上海部分重点中学2009—2010学年高三年级第一次联考数学理

2009年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1．（4分）（2009•上海）若复数z满足z（1+i）=1﹣i（I是虚数单位），则其共轭复数=i．【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】本题考查的知识点是共轭复数的定义，由复数z满足z（1+i）=1﹣i，我们可能使用待定系数法，设出z，构造方程，求出z值后，再根据共轭复数的定义，计算【解答】解：设z=a+bi，则∵（a+bi）（1+i）=1﹣i，即a﹣b+（a+b）i=1﹣i，由，解得a=0，b=﹣1，所以z=﹣i，=i，故答案为i．【点评】求复数的共轭复数一般步骤是：先利用待定系数法设出未知的向量，根据已知条件构造复数方程，根据复数相等的充要条件，转化为一个实数方程组，进而求出求知的复数，再根据共轭复数的定义，求出其共轭复数．2．（4分）（2009•上海）已知集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是a≤1．【考点】集合关系中的参数取值问题．【专题】集合．【分析】利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．【解答】解：∵A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，如图，故当a≤1时，命题成立．故答案为：a≤1．【点评】本题属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，也是高考常会考的题型．3．（4分）（2009•上海）若行列式中，元素4的代数余子式大于0，则x满足的条件是x＞且x≠4．【考点】三阶矩阵．【专题】计算题．【分析】根据3阶行列式D的元素a ij的余子式M ij附以符号（﹣1）i+j后，叫做元素a ij的代数余子式，所以4的余子式加上（﹣1）1+1即为元素4的代数余子式，让其大于0列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范围．【解答】解：依题意得，（﹣1）2＞0，即9x﹣24＞0，解得x＞，且x≠4，故答案为：x＞且x≠4【点评】此题考查学生掌握三阶矩阵的代数余子式的定义，是一道基础题．4．（4分）（2009•上海）某算法的程序框如下图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是．【考点】程序框图．【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是根据输入x值的不同，根据不同的式子计算函数值．即求分段函数的函数值．【解答】解：根据流程图所示的顺序，程序的作用是分段函数的函数值．其中输出量y与输入量x满足的关系式是故答案为：【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．5．（4分）（2009•上海）如图，若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是arctan（结果用反三角函数值表示）．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在直角三角形中求出正切值，再用反三角函数值表示出这个角即可．【解答】解：先画出图形将AD平移到BC，则∠D1BC为异面直线BD1与AD所成角，BC=2，D1C=，tan∠D1BC=，∴∠D1BC=arctan，故答案为arctan．【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及解三角形的应用，属于基础题．6．（4分）（2009•上海）函数y=2cos2x+sin2x的最小值是．【考点】三角函数的最值．【专题】计算题．【分析】先利用三角函数的二倍角公式化简函数，再利用公式化简三角函数，利用三角函数的有界性求出最小值．【解答】解：y=2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+=1+当=2k，有最小值1﹣故答案为1﹣【点评】本题考查三角函数的二倍角余弦公式将三角函数降幂、利用公式化简三角函数．7．（4分）（2009•上海）某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ（结果用最简分数表示）．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题．【分析】用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，ξ可取0，1，2，结合变量对应的事件写出分布列当ξ=0时，表示没有选到女生；当ξ=1时，表示选到一个女生；当ξ=2时，表示选到2个女生，求出期望．【解答】解：用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，ξ可取0，1，2，当ξ=0时，表示没有选到女生；当ξ=1时，表示选到一个女生；当ξ=2时，表示选到2个女生，∴P（ξ=0）==，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，∴Eξ=0×=．故答案为：【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这是近几年经常出现的一个问题，可以作为解答题出现，考查的内容通常是以分布列和期望为载体，有时要考查其他的知识点．8．（4分）（2009•上海）已知三个球的半径R1，R2，R3满足R1+2R2=3R3，则它们的表面积S1，S2，S3，满足的等量关系是．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】表示出三个球的表面积，求出三个半径，利用R1+2R2=3R3，推出结果．【解答】解：因为S1=4πR12，所以，同理：，即R1=，R2=，R3=，由R1+2R2=3R3，得故答案为：【点评】本题考查球的表面积，考查计算能力，是基础题．9．（4分）（2009•上海）已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，则b=3．【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知得|PF1|+|PF2|=2a，=4c2，，由此能得到b的值．【解答】解：∵F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．∴|PF1|+|PF2|=2a，=4c2，，∴（|PF1|+|PF2|）2=4c2+2|PF1||PF2|=4a2，∴36=4（a2﹣c2）=4b2，∴b=3．故答案为3．【点评】主要考查椭圆的定义、基本性质和平面向量的知识．10．（4分）（2009•上海）在极坐标系中，由三条直线θ=0，，ρcosθ+ρsinθ=1围成图形的面积等于．【考点】简单曲线的极坐标方程；定积分．【专题】计算题．【分析】三条直线化为直角坐标方程，求出三角形的边长，然后求出图形的面积．【解答】解：三条直线θ=0，，ρcosθ+ρsinθ=1的直角坐标方程分别为：y=0，y=x，x+y=1，所以它们的交点坐标分别为O（0，0），A（1，0），B（，），OB==，由三条直线θ=0，，ρcosθ+ρsinθ=1围成图形的面积S==．故答案为：．【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，三角形的面积的求法，考查计算能力．11．（4分）（2009•上海）当时，不等式sinπx≥kx恒成立．则实数k的取值范围是k≤2．【考点】函数恒成立问题．【专题】数形结合．【分析】要使不等式sinπx≥kx恒成立，设m=sinπx，n=kx，利用图象得到k的范围即可．【解答】解：设m=sinπx，n=kx，x∈[0，]．根据题意画图得：m≥n恒成立即要m的图象要在n图象的上面，当x=时即πx=时相等，所以此时k==2，所以k≤2故答案为k≤2【点评】考查学生利用数形结合的数学思想解决问题的能力，理解函数恒成立时取条件的能力．12．（4分）（2009•上海）已知函数f（x）=sinx+tanx，项数为27的等差数列{a n}满足a n∈（﹣），且公差d≠0，若f（a1）+f（a2）+…f（a27）=0，则当k=14时，f（a k）=0．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】本题考查的知识点是函数的奇偶性及对称性，由函数f（x）=sin x+tan x，项数为27的等差数列{a n}满足a n∈（﹣），且公差d≠0，若f（a1）+f（a2）+…f（a27）=0，我们易得a1，a2，…，a27前后相应项关于原点对称，则f（a14）=0，易得k值．【解答】解：因为函数f（x）=sinx+tanx是奇函数，所以图象关于原点对称，图象过原点．而等差数列{a n}有27项，a n∈（）．若f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a27）=0，则必有f（a14）=0，所以k=14．故答案为：14【点评】代数的核心内容是函数，函数的定义域、值域、性质均为高考热点，所有要求同学们熟练掌握函数特别是基本函数的图象和性质，并能结合平移、对称、伸缩、对折变换的性质，推出基本函数变换得到的函数的性质．13．（4分）（2009•上海）某地街道呈现东﹣西、南﹣北向的网格状，相邻街距都为1．两街道相交的点称为格点．若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（﹣2，2），（3，1），（3，4），（﹣2，3），（4，5），（6，6）为报刊零售点．请确定一个格点（除零售点外）（3，3）为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短．【考点】两点间距离公式的应用．【专题】直线与圆．【分析】设发行站的位置为（x，y），则可利用两点间的距离公式表示出零售点到发行站的距离，进而求得在（3，3）处z取得最小值．【解答】解：设发行站的位置为（x，y），6个零售点到发行站的距离为Z，则z=|x+2|+|y﹣2|+|x﹣3|+|y﹣1|+|x﹣3|+|y﹣4|+|x+1|+|y﹣3|+|x﹣4|+|y﹣5|+|x﹣6|+|y﹣6|=|x+2|+|x﹣3|+|x﹣3|+|x+1|+|x﹣4|+|x﹣6|+|y﹣2|+|y﹣1|+|y﹣4|+|y﹣3|+|y﹣5|+|y﹣6|x=3，3≤y＜4时，取最小值，∴在（3，3）处z取得最小值．故答案为（3，3）．【点评】本题主要考查了两点间的距离公式的应用．考查了学生创造性思维能力和逻辑思维能力．14．（4分）（2009•上海）将函数（x∈[0，6]）的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ（0≤θ≤α），得到曲线C．若对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图象，则α的最大值为arctan．【考点】旋转变换．【专题】计算题；压轴题．【分析】先画出函数（x∈[0，6]）的图象，然后根据由图可知当此圆弧绕坐标原点逆时针方向旋转角大于∠MAB时，曲线C都不是一个函数的图象，求出此角即可．【解答】解：先画出函数（x∈[0，6]）的图象这是一个圆弧，圆心为M（3，﹣2）由图可知当此圆弧绕坐标原点逆时针方向旋转角大于∠MAB时，曲线C都不是一个函数的图象∴∠MAB=arctan故答案为：arctan【点评】本题主要考查了旋转变换，同时考查了数形结合的思想和分析问题解决问题的能力，属于基础题．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）15．（4分）（2009•上海）“﹣2≤a≤2”是“实系数一元二次方程x2+ax+1=0有虚根”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】实系数一元二次方程x2+ax+1=0有虚根⇒△=a2﹣4＜0⇒﹣2＜a＜2，由此入手能够作出正确选择．【解答】解：∵实系数一元二次方程x2+ax+1=0有虚根，∴△=a2﹣4＜0，解得﹣2＜a＜2，∴“﹣2≤a≤2”是“﹣2＜a＜2”的必要不充分条件，故选A．【点评】本题考查必要条件、充分条件和充要条件的应用，解题时要认真审题，仔细解答．16．（4分）（2009•上海）若事件E与F相互独立，且P（E）=P（F）=，则P（E∩F）的值等于（）A．0 B．C．D．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，由相互独立事件的概率计算公式，我们易得P（E∩F）=P（E）•P（F），将P（E）=P（F）=代入即可得到答案．【解答】解：P（E∩F）=P（E）•P（F）=×=．故选B．【点评】相互独立事件的概率计算公式：P（E∩F）=P（E）•P（F），P（E∪F）=P（E）+P（F）．17．（4分）（2009•上海）有专业机构认为甲型N1H1流感在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过15人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）A．甲地：总体均值为3，中位数为4B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C．丙地：中位数为2，众数为3D．丁地：总体均值为2，总体方差为3【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．【专题】压轴题．【分析】平均数和方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简单的描述，平均数描述集中趋势，方差描述波动大小．【解答】解：假设连续10天，每天新增疑似病例的人数分别为x1，x2，x3，…x10．并设有一天超过15人，不妨设第一天为16人，根据计算方差公式有s2=[（16﹣5）2+（x2﹣5）2+（x3﹣5）2+…+（x10﹣5）2]＞12，说明乙地连续10天，每天新增疑似病例的人数都不超过15人．故选：B．【点评】根据题意可知本题主要考查用数字特征估计总体，属于基础题．18．（4分）（2009•上海）过圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，△AOB被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足S|+S IV=S||+S|||则直线AB有（）A．0条B．1条C．2条D．3条【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；压轴题；数形结合．【分析】由圆的方程得到圆心坐标和半径，根据四部分图形面积满足S|+S IV=S||+S|||，得到S IV﹣S II=SⅢ﹣S I，第II，IV部分的面积是定值，所以三角形FCB减去三角形ACE的面积为定值即SⅢ﹣S I为定值，所以得到满足此条件的直线有且仅有一条，得到正确答案．【解答】解：由已知，得：S IV﹣S II=SⅢ﹣S I，由图形可知第II，IV部分的面积分别为S正方形OECF﹣S扇形ECF=1﹣和S扇形ECF=，所以，S IV﹣S II为定值，即SⅢ﹣S I为定值，当直线AB绕着圆心C移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB只有一条．故选B．【点评】此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，会求三角形、正方形及扇形的面积，是一道综合题．三、解答题（共5小题，满分78分）19．（14分）（2009•上海）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=BC=AB=2，AB⊥BC，求二面角B1﹣A1C﹣C1的大小．【考点】向量在几何中的应用；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】计算题；向量法．【分析】建立空间直角坐标系，求出2个平面的法向量的坐标，设二面角的大小为θ，显然θ为锐角，设2个法向量的夹角φ，利用2个向量的数量积可求cosφ，则由cosθ=|cosφ|求出二面角的大小θ．【解答】解：如图，建立空间直角坐标系．则A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B1（0，0，2），C1（0，2，2），设AC的中点为M，∵BM⊥AC，BM⊥CC1．∴BM⊥平面A1C1C，即=（1，1，0）是平面A1C1C的一个法向量．设平面A1B1C的一个法向量是n=（x，y，z）．=（﹣2，2，﹣2），=（﹣2，0，0），∴令z=1，解得x=0，y=1．∴n=（0，1，1），设法向量n与的夹角为φ，二面角B1﹣A1C﹣C1的大小为θ，显然θ为锐角．∵cosθ=|cosφ|==，解得：θ=．∴二面角B1﹣A1C﹣C1的大小为．【点评】本题考查利用向量求二面角的大小的方法，设二面角的大小为θ，2个平面法向量的夹角φ，则θ和φ相等或互补，这两个角的余弦值相等或相反．20．（16分）（2009•上海）有时可用函数f（x）=，描述学习某学科知识的掌握程度．其中x表示某学科知识的学习次数（x∈N*），f（x）表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关．（1）证明：当x≥7时，掌握程度的增长量f（x+1）﹣f（x）总是下降；（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121]，（121，127]，（127，133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．【考点】分段函数的应用．【专题】应用题；探究型；数学模型法．【分析】（1）x≥7时，作差求出增长量f（x+1）﹣f（x），研究其单调性知，差是一个减函数，故掌握程度的增长量总是下降、（2）学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，故得方程由此方程解出a的值即可确定相应的学科．【解答】证明：（1）当x≥7时，而当x≥7时，函数y=（x﹣3）（x﹣4）单调递增，且（x﹣3）（x﹣4）＞0故函数f（x+1）﹣f（x）单调递减当x≥7时，掌握程度的增长量f（x+1）﹣f（x）总是下降（2）由题意可知整理得解得（13分）由此可知，该学科是乙学科..（14分）【点评】本题是分段函数在实际问题中的应用，在实际问题中，分段函数是一个很重要的函数模型．21．（16分）（2009•上海）已知双曲线，设直线l过点，（1）当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；（2）证明：当k＞时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）先求出双曲线的渐近线方程，进而可得到直线l的斜率，然后根据直线l过点求出直线l的方程，再由平行线间的距离公式可求直线l的方程及l与m 的距离．（2）设过原点且平行于l的直线方程利用直线与直线的距离求得l与b的距离，当k＞时，可推断出，利用双曲线的渐近线方程可知双曲线C的右支在直线b的右下方，进而推断出双曲线C的右支上的任意点到直线l的距离大于，进而可知故在双曲线C的右支上不存在点Q（x0，y0）到到直线l的距离为．【解答】解：（1）双曲线C的渐近线，即∴直线l的方程∴直线l与m的距离．（2）设过原点且平行于l的直线b：kx﹣y=0，则直线l与b的距离d=，当时，．又双曲线C的渐近线为，∴双曲线C的右支在直线b的右下方，∴双曲线C的右支上的任意点到直线l的距离大于．故在双曲线C的右支上不存在点Q（x0，y0）到到直线l的距离为．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．22．（16分）（2009•上海）已知函数y=f（x）的反函数．定义：若对给定的实数a（a≠0），函数y=f（x+a）与y=f﹣1（x+a）互为反函数，则称y=f（x）满足“a和性质”；若函数y=f（ax）与y=f﹣1（ax）互为反函数，则称y=f（x）满足“a积性质”．（1）判断函数g（x）=x2+1（x＞0）是否满足“1和性质”，并说明理由；（2）求所有满足“2和性质”的一次函数；（3）设函数y=f（x）（x＞0）对任何a＞0，满足“a积性质”．求y=f（x）的表达式．【考点】反函数；函数解析式的求解及常用方法．【专题】压轴题；新定义．【分析】（1）先求出g﹣1（x）的解析式，换元可得g﹣1（x+1）的解析式，将此解析式与g （x+1）的作对比，看是否满足互为反函数．（2）先求出f﹣1（x）的解析式，再求出f﹣1（x+2）的解析式，再由f（x+2）的解析式，求出f﹣1（x+2）的解析式，用两种方法得到的f﹣1（x+2）的解析式应该相同，解方程求得满足条件的一次函数f（x）的解析式．（3）设点（x0，y0）在y=f（ax）图象上，则（y0，x0）在函数y=f﹣1（ax）图象上，可得ay0=f （x0）=af（ax0），，即，即满足条件．【解答】解（1）函数g（x）=x2+1（x＞0）的反函数是，∴，而g（x+1）=（x+1）2+1（x＞﹣1），其反函数为，故函数g（x）=x2+1（x＞0）不满足“1和性质”．（2）设函数f（x）=kx+b（x∈R）满足“2和性质”，k≠0．∴，∴，而f（x+2）=k（x+2）+b（x∈R），得反函数，由“2和性质”定义可知，对（x∈R）恒成立．∴k=﹣1，b∈R，即所求一次函数f（x）=﹣x+b（b∈R）．（3）设a＞0，x0＞0，且点（x0，y0）在y=f（ax）图象上，则（y0，x0）在函数y=f﹣1（ax）图象上，故，可得ay0=f（x0）=af（ax0），令ax0=x，则，∴，即．综上所述，，此时，其反函数是，而，故y=f（ax）与y=f﹣1（ax）互为反函数．【点评】本题考查反函数的求法，函数与反函数的图象间的关系，体现了换元的思想，属于中档题．23．（16分）（2009•上海）已知{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列．（1）若a n=3n+1，是否存在m、k∈N*，有a m+a m+1=a k？说明理由；（2）找出所有数列{a n}和{b n}，使对一切n∈N*，，并说明理由；（3）若a1=5，d=4，b1=q=3，试确定所有的p，使数列{a n}中存在某个连续p项的和是数列{b n}中的一项，请证明．【考点】等差数列与等比数列的综合；等差数列的性质；数列递推式．【专题】综合题；压轴题；分类讨论；转化思想．【分析】（1）由a m+a m+1=a k，得6m+5=3k+1，，由m、k∈N*，知k﹣2m为整数，所以不存在m、k∈N*，使等式成立．（2）设a n=nd+c，若，对n∈N×都成立，且{b n}为等比数列，则，对n∈N×都成立，由此入手能够导出有a n=c≠0，b n=1，使对一切n∈N×，．（3）a n=4n+1，b n=3n，n∈N*，设a m+1+a m+2++a m+p=b k=3k，p、k∈N*，m∈N．4m+2p+3+，由p、k∈N*，知p=3s，s∈N．由此入手能导出当且仅当p=3s，s∈N，命题成立．【解答】解：（1）由a m+a m+1=a k，得6m+5=3k+1，整理后，可得，∵m、k∈N*，∴k﹣2m为整数，∴不存在m、k∈N*，使等式成立．（2）设a n=nd+c，若，对n∈N×都成立，且{b n}为等比数列，则，对n∈N×都成立，即a n a n+2=qa n+12，∴（dn+c）（dn+2d+c）=q（dn+d+c）2，对n∈N×都成立，∴d2=qd2（i）若d=0，则a n=c≠0，∴b n=1，n∈N*．（ii）若d≠0，则q=1，∴b n=m（常数），即=m，则d=0，矛盾．综上所述，有a n=c≠0，b n=1，使对一切n∈N×，．（3）a n=4n+1，b n=3n，n∈N*，设a m+1+a m+2++a m+p=b k=3k，p、k∈N*，m∈N．，∴，∵p、k∈N*，∴p=3s，s∈N取k=3s+2，4m=32s+2﹣2×3s﹣3=（4﹣1）2s+2﹣2×（4﹣1）s﹣3≥0，由二项展开式可得整数M1、M2，使得（4﹣1）2s+2=4M1+1，2×（4﹣1）s=8M2+（﹣1）S2∴4m=4（M1﹣2M2）﹣（（﹣1）S+1）2，∴存在整数m满足要求．故当且仅当p=3s，s∈N，命题成立．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．。

上海市2009年高三十四校联考模拟试卷数学试题（理科）考试用时120分钟 满分150分一、填空题（本大题满分60分，共12小题，每小题满分5分）1．不等式021≥+-x x 的解集为 .2．设θθθ2,54cos ,53sin 则-==的终边所在的象限是.3．以原点为顶点，x 轴为对称轴且焦点在0342=+-y x 上的抛物线方程是 .4．二项式()15153yx -展开式中所有的理系数之和为 .5．设65432,2321z z z z z z i z ++++++=那么= .6．设l 为平面上过点（0，1）的直线，l 的斜率等可能地取ξ且,22,3,25,0,25,3,22--- 表示坐标原点到l 的距离，则随机变量ξ的数学期望E ξ=.7．若数列}{),,(}{*221n nn n a N n p p a a a 则称为正常数满足∈=+为“等方比数列”。

则“数列}{n a 是等方比数列”是“数列}{n a 是等方比数列”的条件.8．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为π34，半径为18cm 的扇形，则圆锥母线与底面所成角的余弦值为.9．已知R x f 是定义在)(上的函数，且R x f ∈=对任意的,1)1(都有下列两式成立：)6(,1)()(.1)()1(;5)()5(g x x f x g x f x f x f x f 则若-+=+≤++≥+的值为.10．如图，在杨辉三角中，斜线上方的数组成数列： 1，3，6，10，…，记这个数列的前n 项和为S n ，则nn S n 3lim ∞→=.11．符号][x 表示不超过x 的最大整数，如[2.3]=2，][}{,2]3.1[x x x +=-=-定义函数，那么下列命题中所有正确命题的序号为 .①函数}{x 的定义域是R ；②函数}{x 的值域为R ；③方程23}{=x 有唯一解；④函数}{x 是周期函数；⑤函数}{x 是增函数.12．矩阵的一种运算,⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛dy cx by ax y x d c b a 该运算的几何意义为平面上的点),(y x 在矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a 的作用下变换成点124),,(22=++++y xy x dy cx by ax 若曲线在矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11b a 的作用下变换成曲线b a y x +=-则,1222的值为 .二、选择题（本大题满分16分，共4小题，每小题满分4分）13．无穷等比数列,42,21,22,1…各项的和等于（）A ．22-B ．22+C ．12+D ．12-14．已知非零向量,21||||,0||||==⋅+AC AB AC AB 满足则△ABC 的形状是（ ）A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰（非等边）三角形D ．等边三角形15．对任意正整数n ，定义n 的双阶乘n ！！如下：当n 为偶数时， 135)4)(2(!!,;246)4)(2(!!⨯⨯--=⨯⨯--= n n n n n n n n n 为奇数时当；现有四个命题：①!2009)!!2008)(!!2009(=，②!10042!!2008⨯=，③2008！！个位数为0，④2009！！个位数为5。

08—09学年度高三三校第一次联考数学试卷（理）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案填写在答题纸相应位置上．1、已知集合{},ln(1)M x y N x y x ⎧====+⎨⎩，则M N ⋂=.2、等比数列}{n a 中，若93-=a ，17-=a ，则5a 的值为.3、已知向量a 和b 的夹角为0120，||1,||3a b ==，则|5|a b -=.4、若函数()f x =3sin 7ax b x ++，且(5)3f =，则(5)f -=______.5、幂函数()x f y =的图象经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛--81,2，则满足()27=x f 的x 的值为．6、对于滿足40≤≤a 的实数a ，使342-+>+a x ax x 恒成立的x 取值X 围__.7、若()π,0∈A ，且137cos sin =+A A ，则=-+AA A A cos 7sin 15cos 4sin 5______. 8、若命题“R x ∈∃，使得01)1(2<+-+x a x ”是真命题，则实数a 的取值X 围是.9、已知0,0x y >>，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值X 围是．10、△ABC 中，2C π∠=，1,2AC BC ==，则()|2(1)|f CA CB λλλ=⋅+-⋅的最小值是．11、扇形OAB 半径为2，圆心角∠AOB ＝60°，点D 是弧AB 的中点，点C 在线段OA 上，且3=OC ．则OB CD ⋅的值为． 12、已知函数x x f 2sin )(=，)62cos()(π+=x x g ，直线x ＝t （t ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π）与函数f (x )、g (x )的图像分别交于M 、N 两点，则|MN|的最大值是．13、若数列{}n a 满足⎩⎨⎧>-≤≤=+1110 21n n n n n a a a a a ，且761=a ，则=2008a ． 14、对于任意实数x ，符号[x ]表示x 的整数部分，即“[x ]是不超过x 的最大整数” ．在实数轴R （箭头向右）上[x ]是在点x 左侧的第一个整数点，当x 是整数时[x ]就是x ．这个函数[x ]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么]1024[log ]4[log ]3[log ]2[log ]1[log 22222+++++ =__________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15、（本小题满分14分） 在△ABC 中,135cos -=B ，54cos =C . （1）求A sin 的值； （2）设△ABC 的面积233=∆ABC S ，求BC 的长.16、（本小题满分14分） 已知函数0()(2≠+=x xax x f ，常数)a ∈R ．（1）讨论函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）若函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数，求a 的取值X 围．17、（本小题满分14分）为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱（如图），污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60平方米，问当a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A 、B 孔的面积忽略不计）？18、（本小题满分16分）在直三棱柱111ABC A B C -中，13AB AC AA a ===，2BC a =，D 是BC 的中点，F 是1C C 上一点，且2CF a =．（1）求证：1B F ⊥ 平面ADF ； （2）求三棱锥1D AB F -的体积；（3）试在1AA 上找一点E ，使得//BE 平面ADF ．ABCD 1A1B1CF19、（本小题满分16分）定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意D x ∈，存在常数0M >，都有|()|f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界. 已知函数()11124x xf x a ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）当1a =时，求函数()f x 在(),0-∞上的值域，并判断函数()f x 在(),0-∞上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数()f x 在[)0,+∞上是以3为上界的有界函数，某某数a 的取值X 围．20、（本小题满分16分）数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意*N n ∈，总有2,,n n n a S a 成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且2ln nn n a x b =，求证：对任意实数(]e x ,1∈（e是常数，e ＝2．71828⋅⋅⋅）和任意正整数n ，总有n T <2；（3） 正数数列{}n c 中，())(,*11N n c a n n n ∈=++．求数列{}n c 中的最大项．08—09学年度高三年级三校第一次联考数 学 试 卷 答 案 卷（理）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案填写在答题纸相应位置上．1、 2、 3、 4、5、 6、 7、 8、9、 10、 11、 12、13、 14、二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15、（本小题满分14分）级_______ 某某：____________考试号 ：□□□□□□□□□□□16、（本小题满分14分）17、（本小题满分14分）18、（本小题满分16分）19、（本小题满分16分）A BCD 1A1B1CF20、（本小题满分16分）参考答案1、)1,1(-2、-33、74、115、316、),3()1,(+∞⋃--∞∈x7、4388、3>a 或1-<a 9、24<<-m 10、211、3 12、313、7514、8204 15、解：由135cos -=B ，得1312sin =B ，由54cos =C ，得53sin =C所以6533sin cos cos sin )sin(sin =+=+=C B C B C B A ---------7分由233=∆ABC S 得233sin 21=⨯⨯⨯A AC AB ,由（1）得6533sin =A ，故65=⨯AC AB又AB C B AB AC 1320sin sin =⨯=,故213,6513202==AB AB所以211sin sin =⨯=C A AB BC --------------14分16、（1）当0=a 时，2)(x x f =， 对任意(0)(0)x ∈-∞+∞，，，)()()(22x f x x x f ==-=-， )(x f ∴为偶函数．---3分当0≠a 时，2()(00)af x x a x x=+≠≠，， 取1±=x ，得 (1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，，(1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，，∴函数)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．----7分（2）解法一：设122x x <≤，22212121)()(x a x x a x x f x f --+=-[]a x x x x x x x x -+-=)()(21212121， 要使函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数，必须0)()(21<-x f x f 恒成立．121204x x x x -<>，，即)(2121x x x x a +<恒成立．又421>+x x ，16)(2121>+∴x x x x ． a ∴的取值X 围是(16]-∞，．---14分解法二： 02)(2≥-='xax x f 在[)+∞,2上恒成立 32x a ≤在[)+∞,2上恒成立 32x y = 在[)+∞,2上为增函数16≤∴a ---14分17、解法：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则abky =，其中0>k 为比例系数，依题意，即所求的a,b 值使y 值最小。

2010-2011学年上海市某校高三（上）开学数学试卷（文理合卷）一、填空题1. 设全集U={1, 2, 3, 4, 5}，集合M={1, 4}，N={1, 3, 5}，则N∩(∁U M)=________．2. 设复数z满足z(2−3i)＝6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为________．3. 已知一个关于x，y的二元线性方程组的增广矩阵是[1−12214]，则x+y=________．4. 不等式|x|≥2x−1的解集为________．5. 函数f(x)=sin2x(cos2x+sin2x)的最小正周期是________．6. 已知x>0，y>0，lg2x+lg8y=lg2，则1x +13y的最小值是________．7. 已知圆C的圆心是直线x−y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切．则圆C的方程为________．8. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一条渐近线方程是y=√3x，它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同．则双曲线的方程为________．9. 为了解高三学生的数学学习情况，现抽取某班60名学生的数学成绩进行分析，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图（如图）．已知从左到右各长方形高的比为2:3:5:6:3:1，则该班学生数学成绩在(80, 100)之间的学生人数是________10. 函数y=e x+e−xe x−e−x的图象大致为________11. 已知数列{a n}满足a n={5,n=1a1+a2+⋯a n−1，n≥2，求a n=________．12. 在如图所示的算法流程图中，输出S的值为________．13. （文科）旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条．则3个旅游团选择3条不同的线路的概率________．14. （理科）旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条．现设选择甲线路旅游的旅游团的个数为ξ，则数学期望Eξ=________．15. 图中的三个直角三角形是一个体积为20cm 3的几何体的三视图，则ℎ=________cm ．16. 圆柱形容器内部盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是_________cm ．二、选择题17. 设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )A 若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥αB 若l ⊥α，l // m ，则m ⊥αC 若l // α，m ⊂α，则l // mD 若l // α，m // α，则l // m18. (x +1)4的展开式中x 2的系数为（ ）A 4B 6C 10D 2019. 定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a →=(m,n),b →=(p,q)，令a →⊙b →=mq −np ，下面说法错误的是（ ）A 若a →与b →共线，则a →⊙b →=0B a →⊙b →=b →⊙a →C 对任意的λ∈R ，有(λa →)⊙b →=λ(a →⊙b →) D (a →⊙b →)2+(a →⋅b →)2＝|a →|2|b →|220. 已知定义在R 上的奇函数f(x)，满足f(x −4)=−f(x)，且在区间[0, 2]上是增函数，则( )A f(−25)<f(11)<f(80)B f(80)<f(11)<f(−25)C f(11)<f(80)<f(−25)D f(−25)<f(80)<f(11)三、解答题 21. 如图，已知长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，AB =2，AA 1=1，直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为30∘，AE 垂直BD 于E ，F 为A 1B 1的中点．（1）求异面直线AE 与BF 所成的角；（2）求平面BDF 与平面AA 1B 所成二面角（锐角）的大小（3）求点A 到平面BDF 的距离．22. 已知函数f(x)=2√3sinxcosx +2cos 2x −1（1）求函数f(x)的最小正周期及在区间[0, π2]上的最大值和最小值； （2）若f(α)=65，α∈[π4,π2]，求cos2α的值． 23. 在直角坐标平面内，已知点A(2, 0)，B(−2, 0)，P 是平面内一动点，直线PA 、PB 斜率之积为−34． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点(12, 0)作直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，线段EF 的中点为M ，求直线MA 的斜率k 的取值范围．24. 已知函数f(x)=x 2+a x (x ≠0, a ∈R) (I)判断f(x)的奇偶性（直接写出你的结论）(II)若f(x)在[2, +∞)是增函数，求实数a 的范围．25. 已知数列{a n }满足条件；a 1=1，a 2=r(r >0)且{a n a n+1}是公比为q(q >0)的等比数列．（1）求出使不等式a n a n+1+a n+1a n+2>a n+2a n+3(n ∈N)成立的q 的取值范围；（2）设b n =a 2n−1+a 2nn (n ∈N)，求b n 的表达式；（3）设{S n }是数列{b n }的前n 项和，求S n 和 lim n →∞1S n； （4）设r =219.2−1，q =12，求数列{log 2b n+1log 2b n }的最大值与最小值．2010-2011学年上海市某校高三（上）开学数学试卷（文理合卷）答案1. {3, 5}2. 23. 24. {x|x<1或x≥2}5. π26. 47. (x+1)2+y2=28. x24−y212=19. 3310. A11. {5n=15⋅2n−2n≥212. 5213. 3814. 3415. 416. 417. B18. B19. B20. D21. 解：法一：在长方体ABCD−A1B1C1D1中，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系如图．由已知AB=2，AA1=1，可得A(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，F(1, 0, 1)．又AD⊥平面AA1B1B，从而BD与平面AA1B1B所成的角即为∠DBA=30∘，又AB=2,AE⊥BD,AE=1,AD=2√33，从而易得E(12，√32，0)，D(0,2√33,0)．（1）∵ AE→=(12,√32,0)，BF→=(−1,0,1)，∴ cos <AE →，BF →>=AE →.BF →|AE →||BF →|=−12√2=−√24． 即异面直线AE 、B 所成的角为arccos √24．] （2）易知平面AA 1B 的一个法向量m →=(0,1,0)．设n →=(x,y,z)是平面BDF 的一个法向量，BD →=(−2,2√33,0)． 由{n →⊥BF →n →⊥BD →⇒{n →.BF →=0n →.BD →=0⇒{−x +z =02x −2√33y =0⇒{x =z √3x =y ， 取n →=(1,√3,1)，∴ cos <m →，n →>=m →.n →|m →||n →|=√31×√5=√155． 即平面BDF 与平面AA 1B 所成二面角（锐角）大小为arccos√155． （3）点A 到平面BDF 的距离，即AB →在平面BDF 的法向量n →上的投影的绝对值，所以距离d =||AB →|．cos <AB →，n →>| ||AB →|.AB →.n →|AB →||n →|=|AB →.n →||n →|=2√5=2√55. 所以点A 到平面BDF 的距离为2√55． 解法二：（1）连接B 1D 1，过F 作B 1D 1的垂线，垂足为K ，∵ BB 1与两底面ABCD ，A 1B 1C 1D 1都垂直，∴ FK ⊥BB 1FK ⊥B 1D 1B 1D 1∩BB 1=B 1}⇒FK ⊥平面BDD 1B 1，又 AE ⊥BB 1AE ⊥BD BB 1∩BD =B}⇒AE ⊥平面BDD 1B 1，因此FK // AE ．∴ ∠BFK 为异面直线BF 与AE 所成的角．连接BK ，由FK ⊥面BDD 1B 1得FK ⊥BK ，从而△BKF 为Rt △．在Rt △B 1KF 和Rt △B 1D 1A 1中，由FK B 1F =A 1D1B 1D 1 得FK =A 1D 1．B 1FB 1D 1=AD.12AB BD =23√3×1√22+(23√3)2=12．又BF=√2，∴ cos∠BFK=FKBF =√24．∴ 异面直线BF与AE所成的角为arccos√24．（2）由于DA⊥面AA2B，由A作BF的垂线AG，垂足为G，连接DG，由三垂线定理知BG⊥DG．∴ ∠AGD即为平面BDF与平面AA1B所成二面角的平面角，且∠DAG=90∘，在平面AA1B中，延长BF与AA1交于点S，∵ F为A2B1的中点，A1F // =12AB，即SA=2A1A=2=AB，∴ Rt△BAS为等腰直角三角形，垂足G点为斜边SB的中点F，即F、G重合．易得AG=AF=12SB=√2．在Rt△BAS中，AD=23√3．∴ tan∠AGD=ADAG=23√3√2=√63.∴ ∠AGD=arctan√63.即平面BDF与平面AA1B所成二面角（锐角）的大小为arctan√63．（3）由（2）知平面AFD是平面BDF与平面AA1B所成二面确的平面角所在的平面∴ 面AFD⊥面BDF．在Rt△ADF，由A作AH⊥DF于H，则AH即为点A到平面BDF的距离．由AH．DF=AD．AF，得AH=AD．AFDF =23√3×√2√(23√3)2+(√2)2=25√5．所以点A到平面BDF的距离为25√5．22. 解：（1）由题意，f(x)=2√3sinxcosx+2cos2x−1=2sin(2x+π6)所以函数f(x)的最小正周期为π因为f(x)=2sin(2x+π6)在区间[0,π6]上为增函数，在区间[π6，π2]上为减函数，又f(0)=1．f(π6)=2，f(π2)=−1，所以函数f(x)的最大值为2，最小值为−1（2）由（1）可知f(α)=2sin(2α+π6) 又∵ f(α)=65，∴ 2sin(2α+π6)=65 ∵ α∈[π4，π2]，∴ 2α+π6∈[2π3,7π6]∴ cos(2α+π6)=−45 所以cos2α=cos[(2α+π6)−π6]=−4√3+31023. 解：（1）设P 点的坐标为(x, y)，依题意，有y x−2⋅y x+2=−34(x ≠±2)． 化简并整理，得x 24+y 23=1(x ≠±2)．∴ 动点P 的轨迹C 的方程是x 24+y 23=1(x ≠±2)．（2）依题意，直线l 过点(12，0)且斜率不为零，故可设其方程为 x =my +12， 由方程组{x =my +12x 24+y 23=1消去x ，并整理得 4(3m 2+4)y 2+12my −45=0设E(x 1, y 1)，F(x 2, y 2)，M(x 0, y 0)，则∴ y 1+y 2=−3m 3m 2+4，∴ y 0=y 1+y 22=−3m 2(3m 2+4)∴ x 0=my 0+12=23m 2+4，∴ k =y 0x 0−2=m 4m 2+4， ①当m =0时，k =0； ②当m ≠0时，k =14m+4m ∵ |4m +4m |=4|m|+4|m|≥8，∴ 0<1|4m+4m |≤18． ∴ 0<|k|≤18．∴ −18≤k ≤18且k ≠0．综合①②可知直线MA的斜率k的取值范围是：−−18≤k≤18．24. 解：(1)当a=0时，f(x)为偶函数；当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数．(2)f′(x)=2x−a x2依题意，f′(x)=2x−ax2=2x3−ax2≥0在[2, +∞]上恒成立，即a≤2x3在[2, +∞]上恒成立．只需a≤(2x3)min而x=2时，(2x3)min=16，故a≤16．25. 解：（1）∵ 数列{a n}满足条件：a1=1，a2=r，且数列{a n a n+1}是公比为q的等比数列，∴ q≠0，r≠0，且a n a n+1=a1a1q n−1=rq n−1，∵ a n a n+1+a n+1a n+2>a n+2a n+3，∴ rq n−1+rq n>rq n+1+q>q2即：q2−q−1<0，∴ 12(1−√5)<q<12(1+√5)，∵ q>0，∴ 0<q<1+√52．（2）∵ 数列{a n a n+1}是公比为q的等比数列，∴ a n+1a n+2a n a n+1=a n+2a n=q，∵ a1=1，∴ 当n=2k−1时，a n=q k−1∵ a2=r，∴ 当n=2k时，a n=rq k−1．∵ b n=a2n−1+a2n(n∈N)，∴ b n=q n−1+rq n−1=(1+r)q n−1．（3）当q=1时，S n=n(1+r)，lim n→∞1S n=limn→∞1n(1+r)=0；当0q>1时，S n=(1+r)(1−q n)1−qlim n→∞1S n=limn→∞1−q(1+r)(1−q n)=0．∴ limn→∞1S n={1−q1+r，0<q<10,q≥1．（4）∵ b n=(1+r)q n−1，∴ log2b n+1log2b n =log2(1+r)+nlog2qlog2(1+r)+(n−1)log2q=1+1n−20.2，记C n=log2b n+1log2b n，当n−20.2>0，即n>21，n∈N+时，C n随n的增大而减小，∴ 1<C n≤C21=1+121−20.2=94．当n−20.2<0，即n≤20，n∈N+时，C n随n的增大而减小，∴ 1>C n≥C20=1+120−20.2=−4．综上所述，对任意的自然数n，有C20≤C n≤C21，∴ 数列{log2b n+1log2b n }中，n=21时，取最大值94，n=20时，取最小值−4．。