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《线性代数》知识点 归纳整理 诚毅
学生 编
01、余子式与代数余子式- 2 -
02、主对角线- 2 -
03、转置行列式- 2 -
04、行列式的性质- 3 -
05、计算行列式- 3 -
06、矩阵中未写出的元素- 4 -
07、几类特殊的方阵- 4 -
08、矩阵的运算规则- 4 -
09、矩阵多项式- 6 -
10、对称矩阵- 6 -
11、矩阵的分块- 6 -
12、矩阵的初等变换- 6 -
13、矩阵等价- 7 -
14、初等矩阵- 7 -
15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵- 7 -
16、逆矩阵- 7 -
17、充分性与必要性的证明题- 8 -
18、伴随矩阵- 9 -
19、矩阵的标准形：- 9 -
20、矩阵的秩：- 9 -
21、矩阵的秩的一些定理、推论- 10 -
22、线性方程组概念- 10 -
23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）- 10 -
24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念- 12 -
25、线性方程组的向量形式- 12 -
26、线性相关与线性无关的概念- 12 -
27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关- 12 -
28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题- 12 -
29、线性表示与线性组合的概念- 12 -
30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题- 12 -
31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理- 13 -
32、最大线性无关组与向量组的秩- 13 -
33、线性方程组解的结构- 13 -
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01、余子式与代数余子式
（1）设三阶行列式D＝333231232221131211aaaaaaaaa，则
第⼀章 ⾏列式 ⼀、重点
1、理解：⾏列式的定义，余⼦式，代数余⼦式。
2、掌握：⾏列式的基本性质及推论。
3、运⽤：运⽤⾏列式的性质及计算⽅法计算⾏列式，⽤克莱姆法则求解⽅程组。
⼆、难点
⾏列式在解线性⽅程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等⽅⾯的应⽤。
三、重要公式
1、若A为n阶⽅阵，则│kA│= kn│A│
2、若A、B均为n阶⽅阵，则│AB│=│A│。│B│
3、若A为n阶⽅阵，则│A*│=│A│n-1
若A为n阶可逆阵，则│A-1│=│A│-1
4、若A为n阶⽅阵，λi（i=1，2，…，n）是A的特征值，│A│＝∏λi
四、题型及解题思路
1、有关⾏列式概念与性质的命题
2、⾏列式的计算（⽅法）
1）利⽤定义
2）按某⾏（列）展开使⾏列式降阶
3）利⽤⾏列式的性质
①各⾏（列）加到同⼀⾏（列）上去，适⽤于各列（⾏）诸元素之和相等的情况。
②各⾏（列）加或减同⼀⾏（列）的倍数，化简⾏列式或化为上（下）三⾓⾏列式。
③逐次⾏（列）相加减，化简⾏列式。
④把⾏列式拆成⼏个⾏列式的和差。
4）递推法，适⽤于规律性强且零元素较多的⾏列式
5）数学归纳法，多⽤于证明
3、运⽤克莱姆法则求解线性⽅程组
若D =│A│≠0，则Ax=b有解，即
x1=D1/D，x2= D2/D，…，xn= Dn/D
其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。
注意：克莱姆法则仅适⽤于⽅程个数与未知数个数相等的⽅程组。
4、运⽤系数⾏列式│A│判别⽅程组解的问题
1）当│A│＝0时，齐次⽅程组Ax＝0有⾮零解；⾮齐次⽅程组Ax＝b不是解（可能⽆解，也可能有⽆穷多解）
2）当│A│≠0时，齐次⽅程组Ax＝0仅有零解；⾮齐次⽅程组Ax＝b有解，此解可由克莱姆法则求出。
⼀、重点 1、理解：矩阵的定义、性质，⼏种特殊的矩阵（零矩阵，上（下）三⾓矩阵，对称矩阵，对⾓矩阵，逆矩阵，正交矩阵，伴随矩阵，分块矩阵） 2、掌握：
序 言
1.什么是线性代数：
线性代数名曰代数，是代数学乃至整个数学的一个非常重要的学科，顾名思义，它是研究线性问题的代数理论，具体来说是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。
1.1 那么什么是代数呢？
代数英文是Algebra，源于阿拉伯语，其本意是“结合在一起”的意思。也就是说代数的功能是把许多看似不相关的事物“结合在一起”，也就是进行抽象。抽象的目的不是为了显示某些人智商高，而是为了解决问题的方便，为了提高效率，把许多看似不相关的问题化归为一类问题。比如线性代数中的一个重要的抽象概念是线性空间（对所谓的要满足“加法”和“数乘”等八条公理的元素的集合），而其元素被称为向量。也就是说，只要某个集合里的元素满足那么几条公理，元素之间的变化满足这些规律，我们就可以对这个集合（现在可以改名为线性空间了）进行一系列线性化处理和分析，这个陌生的集合的性质和结构特点我们一下子就全知道了，因为宇宙间的所有的线性空间类的集合的性质都一样，地球人都知道（如果地球人都学了线性代数的话）。多么深刻而美妙的结论！这就是代数的一个抽象特性。
1.2 那么线性问题又是什么样的问题呢？
在大家的科技实践中，从实际中来的数学问题无非分为两类：一类线性问题，一类非线性问题。线性问题是研究最久、理论最完善的；而非线性问题则可以在一定基础上转化为线性问题求解。因此遇到一个具体的问题，首先判断是线性还是上非线性的；其次若是线性问题如何处理，若是非线性问题如何转化为线性问题。
下面我们通过介绍一个重要的概念来逐渐的把握线性这个核心意思。
“线性”的意义
线性代数里面的线性主要的意思就是线性空间里的线性变换。线性变换或线性映射是把中学的线性函数概念进行了重新定义，强调了函数的变量之间的变换的意义。
线性函数的概念
线性函数的概念在初等数学和高等数学中含义不尽相同（高等数学常常把初等数学的关键概念进行推广或进一步抽象化，初等数学的概念就变成了高等数学概念的一个特例）。
线性代数知识点全归纳
2 线性代数知识点
1、行列式
1. n行列式共有2n个元素，展开后有!n项，可分解为2n行列式；
2. 代数余子式的性质：
①、ijA和ija的大小无关；
②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；
③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A；
3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)ijijijijijijMAAM
4. 设n行列式D：
将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D，则(1)21(1)nnDD；
将D顺时针或逆时针旋转90o，所得行列式为2D，则(1)22(1)nnDD；
将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D，则3DD；
将D主副角线翻转后，所得行列式为4D，则4DD；
3 5. 行列式的重要公式：
①、主对角行列式：主对角元素的乘积；
②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)nn；
③、上、下三角行列式（◥◣）：主对角元素的乘积；
④、◤和◢：副对角元素的乘积(1)2(1)nn；
⑤、拉普拉斯展开式：AOACABCBOB、(1)mnCAOAABBOBCg
⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；
⑦、特征值；
6. 对于n阶行列式A，恒有：1(1)nnknkkkEAS，其中kS为k阶主子式；
7. 证明0A的方法：
①、AA；
②、反证法；
③、构造齐次方程组0Ax，证明其有非零解；
④、利用秩，证明()rAn；
⑤、证明0是其特征值；
2、矩阵
1. A是n阶可逆矩阵：
0A（是非奇异矩阵）；
()rAn（是满秩矩阵）
4 A的行（列）向量组线性无关；
齐次方程组0Ax有非零解；
nbR，Axb总有唯一解；
A与E等价；
A可表示成若干个初等矩阵的乘积；
A的特征值全不为0；
