高三数学大一轮复习讲义【配套Word版文档】4.4
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§4.4 函数y＝(ωx＋φ)的图象及应用
2019高考会这样考 1.考查函数y＝(ωx＋φ)的图象变换；2.结合三角恒等变换考查y＝(ωx＋φ)的性质和应用；3.考查给出图象的解析式．
复习备考要这样做 1.掌握“五点法”作图，抓住函数y＝(ωx＋φ)的图象的特征；2.理解三种图象变换，从整体思想和数形结合思想确定函数y＝(ωx＋φ)的性质．
1． 用五点法画y＝(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点．
如下表所示.
x
ωx＋φ 0 π 2π
y＝
(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
2. 函数y＝ x的图象经变换得到y＝(ωx＋φ)的图象的步骤如下：
3． 图象的对称性
函数y＝(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：
(1)函数y＝(ωx＋φ)的图象关于直线x＝(其中ω＋φ＝kπ＋，k∈Z)成轴对称图形．
(2)函数y＝(ωx＋φ)的图象关于点(,0)(其中ω＋φ＝kπ，k∈Z)成中心对称图形．
[难点正本 疑点清源]
1． 作图时应注意的两点
(1)作函数的图象时，首先要确定函数的定义域．
(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．
2． 图象变换的两种方法的区别
由y＝ x的图象，利用图象变换作函数y＝(ωx＋φ)(A>0，ω>0) (x∈R)的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位，而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是个单位．
1． 已知简谐运动f(x)＝2 (|φ|<)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为．
答案 6，
解析 由题意知1＝2 φ，得 φ＝，又|φ|<， 得φ＝；而此函数的最小正周期为T＝2π÷＝6.
2． (2019·浙江)把函数y＝ 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是 ( )
答案 A
解析 y＝ 2x＋1
y＝ x＋1
y＝(x＋1)＋1y＝(x＋1)．
结合选项可知应选A.
3． (2019·大纲全国)设函数f(x)＝ ωx (ω>0)，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于 ( )
B．3 C．6 D．9
答案 C
解析 由题意可知，＝ (n∈N*)，
∴n·＝ (n∈N*)，
∴ω＝6n (n∈N*)，∴当n＝1时，ω取得最小值6.
4． 把函数y＝的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得的函数
解析式为( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
答案 D
解析 将原函数的图象向右平移个单位，得到函数y＝＝的图象；再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的，得到函数y＝的图象．
5. 已知简谐运动f(x)＝(ωx＋φ) (|φ|<)的部分图象如图所示，则该简谐
运动的最小正周期T和初相φ分别为 ( )
A．T＝6π，φ＝ B．T＝6π，φ＝
C．T＝6，φ＝ D．T＝6，φ＝
答案 C
解析 由图象易知A＝2，T＝6，∴ω＝，
又图象过(1,2)点，∴＝1， ∴φ＋＝2kπ＋，k∈Z，又|φ|<，∴φ＝.
题型一 函数y＝(ωx＋φ)的图象及变换
例1 已知函数y＝2，
(1)求它的振幅、周期、初相；
(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；
(3)说明y＝2的图象可由y＝ x的图象经过怎样的变换而得到．
思维启迪：(1)由振幅、周期、初相的定义即可解决．
(2)五点法作图，关键是找出与x相对应的五个点．
(3)只要看清由谁变换得到谁即可．
解 (1)y＝2的振幅A＝2，周期T＝＝π，
初相φ＝.
(2)令X＝2x＋，则y＝2＝2 X.
列表，并描点画出图象：
x －
X 0 π 2π
y＝ X 0 1 0 －1 0
y＝2 0 2 0 －2 0
(3)方法一 把y＝ x的图象上所有的点向左平移个单位，得到y＝的图象，再把y＝的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝的图象，最后把y＝上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2的图象．
方法二 将y＝ x的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y＝ 2x的图象；再将y＝ 2x的图象向左平移个单位，得到y＝ 2＝的图象；再将y＝的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y＝2的图象．
探究提高 (1)作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两端伸展一下，以示整个定义域上的图象；(2)变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝ω来确定平移单位．
已知函数f(x)＝3，x∈R.
(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y＝ x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？
解 (1)列表取值：
x π π π π
x－ 0 π π 2π
f(x) 0 3 0 －3 0
描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．
(2)先把y＝ x的图象向右平移个单位，然后把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图象．
题型二 求函数y＝(ωx＋φ)的解析式
例2 (1)(2019·江苏) 已知f(x)＝(ωx＋φ) (A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是．
(2)(2019·辽宁)已知函数f(x)＝(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，y＝f(x)的部分图象如图所示，则f()等于 ( )
A．2＋
D．2－
思维启迪：(1)由平衡点和相邻最低点间的相对位置确定周期；根据待定系数法求φ.
(2)将“ωx＋φ”看作一个整体放在一个单调区间内求解．
答案 (1) (2)B
解析 (1)由题图知A＝，＝－＝，
∴T＝π，ω＝＝2.
∴2×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，∴φ＝2kπ＋(k∈Z)．
令k＝0，得φ＝.
∴函数解析式为f(x)＝，
∴f(0)＝ ＝.
(2)由图形知，T＝＝2(π－)＝，∴ω＝2.
由2×π＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝kπ－π，k∈Z.
又∵|φ|＜，∴φ＝.由(2×0＋)＝1，
知A＝1，∴f(x)＝(2x＋)， ∴f()＝(2×＋)＝＝.
探究提高 根据y＝(ωx＋φ)＋k的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：
①A的确定：根据图象的最高点和最低点，即A＝；
②k的确定：根据图象的最高点和最低点，即k＝；
③ω的确定：结合图象，先求出周期T，然后由T＝ (ω>0)来确定ω；
④φ的确定：由函数y＝(ωx＋φ)＋k最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－(即令ωx＋φ＝0，x＝－)确定φ.
已知函数f(x)＝(ωx＋φ) (A>0，|φ|<，ω>0)的图象
的一部分如图所示，则该函数的解析式为．
答案 f(x)＝2
解析 观察图象可知：A＝2且点(0,1)在图象上，
∴1＝2(ω·0＋φ)，即 φ＝.∵|φ|<，∴φ＝.又∵π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x轴形成的零点，∴ω＋＝2π，∴ω＝2.∴f(x)＝2.
题型三 三角函数模型的应用
例3 如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8米，圆上最低点与地
面的距离为0.8米，且每60秒转动一圈，图中与地面垂直，以
为始边，逆时针转动θ角到，设B点与地面间的距离为h.
(1)求h与θ间的函数关系式；
(2)设从开始转动，经过t秒到达，求h与t之间的函数关系式，并求该缆车首次到达最高点时所用的时间．
解 (1)过点O作地面的平行线，过点B作的垂线交于
点M(如图)，
当θ>时，∠＝θ－，
h＝＋＋0.8
＝5.6＋4.8.
当0≤θ≤时，上式也成立．
∴h与θ间的函数关系式为h＝5.6＋4.8.
(2)点A在圆上转动的角速度是弧度/秒，
∴t秒转过的弧度数为t， ∴h＝5.6＋4.8，t∈[0，＋∞)．
首次到达最高点时，h＝10.4米，
即＝1，t－＝，
即t＝30秒时，该缆车首次到达最高点．
探究提高 本题属三角函数模型的应用，通常的解决方法：转化为y＝ x，y＝ x等函数解决图象、最值、单调性等问题，体现了化归的思想方法；用三角函数模型解决实际问题主要有两种：一种是用已知的模型去分析解决实际问题，另一种是需要建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题，尤其是利用数据建立拟合函数解决实际问题，充分体现了新课标中“数学建模”的本质．
如图所示，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近
似满足函数y＝(ωx＋φ)＋b，φ∈(0，π)．
(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
解 (1)最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．
(2)观察图象，可知从8～14时的图象是y＝(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象．
∴A＝×(50－30)＝10，b＝×(50＋30)＝40.
∴＝14－8＝·，∴ω＝，
∴y＝10＋40.
将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝，
∴所求解析式为y＝10＋40，x∈[8,14]．
利用三角函数的性质求解析式
典例：(12分)如图为y＝(ωx＋φ)的图象的一段．
(1)求其解析式；
(2)若将y＝(ωx＋φ)的图象向左平移个单位长度后得y＝f(x)，求f(x)的对称轴方程．
审题视角 (1)图象是y＝(ωx＋φ)的图象．(2)根据“五点法”作图的原则，M可以看作第一个零点；可以看作第二个零点．
规范解答
解 (1)由图象知A＝，
