航班机票超售模型
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航班机票的超售决策 摘要： 航空公司的客运航班中常常出现旅客在起飞前退票或改签的情况，造成座位空闲，带来损失。为此一些航空公司实行超座售票的做法。一旦出现登机时旅客人数多于座位数时，航空公司将在旅客中征求志愿者，改乘该公司后续有空座的航班，并给予机票打折等优惠。 本文讨论机票预售的一种方法. 通过建立多阶段决策模型, 将订票时期分成若干个阶段, 在每一个阶段航空公司对乘客要求订票作出不同的反应, 保证了检票时准备登机的人数与飞机上的座位数目相当接近，使得公司的收益最大化，并且尽量保证乘客对航空公司的满意度。
关键词：超售机票 收益最大化 满意度 数学模型 问题复述： 航空公司的客运航班中常常出现旅客在起飞前退票或改签的情况，造成座位空闲，带来损失。为此在西方国家的一些航空公司实行超座售票的做法。例如一个具有150个座位的航班，实际出售的机票可以为（150＋n）张，n>0. 一旦出现登机时旅客人数多于座位数时，航空公司将在旅客中征求志愿者，改乘该公司后续有空座的航班，并给予机票打折等优惠。 假定你在航空公司工作，经理交给你任务，让你研究确定不同航班机票合理超售张数n的值。试应用存贮论中的模型来分析解决，并列出为解决该问题应如何着手，需调查和收集哪些方面资料数据，列出清单。
问题提出： 对于航空客运来说, 旅客所购机票具有一定的有效期, 因此当旅客未赶上本次航班时,他可以再乘坐下一次航班, 但对于航空公司来说, 本次航班不管旅客来多少, 它都必须按时起飞, 因此航空公司为了提高满载率, 往往超额预订机票. 由此产生了这样的问题, 旅客本已订上了某次班机的机票, 但当到达机场而在接待室接受检查时, 却被告知要乘坐的航班已满员, 乘客将不得不乘坐下次班机或者退票。 这种事情常会引起旅客诸多不便甚至怨愤, 那么采取什么样的售票方法才能既减少旅客的抱怨, 又使得航空公司的经济效益最高呢? 为此很多航空公司采用实行超座售票的做法。例如一个具有150个座位的航班，实际出售的机票可以为（150＋n）张，n>0. 一旦出现登机时旅客人数多于座位数时，航空公司将在旅客中征求志愿者，改乘该公司后续有空座的航班，并给予机票打折等优惠。 那么每次航班超售多少是合理的呢？为此本文将对此问题进行讨论。
问题的分析： 由于机场售出的预定票中, 有一部分乘客由于个人原因不能及时登机, 这样飞机在起飞时可能并未满员, 造成浪费. 采取超额订票措施后, 在提高满载率的同时, 也带来了一个问题: 有一部分乘客可能由于飞机满员而无法如期搭乘班机. 作为航空公司, 要对这部分乘客负责, 一般在返还机票费用的基础上, 还要支付一定的赔偿费用. 这样就造成了航空公司利润的下降. 所以, 航空公司的利润与票价、乘客人数、“被抛弃”的乘客数、赔偿金额等因素有关. 因此建立航空公司的利润与上述各因素的函数关系, 并寻求一种有效的订票方案,提高飞机满载率, 减少“被抛弃”乘客数量, 对提高航空公司的利润具有现实意义. 我们知道这样一个事实: 如果检票后发现到机场的乘客数目和飞机上的座位数目一样多的话, 那么这无疑是最好的. 因为它一方面使得航空公司的本次飞行收益达到最大, 另一方面它可以避免被挤掉的乘客对航空公司所带来的负面影响. 而为了做到这些, 我们在每一个时间段根据已有的订票数目来预测未来的预期订票数目, 并决定是否接受乘客的预订请求, 以达到在机场检票时的人数与飞机的容量相当.
符号说明 C: 飞机上的座位数;
D : 飞行一次的收益;
ED :D 的数学期望;
e: 飞机出行一次的费用;
n: 第n 个时间段;
N : 订票过程的总时间;
r: 退款数额与票价的比率;
t: 一张机票的价格;
h:航空公司对被挤掉的乘客的赔款(含票价) ;
EN: 随机变量N的数学期望;
v: 航空公司的形象值, 规定在0—100 之间, 公众对航空公司的信
任程度越高, v 越大 q: 每个人要求“取消订票”的概率为 模型假设： 1、 乘客在订票时付款, 且订票延续N 个小时, 飞机起飞前2 个小时开始检票,且同时停止订票. 对这N 个小时按时间顺序编号:1，2⋯,N
2、 在第n 个小时内“要求订票的人数”n服从参数为的泊松分布, 即: n～ p () (n= 1,2, ⋯,N ),且不同的人“要求订票”这一事件相互独立。
3、在第n 个小时内, 已经订票的人中每个人要求“取消订票”的概率为q, 不同的人“取消订票”这一事件相互独立. 在第1 个小时内无人取消订票, 第n (n 2)个小时内要求“取消订票”的人数n 服
从二项分布n～b11,nkkkq规定：（n=2··，N），01
4、在整个订票过程中, n和n都是随机过程。 模型的建立： 1、 假设飞机有两种座位票(即高价票和低价票),分别有C1和C2个. 对低价票,票价为t1, 将总订票时间N 分为k 个时间段(1,N1],(N 1,N 2], ⋯,(Nk-1,Nk],在(Ni-1,Ni](i= 1,2,⋯,k)时间段乘客退票时,退款为原票价的ri.对于高价票,票额t2,只要乘客在检票前要求退票,则退全票价.对于购买低价票的被挤掉的乘客退h1 (h1>t1)元,对于购买高价票的被挤掉的乘客退h2(h2>t2)元. 用)1(n代表第n 个小时内低价票预订的数目, 假设)1(n～p(1),用)2(n代表第n个小时内高价票预订的数目, 假设)2(n～p(2),用)1(
n
代表第n 个小时内取消低价票预订的数目,假设)1(n～
b111)1()1(),(nkkkq,用)2(n代表第n个小时内取消高价票预订的数目,假
设)2(n～b112)2()2(),(nkkkq,用D*1和D*2分别代表对购买低价票和高价票但未能登机乘客的赔偿。那么,航空公司本次航行的收益应该由3 部分组成：票房收益(订票取得的收益和取消订票对收益的影响),运营成本和对被挤掉的乘客的赔偿, 即: D=kiNNnniniir11)1()1(1)(t1+iNnnn1)2()2()(t2- D*1-D*2-e 其中：N0=0
D*1=NnnNnnNnnCCCth11)1()1(n11)1()1(n11)1()1(n11,,)(0）（）（）（
D*2=NnnNnnNnnCCCth12)2()2(n12)2()2(n12)2()2(n22,,)(0）（）（）（ 2、 设在第n 小时结束时,已有Un张订票.根据前面的讨论,我们知
道,剩下的N-n个小时中还有Nnkn1n）（张有效的订票,
E(Nnkn1n）（）=Vn,它表示从第n+1个时间段开始到检票为止准备预期登机的期望人数；那么在任意的时间段n 内,航空公司就可以作出这样的决策: 如果Un拒绝订票; 如果UnC，且Un+ Vn如下图:
在C1,C2,t1,t2,e,k ,Ni,ri已知的情况下，ED是K1,K2,q1,q2,h的函数,记作:ED=g(K1,K2,q1,q2,h)。可以编制程序通过上述5 个参量的变化去量度航空公司的预期收益。
模型检验： 我们假设N = 120, C= 300,q= 0.02,对低价票,不妨假设: 若乘客在第1—72小时内退票,退票价的90% ,在73—96小时内退票,退票价的50% ,在97—120小时内不予退票。则本次航班的收益为: D=innn721)1()1()9.0(t1+9673)1()1()5.0(nnnt112097)1()(nnt1+1201)2()2()(nnnt2
- D*1-D*2-e
是否订票
Un
UnC 接受订票
Un+ VnUn+ VnC 接受订票
拒绝订票 其中：D*1=12011)1()1(n12011)1()1(n12011)1()1(n11,,)(0nnnnnnCCCth）（）（）（ D*2=12012)2()2(n12012)2()2(n12012)2()2(n22,,)(0nnnnnnCCCth）（）（）（ 表1:由(假设N=120,C=300，t1=800,t2=1200,1=5, 2=2,h=1.3t,C1=220，C2=80)所求出各时间段相关数据 时间 买票数 高价票 低价票 总退票数 剩余票数 总收入/1.0e+005
1 8 2 6 0 292 0.0240 2 7 2 5 0 285 0.0640 3 13 5 8 1 273 0.1568 4 10 1 9 1 264 0.1736 5 4 1 3 2 262 0.1784 6 5 2 3 0 257 0.2264 7 8 1 7 0 249 0.2704 8 5 2 3 0 244 0.3064 9 6 1 5 0 238 0.3344 10 8 3 5 0 230 0.3984 11 1 0 1 3 232 0.3392 12 5 1 4 2 229 0.3928 13 10 5 5 2 221 0.4616 14 12 4 8 1 210 0.5184 15 5 2 3 2 207 0.4992 16 9 1 8 3 201 0.5416 17 3 2 1 2 200 0.5424 18 7 2 5 0 193 0.5944 19 13 2 11 5 185 0.6464 20 3 1 2 4 186 0.6120 21 7 4 3 4 183 0.6672 22 8 2 6 1 176 0.6840 23 8 2 6 2 170 0.7128 24 7 1 6 2 165 0.7416 25 8 0 8 4 161 0.7720 26 3 0 3 2 160 0.7936
