2022-2023学年山东省菏泽市高二上学期期中数学试题一、单选题 1．直线l 的倾斜角为2π3，则l 的斜率为（ ） AB．CD．【答案】B【分析】根据斜率与倾斜角关系即可得答案. 【详解】由题设，l的斜率为2πtan 3=故选：B2．已知()()2,1,3,1,2,9a x b y ==-，如果//a b ，则x y +=（ ） A ．43-B ．0C ．43D ．—1【答案】A【分析】根据向量共线定理，结合空间向量线性关系的坐标关系列方程求参数，即可得结果. 【详解】由题设，存在R λ∈使a b λ=，则21239x y λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，可得163213x y λ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，所以134623x y +=-=-. 故选：A3．过点(2,1)P 且与直线210x y -+=垂直的直线方程为（ ） A ．250x y ++= B ．250x y +-= C ．250x y +-= D ．250x y -+=【答案】B【分析】根据垂直关系写出所求直线斜率，再应用点斜式写出直线方程. 【详解】由题意，所求直线的斜率为2k =-，且过(2,1)P ， 所以直线方程为12(2)y x -=--，即250x y +-=. 故选：B4．在棱长为4正四面体-P ABC 中，E 是棱AB 中点，则PE BC ⋅=（ ）A ．4B ．4-C ．23D ．143【答案】B【分析】F 为AC 中点，连接,PF EF ，根据中位线性质及线线角定义知,PE BC 夹角为PEF ∠或其补角，结合已知确定其余弦值，应用向量数量积的定义求PE BC ⋅即可. 【详解】若F 为AC 中点，连接,PF EF ，又E 是棱AB 中点，所以//EF BC 且2BC EF =，故,PE BC 夹角为PEF ∠或其补角， 因为正四面体-P ABC 各棱长为4，故四面体各面均为等边三角形， 所以3PF PE ==2EF =，且cos 23PEF ∠=，而,PE BC 为PEF ∠的补角，故||||cos 234423PE BC PE BC PEF ⋅=-⋅∠=-=-.故选：B5．已知直线20l x y -+=:与圆22:220C x y y m +--=相离，则实数m 的取值范围是（ ） A ．11[,]24--B ．1(,)4-∞-C ．11(,)24--D ．1(,)2-+∞【答案】C【分析】将圆的方程化为标准式，确定圆心坐标、半径，结合直线与圆的相离关系，应用点线距离公式即可得范围.【详解】由2222:220(1)210C x y y m x y m +--=⇒+-=+>，则12m >-，所以，圆心为(0,1)21m + 212m >+14m <-， 综上，1124m -<<-.故选：C6．已知E ，F 分别是棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1的中点，则截面AEFD 1与底面ABCD所成二面角的正弦值是A ．23B．23C．53D．233【答案】C【分析】试题分析：因为1D D⊥面ABCD，过D做DH⊥AE与H，连接1D H，则1D HD∠即为截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的平面角，设正方体的棱长为1，在△1D HD中，1D D=1，因为△DAH～△ABE，所以251114DADH ABAE=⨯==+所以1435 15D H=+=所以1115 sin35D DD HDD H∠===【解析】与二面角有关的立体几何综合题7．如图，奥运五环由5个奥林匹克环套接组成，环从左到右互相套接，上面是蓝、黑、红环，下面是黄，绿环，整个造形为一个底部小的规则梯形．为迎接北京冬奥会召开，某机构定制一批奥运五环旗，已知该五环旗的5个奥林匹克环的内圈半径为1，外圈半径为1.2，相邻圆环圆心水平距离为2.6，两排圆环圆心垂直距离为1.1，则相邻两个相交的圆的圆心之间的距离为（ ）A ． 2.8B ．2.8C ． 2.9D ．2.9【答案】C【分析】根据题意作出辅助线直接求解即可.【详解】如图所示，由题意可知 2.6AB =，在ABC 中，取AB 的中点D ，连接CD ， 所以 1.3BD =， 1.1CD =， 又因为AC BC =，所以AB CD ⊥， 所以221.1 1.3 2.9BC =+=．即相邻两个相交的圆的圆心之间的距离为 2.9. 故选：C8．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过A 1，1C ，B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到几何体111ABCD AC D -，且这个几何体的体积为10，则点D 到平面11A BC 的距离为（ ） A ．22211B 322C ．2211D ．62211【答案】D【分析】利用111111111110ABCD A C D ABCD A B C D B A B C V V V ---=-=求得13AA =，构建空间直角坐标系求面11A BC 的一个法向量，再应用空间距离的向量求法求点面距.【详解】设1AA h =，则111111111110ABCD A C D ABCD A B C D B A B C V V V ---=-=，所以11441032h h -⨯⨯=，可得3h =，如下图，构建1,,DA DC DD 为x 、y 、z 轴的空间直角坐标系，所以1(2,0,3)A 、(2,2,0)B 、1(0,2,3)C ，则1(0,2,3)A B =-，1(2,0,3)C B =-，若(,,)m x y z =是面11A BC 的一个法向量，则11230230m A B y z m C B x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令2z =，则(3,3,2)m =，又(2,2,0)DB =，故D 到平面11A BC 的距离为||12622||22m DB m ⋅==.故选：D二、多选题9．关于直线:0l ax y a -+=，以下说法正确的是（ ） A ．直线l 过定点(1,0)-B ．0a >时，直线l 过第一，二，三象限C ．a<0时，直线l 不过第三象限D ．原点到直线l 的距离的最大值为1 【答案】ABD【分析】由:(1)0l a x y +-=确定定点坐标，根据a 的符号判断直线所过的象限，根据OM l ⊥时原点O 到直线l 的距离的最大求最大距离.【详解】由:(1)0l a x y +-=过定点(1,0)M -，A 正确； 当0a >，y ax a =+过一、二、三象限，B 正确； 当a<0，y ax a =+过二、三、四象限，C 错误；要使原点O 到直线l 的距离的最大，只需OM l ⊥，即距离等于||1OM =，D 正确.故选：ABD10．已知向(2,1,0),(1,2,1)AB AC ==-，则下列说法正确的是（ ） A ．AB 与AC 是共线向量 B ．与AB同向的单位向量是 C ．AB 和BC夹角的余弦值是D ．平面ABC 的一个法向量是(1,2,5) 【答案】BC【分析】A 由向量共线定理，应用坐标运算判断是否存在R λ∈使AB AC λ=；B 与AB 同向的单位向量是||ABAB 即可判断；C 由(3,1,1)BC AC AB =-=-，应用向量夹角的坐标公式求夹角余弦值；D 应用平面法向量的求法求平面ABC 的一个法向量，即可判断.【详解】A ：若AB 与AC 共线，存在R λ∈使AB AC λ=，则2120λλλ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩无解，故不共线，错误；B ：与AB同向的单位向量是2(||5AB AB ==，正确；C ：由(3,1,1)BC AC AB=-=-，故cos ,||||5AB BC AB BC AB BC ⋅<>===D ：若(,,)m x y z =是面ABC 的一个法向量，则2020m AB x y m AC x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令2y =，则(1,2,5)m =--，错误. 故选：BC11．已知椭圆22195x y +=的左，右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 交椭圆于A，B 两点.则下列说法正确的是（ ） A ．△ABF 2的周长为12 B C ．22||AF BF +的最大值为263D ．△ABF 2面积最大值为203【答案】ACD【分析】A 由椭圆定义求焦点三角形周长；B 根据椭圆离心率定义求离心率；C 当AB x ⊥轴求出||AB 最小值，即可得22||AF BF +最大值；D 令直线:2AB x ky =-代入椭圆，应用韦达定理、三角形面积公式得到2ABF S关于k 的表达式，研究其最值即可.【详解】A ：由三角形的周长为221212||||||||||||||412AB AF BF AF AF BF BF a ++=+++==，正确； B ：由223,2a c a b =-=，故椭圆的离心率为23ca =，错误；C ：要使22||12||AF BF AB -+=最大，只需||AB 最小，根据椭圆性质知：当AB x ⊥轴时2min 210||3b AB a ==，故22max 26(||)3AF BF +=，正确；D ：令直线:2AB x ky =-，代入椭圆方程整理得：22(95)20250k y ky +--=， 所以2900(1)0k ∆=+>，且22095A B k y y k +=+，22595A By y k =-+， 而222122211||||2()4602(95)ABF A B A B A B k SF F y y y y y y k +=⋅-=+-+ 令211t k =+≥，则2260352540161616254022540ABF tSt t t t t t=≤=++++⋅+45t =时等号成立，显然等号不成立， 又1625y t t=+在[1,)+∞上递增，即1t =时y 最小，此时2ABF S 最大为203，正确. 故选：ACD12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得，阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值λ(0λ>且1)λ≠的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，已知在平面直角坐标系xOy 中，()()2,0,4,0A B -，点P 满足12PA PB =，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（ ）A ．C 的方程为()22416x y ++=B ．在C 上存在点D ，使得D 到点（1，1）的距离为9 C ．在C 上存在点M ，使得2MO MA =D ．C 上的点到直线34130x y --=的最大距离为9 【答案】ABD【分析】对A ：设点(),P x y ，由两点的距离公式代入化简判断；对B ：根据两点间的距离公式求得点（1，1）到圆上的点的距离的取值范围，由此分析判断；对C ：设点(),M x y ，求点M 的轨迹方程，结合两圆的位置关系分析判断；对D ：结合点到直线的距离公式求得C 上的点到直线34130x y --=的最大距离，由此分析判断.【详解】对A ：设点(),P x y ，∵12PA PB =12=，整理得()22416x y ++=， 故C 的方程为()22416x y ++=，A 正确；对B ：()22416x y ++=的圆心()14,0C -，半径为14r =，∵点（1，1）到圆心()14,0C -的距离1d ==D到点（1，1）的距离的取值范围为)4，且)94∈，∴在C 上存在点D ，使得D 到点（1，1）的距离为9，B 正确； 对C ：设点(),M x y，∵2MO MA ==2281639x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，∴点M 的轨迹方程为2281639x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，是以28,03C ⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，半径243r =的圆，又∵12124833C C r r =<=-，则两圆内含，没有公共点， ∴在C 上不存在点M ，使得2MO MA =，C 不正确； 对D ：∵圆心()14,0C -到直线34130x y--=的距离为25d ==，∴C 上的点到直线34130x y --=的最大距离为219d r +=，D 正确；故选：ABD.三、填空题13．过点(1,2)-与(3,5)的直线的一般式方程为___________. 【答案】34110x y -+=【分析】先求出直线的斜率，再根据点斜式即可求出直线方程. 【详解】可得直线的斜率为253134-=--，所以直线方程为()3214y x -=+，整理得34110x y -+=. 故答案为：34110x y -+=.14．写出与两圆()222211,106180x y x y x y -+=+-++=均相切的一条直线方程为___________. 【答案】1y =（答案不唯一）【分析】根据圆的方程判断圆的位置关系，公切线斜率存在，设为y kx m =+，应用点线距离公式求参数，即可写出直线方程.【详解】由()2211x y -+=，圆心为(1,0)，半径为1； 由22(5)(3)16x y -++=，圆心为(5,3)-，半径为4；所以圆心距为22(51)(30)514-+--==+，故两圆外切，如下图，公切线斜率存在，设为y kx m =+，所以22115341k m k k m k ⎧+=⎪+⎪⎨++⎪=⎪+⎩，解得01k m =⎧⎨=⎩或433k m ⎧=⎪⎨⎪=-⎩或24717k m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以，公切线方程有1y =或4390x y --=或24710x y ++=. 故答案为：1y =（答案不唯一）15．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，A B ＝BC ＝AA 1＝2，点D 是A 1C 1的中点，则异面直线AD 和BC 1所成角的大小为__________． 【答案】6π【详解】试题分析：如图，以1,,BC BA BB 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)B ，(0,2,0)A ，(2,0,0)C ，1(0,2,2)A ，1(2,0,2)C ，(1,1,2)D ，(1,1,2)AD =-，1(2,0,2)BC =， 111cos ,AD BC AD BC AD BC ⋅=⋅2043268++==⋅，所以1,AD BC 6π=，即异面直线AD 和BC 1所成角为6π．【解析】异面直线所成角．16．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且ππ[,]64α∈，则该椭圆离心率e 的最大值为___________. 31##13-【分析】利用已知条件设出椭圆的左焦点，进一步根据垂直的条件得到长方形，则AB NF =，再根椭圆的定义2AF AN a +=，由离心率的公式得到1π2)4e α=+，即可求解答案.【详解】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>> 上一点A 关于原点的对称点为点B 、F 为其右焦点，设椭圆的左焦点为N ，连接,,,AF AN BF BN ，所以四边形AFBN 为长方形，根据椭圆的定义2AF AN a +=，且ABF α∠=，则ANF α∠=，所以22cos 2sin a c c αα=+， 又由离心率的公式得211π2sin cos 2)4c e a ααα===++， 由ππ[,]64α∈，则5πππ1242α≤+≤， 21312)π4α+31. 31【点睛】关键点点睛：把椭圆的离心率转化为α的三角函数，利用三角函数的值域求解是解答的关键.四、解答题17．已知直线l 的斜率为12-，且在y 轴上的截距为3. (1)求直线l 的方程，并把它化成一般式；(2)若直线860m x y m +-=与直线l 平行，求m 的值【答案】(1)132y x =-+，260x y +-= (2)−4【分析】（1）直接用斜截式写出直线方程，再化为一般式即可；（2）由（1），知直线l 的方程为260x y +-=．根据相互平行与斜率之间的关系即可得出．【详解】（1）由已知直线l 的方程为132y x =-+， 化成一般式为260x y +-=（2）由（1），知直线l 的方程为260x y +-=．∵直线860m x y m +-=与直线l 平行， ∴182638m m ⎧-=-⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩， ∴m ＝−4．故所求m 的值为−4．18．已知空间三点(1,0,0)A ，(1,1,1)B ，(3,1,)C a -，求：(1)若AB BC ⊥，求实数a ；(2)若5a =，△ABC 的面积.【答案】(1)1a =；(2)【分析】（1）应用空间向量垂直的坐标表示列方程求参数a ；（2）应用空间向量夹角坐标表示求(4,1,5)AC =-、(0,1,1)AB =夹角余弦值，进而求正弦值，坐标公式求模长，应用三角形面积公式求面积即可.【详解】（1）由题设(0,1,1)AB =，(4,0,1)BC a =--，又AB BC ⊥，所以10AB BC a ⋅=-=，可得1a =.（2）由题意(3,1,5)C -，故(4,1,5)AC =-，而(0,1,1)AB =，所以|cos ,|||||||42AB AC AB AC AB AC ⋅<>===2sin ,7AB AC <>=， 而||42AC =||2AB=，故12ABC S ==19．已知以点(1,2)A -为圆心的圆与直线1:270l x y ++=相切，过点(2,0)B -的动直线l 与圆A 相交于,M N 两点.(1)求圆A 的方程；(2)当||MN =l 的方程.【答案】(1)22(1)(2)20x y ++-=(2)2x =-或3460x y -+=【分析】（1）求出圆心到直线1l 的距离即为圆半径，从而得圆方程；（2）由弦长求得弦心距，设出直线方程，由圆心到直线的距离得参数值，从而得直线方程，注意检验斜率不存在的直线是否符合要求．【详解】（1）r ==所以圆方程为22(1)(2)20x y ++-=；（2）由题意圆心到直线l 的距离为1d ==， 显然直线2x =-满足题意，在直线l 斜率存在时，设方程为(2)y k x =+，即20kx y k -+=，1=，34k =，直线方程为33042x y -+=，即3460x y -+=， 所以直线l 方程为2x =-或3460x y -+=．20．已知椭圆1C ：2221x y a +=过点，椭圆2C 以1C 的长轴为短轴，且与1C 有相同的离心率. (1)求椭圆2C 的方程；(2)已知1F ，2F 为椭圆2C 的两焦点，若点P 在椭圆2C 上，且12π4F PF ∠=，求12F PF △的面积. 【答案】(1)221164y x +=；(2)1).【分析】（1）根据点在椭圆求得1C 方程，结合椭圆2C 、1C 的关系写出椭圆2C 的方程；（2）应用椭圆定义及余弦定理可得12||||PF PF =.【详解】（1）由在2221x y a +=上，则21314a +=，可得24a =，所以1C 为2214x y +=，故长轴长为4，离心率为c a =故2C 中2b '=，且e ==216a '=， 所以2C 为221164y x +=. （2）由题意，在2C 中1212121||||sin 2F PF S P F PF P F F ∠=，而12||||28PF PF a '+==， 又22212121212||||||2||||cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠，所以21212(||||)(22)||||48PF PF PF PF +-+=，故1216||||22PF PF =+， 所以1211624(21)2222F PF S =⨯⨯=-+. 21．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，2PC =，在四边形ABCD 中，∠B 90,4,1C AB CD =∠===，PB 与平面ABCD 成30的角，点M 在PB 上，且CM ∥平面P AD .(1)求PB PM的值； (2)求点C 到平面P AD 的距离.【答案】(1)4；(2)22.【分析】（1）过M 作//MN CD 交PA 于N ，连接ND ，由线面平行可得//CM ND ，进而有MNDC 为平行四边形，即有//MN BA ，在△PBA 中应用等比例性质求PB PM. （2）根据等体积法有C PDA P ACD V V --=求点面距.【详解】（1）过M 作//MN CD 交PA 于N ，连接ND ，因为CM ∥平面P AD ，CM ⊂面MNDC ，面MNDC ⋂面PAD ND =，所以//CM ND ，且//MN CD ，故MNDC 为平行四边形，则MN CD =，又∠B 90C =∠=，则//CD BA ，故//MN BA ，所以，在△PBA 中4,1AB CD ==，故4PB BA PM MN==. （2）因为PC ⊥平面ABCD ，2PC =，且PB 与平面ABCD 成30的角，因为,,CD BA BC ⊂面ABCD ，则PC CD ⊥，PC BA ⊥，PC BC ⊥，所以PB 与平面ABCD 所成角平面角为30PBC ∠=︒，在直角△PBC中，BC =24PB PC ==，由（1）知：12ACD S BC CD =⨯⋅=PC 为P ACD -的高，所以123P ACD V -==， 又BA CB ⊥，CB PC C ⋂=，,CB PC ⊂面PBC ，则BA ⊥面PBC ，而PB ⊂面PBC ，故BA PB ⊥，在直角△PBA中PA ==△PCD中PD =而AD ==所以，在△PAD中cos PDA ∠==sin PDA ∠=故12PDA S == 由C PDA P ACD V V --=，若C 到平面P AD 的距离为h，则13h ⋅⨯=，所以h =. 22．已知曲线22:1(R,03x y C m m m m+=∈≠-且3)m ≠ (1)若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，求m 的取值范围；(2)当1m =时，过C 的右焦点F 且斜率为k (0)k ≠的直线l 交曲线C 于点A 、B （A ，B 异于顶点），交直线2x =于P .过点P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，直线AQ 交x 轴于点E ，直线BQ 交x 轴于D ，求证：||||EF DF =.【答案】(1)3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭； (2)证明见解析.【分析】（1）利用椭圆的标准性质列关于m 的不等式组，解之得解.（2）设直线l 方程为()()10y k x k =-≠，求出,P Q 坐标，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理，求出直线AQ ，BQ 的方程，进而得到,E D 坐标，利用中点坐标公式即可得解.【详解】（1）由题意可得3003m m m m ->⎧⎪>⎨⎪>-⎩，解得332m <<，所以实数m 的取值范围为3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）当1m =时，曲线C 为椭圆：2212x y +=，右焦点为(1,0)F ， 设直线l 为()()10y k x k =-≠，联立()22121x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得()2222124220k x k x k +-+-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+ 直线l 交直线2x =于()2,P k ，则()0,Q k所以直线AQ 的方程为11y k y x k x -=+，10x ≠， 令0y =，解得11kx x k y =-，则11,0kx E k y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭所以直线BQ 的方程为22y k y x k x -=+，20x ≠， 令0y =，解得22kx x k y =-，则22,0kx D k y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭ ()()()()()()()()122112211221212122222k x y k x y k k x k x x k x kx kx k y k y y k y k k x x ⎡⎤⎡⎤--+---+-⎣⎦⎣⎦∴+==------ ()()()()()222212121212221212122284422221212228222441212k k x x x x x x x x k k k k x x x x x x k k --+-+-++===----++-+++ 2244222k k +==+， 所以线段ED 中点为(1,0)F ，故||||EF DF =.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.。
