信息论试卷含答案

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《信息论基础》参考答案一、填空题（共15分，每空1分） 1、信源编码的主要目的是提高有效性，信道编码的主要目的是提高可靠性。 2、信源的剩余度主要来自两个方面，一是信源符号间的相关性，二是信源符号的统计不均匀性。

3、三进制信源的最小熵为0，最大熵为32logbit/符号。 4、无失真信源编码的平均码长最小理论极限制为信源熵（或H(S)/logr= Hr(S)）。 5、当R=C或（信道剩余度为0）时，信源与信道达到匹配。 6、根据信道特性是否随时间变化，信道可以分为恒参信道和随参信道。 7、根据是否允许失真，信源编码可分为无失真信源编码和限失真信源编码。 8、若连续信源输出信号的平均功率为2，则输出信号幅度的概率密度是高斯分布或正态分布或

222

fxe时，信源具有最大熵，其值为值21log22e。

9、在下面空格中选择填入数学符号“,,,”或“” （1）当X和Y相互独立时，H（XY）=H(X)+H(X/Y)=H(Y)+H(X)。

（2）1222HXXHX12333HXXXHX （3）假设信道输入用X表示，信道输出用Y表示。在无噪有损信道中，H(X/Y)> 0, H(Y/X)=0,I(X;Y)二、（6分）若连续信源输出的幅度被限定在【2,6】区域内，当输出信号的概率密度是均匀分布时，计算该信源的相对熵，并说明该信源的绝对熵为多少。

1,2640,xfx



其它

62logfxfxdx相对熵hx

=2bit/自由度该信源的绝对熵为无穷大。三、（16分）已知信源

1234560.20.20.20.20.10.1SssssssP







（1）用霍夫曼编码法编成二进制变长码；（6分）（2）计算平均码长L;（4分）（3）计算编码信息率R;（2分）（4）计算编码后信息传输率R;（2分）（5）计算编码效率。（2分）

（1） 01010100111.0

0.2

0.20.20.20.1

0.1

1S2S

编码结果为： 123456

0001100101110111SSSSSS

（2）610.420.632.6iiiLP码元符号（3）bitlogr=2.6RL符号（4）2.53bit0.9732.6HSRL码元其中，bit0.2,0.2,0.2,0.2,0.1,0.12.53HSH符号（5）0.973logHSHSLrL 评分：其他正确的编码方案：1，要求为即时码 2，平均码长最短四、（10分）某信源输出A、B、C、D、E五种符号，每一个符号独立出现，出现概率分别为1/8、1/8、1/8、1/2、1/8。如果符号的码元宽度为0.5s。计算：

（1）信息传输速率tR。（5分）（2）将这些数据通过一个带宽为B=2000kHz的加性白高斯噪声信道传输，噪声的单边功率谱密度为6010WnHz。试计算正确传输这些数据最少需要的发送功率P。（5分）

解：（1）1tXRHXHYt 61111log4log882211log8log22231log2log2222log22bit24100.5tHXbitRbpss （2）66662410210log1102101226PPPW 五、(16分)一个一阶马尔可夫信源，转移概率为 11211222

|,|,|1,|033PSSPSSPSSPSS。

(1) 画出状态转移图。(4分) (2) 计算稳态概率。(4分) (3) 计算马尔可夫信源的极限熵。(4分)

(4) 计算稳态下1H,2H及其对应的剩余度。(4分) 解：(1)

1S2S

1 (2)由公式21|iijjjPSPSSPS

有21112122211122|31|31iiiiiiPSPSSPSPSPSPSPSSPSPSPSPS 得123414PSPS (3)该马尔可夫信源的极限熵为： 2211|log|322311loglog433433110.5781.599240.6810.4720.205ijijiijHPSPSSPSSbitnathart

符号符号符号

(4)在稳态下： 213311logloglog0.8114444iiiPxPxbit

符号

20.2050.4720.681HHhartnatbit符号符号符号对应的剩余度为 11

0.811110.1891111loglog2222HH







0.681110.3191111loglog2222HH







六、设有扰信道的传输情况分别如图所示。试求这种信道的信道容量。 12

12121212

121212

解：信道传输矩阵如下 |110022110022110022110022YXP



可以看出这是一个对称信道，L=4,那么信道容量为 111log4,,0,022log|log|11log42log221LjijijCHLpyxpyxbit











七、(16分)设X、Y是两个相互独立的二元随机变量，其取0或1的概率相等。定义另一个二元随机变量Z=XY(一般乘积)。试计算

(1) ,;HXHZ

(2) ,;HXYHXZ (3) |,|;HXYHZX (4) ;,;IXYIXZ; 解：(1) Z 0 1 P(Z) 3/4 1/4

11,122HXHbit



31(2),0.811344HHbit



(2) 112HXYHXHYbit对 1111|11,0,1.52222HXZHXHZXHHbit对

(3) |1HXYHXbit 1111|1,0,0.52222HZXHHbit



(4) ,|0IXYHYHYXHYHY ,|0.81130.50.3113IXZHZHZXbit

八、(10分)设离散无记忆信源的概率空间为120.80.2XxxP，通过干扰信道，信道输出端的接收符号集为12,Yyy，信道传输概率如下图所示。 561416

1x2x1y

2y (1) 计算信源X中事件1x包含的自信息量； (2) 计算信源X的信息熵； (3) 计算信道疑义度|HXY；

(4) 计算噪声熵|HYX； (5) 计算收到消息Y后获得的平均互信息量。解：

(1) 1log0.80.3220.09690.223Ixbithartnat

(2) 0.8,0.20.7220.50.217HXHbitnathart符号符号符号 (3)转移概率： x y y1 y2 x1 5/6 1/6 x2 3/4 1/4 联合分布： x y y1 y2 x1 2/3 12/15 4/5 x1 3/20 1/20 1/5 49/60 11/60 1/5

2231,,,31520201.4040.9730.423HXYHbitnathart



符号符号符号

49/60,11/600.6870.4760.207HYHbitnathart符号符号符号

|0.7170.4970.216HXYHXYHYbitnathart符号符号符号

(4) |0.6820.4730.205HYXHXYHXbitnathart符号符号符号 (5) ;|0.005040.003490.00152IXYHXHXYbitnathart符号符号符号

信息论试卷含答案资料讲解

《信息论基础》参考答案一、填空题（共15分，每空1分）1、信源编码的主要目的是提高有效性，信道编码的主要目的是提高可靠性。

2、信源的剩余度主要来自两个方面，一是信源符号间的相关性，二是信源符号的统计不均匀性。

3、三进制信源的最小熵为0，最大熵为32log bit/符号。

4、无失真信源编码的平均码长最小理论极限制为信源熵（或H(S)/logr= H r (S)）。

5、当R=C 或（信道剩余度为0）时，信源与信道达到匹配。

6、根据信道特性是否随时间变化，信道可以分为恒参信道和随参信道。

7、根据是否允许失真，信源编码可分为无失真信源编码和限失真信源编码。

8、若连续信源输出信号的平均功率为2σ，则输出信号幅度的概率密度是高斯分布或正态分布或()222x f x σ-=时，信源具有最大熵，其值为值21log 22e πσ。

9、在下面空格中选择填入数学符号“,,,=≥≤〉”或“〈”（1）当X 和Y 相互独立时，H （XY ）=H(X)+H(X/Y)=H(Y)+H(X)。

（2）()()1222H X X H X =≥()()12333H X X X H X = （3）假设信道输入用X 表示，信道输出用Y 表示。

在无噪有损信道中，H(X/Y)> 0, H(Y/X)=0,I(X;Y)<H(X)。

二、（6分）若连续信源输出的幅度被限定在【2,6】区域内，当输出信号的概率密度是均匀分布时，计算该信源的相对熵，并说明该信源的绝对熵为多少。

()1,2640,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩Q 其它()()()62log f x f x dx ∴=-⎰相对熵h x=2bit/自由度该信源的绝对熵为无穷大。

三、（16分）已知信源1234560.20.20.20.20.10.1S s s s s s s P ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（1）用霍夫曼编码法编成二进制变长码；（6分）（2）计算平均码长L ;（4分）（3）计算编码信息率R ';（2分）（4）计算编码后信息传输率R ;（2分）（5）计算编码效率η。

信息论考试答案

第4章作业1. 设输入符号表与输出符号表为X ＝Y ＝{0，1，2，3}，且输入信号的分布为p (X = i ) = 1/4，i ＝0，1，2，3，设失真矩阵为0111101111011110⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦d 求D min 、D max 和R (D min )、R (D max )以及相应的编码器转移概率矩阵，并求出信源的R(D)函数，画出其曲线（取4至5个点）。

解：10110 41011A A n A P n A A n -⎡⎤⎢⎥⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=↔==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎣⎦d有114i p n ==得：()()111011i ji ij ijA AD p P d n n n A n n n-==-⨯⨯+⨯⨯=--∑∑所以1A D =-，进而：()()1111j i ji iA A q p P n n n n n-==+-⨯=-∑()()()()()()()()()1111 ,,,,,1111 ,,1,,,11 log 1log 11log11log ,1log 1 2,1log 3j ji R D H q H p AA H H A n n n n D D H H D n n n n D Dn D D n n n n H D D D n H D D D ==--⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭=+--+-⨯--=----=--- ()minmin 0,2D R D bit ==，此时1000010000100001⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P()maxmax 3/4,0D R D ==，此时1000100010001000⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P2. 设输入符号为X ＝{0，1}，输出符号为Y ＝{0，1}。

输入信号的概率分布为P ＝(1/2，1/2)，失真函数为d (0，0) = d (1，1) = 0，d (0，1) =d (1，0) =α。

(完整word版)信息论试卷

一、选择题1、下列那位创立了信息论.(C)A.牛顿B.高斯C.香农D.哈夫曼2、下列不属于消息的是。

(B)A.文字B.信号C.图像D.语言3、同时扔两个正常的骰子,即各面呈现的概率都是1/6，若点数之和为2，则得到的自信息量为(B）。

A.-log36 bitB.log36 bitC.-log18 bitD.log18 bit4、下列说法不正确的是(C)A.异字头码肯定是唯一可译的B.逗点码是唯一可译的C.唯一可译码不必满足Kraft 不等式D.无逗点码可以唯一可译5、下述编码中那个可能是任何概率分布对应的Huffman编码(A)A.｛0，10,11}B.{00，01,10，110}C.｛01，10｝D.{001，011，100，101｝6、下列物理量不满足非负性的是（D)A.H(X)B.I(X；Y）C.H(Y|X)D.I（x j;y j）7、信源的输出与信道的输入匹配的目的不包括（D)A.符号匹配B.信息匹配C.降低信道剩余度D.功率匹配8、在串联系统中,有效信息量的值（B)A.趋于变大B.趋于变小C.不变D.不确定二、判断题1、信息论研究的主要问题是在通信系统设计中如何实现信息传输、存储和处理的有效性和可靠性。

（T)2、信息是先验概率和后验概率的函数，信息量是事件数目的指数函数。

（F）提示：对数函数3、两个事件之间的互信息量可正,可负，也可能为0。

(T）4、在通讯系统中，无论对接收到的信息怎样处理，信息只会减少，绝不可能增加。

(T ）5、Huffman 编码是唯一的.（F)提示：不唯一6、概率大的事件自信息量大。

（F ）提示：小7、在事件个数相同条件下，事件等概率出现情况下的熵值最大。

（T)8、平稳的离散无记忆信道不可用一维概率描述。

(F)提示：可以三、填空题1、必然事件的自信息是 0 .2、根据码字所含的码元的个数，编码可分为等长编码和不等长编码。

3、不等长D 元码，码字最长限定为N,则至多有 D(D N - 1）/(D — 1）个码字。

《信息论》期末考试试题( 卷)标准答案

编码效率为： l 19
2．（共 10 分）有两枚硬币，第一枚是正常的硬币，它的一面是国徽，另一面是面值；第二枚是不正常的硬币，它的两面都是面值。现随机地抽取一枚硬币，进行 2 次抛掷试验，观察硬币朝上的一面，其结果为：面值、面值。
1）求该试验结果与事件“取出的是第一枚硬币”之间的互信息；（4 分）
=
E( XS + αS 2 ) σ SσU
=
αQ σ SσU
I (U ; S) = H (U ) + H (S ) − H (US )
=
1 2
log
2πe σ
2 U
+
1 2
log
2πeσ
2 S
+
log 2πeσUσ S
1− ρ2
=
1 2
log
σ
σ σ2 2
SU
σ2 2
US
− (αQ)
2
=
1 log P + α 2Q
2 1 d = 1 0 7）若失真矩阵为 3 1 ，输入等概，则 Dmin = 2/3 ， Dmax = 2/3 。
三、简答题（6 分）
1．仙农第二定理指出了“高效率、高可靠性”的信道编码存在性，
1）“高效率”的含义是什么？
（1 分）
2）“高可靠性” 的含义是什么？
（1 分）
3）存在这种信道编码的必要条件是什么？
1− ρ2
=
1 log
σ
2 U
σ
2 Y
2
σ
2 U
σ
2 Y
−
(P
+ αQ)2
=
1 log
(P + Q + N )(P + α 2Q)

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