5,6,8}(2)已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x <2}，B ＝{x |－1<x ≤3}，P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤0，或x ≥52，求A ∩B ，(∁U B )∪P ，(A ∩B )∩(∁U P )．,【解析】 (1)因为U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，B ＝{1,3,4,6,7}，所以∁U B ＝{2,5,8}．又A ＝{2,3,5,6}，所以A ∩(∁U B )＝{2,5}．(2)将集合A ，B ，P 分别表示在数轴上，如图所示．因为A ＝{x |－4≤x <2}，B ＝{x |－1<x ≤3}，所以A ∩B ＝{x |－1<x <2}，∁U B ＝{x |x ≤－1，或x >3}．又P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤0，或x ≥52，所以(∁U B )∪P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤0，或x ≥52. 又∁U P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x <52，所以(A ∩B )∩(∁U P )＝{x |－1<x <2}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x <52＝{x |0<x <2}． 【答案】 (1)A (2)见解析(1)先求∁U B ，再求A∩∁U B.(2)根据集合的交集、补集、并集运算，画数轴，即可求解．方法归纳求集合交、并、补运算的方法跟踪训练2 已知全集U ＝{x |x ≤4}，集合A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |－3<x ≤3}，求∁U A ，A ∩B ，∁U (A ∩B )，(∁U A )∩B .解析：把全集U 和集合A ，B 在数轴上表示如下：由图可知，∁U A ＝{x |x ≤－2或3≤x ≤4}，A ∩B ＝{x |－2<x <3}，∁U (A ∩B )＝{x |x ≤－2或3≤x ≤4}， (∁U A )∩B ＝{x |－3<x ≤－2或x ＝3}．借助数轴求出∁U A ，∁U B 再运算．类型三 补集思想的应用例3 已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}，若A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围．【解析】 先求A ∩B ＝∅时m 的取值范围． (1)当A ＝∅时，①方程x 2－4x ＋2m ＋6＝0无实根，所以Δ＝(－4)2－4(2m ＋6)＜0，解得m ＞－1. (2)当A ≠∅，A ∩B ＝∅时，方程x 2－4x ＋2m ＋6＝0的根为非负实根．② 设方程x 2－4x ＋2m ＋6＝0的两根为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝－2－m ＋，x 1＋x 2＝4≥0，x 1x 2＝2m ＋6≥0，③即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－1，m ≥－3，解得－3≤m ≤－1，综上，当A ∩B ＝∅时，m 的取值范围是{m |m ≥－3}．又因为U ＝R ，④ 所以当A ∩B ≠∅时，m 的取值范围是∁R {m |m ≥－3}＝{m |m <－3}．所以，A ∩B ≠∅时，m 的取值范围是{m |m <－3}．①A∩B＝∅，对于集合A 而言，分A ＝∅与A≠∅两种情况. A ＝∅表示方程无实根． ②B＝{x|x<0}，而A∩B＝∅，故，即已知方程的根为非负实根．③Δ≥0保证了A≠∅，即原方程有实根；x 1＋x 2≥0与x 1x 2≥0保证了原方程两根非负. 如果两根都大于1，则等价形式为⎩⎪⎨⎪⎧1－＋2－，1－2－>0，而不是⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2>2，x 1x 2>1.④由于A∩B≠∅，故方程x 2－4x ＋2m ＋6＝0一定有解，故我们还可以设全集U ＝{m|Δ≥0}＝{m|m≤－1}．此时，{m|－3≤m≤－1}关于U 的补集也是{m|m<－3}，结果相同．方法归纳(1)运用补集思想求参数范围的方法：①否定已知条件，考虑反面问题；②求解反面问题对应的参数范围；③将反面问题对应参数的范围取补集．(2)补集思想适用的情况：从正面考虑，情况较多，问题较复杂的时候，往往考虑运用补集思想．跟踪训练3 设全集U＝{3,6，m2－m－1}，A＝{|3－2m|,6}，∁U A＝{5}，求实数m.解析：因为∁U A＝{5}，所以5∈U但5∉A，所以m2－m－1＝5，解得m＝3或m＝－2.当m＝3时，|3－2m|＝3≠5，此时U＝{3,5,6}，A＝{3,6}，满足∁U A＝{5}；当m＝－2时，|3－2m|＝7≠5，此时U＝{3,5,6}，A＝{6,7}，不符合题意舍去．综上，可知m＝3.,根据补集的定义，得到关于m的方程m2－m－1＝5，解得m的值后还需检验.[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A＝{1,3,5,6}，则∁U A等于( )A．{1,3,5,6} B．{2,3,7}C．{2,4,7} D．{2,5,7}解析：由题意知∁U A＝{2,4,7}，选C.答案：C2．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)等于( )A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}解析：A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．故选D.答案：D3．如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是( )A．A∩B B．A∪BC．B∩(∁U A) D．A∩(∁U B)解析：由Venn图可知阴影部分为B∩(∁U A)．答案：C4．设全集U＝{1,2,3,4,5}，若A∩B＝{2}，(∁U A)∩B＝{4}，(∁U A)∩(∁U B)＝{1,5}，则下列结论中正确的是( )A．3∉A,3∉B B．3∉A,3∈BC．3∈A,3∉B D．3∈A,3∈B解析：由Venn图可知，3∈A,3∉B，故选C.答案：C5．设集合M＝{x|－1≤x<2}，N＝{x|x－k≤0}，若(∁R M)⊇(∁R N)，则k的取值范围是( )A．k≤2 B．k≥－1C．k>－1 D．k≥2解析：由(∁R M)⊇(∁R N)可知M⊆N，则k的取值范围为k≥2.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．设全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则(∁U A)∪(∁U B)＝________.解析：依题意得知，∁U A＝{c，d}，∁U B＝{a}，(∁U A)∪(∁U B)＝{a，c，d}．答案：{a，c，d}7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________.解析：∵U＝{0,1,2,3}，∁U A＝{1,2}．∴A＝{x∈U|x2＋mx＝0}＝{0,3}．∴0,3是方程x2＋mx＝0的两根，∴0＋3＝－m，即m＝－3.答案：－38．已知U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∁U A＝{x|x<3或x>4}，则ab＝________. 解析：因为A∪(∁U A)＝R，所以a＝3，b＝4，所以ab＝12.答案：12三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知全集U＝R，集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x≤3}．求：(1)A∩B；(2)∁U(A∪B)；(3)A∩(∁U B)．解析：(1)因为A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x≤3}，所以A∩B＝{x|－1<x<2}∩{x|0<x≤3}＝{x|0<x<2}．(2)A∪B＝{x|－1<x<2}∪{x|0<x≤3}＝{x|－1<x≤3}，∁U(A∪B)＝{x|x≤－1或x>3}．(3)A∩(∁U B)＝{x|－1<x<2}∩{x|x>3或x≤0}＝{x|－1<x≤0}．10．已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，C＝{x|x<a}．(1)求(∁R A)∩B；(2)若A⊆C，求a的取值范围．解析：(1)因为A＝{x|3≤x<7}，所以∁R A＝{x|x<3或x≥7}，所以(∁R A)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}．(2)因为C＝{x|x<a}，且A⊆C，如图所示，所以a≥7，所以a的取值范围是{a|a≥7}．[能力提升](20分钟，40分)11．已知集合A ，B 均为全集U ＝{1,2,3,4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1,2}，则A ∩(∁UB )等于( )A ．{3}B ．{4}C ．{3,4}D ．∅解析：由A ∪B ＝{1,2,3}，B ＝{1,2}，U ＝{1,2,3,4}知A ∩(∁U B )＝{3}．答案：A12．设全集U ＝{1,2，x 2－2}，A ＝{1，x }，则∁U A ＝________.解析：若x ＝2，则x 2－2＝2，U ＝{1,2,2}，与集合中元素的互异性矛盾，故x ≠2，从而x ＝x 2－2，解得x ＝－1或x ＝2(舍去)．故U ＝{1,2，－1}，A ＝{1，－1}，则∁U A ＝{2}． 答案：{2}13．已知A ＝{x |0<2x ＋a ≤3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <2. (1)当a ＝1时，求(∁R B )∪A ； (2)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．解析：(1)当a ＝1时，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x ≤1， 又B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <2， ∴∁R B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－12或x ≥2， ∴(∁R B )∪A ＝{}x | x ≤1或x ≥2.(2)∵A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－a 2<x ≤3－a2， 若A ⊆B ，当A ＝∅时，－a 2≥3－a2，∴0≥3不成立， ∴A ≠∅，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2≥－12，3－a 2<2，∴－1<a ≤1，所以a 的取值范围是{a |－1<a ≤1}．14．设全集I ＝R ，已知集合M ＝{x |(x ＋3)2≤0}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}．(1)求(∁I M )∩N ；(2)记集合A ＝(∁I M )∩N ，已知集合B ＝{x |a －1≤x ≤5－a ，a ∈R }，若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解析：(1)因为M ＝{x |(x ＋3)2≤0}＝{－3}， N ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}，所以∁I M ＝{x |x ∈R 且x ≠－3}，所以(∁I M )∩N ＝{2}．(2)A ＝(∁I M )∩N ＝{2}，因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ，所以B ＝∅或B ＝{2}，当B ＝∅时，a －1>5－a ，得a >3；当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝2，5－a ＝2，解得a ＝3，综上所述，所求a 的取值范围为{a |a ≥3}．。