二次函数的三种表达形式
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二次函数的三种表达形式:
① 一般式:
把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出 a、b、C的值
② 顶点式：
y=a(x-h)2+k(a ≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线 x=h
，顶点的位置 特征和
图像的开口方向与函数 y=ax 2的图像相同，当x=h时，y最值=k。
有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10),求y的解析式。
解：设 y=a(x-1)2+2 ,把(3,10)代入上式，解得 y=2(x-1)2+2 。
注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，
h>0
时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在X轴正方向上，不能因h前是负号 就简单
地认为是向左平移。
具体可分为下面几种情况：
当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动Ihl个单位得到；
当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单
位，就可以得到y=a(x-h)2+k 的图象；
当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单
位可得到y=a(x-h)2+k 的图象； 当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单
位，再向上移动k个单 位可得到y=a(x-h)2+k 的图象;
当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动Ihl个单位，再向下移动Ikl个单 位可得到
y=ax2+bx+c(a
≠0,a、b、C
为常数)，顶点坐标为
]
y=a(x-h)2+k
的图象。
③ 交点式：
y=a(x-x 1)(x-x2) (a ≠0)[仅限于与X轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac ≥0].
已知抛物线与X轴即y=0有交点A(xι ,0)和B(X2,0),我们可设y=a(x-x 1)(x-x2), 然后把第
三点代入X、y中便可求出a。
由一般式变为交点式的步骤：
二次函数
∙∙xι+X2=-b∕a , xi?X2=c/a(由韦达定理得),
∙°∙y=ax2+bx+c
=a(x2+b∕ax+c∕a)
=a[x2-(x 1 +x 2)x+x 1 ?X2]
=a(x-x 1)(X-X 2).
重要概念：
a, b , C为常数，a≠0,且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上； a<0
时，开
口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。
a的绝对值越大开口就越小，a
的绝对值越小开口就越大。
能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；
能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用； 能熟练地运用二次函数解决实际问题
二次函数解释式的求法:
就一般式y=ax2 + bx + C (其中a, b , C为常数，且a≠0)而言，其中含有三 个待定的
系数a，b ，c.求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条 件，来建立关于a ,
b , C的方程，联立求解，再把求出的a , b , C
的值反 代回原函数解析式，即可得到所
求的二次函数解析式。
1•
巧取交点式法：
知识归纳：二次函数交点式：y = a(x — xι)(x — X2)(a ≠0) xι, x2分别是抛物线 与
X
轴两个交点的横坐标。
已知抛物线与X轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便。
① 典型例题一：告诉抛物线与X轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函 数的交
点式。
例：已知抛物线与X轴交点的横坐标为-2和1 ,且通过点(2 , 8),求二次函 数的解析式。
点拨：
解设函数的解析式为y = a(x+2)(x-1),
•••过点(2 , 8),
∙∙8 = a(2+2)(2-1)
。
解得a=2 ,
•••抛物线的解析式为：
y = 2(x+2)(x-1)
,
即 y =
2x2+2x-4
② 典型例题二：告诉抛物线与X轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物 线的对
称性求解。
例：已知二次函数的顶点坐标为（3，-2 ），并且图象与X轴两交点间的距离为
4
,求二次函数的解析式。
点拨：
在已知抛物线与X轴两交点的距离和顶点坐标的情况下， 问题比较容易解决.由
顶点坐标为（3，-2 ）的条件，易知其对称轴为X= 3 ,再利用抛物线的对称性， 可知图
象与X轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）。此时，可使用二次 函数的交点式，
得出函数解析式。
2.
巧用顶点式：
顶点式y=a（x —
h）
2
+k （a≠0），其中（h，k
）是抛物线的顶点。当已知抛物线 顶点
坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为 其中只有一个
未知数a。在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来 命题。在应用题中，涉
及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点 式方便.
①典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式。
例：已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2 ），且通过点（1，10 ），求此二次函数 的解析
式。
点拨：
解T顶点坐标为（-1，-2 ），
故设二次函数解析式为
y=a（x+1）
2
-2 （a ≠0
）。
把点（1，10）代入上式，得10=a ∙
1+1）
2
-2
。
• a=3 o
.∙∙二次函数的解析式为
y=3（x+1）
2-2 ,即y=3x 2
+6x+1
② 典型例题二：
b Aae — b2
X = — — ______
如果a>0 ,那么当 Nt时，y有最小值且y最小=^ ；
J =
_A 4
处一护
如果a<0，那么，当 」时，y有最大值，且y最大=-「。 告诉最大值或最小值，实际上也
是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。
例：已知二次函数当X = 4时有最小值一3 ,且它的图象与X轴两交点间的距离 为6 ,求
这个二次函数的解析式。
点拨：
析解•••二次函数当X= 4时有最小值—3 ,•顶点坐标为（4, -3）,对称轴为直 线X =
4
,抛物线开口向上。
由于图象与X轴两交点间的距离为6 ,根据图象的对称性就可以得到图象与 X轴 两交点
的坐标是（1 , 0）和（7, 0）
o
•抛物线的顶点为（4, -3）且过点（1 ,
0
）o
故可设函数解析式为y = a（X —
4）
2
— 3。
将（1 , 0）代入得 0 = a（1 — 4）2— 3,解得 a = 13 .
∙∙y = 13（X — 4）2-3 ,即 y
= 13
X
2
— 83X + 73。
③ 典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可 解出。
例如:
(1) 已知二次函数的图象经过点 A (3, -2 )和B (1 , 0),且对称轴是直线
X
=3 •求这个二次函数的解析式
.
(2) 已知关于X的二次函数图象的对称轴是直线 x=1 ,图象交y轴于点(O ,2), 且过点
(-1 , O),求这个二次函数的解析式
.
(3) 已知抛物线的对称轴为直线 x=2 ,且通过点(1 , 4)和点(5, O),求此 抛物线的解
析式
•
(4) 二次函数的图象的对称轴x=-4 ,且过原点，它的顶点到X轴的距离为4 , 求此函数
的解析式.
④ 典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便。
例：把抛物线y=ax2+bx+c 的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位
,
所得图像的解析式是y=x2-3x+5,则函数的解析式为 _____________
I
点拨：
解先将 y=χ2-3x+5 化为 y=(x-32)2+5-94, 即 y=(x-32)2+114 。
•••它是由抛物线的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到的， •••原
抛物线的解析式是
y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7
