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数值分析实验报告之矩阵的分解

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矩阵分解实验报告
学院：数学与计算机学院 姓名 实验时间 实验项目名称
实验目的 实验要求
专业： 学号 指导教师
班级： 实验组 成绩 矩阵分解
利用高斯消去法将一个非奇异矩阵分解为一个上三角矩阵和一个下三角矩阵。 掌握矩阵分解的数学原理和算法。 对于线性方程组 Ax b 中的矩阵 A ，将 A 分解为一个上三角矩阵和一个下三 角矩阵的乘积，即 A LU ， L 为单位下三角矩阵， U 为上三角矩阵。
实验原理
Ax LUx b ，即分解为 Ly b 和 Ux y 两个上（下）三角矩阵。
1、计算机一台。 2、安装 IIS。
实验仪器
Step1：选择数据文件； Step2：将文件数据读取到内存； Step3: 初始化上三角矩阵和下三角矩阵， 即 u1i a1i i 1,2,, n ，li1 ai1 / u11
实 验 流 程 图

L 的第 r 列元素 lir (air lik ukr ) / uii i r 1, r 2, , n ；
k 1
r 1
Step8: 判断 r 是否大于 n ，若是，转到 Step9，否则，令 r 1 r ，返回 Step5。 Step9: 将得到的矩阵结果保存至文件，过程结束。
i 2,3, , n , urj 0 (r j ) Step4: 2 r ；
r 1
lir 0( j r )
l jj 1;
实验步骤
Step5: 计算 U 的第 r 行元素 uri ari lrk uki i r , r 1, , n ;
k 1
Step6: 判断 uii 是否为 0，若为 0，则显示原矩阵为非奇异矩阵，不可分解，过程结束。 Step7:
实 验 总 结
本次试验也是针对求解线性方程组解的问题。将一个非奇异矩阵分解之后，很快就 可以将方程组的解求出来了。 在实验的过程中， 我首先复习了一遍矩阵分解的数学原理， 然后开始在自己的理解之下进行算法的实现。因为理解了实验所需的数学原理，因此很 快将算法实现了。我首先测试了课本上的一个三阶的矩阵，发现求解的结果是错误的， 仔细查找才发现是初始化的时候由于手误将循环变量写错了， 改过来之后， 结果便对了， 接着又从网上找到了两组测试数据， 结果均正确。 然后才测试老师所给的 800 阶的矩阵， 发现算法还需要一段运行时间才能将结果呈现出来。本次试验使我对矩阵分解更加熟悉 了，对用矩阵分解来解线性方程组有了更进一步的认识。在实验课之后，我对矩阵分解 之后再利用分解的结果求解线性方程组的解进行了实现。

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数值分析用矩阵分解法解线性代数方程组PPT课件

数值分析用矩阵分解法解线性代数方程组PPT课件

1
其 中A Rnn非 奇 异,U、V Rn ,且1 V T A1U 0,
A UV T非 奇 异, V T A1U。
选 择 向 量U、V使 原 方 程 组Ax d化 为 ( A UVT )x d
其 中A为 三 对 角 矩 阵,利 用 谢 尔 曼 莫 里 森 公 式 ， 此方程组的解为
第10页/共31页
function x=lupqdsv(A,b) n=length(b); [LU,p,q]=lupqd(A); y(1)=b(p(1)); for i=2:n
y(i)=b(p(i))-LU(i,1:i-1)*y(1:i-1)'; end z(n)=y(n)/LU(n,n);x(q(n))=z(n); for i=(n-1):-1:1
例：
a11
a1q
a22
a
p1
0
an,n p1
1
1
l
p1
0
ln,n p1
0
an
q1,n
ann
0 u11
u1q
u22
1 0
第18页/共n
当A为三对角阵,且 b1 c1 , bi ci ai ，(i 1, 2,
bn cn 时，A有LU分解展开式
b1 c1 a2 b2 c2
(k n 1, n 2,,1)
u11 u12 u1n x1 y1
u22
u2n
x2
y2
unn
xn
y
n
第2页/共31页
二、用列主元的三角分解PA LU求解Ax b
LY Pb
Ax
b
PAx
Pb
LUx
Pb
Ux
Y
例：用列主元三角分解求解Ax=b
矩阵分解方法

矩阵分解方法

矩阵分解方法矩阵分解方法是一种将一个大型矩阵分解成小矩阵的技术。

这种方法在数学、计算机科学、物理和化学等领域都得到了广泛的应用。

本文将介绍这种技术的基本原理、常见方法以及应用案例。

一、基本原理矩阵分解技术的基本原理是将一个大型矩阵分解成小矩阵，这些小矩阵可以更容易地进行计算和存储。

通常情况下，矩阵可以分解成若干个子矩阵的乘积形式，即$A=BC$，其中$A$为大矩阵，$B$为左边的小矩阵，$C$为右边的小矩阵。

二、常见方法1.奇异值分解(SVD)奇异值分解是一种将一个矩阵分解成三个正交矩阵的乘积形式的方法。

其中一个正交矩阵包含了原矩阵的奇异值，而另外两个正交矩阵则包含了原矩阵的左右奇异向量。

这种方法在数据降维、信号处理、模式识别等领域得到了广泛的应用。

2.QR分解QR分解是一种将一个矩阵分解成一个正交矩阵与一个上三角矩阵的乘积形式的方法。

这种方法在线性代数、统计学、数值分析等领域得到了广泛的应用。

3.LU分解LU分解是一种将一个矩阵分解成一个下三角矩阵与一个上三角矩阵的乘积形式的方法。

这种方法在求解线性方程组时得到了广泛的应用。

三、应用案例1.推荐系统推荐系统是一种基于用户历史行为和偏好的算法，通过对用户喜好和商品特征进行分析和预测，为用户推荐最可能感兴趣的商品。

矩阵分解技术可以对用户行为和商品特征进行分解，从而得到用户和商品的隐含特征向量，从而更好地实现推荐。

Netflix prize就是一个基于矩阵分解技术的推荐系统竞赛。

2.图像处理图像处理是一种将数字信号处理与计算机视觉相结合的技术。

在图像处理中，矩阵分解技术可以将图像矩阵分解成若干个小矩阵，从而更好地实现图像处理和压缩。

3.自然语言处理自然语言处理是一种将人类语言转化为计算机可处理的形式的技术。

在自然语言处理中，矩阵分解技术可以将句子矩阵分解成若干个小矩阵，从而更好地实现语言模型训练和文本分类。

综上所述，矩阵分解方法具有广泛的应用价值和理论意义，在学术界和工业界都得到了广泛的关注和应用。

数值分析用矩阵分解法解线性代数方程组

数值分析用矩阵分解法解线性代数方程组


0 1 1 2
其中A 1 0 0 1 2 1 0 1
1
3
0 1
解： i1 3, i1 1
0
b 2 1
6
0 0 1 0
P1
0 1
1 0
0 0
0 0
0 0 0 1
2 1 0 1
P1
A
1
0
0 1
0 1 1 2
1
3
0 1
数值分析
数值分析
1
L1
1 2 0
1 2
i2 4,
1
数值分析
第三节 用矩阵分解法求解线性方程组
一、利用三角分解A LU求解Ax b 二、用列主元的三角分解PA LU求解Ax b
三、用全主元的三角分解PAQT LU求解Ax b
四、利用Cholesky分解A LLT求解Ax b 五、利用正交分解A QR求解 Ax b 六、利用矩阵奇异值分解A UV T求解Ax b 七、 三对角方程组的解法
LUx Pb f
f (i) b(P(i))
f (1) b(P(1)) b(3), f (2) b(P(2)) b(4)
f (3) b(P(3)) b(1), f (4) b(P(4)) b(2)
数值分析
数值分析
1
1
解LY
1 2
0
12
1
2 7
17
1 0
y1
x(i)=(y(i)-LU(i,i+1:n)*x(i+1:n)')/LU(i,i); end
数值分析
数值分析
三、用全主元的三角分解PAQT LU求解Ax b Ax b PAQT (Qx) Pb LU(Qx) Pb
实验五矩阵的LU分解法雅可比迭代

实验五矩阵的LU分解法雅可比迭代

实验五矩阵的LU分解法，雅可比迭代实验报告学院：计算机科学与软件学院班级：116班姓名：薛捷星学号：112547一、目的与要求：熟悉求解线性方程组的有关理论和方法；会编制列主元消去法、LU 分解法、雅可比及高斯—塞德尔迭代法德程序；通过实际计算，进一步了解各种方法的优缺点，选择合适的数值方法。

二、 实验内容：会编制列主元消去法、LU 分解法、雅可比及高斯—塞德尔迭代法德程序，进一步了解各种方法的优缺点。

三、 程序与实例列主元高斯消去法算法：将方程用增广矩阵[A ∣b ]=(ij a )1n (n )+⨯表示1) 消元过程对k=1,2,…,n-1①选主元，找{}n ,,1k ,k i k +∈使得k ,i k a =ik a ni k max ≤≤ ②如果0a k ,i k =，则矩阵A 奇异，程序结束；否则执行③。

③如果k i k ≠，则交换第k 行与第k i 行对应元素位置，j i kj k a a ↔ j=k,┅,n+1④消元，对i=k+1, ┅,n 计算kk ik ik a a l /=对j=l+1, ┅,n+1计算kj ik ij ij a l a a -=2) 回代过程①若0=nn a ，则矩阵A 奇异，程序结束；否则执行②。

②nn n n n a a x /1,+=；对i=n-1, ┅,2,1,计算ii ni j j ij n i i a x a a x /11,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑+=+程序与实例例1 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++035.3643x .5072x .1835x .2137.2623x .43712x 347x .1 1.1833.555x 2.304x 0.101x 321321321输出结果如下：X[0]=-0.398234X[1]= 0.013795X[2]= 0.335144程序如下：#include<stdio.h>#include<math.h>main(){int i,j,p,o,l,q;doublea[3][4]={{0.101,2.304,3.555,1.183},{-1.347,3.712,4.623,2.137},{-2.835,1.072,5.643,3.035}};double x[3],z[4];printf("列主元消去法\n");for(j=0;j<2;j++){for(i=j+1;i<3;i++){if(fabs(a[j][j])<fabs(a[i][j])){for(p=0;p<4;p++){z[p]=a[j][p];a[j][p]=a[i][p];a[i][p]=z[p];}/*交换得最大主元*/}}for(l=j+1;l<3;l++){for(q=3;q>=j;q--){a[l][q]=(a[l][q]-(a[l][j]/a[j][j])*a[j][q]);}}printf("进行消去：\n");for(o=0;o<3;o++){for(p=0;p<4;p++){printf("%12.6f",a[o][p]);}printf("\n");}}x[2]=a[2][3]/a[2][2];x[1]=(a[1][3]-x[2]*a[1][2])/a[1][1];x[0]=(a[0][3]-x[2]*a[0][2]-x[1]*a[0][1])/a[0][0];printf("最后的解:\n");for(i=0;i<3;i++){printf("x[%d]=%12.6f\n",i,x[i]);}}结果如下：例2 解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++=++++=++++-12.041.0F 1.02E 3.47D 1.04C 3.54B -6.301.0F2.01E 2.51D 4.04C 5.05B -8.531.0F 1.21E 2.92D 1.46C3.53B -20.071.0F 1.10E4.48D 1.21C 4.93B -32.041.0F 1.55E5.66D 2.40C 8.77B计算结果如下B=-1.161954C= 1.458125D=-6.004824E=-2.209018F= 14.719421程序如下：#include<stdio.h>#include<math.h>void main(void){int i,j,p,o,l,q;doublea[5][6]={{8.77,2.40,5.66,1.55,1.0,-32.04},{4.93,1.21,4.48,1.10,1.0,-20.07},{3.53,1.46,2.92,1.21,1.0,-8.53},{5.05,4.04,2.51,2.01,1.0,-6.30},{3.54,1.04,3.47,1.02,1.0,-12.04}};double x[5],z[6];printf("列主元消去法求五元一次方程组：\n");for(j=0;j<4;j++){for(i=j+1;i<5;i++){if(fabs(a[j][j])<fabs(a[i][j])){for(p=0;p<6;p++){z[p]=a[j][p];a[j][p]=a[i][p];a[i][p]=z[p];}/*交换得最大主元*/}}for(l=j+1;l<5;l++){for(q=5;q>=j;q--){a[l][q]=(a[l][q]-(a[l][j]/a[j][j])*a[j][q]);}}printf("消去一列：\n");for(o=0;o<5;o++){for(p=0;p<6;p++){printf("%12.6f",a[o][p]);}printf("\n");}}x[4]=a[4][5]/a[4][4];x[3]=(a[3][5]-x[4]*a[3][4])/a[3][3];x[2]=(a[2][5]-x[4]*a[2][4]-x[3]*a[2][3])/a[2][2];x[1]=(a[1][5]-x[4]*a[1][4]-x[3]*a[1][3]-x[2]*a[1][2])/a[1][1];x[0]=(a[0][5]-x[4]*a[0][4]-x[3]*a[0][3]-x[2]*a[0][2]-x[1]*a[0][1])/a[0][0];printf("方程组的解为：\n");for(i=0;i<5;i++){printf("x[%d]=%12.6f\n",i,x[i]);}}矩阵直接三角分解法算法：将方程组A x=b 中的A 分解为A =LU ，其中L 为单位下三角矩阵，U 为上三角矩阵，则方程组A x=b 化为解2个方程组Ly =b ，Ux =y ，具体算法如下：①对j=1,2,3,…,n 计算j j a u 11=对i=2,3,…,n 计算1111/a a l i i =②对k=1,2,3,…,n:a. 对j=k,k+1,…,n 计算∑-=-=11k q qj kq kj kj u l a ub. 对i=k+1,k+2,…,n 计算kk k q qk iq ik ik u u l a l /)(11∑-=-=③11b y =，对k=2,3,…,n 计算∑-=-=11k q q kq k k y l b y④nn n n u y x /=,对k=n-1,n-2,…,2,1计算kk n k q q kq k k u x u y x /)(1∑+=-=注：由于计算u 的公式于计算y 的公式形式上一样，故可直接对增广矩阵[A ∣b ]=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++1,211,2222211,111211n n nn n n n n n n a a a a a a a a a a a a施行算法②，③，此时U 的第n+1列元素即为y 。