(甘志国)函数 的单调性及其应用

目录摘要 (III)ABSTRACT (IV)引言 (VI)第一章正确理解单调函数的定义 (1)1.1 函数单调性定义的通俗解释 (1)1.2 函数单调性实现了函数值与自变量大小之间的相互转化 (1)1.3 抓住函数单调性定义中的关键词 (1)第二章单调函数的一般判定方法 (3)2.1 定义法 (3)2.2 图像法 (3)2.3 运算法 (3)2.4 复合函数法 (4)第三章单调函数的其他判定方法 (5)3.1 作差法 (5)3.2 作商法 (6)3.3 利用反函数的单调性 (6)3.4 利用和、倍、积、倒函数的单调性 (7)3.5 利用复合函数的单调性 (7)3.6 换元法 (8)3.7 导数法 (8)3.8 综合法 (9)第四章函数单调性在解题当中的应用 (10)4.1 比较两个数的大小 (10)4.2 证明与正整数有关的命题 (10)4.3 解方程 (10)4.4 证明不等式 (11)4.5 求参数的取值范围 (11)结论 (13)参考文献 (14)致谢 (18)单调函数及其应用学生 XXX 指导教师 XXX摘要函数单调性是一条重要的数学概念，我们不能忽略对其定义的理解，本文第一章从函数定义的根本上对函数定义及定义的难点进行阐述。

抓住函数单调性定义中的关键词，例如：二次函数，在轴左侧是减函数，而在右侧是增函数，所以不能笼统的是增函数或减函数。

还要注意：不是任何一个函数都有单调区间的。

例如它无单调区间。

本文第二、三章对函数单调性的判定方法进行了系统性的归纳。

其中最基本，最实用的当为定义法，根据函数单调性的定义，在定义区间取两个不相同的值，然后通过作差，变形，定号，然后得出结论。

单调性是函数的一个基本性质，该性质有广泛的应用，本文第四章分别从五个方面对函数单调性的应用进行简要的举例说明。

关键词：函数单调性;高中数学;数学概念MONOTONE FUNCTION AND ITSAPPLICATIONStudent: Zhu Supervisor: ChenABSTRACT Function Monotonic function is an important mathematical concepts, we can’t ignore the understanding of its definition, this chapter from the function definition of a fundamental definition of the function definition and the difficulty to elaborate. Grasp the definition of monotonic function of key words, such as: a quadratic function，Is a decreasing function of the left in the Y shaft, while the right side is an increasing function. Also note: there is not a function of any monotone interval.Such as:It is not monotone interval. In the second, chapters on the determination method of monotone functions were systematically summarized. Of which the most basic and useful when the definition of law, according to the definition of monotonic function, the definition of taking two different range values, and then for worse, deformation, set number, and then draw conclusions. Monotonic function of a fundamental nature is the nature of a wide range of application, this chapter were from the fiveaspects of the application of Function Monotonicity brief.Key words:Monotonic function；High School Math；Mathematical concepts引言函数是高中数学的中心内容，几乎渗透到高中数学的每一个角落，它不仅是一条重要的数学概念，而且是一种重要的数学思想。

分割区间来解题，也是一种好方法！甘志国(该文已发表 数学通讯，2012(4上)：28-29)高考题1 (2010·福建·理·15)已知定义域为),0(+∞的函数)(x f 满足：(1)对任意),0(+∞∈x ，恒有)(2)2(x f x f =成立；(2)当]2,1(∈x 时，x x f -=2)(.给出如下结论：①对任意∈m Z ，有0)2(=m f ； ②函数)(x f 的值域为),0[+∞； ③存在∈n Z ，使得9)12(=+n f ；④“函数)(x f 在区间(,)a b 上单调递减”的充要条件是“存在∈k Z ，使得1(,)(2,2)k k a b +⊆”.其中所有正确结论的序号是 .(答案：①②④)分析 由条件(2)知当]2,1(∈x 时函数)(x f 的解析式已知：再由条件(1)知当]2,2(2∈x 时函数)(x f 的解析式可求出，再由条件(1)知当]2,2(32∈x 时函数)(x f 的解析式也可求出，…，当∈∈+k x k k](2,2(1N )时函数)(x f 的解析式均可求出；再由条件(1)知当⎥⎦⎤ ⎝⎛∈1,21x 时函数)(x f 的解析式可求出，再由条件(1)知当⎥⎦⎤⎝⎛∈21,212x 时函数)(x f 的解析式也可求出，…，当∈⎥⎦⎤⎝⎛∈+l x l l (21,211N )时函数)(x f 的解析式均可求出.所以，对任意),0(+∞∈x ，函数)(x f 的解析式均可求出.进而可判断四个选项的真假.解 可把区间),0(+∞分割成：⋃⋃⋃⋃⋃⋃⎥⎦⎤⎝⎛⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛⋃⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛⋃=+∞++]2,2(]2,2(]2,2(]2,1(1,2121,2121,21),0(132221k k l l也可记作]2,2(),0(1+∈=+∞k k Zk由条件(1)得)2(21)(x f x f =，所以 ∈==⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛--k x f x f x f x f k k k k )((212212212221 Z )∈⎪⎭⎫⎝⎛=k xf x f kk (22)(Z 0,>x ) 当∈∈+k x k k ](2,2(1Z )时，]2,1(2∈k x，所以再由条件(2)得 x x x f k k k -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+12222)(即x x f k -=+12)((∈∈+k x k k ](2,2(1Z ))这就是函数)(x f 在),0(+∞上的解析式(是分段函数的形式). 下面由此解析式来判断所给选项哪些是正确的？在解析式中选∈-==+m m k x k ,1(21Z )，立得选项①正确.由解析式得，当∈∈+k x k k ](2,2(1Z )时)2,0[)(k x f ∈，所以函数)(x f 的值域是),0[)2,0[+∞=∈k Zk ，即选项②正确.在解析式中选∈=n n k (Z )后可令12+=n x ，得12)12(-=+n n f .若9)12(=+n f ，得10log 2=n ，这与∈n Z 矛盾！所以选项③错误.由求得的解析式知，选项④正确.高考题1的变式1 已知定义域为),0(+∞的函数)(x f 满足：(1)对任意),0(+∞∈x ，恒有a a x af ax f ,1)(()(>=是常数)成立；(2)当],1(a x ∈时，)()(x x f ϕ=(当],1(a x ∈时，)(x ϕ是已知的函数).请求出函数)(x f 的解析式.解 可把区间),0(+∞分割成：],(),0(1Z+∈=+∞k kk aa .由条件(1)得)(1)(ax f ax f =，所以 ∈==⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛--k x f a a x f a a x f a a x f kk k k )((111221 Z ) ∈⎪⎭⎫⎝⎛=k a x f a x f k k ()(Z 0,>x )当∈∈+k aa x k k ](,(1Z )时，],1(a axk ∈，所以再由条件(2)得⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=kk a xa x f ϕ)((∈∈+k a a x k k ](,(1Z )) 这就是此时函数)(x f 在),0(+∞上的解析式(是分段函数的形式).高考题1的变式2 已知定义域为),0(+∞的函数)(x f 满足：(1)对任意),0(+∞∈x ，恒有b b x bf bx f ,10)(()(<<=是常数)成立；(2)当⎥⎦⎤ ⎝⎛∈bx 1,1时，)()(x x f ϕ=(当⎥⎦⎤⎝⎛∈b x 1,1时，)(x ϕ是已知的函数).请求出函数)(x f 的解析式.解 在高考题1的变式1中令ba 1=后，立得本题的答案是：kk b x b x f )()(ϕ=(∈⎥⎦⎤⎝⎛∈+k b b x k k(1,11Z ))(是分段函数的形式). 高考题 2 (200·湖北·理·22)已知不等式][log 21131212n n >+++ ，其中n 为大于2的整数，][log 2n 表示不超过n 2log 的最大整数.设数列{}n a 的各项为正，且满足,4,3,2,),0(111=+≤>=--n a n na a b b a n n n .(1)证明： ,5,4,3,][log 222=+<n n b ba n ；(2)猜测数列{}n a 是否有极限？如果有，写出极限的值(不必证明)； (3)试确定一个正整数N ，使得当N n >时，对于任意的0>b ，都有51<n a . 此题显然是以高等数学中的调和级数为背景的，出题者为了降低这道压轴题的难度而给出了题目开头的那个已知不等式.下面来证明这个不等式：全体正整数集N *可分割成N * ⋃⋃⋃⋃=+Z 1Z 21Z 1)2,2[)2,2[)2,2[k k这里∈+k k k()2,2[Z 1N )表示区间)2,2[1+k k 中的整数组成的集合.所以，对于任意的∈n N *，总存在∈k N ，使122+<≤k kn ，得1log 2+<≤k n k ，即k n =][log 2.当3≥n 时，有∈k N*，且k n 21312113121+++≥+++ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=--k k k 212211218171615141312111 ][log 21212212212212121232n k k k ==⋅+++⋅+⋅+>- 分割区间来解题，也是一种好方法！。

函数单调性的七种应用
一、内容提要如果函数f()对于区间(a,b)内任意两个值1和2,当1
如果对于区间(a,b)内任意两个值1和2,当1f(2),那么f()叫做在区间(a,b)内是单调减少的,区间(a,b)叫做函数f()的单调减少区间。

在其中一区间单调增加或单调减少的函数叫做这个区间的单调函数,
这个区间叫做这个函数的单调区间。

二、函数单调性的应用
函数的单调性既属于数学的基础知识,也是解决数学问题的重要工具。

许多数学问题,比如,确定参变量的范围、证明不等式、求解三角方程、高
次方程、超越方程、求解高难度的不等式,以及确定函数的周期,都要用到
函数的单调性。

上面我所提到的这些问题看上去用初等方法解决起来都较
为困难。

但是,如果采用函数的单调性来求解的话,那将变得很简单、可行。

三、例题分析
例1:f()=,其中a是实数,n是任意给定的自然数且n≥2,如果f()当
∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围。

解:要使f()有意义必须且只须1+2+3…(n-1)+na>0恒成立,从而a>
①,令①右端为式g(),则g()在(-∞,1]上单调递增。

从而有
g()≤g(1),∈(-∞,1]而g(1)=
∴g()≤≤(∵n≥2)
由式①可得a>
例2:设00时,有f()在(0,1)上是增函数。

则f()0
解:改写原不等式为
()3+>3+5
令f()=3+5,则原不等式即为
f()>f()⑥
∵f()是实数集R上的单调增函数
∴不等式⑥等价于不等式>
解之得原不等式的解为-1。

更正两道流传很广的函数题的答案甘志国(该文已发表 中学数学杂志，2009(11)：63)题1 已知函数b a b ax x x f ,()(+=为常数，且)0≠a ，满足x x f f ==)(,21)1(有唯一解，求函数)(x f 的解析式和)]3([-f f 的值.这是前几年网上流传的一道函数题，我校曾把它作为一次高一上学期期末考试的一道解答题，给出的答案是：解 由21)1(=f ，得b=2-a,)0(2)(≠-+=a aax x x f 常数. 方程x x f =)(，即x aax x =-+2 ① 得 x a ax )1(2-=a a x 1,0-=或因为方程①有唯一解，所以.53)23()]3([),1(1)(,1,10==--≠+==-=f f f x x x x f a a a 题2 已知函数x x f f a b a b ax x x f ==≠+=)(,1)2(),0,()(满足为常数且有唯一解，求))3((-f f 的值.这是《高效课堂新学案·数学(人教A 版必修1)》(2009年珠海出版社，石砚主编)第12页第15题，第83页给出的答案是“23”. 这两道题给出的答案均不完整，产生错误的原因是没有注意解分式方程一定要验根. 题1的完整解答 由原解答，先得到分式方程①的根是“a a x 1,0-=或”，但还需要检验(即①中分母的值不为0)：aa x 1-=一定是①的根；当且仅当2≠a 时0=x 是①的根. 从而，得(1)当a=2时, )0(21)(≠=x x f ，①一定有唯一解211=-=a a x ；此时.21)]3([=-f f (2) 当2≠a 时，①有唯一解⇔101=⇔=-a a a ,此时)1(1)(-≠+=x x x x f ，.53)23()]3([==-f f f 题2的完整解答请读者参考以下提示自己给出：)2(22)(-≠+=x x x x f 时，23))3((=-f f ；)0(1)(≠=x x f 时，1))3((=-f f .。