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教师版三角函数专题复习

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三角函数专题

一、公式

tantantantantantantantan22112

coscossincossinsinsincos22112222222  SSCC

sincossinsincossinsinsincoscoscoscossinsincoscos12121212

令 AB

sinsinsincossinsincossincoscoscoscoscoscossinsinABABABABABABABABABABABAB222222222222 相除 相除

移项2

相加减

12212222coscoscossin

变形

sincoscoscos212212

相除

tancoscossincoscossin21111

1.诱导公式：奇变偶不变（所谓的奇偶性是指k的奇偶性），符号看象限（看的是最初的那个角的象限，然后确定原始角的符号）2k

2.方法技巧——三角函数恒等变形的基本策略

（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。

（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β，β=2－2等。

（3）降次与升次。（4）化弦（切）法。

（4）引入辅助角。asinθ+bcosθ=22basin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=ab确定。

二、正弦定理和余弦定理

定理 正弦定理 余弦定理

内容

2sinsinsinabcRABC 2222222222cos,2cos,2cos.abcbcAbcaacBcababC

变形形式 ①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;

②sinA=2aR,sinB=2bR,sinC=2cR;

③a:b:c=sinA: sinB: sinC;

④sinsinsinsinabcaABCA 222222222cos;2cos;2cos.2bcaAbcacbBcaabcCab

解决的问题 ① 已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；

② 已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角。 (1)已知三边，求各角；

(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。

※注：1.在ΔABC中，sinA>sinB是A>B的充要条件。（∵sinA>sinB22abRRa>bA>B）

2．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：

A为锐角 A为直角或钝角

图形

关系式 A=bsinA bsinA

解的个数 一解 两解 一解 一解

三、ΔABC的面积公式

（1）1()2aaSahha表示边上的高；

（2）111sinsinsin()2224abcSabCacBbcARR为外接圆半径；

（3）1()()2Srabcr为内切圆半径

四、三角形中某些性质 1、三角形内切圆的半径：2Srabc，特别地，2abcr斜直

2、△ABC射影定理：AcCabcoscos，„

3、（1）在ABC中，ABC；sin()ABsinC；cos()ABcosC

cos2ABsin2C； 2cos2sinCBA

（2）边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a > b；

（3）大边对大角：BAba

五、三角形形状判别

形状 锐角△ 钝角△ 直角△ 等腰△ 等腰Rt△ 等边△

（1）角判别：0cos0cos0cosCBA 0cosA 90A CBA 45BA CBA

（2）边判别： 少用 少用 222cba cba

2012年高考真题理科数学解析汇编：三角函数

一、选择题

1 ．（2012年高考（天津理））在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是,,abc,已知8=5bc,=2CB,则cosC （ ）

A．725 B．725 C．725 D．2425

1. 【答案】A

【命题意图】本试题主要考查了正弦定理、三角函数中的二倍角公式. 考查学生分析、转化与计算等能力.

【解析】∵8=5bc,由正弦定理得8sin=5sinBC,又∵=2CB,∴8sin=5sin2BB,所以8siBBB,易知siB,∴4cos=5B,2cos=cos2=2cos1CBB=725.

2 ．（2012年高考（天津理））设R,则“=0”是“()=cos(+)fxx()xR为偶函数”的 （ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【命题意图】本试题主要考查了三角函数的奇偶性的判定以及充分条件与必要条件的判定.

【解析】∵=0()=cos(+)fxx()xR为偶函数,反之不成立,∴“=0”是“()=cos(+)fxx()xR为偶函数”的充分而不必要条件. 3 ．（2012年高考（新课标理））已知0,函数()sin()4fxx在(,)2上单调递减.则的取值范围是 （ ）

A．15[,]24 B．13[,]24 C．1(0,]2 D．(0,2]

【解析】选A

592()[,]444x 不合题意 排除()D

351()[,]444x 合题意 排除()()BC

另:()22,3()[,][,]424422x

得:315,2424224

4 ．（2012年高考（浙江理））把函数y=cos2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图像是

【答案】A

【解析】把函数y=cos2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得:y1=cosx+1,向左平移1个单位长度得:y2=cos(x+1)+1,再向下平移1个单位长度得:y3=cos(x+1).令x=0,得:y3>0;x=12,得:y3=0;观察即得答案.

5 ．（2012年高考（重庆理））设tan,tan是方程2320xx的两个根,则tan()的值为 （ ）

A．3 B．1 C．1 D．3

【答案】A

【解析】tantant1t

【考点定位】此题考查学生灵活运用韦达定理及两角和的正切公式化简求值. 6 ．（2012年高考（上海理））在ABC中,若CBA222sinsinsin,则ABC的形状是 （ ）

A．锐角三角形. B．直角三角形. C．钝角三角形. D．不能确定.

[解析] 由条件结合正弦定理,得222cba,再由余弦定理,得0cos2222abcbaC,

所以C是钝角,选C.

7 ．（2012年高考（陕西理））在ABC中,角,,ABC所对边长分别为,,abc,若2222abc,则cosC的最小值为 （ ）

A．32 B．22 C．12 D．12

解析:由余弦定理得,222221cos242abcabCabab当且仅当ab=时取“=”,选C.

8 ．（2012年高考（山东理））若42，,37sin2=8,则sin （ ）

A．35 B．45 C．74 D．34

【解析】因为]2,4[,所以],2[2,02cos,所以812sin12cos2,又81sin212cos2,所以169sin2,43sin,选D.

9 ．（2012年高考（辽宁理））已知sincos2,(0,π),则tan= （ ）

A．1 B．22 C．22 D．1

【答案】A

【解析一】sincos2,2sin()2,sin()144

3(0),,tan14，,故选A

【解析二】2sincos2,(sincos)2,sin21,

33(0,),2(0,2),2,,tan124,故选A

【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和运算求解能力,难度适中. 10．（2012年高考（江西理））若tan+1tan =4,则sin2= （ ）

A．15 B．14 C．13 D．12

D【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想.

因为221sincossincos1tan41tancossinsincossin22,所以.1sin22.

【点评】本题需求解正弦值,显然必须切化弦,因此需利用公式sintancos转化;另外,22sincos在转化过程中常与“1”互相代换,从而达到化简的目的;关于正弦、余弦的齐次分式,常将正弦、余弦转化为正切,即弦化切,达到求解正切值的目的. 体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式,二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用,逆用等.

11．（2012年高考（湖南理））函数f(x)=sinx-cos(x+6)的值域为 （ ）

A．[ -2 ,2] B．[-3,3] C．[-1,1 ] D．[-32 , 32]

【答案】B

【解析】f(x)=sinx-cos(x+6)31sincossin3sin()226xxxx,sin()1,16x,()fx值域为[-3,3].

【点评】利用三角恒等变换把()fx化成sin()Ax的形式,利用sin()1,1x,求得()fx的值域.

12．（2012年高考（大纲理））已知为第二象限角,3sincos3,则cos2 （ ）

A．53 B．59 C．59 D．53

答案A

【命题意图】本试题主要考查了三角函数中两角和差的公式以及二倍角公式的运用.首先利用平方法得到二倍角的正弦值,然后然后利用二倍角的余弦公式,将所求的转化为单角的正弦值和余弦值的问题.

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高考数学热点难点专题11+三角函数的图像与性质中的易错点(文)(教师版)

高考数学热点难点专题11+三角函数的图像与性质中的易错点(文)(教师版)

. 专题11 三角函数的图像与性质中的易错点

一．学习目标

1．理解三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调性与周期性、对称性．

2．会判断简单三角函数的奇偶性，会求简单三角函数的定义域、值域、最值、单调区间及周期．

3．理解三角函数的对称性，并能应用它们解决一些问题．

二．方法总结

1.三角函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性的判断步骤一致：

(1)首先看定义域是否关于原点对称；

(2)在满足(1)后，再看f(－x)与f(x)的关系.

另外三角函数中的奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx，偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式.

2.三角函数的单调性

(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间的确定，其基本思想是把ωx＋φ看作一个整体，比如：由2kπ－π2≤ωx＋φ≤2kπ＋π2(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为增区间.

若函数y＝Asin(ωx＋φ)中A＞0，ω＜0，可用诱导公式将函数变为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间.

对函数y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)等单调性的讨论同上.

(2)三角函数单调性的应用主要有比较三角函数值的大小，而比较三角函数值大小的一般步骤：①先判断正负；②利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的两个同名函数；③再利用单调性比较.

3.求三角函数的最值常见类型：

(1)y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝Atan(ωx＋φ)＋B，

(2)y＝A(sin x－a)2＋B，

(3)y＝a(sin x±cos x)＋bsin xcos x(其中A，B，a，b∈R，A≠0，a≠0).

三．函数图象与性质需要掌握的题型

（一）三角函数图象平移

（二）三角函数的零点

（三）函数的单调性

（四）函数的解析式

（五）三角函数图象综合

（六）三角函数的奇偶性

高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题5-1任意角和弧度制及任意角的三角函数-教师版

高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题5-1任意角和弧度制及任意角的三角函数-教师版

专题5.1任意角和弧度制及任意角的三角函数

练基础

1．（2021·宁夏高三三模（文））已知角

终边经过点

1,2,P

则cos

（）

A．1

2B．1

2

C．5

5D．5

5

【答案】D

【解析】

直接利用三角函数的定义即可.

【详解】

由三角函数定义，

2

215

cos

5

12



.

故选：D.

2.（2021·中牟县教育体育局教学研究室高一期中）已知角

的终边经过点

3,1P

，则cos

（）A．10

10B．10

10

C．310

10

D．310

10

【答案】C

【解析】

由三角函数的定义即可求得cos

的值．

【详解】

角

的终边经过点(3,1)P，

223310

cos

10

(3)1



．

故选：C

．

3．（2020·全国高一课时练习）若α＝－2，则α的终边在（）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

【答案】C

【解析】根据角的弧度制与角度制之间的转化关系可得选项.

【详解】

因为1rad≈57.30°，所以－2rad≈－114.60°，故α的终边在第三象限．

故选：C.

4．（2021·江苏高一期中）下列命题：①钝角是第二象限的角；②小于90

的角是锐角；③第一象限的角一

定不是负角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表时针走过2小时，时针转过的角度为60

；

⑥若5

，则

是第四象限角．其中正确的题的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】B

【解析】

结合象限角和任意角的概念逐个判断即可.

【详解】

对于①：钝角是大于90

小于180

的角，显然钝角是第二象限角.故①正确；

对于②：锐角是大于0

小于90

的角，小于90

的角也可能是负角.故②错误；

对于③：359

显然是第一象限角.故③错误；

对于④：135

是第二象限角，361

是第一象限角，但是135361.故④错误；

对于⑤：时针转过的角是负角.故⑤错误；

对于⑥：因为157.3rad

，所以5557.3=286.5rad

《锐角三角函数复习》教学设计

《锐角三角函数复习》教学设计

《锐角三角函数复习》教学设计

教学目标：

1.复习正弦函数、余弦函数和正切函数的概念、性质和图像特点。

2.熟练掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的基本变换和图像特征的确定。

3.能够解决与锐角三角函数相关的实际问题。

教学重难点：

1.正弦函数、余弦函数和正切函数的图像特点的确定。

2.锐角三角函数的基本变换和反函数的确定。

教学准备：

1.教师准备PPT、黑板、粉笔、计算器等教学工具。

2.学生预习锐角三角函数的基本概念和性质。

教学过程：

Step 1 引入新课 (10分钟)

教师通过提问和简短的介绍，引导学生回顾正弦函数、余弦函数和正切函数的概念和性质，并明确本节课的学习目标。

Step 2 复习正弦函数和余弦函数 (30分钟)

2.1概念复习 教师用简洁明了的语言复习正弦函数和余弦函数的基本概念，要求学生回答问题，例如：正弦函数和余弦函数的定义是什么？它们的定义域和值域分别是什么？

2.2图像特点复习

教师通过PPT演示和实际画图的方式，复习正弦函数和余弦函数的图像特点。教师可以提问学生相关的问题，让学生回答出正弦函数和余弦函数的对称轴、最大值、最小值、周期等。

2.3基本变换复习

教师通过PPT演示和实例分析，复习正弦函数和余弦函数的基本变换，例如：平移、伸缩、翻转等。教师可以为学生提供一些基本的变换函数，让学生求出经过变换后的函数的表达式。

Step 3 复习正切函数 (20分钟)

3.1概念复习

教师简明扼要地复习正切函数的定义、定义域和值域。

3.2图像特点复习

教师通过PPT演示和实际画图的方式，复习正切函数的图像特点。教师可以通过探究正切函数的增减性和周期性，让学生发现正切函数的特殊图像。

3.3基本变换复习 教师通过PPT演示和实例分析，复习正切函数的基本变换，包括平移、伸缩、翻转等。教师可为学生提供一些基本的变换函数，让学生求出经过变换后的函数的表达式。

Step 4 锐角三角函数的反函数(30分钟)

高考数学导数与三角函数压轴题综合归纳总结教师版

高考数学导数与三角函数压轴题综合归纳总结教师版

高考数学导数与三角函数压轴题综合归纳总结教师版

导数与三角函数的问题在近几年的高考数学试题中频繁出现，主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数围、隐零点问题及零点存在性赋值理论。这些问题的形式逐渐多样化、综合化。

一、零点存在定理

例1.【2019全国Ⅰ理20】函数$f(x)=\sin x-\ln(1+x)$，$f'(x)$为$f(x)$的导数。证明：

1）$f'(x)$在区间$(-1,)$存在唯一极大值点；

2）$f(x)$有且仅有2个零点。

解析】（1）设$g(x)=f'(x)$，则$g(x)=\cos x-\frac{1}{1+x}$，$g'(x)=-\sin x+\frac{1}{(1+x)^2}$。

当$x\in(-1,\frac{\pi}{2})$时，$g'(x)$单调递减，而$g'(0)>0$，$g'(\frac{\pi}{2})<0$，可得$g'(x)$在$(-1,\frac{\pi}{2})$有唯一零点，设为$\alpha$。

则当$x\in(-1,\alpha)$时，$g'(x)>0$；当$x\in(\alpha,\frac{\pi}{2})$时，$g'(x)<0$。所以$g(x)$在$(-1,\alpha)$单调递增，在$(\alpha,\frac{\pi}{2})$单调递减，故$g(x)$在$(-1,\frac{\pi}{2})$存在唯一极大值点，即$f'(x)$在$(-1,\frac{\pi}{2})$存在唯一极大值点。

2）$f(x)$的定义域为$(-1,+\infty)$。

i) 由(1)知，$f'(x)$在$(-1,0)$单调递增，而$f'(0)=0$，所以当$x\in(-1,0)$时，$f'(x)<0$，故$f(x)$在$(-1,0)$单调递减，又$f(0)=0$，从而$x=0$是$f(x)$在$(-1,0]$的唯一零点。

ii) 当$x\in(0,\frac{\pi}{2})$时，由(1)知，$f'(x)$在$(0,\alpha)$单调递增，在$(\alpha,\frac{\pi}{2})$单调递减，而$f'(0)=0$，$f’(\frac{\pi}{2})0$；当$x\in(\beta,\frac{\pi}{2})$时，$f'(x)0$，从而$f(x)$在$(0,\frac{\pi}{2})$没有零点。