优秀教案28-直线与方程-复习课

复习课: 第三章 直线与方程 教学目标 重点：掌握直线方程的五种形式，两条直线的位置关系． 难点：点关于直线的对称、直线关于点的对称、直线关于直线的对称这类问题的解决． 能力点：培养学生通过对直线位置关系的分析研究进一步提高数形结合以及分析问题、解决问题的能力． 教育点：培养学生转化思想、数形结合思想和分类讨论思想的运用． 自主探究点：1．由直线方程的各种形式去判断两直线的位置关系； 2．能根据直线之间的位置关系准确的求出直线方程； 3．能够深入研究对称问题的实质，利用对称性解决相关问题． 考试点:两直线的位置关系判断在高考中经常出现，直线与圆锥曲线结合是高考的常见题目． 易错点：判断两条直线的平行与垂直忽略斜率问题导致出错． 易混点：用一般式判断两直线的位置关系时平行与垂直的条件． 拓展点:中点问题、对称问题、距离问题中涵盖的直线位置关系的分析研究． 学法与教具 1．学法：讲练结合，自主探究 2．教具：多媒体课件，三角板 一、【知识结构】

直线的方程 直线的倾斜角与斜率 直线的倾斜角 定义 范围 直线的斜率 定义 公式

直线方程的五种形式 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 二、【知识梳理】 1．直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角 ①定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴________与直线l________方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________．

②倾斜角的范围为______________． （2）直线的斜率 ①定义：一条直线的倾斜角的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即

k________，倾斜角是90的直线斜率不存在．

②过两点的直线的斜率公式： 经过两点111(,)Pxy，222(,)Pxy12()xx的直线的斜率公式为k______________________．当

12xx时，直线的斜率__________．

（3）直线的倾斜角与斜率k的关系 当为锐角时，越大k越____；当为钝角时，越大k越____；

2．直线方程的五种基本形式 名称 几何条件 方程 局限性

点斜式 过点00,xy，斜率为k 不含__________的直线

两条直线的位置关系 平行与垂直的判定 两直线相交 直线对称问题 点关于直线对称 直线关于直线对称 平行的判定方法 垂直的判定方法 直线关于点对称 三种距离计算 点与点的距离 点与线的距离 平行线的距离

求交点坐标 斜截式 斜率为k，纵截距为b 不含__________的直线 两点式 过两点11,xy和22,xy（12,xx12yy） 不含__________的直线 截距式 横截距为a，纵截距为b0ab 不含________和_______的直线 一般式 ,,ABC220AB 平面直角坐标系内的直线都适用 答案：1．（1） ①正向，向上，0 ；②0180； （2） ①正切值，tan；②2121yyxx．不存在．（3）大，大． 2．00()yykxx，ykxb，112121yyxxyyxx，1xyab，220(0)AxByCAB． 垂直于x轴；垂直于x轴；垂直于坐标轴；垂直于坐标轴、过原点． 3．两条直线平行与垂直的判定

（1）两条直线平行 对于两条不重合的直线1l、2l，其斜率分别为1k、2k，则有12//ll____________．特别地，当直线

的斜率1l、2l都不存在时，1l与2l________． （2）两条直线垂直 如果两条直线斜率1l、2l存在，设为1k、2k，则12ll____________，当一条直线斜率为零，另

一条直线斜率不存在时，两直线________． 4．两直线相交 交点：直线1l：1110AxByC和2l：2220AxByC的公共点的坐标与方程组

111222

00AxByCAxByC



的解一一对应．

相交方程组有__________，交点坐标就是方程组的解； 平行方程组________； 重合方程组有______________． 5．三种距离公式 （1）点11,Axy、22,Bxy间的距离： AB ．

（2）点00,Pxy到直线l：0AxByC的距离： d ．

（3）两平行直线1l：1110AxByC与2l：2220AxByC （12CC）间的距离为d______________．

6．直线中的对称问题有哪些？（学生讨论）如何求一个点关于直线的对称点？如何求直线关于点的对称直线以及直线关于点的对称直线呢？ 三、【范例导航】 例1 已知直线:20lmxym与以2,3A、3,0B为端点的线段相交，求直线l的斜率k的取值范围． 【分析】可用两点式写出直线AB的方程，联立直线l和AB

的方程，解出交点的坐标M，利用23Mx，解出m的取值范围，由m与斜率k的关系，即得斜率k的取值范围．这样求解，显然非常繁琐，不宜采用．既然直线l的方程中含有参数m，可以得到直线l必过一定点P，将直线l绕定点P转动，寻找与线段AB相交的位置．由“直线l与线段AB相交”展开联想．

（1）结合图形，运用运动变化的观点，考虑直线斜率与倾斜角的变化关系，可求出符合条件的直线斜率的取值范围． （2）直线l与线段AB相交于点M，则点A、B分别在直线l的两侧或其中一点在直线l上，可考虑利用不等式表示的平面区域求解．

【解答】直线l的方程可以化为210ymx，它表示经过直线20y和10x的交

点的直线方程，由20,10,yx解得1,2,xy所以直线l必过定点(1,2)P． 法一：设PA与PB的倾斜角分别为，．5PAk，12PBk．如图，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，其倾斜角由增至090，斜率k的变化范围是5,．当直线l由PC变化到PB的

位置时，其倾斜角由090增至，斜率k的变化范围是1,2． 故斜率k的取值范围是

1

,5,2



U．

法二：设直线l的方程为21ykx，即20kxyk． ∵点A、B分别在直线l的两侧或其中一点在直线l上，∴2323020kkkk，

解得5k或12k．故斜率k的取值范围是

1

,5,2



U．

【点评】（1）求直线过定点的步骤是：①将直线方程整理为,,0fxymgxy（其中m为参数）；②解方程组,0,,0,fxygxy即得定点坐标． （2）本题确定直线斜率k的取值范围用了以下两种方法： ①数形结合法：根据直线的变化规律，借助直线的倾斜角与斜率k的关系：“当为锐角时，越

大k越大0k；当为钝角时，越大k越大0k”去探究k的变化规律．

yxCA(﹣2,﹣3)P(﹣3,0)B(3,0)O②利用不等式表示的平面区域：当11,Axy、22,Bxy在直线0AxByC的异侧时，则11220AxByCAxByC

；当11,Axy、22,Bxy在直线0AxByC的同侧时，则

11220AxByCAxByC

．

变式训练：在上述条件中，若P点坐标为3,2，则直线l的斜率的取值范围有何变化？ 解 当P点坐标为3,2时，5PAk，13PBk．直线l由PA转动到PB的过程中，直线l的斜

率始终是存在的，故斜率k的取值范围是15,3． 例2 求适合下列条件的直线方程： （1） 过点(1,3)A，斜率是直线3yx的斜率的14； （2） 经过点(3,2)P，且在两坐标轴上的截距相等； （3） 过点(1,1)A与已知直线1:260lxy相交于B点且5AB． 【分析】在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．

【解答】（1） 设所求直线的斜率为k，依题意13344k．又直线经过点(1,3)A，

由点斜式,得直线方程为33(1)4yx，即34150xy． （2）法一：设直线l在x，y轴上的截距均为a． ①若0a，则l过点(0,0)和(3,2)，由点斜式，得l的方程为23yx，即230xy． ②若0a，则设l的方程为1xyaa，∵l过点(3,2)，∴321aa，解得5a， ∴l的方程为50xy． 综上可知，直线l的方程为230xy或50xy． 法二：由题意，所求直线的斜率必定存在．设所求直线方程为32ykx，它在x轴、y轴上的截距分别为32k、32k，于是3232kk，解得32k或1k，所以直线方程为3322yx或32yx，即230xy或50xy．

（3）法一：过点(1,1)A与y轴平行的直线为1x．解方程组1260xxy，求得B点坐标为(1,4)，此时5AB，即1x为所求．