理科(选修2-2)第二章推理与证明检测题

2021年高中数学 第二章 推理与证明单元检测 新人教版选修2-2一 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 用反证法证明命题“已知，，，则中至少有一个不 小 于0”反设正确的是 （ ） A.假设都不大于0 B.假设至多有一个大于0C.假设都大于0D.假设都小于0 2．用数学归纳法证明：“1+a+a 2+…+a n+1=(a ≠1)”在验证n=1时，左端计算所得的项为A.1B.1+aC.1+a+a 2D.1+a+a 2+a33 .若一个命题的结论是 “直线在平面内”，则用反证法证明这个命题时，第一步应作的假设为 （ ）A.假设直线平面B.假设直线平面于点AC.假设直线平面D.假设直线平面4. 有一天，某城市的珠宝店被盗走了价值数万元的钻石.报案后，经过三个月的侦察，查明作案人肯定是甲．乙．丙．丁中的一人.经过审讯，这四个人的口供如下：甲：钻石被盗的那天，我在别的城市，所以我不是罪犯.乙：丁是罪犯.丙：乙是盗窃犯，三天前，我看见他在黑市上卖一块钻石.丁：乙同我有仇，有意诬陷我.因为口供不一致,无法判断谁是罪犯.经过测谎试验知道，这四人只有一个人说的是真话，那么你能判断罪犯是A. 甲B. 乙C. 丙D.丁5．已知直线是异面直线，直线，那么与的位置关系（ ）Ａ．一定是异面直线 Ｂ．一定是相交直线Ｃ．不可能是平行直线 Ｄ．不可能是相交直线6.已知a+b+c=2，则ab+bc+ca 的值( )(A)大于 (B)小于 (C)不小于 (D)不大于 7. 用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n +y n能被x+y 整除”，在第二步时，正确的证法是 （ ）A. 假设n= k （k N *），证明n= k +1命题成立B.假设n= k( k 是正奇数)，证明n= k+1命题成立C.假设n=2 k+1( k N *),证明n= k+1命题成立D.假设n= k( k 是正奇数)，证明n= k+2命题成立8．命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos2θ”的证明：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos2θ”过程应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．间接证明法9．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明 ( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0 C.a ＋b 22－1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥010．①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2，②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.以下结论正确的是( ) A ．①与②的假设都错误 B ．①与②的假设都正确 C ．①的假设正确；②的假设错误 D ．①的假设错误；②的假设正确二 填空题（共4小题，每小题3分共12分，把答案填在相应的位置上） 11 用三段论证明f(x)=x 3+sinx(x ∈R)为奇函数的大前提是________ 12 用数学归纳法证明1+++…+＜2 (n ∈N ,且n ＞1)，第一步要证的不等式是 . 13 已知是不相等的正数，，则的大小关系是_____ 14.已知x 1>0，x 1≠1且x n ＋1＝x n ·(x 2n ＋3)3x 2n ＋1(n ＝1,2，…)，试证：“数列{x n }对任意的正整数n ，都满足x n >x n ＋1，”当此题用反证法否定结论时应为 三 解答题（本大题五个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．已知． （1）求证：； （2）求证：，，中至少有一个不小于．16.已知数列{a n }的各项都是正数，且满足：a 0=1，a n+1=a n ·（4-a n ）（n ∈N ）. 证明：a n ＜a n+1＜2（n ∈N ）.17. 列三角形数表1 -----------第一行2 2 -----------第二行3 4 3 -----------第三行4 7 7 4 -----------第四行5 11 14 11 5………………………假设第行的第二个数为（1）依次写出第六行的所有数字；（2）归纳出的关系式并求出的通项公式；（3）设求证：…18.已知等差数列{a n}的公差d大于0，且a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根，数列{b n}的前n 项和为T n，且T n=1-.（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设数列{a n}的前n项和为S n，试比较与S n+1的大小，并说明理由.《推理与证明》参考答案一选择题1. 【答案】D【解析】：反证法的应用是假设结论不成立，因此要设为“假设都小于0.2 【答案】：C3 【答案】C【解析】“直线在平面内”的否定为“直线平面”.4 【答案】A【解析】：对于这四个人一个人说真话，因此分别进行判断可得若丁是真的，其他三人是假的，则可判断甲是罪犯5．【答案】C【解析】，根据公理4，，与已知矛盾.6.【答案】D.【解析】∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=4又∵a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca,∴ab+bc+ca ≤.7.【答案】D 8. 答案：B解析：因为证明过程是“从左往右”，即由条件⇒结论． 9. 答案：D解析：因为a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0. 10. 答案：D解析：反证法的实质是命题的等价性，因为命题p 与命题的否定¬p 真假相对，故直接证明困难时，可用反证法．故选D.二 填空题（共4小题，每小题3分共12分，把答案填在相应的位置上） 11.【答案】:满足f(-x)=-f(x)的函数是奇函数【解析】根据奇函数的定义可得：满足f(-x)=-f(x)的函数是奇函数. 12. 【答案】1++＜2 13. 【答案】,【解析】22222()()()22a b a b y a b a b x y x ++=+=+=>=∴> 14. 【答案】存在正整数n ，使x n ≤x n ＋1解析：根据全称命题的否定，是特称命题，即“数列{x n }对任意的正整数n ，都满足x n >x n ＋1”的否定为“存在正整数n ，使x n ≤x n ＋1”三 解答题（本大题四个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．【证明】：（1）222(1)(3)2(2)1332(22)2f f f b c b c b c +-=+++=+-++=； （2）（反证法）假设，，中至少有一个不小于不成立，则假设，，都小于，则111(1)2(2)(3)22222f f f ++<+⨯+=，即．①而(1)2(2)(3)(1)(3)2(2)2f f f f f f +++-=≥， 即(1)2(2)(3)(1)(3)2(2)2f f f f f f +++-=≥，即，这与①矛盾，从而假设不成立，原命题成立，即，，中至少有一个不小于． 16.证明 方法一 用数学归纳法证明：（1）当n=0时，a 0=1，a 1=a 0(4-a 0)=,所以a 0＜a 1＜2,命题正确.（2）假设n=k 时命题成立，即a k-1＜a k ＜2.则当n=k+1时，a k -a k+1=a k-1(4-a k-1)-a k (4-a k )=2(a k-1-a k )-(a k-1-a k )(a k-1+a k ) =(a k-1-a k )(4-a k-1-a k ).而a k-1-a k ＜0,4-a k-1-a k >0,所以a k -a k+1＜0.又a k+1=a k (4-a k )=［4-(a k -2)2］＜2. 所以n=k+1时命题成立. 由（1）（2）可知，对一切n ∈N 时有a n ＜a n+1＜2. 方法二 用数学归纳法证明：(1)当n=0时，a 0=1,a 1=a 0(4-a 0)=,所以0＜a 0＜a 1＜2; (2)假设n=k 时有a k-1＜a k ＜2成立，令f(x)=x(4-x),f(x)在［0，2］上单调递增， 所以由假设有：f （a k-1）＜f(a k )＜f(2), 即a k-1（4-a k-1）＜a k （4-a k ）＜×2×(4-2), 也即当n=k+1时,a k ＜a k+1＜2成立. 所以对一切n ∈N ，有a k ＜a k+1＜2. 17、【解析】：（1）第六行的所有6个数字分别是6，16，25，25，16，6；（2）依题意，)(......)()(134232--++-+-+=n n n a a a a a a a a(2)(1)223......(1)22n n n -+=++++-=+，所以；当n=2时， ,也满足上述等式 所以 （3）因为 所以2)211(2)]111(...)3121()2111[(2......432<-=--++-+-<++++n n b b b b n18.解 （1）由已知得,又∵{a n }的公差大于0，∴a 5＞a 2,∴a 2=3,a 5=9.∴d= ==2，a 1=1.∵T n =1-b n ，∴b 1=， 当n ≥2时，T n-1=1-b n-1,∴b n =T n -T n-1=1-b n -(1-b n-1),化简，得b n =b n-1,∴{b n }是首项为,公比为的等比数列，即b n =·=, ∴a n =2n-1，b n =.(2)∵S n ==n 2,∴S n+1=（n+1）2，=.以下比较与S n+1的大小： 当n=1时，=，S 2=4，∴＜S 2,当n=2时，=,S3=9,∴＜S3, 当n=3时，=,S4=16,∴＜S4, 当n=4时，=,S5=25,∴＞S5. 猜想：n≥4时，＞S n+1.下面用数学归纳法证明：①当n=4时，已证.②假设当n=k (k∈N*,k≥4)时，＞S k+1,即＞(k+1)2.那么n=k+1时，==3·＞3(k+1)2=3k2+6k+3=(k2+4k+4)+2k2+2k-1＞［(k+1)+1］2=S(k+1)+1, ∴n=k+1时，＞S n+1也成立.由①②可知n∈N*,n≥4时，＞S n+1都成立. 综上所述，当n=1,2,3时，＜S n+1,当n≥4时，＞S n+1.36200 8D68 赨FRi21719 54D7 哗38070 94B6 钶37624 92F8 鋸Q]35753 8BA9 让36369 8E11 踑A4 40665 9ED9 黙。

滚动训练三(§1.5～§2.3)一、选择题1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则()1-1d f x x ⎰的值为( )A.32 B.43 C.23D ．－23考点 分段函数的定积分 题点 分段函数的定积分 答案 B解析 ()1-1d f x x ⎰＝021d x x -⎰＋101d x ⎰＝201|3x -＋1 ＝13＋1＝43，故选B. 2．用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以a 2>0”，你认为这个推理( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．是正确的考点 “三段论”及其应用 题点 大前提错误导致结论错误 答案 A解析 任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以a 2>0，大前提：任何实数的平方大于0是不正确的，0的平方就不大于0.故选A .3.如图，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋1与直线y ＝1形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( )A ．1 B.43 C. 3D ．2考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 不需分割的图形的面积求解答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1，y ＝－x 2＋2x ＋1，知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1. 故所求面积S ＝ʃ20(－x 2＋2x ＋1)dx －ʃ201dx＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 2＋x 20－x |20＝43. 4．有甲、乙、丙、丁四位同学竞选班长，其中只有一位当选．有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙当选”，乙说：“甲、丙都未当选”，丙说：“我当选了”，丁说：“是乙当选了”，若四位同学的话只有两句是对的，则当选的同学是( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙D ．丁考点 演绎推理的综合应用 题点 演绎推理在其他方面中的应用 答案 C解析 若甲当选，则都说假话，不合题意．若乙当选，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意． 若丁当选，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意． 故当选的同学是丙，故选C .5．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面各正三角形的位置是( ) A ．各正三角形内的任一点 B ．各正三角形的中心 C ．各正三角形边上的任一点 D ．各正三角形的某中线的中点 考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比 答案 B解析 正三角形类比正四面体，正三角形的三边类比正四面体的四个面，三边的中点类比正三角形的中心．6．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *且n >1)，第二步证明中从“k 到k ＋1”时，左边增加的项数是( ) A ．2k ＋1 B ．2k －1 C ．2k －1D ．2k考点 数学归纳法定义及原理题点 数学归纳法第二步：归纳递推 答案 D解析 当n ＝k 时，左边＝1＋12＋13＋…＋12k －1，那么当n ＝k ＋1时，左边＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋…＋12k ＋1－1＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k＋…＋12k ＋2k －1，所以左边增加的项为12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋2k－1，所以项数为2k . 7．观察下列数表规律2→3 6→7 10→11 ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ 0→1 4→5 8→9 12→…则数2 017的箭头方向是( ) A ．2 017→B ． ↓↑ 2 017→ C ． ↑D ．→2 017→2 017 ↓ 考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数阵(表)中的应用 答案 C解析 因下行奇数是首项为1，公差为4的等差数列，若2 017在下行，则2 017＝1＋(n －1)·4，得n ＝505∈N *.故2 017在下行，又因为在下行奇数的箭头为→a n ↑，故选C. 8．已知f (x )＝x 3＋x ，a ，b ∈R ，且a ＋b >0，则f (a )＋f (b )的值一定( ) A ．大于零 B ．等于零 C ．小于零D ．正负都有可能考点 演绎推理的综合应用 题点 演绎推理在函数中的应用 答案 A解析 ∵f (x )＝x 3＋x ，∴f (x )是增函数且是奇函数． ∵a ＋b >0，∴a >－b ，∴f (a )>f (－b )＝－f (b )，∴f (a )＋f (b )>0.二、填空题9．用数学归纳法证明122＋132＋…＋1(n ＋1)2>12－1n ＋2.假设n ＝k 时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是________________________． 考点 数学归纳法定义及原理 题点 数学归纳法第二步：归纳递推 答案122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3解析 观察不等式中的分母变化知，122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3. 10．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，….根据上述规律，第五个等式为________________． 考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 13＋23＋33＋43＋53＋63＝212解析 由所给等式可得，等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下， 1＋2＝3,1＋2＋3＝6,1＋2＋3＋4＝10，即左边底数的和等于右边的底数，故第五个等式为 13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.11．已知点A (x 1, 13x)，B (x 2,23x)是函数y ＝3x 的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因此有结论13x ＋23x 2>1223x x +成立．运用类比思想方法可知，若点A (x 1，tan x 1)，B (x 2，tan x 2)是函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫－π2<x <0的图象上任意不同两点，则类似地有________________成立． 考点 类比推理的应用 题点 平面曲线之间的类比 答案tan x 1＋tan x 22<tan x 1＋x 22解析 因为y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫－π2<x <0图象是上凸的， 因此线段AB 的中点的纵坐标tan x 1＋tan x 22总是小于函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫－π2<x <0图象上的点⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，tan x 1＋x 22的纵坐标，即有tan x 1＋tan x 22<tan x 1＋x 22成立．12．已知集合{a ，b ，c }＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a ≠2；②b ＝2；③c ≠0有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c ＝________.考点 反证法及应用 题点 反证法的应用 答案 201解析 因为三个关系中只有一个正确，分三种情况讨论：若①正确，则②③不正确，得到⎩⎪⎨⎪⎧a ≠2，b ≠2，c ＝0，由于集合{a ，b ，c }＝{0,1,2}，所以解得a ＝b ＝1，c ＝0或a ＝1，b ＝c ＝0或b ＝1，a ＝c ＝0，与互异性矛盾；若②正确，则①③不正确，得到⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，a ＝2，c ＝0，与互异性矛盾；若③正确，则①②不正确，得到⎩⎪⎨⎪⎧ c ≠0，a ＝2，b ≠2，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝0，c ＝1，符合题意，所以100a ＋10b ＋c ＝201.三、解答题13．已知实数p 满足不等式(2p ＋1)(p ＋2)<0，用反证法证明，关于x 的方程x 2－2x ＋5－p 2＝0无实数根． 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用证明 假设方程x 2－2x ＋5－p 2＝0有实数根， 则该方程的根的判别式Δ＝4－4(5－p 2)≥0， 解得p ≥2或p ≤－2.①而由已知条件实数p 满足不等式(2p ＋1)(p ＋2)<0， 解得－2<p <－12.②数轴上表示①②的图形无公共部分，故假设不成立，从而关于x 的方程x 2－2x ＋5－p 2＝0无实数根． 四、探究与拓展14．已知△ABC 的三边a ，b ，c 的倒数成等差数列，试分别用综合法和分析法证明B 为锐角． 考点 分析法和综合法的综合应用 题点 分析法和综合法的综合应用 证明 分析法：要证明B 为锐角，B 为三角形的内角， 则只需证cos B >0.又cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，只需证a 2＋c 2－b 2>0.即证a 2＋c 2>b 2.又a 2＋c 2≥2ac ，只需证2ac >b 2. 由已知2b ＝1a ＋1c，即2ac ＝b (a ＋c )，只需证b (a ＋c )>b 2，即证a ＋c >b 成立，在△ABC 中，最后一个不等式显然成立． 所以B 为锐角． 综合法：由题意得2b ＝1a ＋1c ＝a ＋cac，则b ＝2aca ＋c ，b (a ＋c )＝2ac >b 2(因为a ＋c >b )．因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac >0，又0<B <π.所以0<B <π2，即B 为锐角．15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，n ∈N *，且S 3＝15. (1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)猜想数列{a n }的通项公式．并用数学归纳法证明． 考点 数学归纳法证明数列问题 题点 利用数学归纳法证明数列通项问题 解 (1)由题意知S 2＝4a 3－20， ∴S 3＝S 2＋a 3＝5a 3－20.又S 3＝15，∴a 3＝7，S 2＝4a 3－20＝8. 又S 2＝S 1＋a 2＝(2a 2－7)＋a 2＝3a 2－7， ∴a 2＝5，a 1＝S 1＝2a 2－7＝3. 综上可知，a 1＝3，a 2＝5，a 3＝7.(2)由(1)猜想a n ＝2n ＋1，下面用数学归纳法证明． ①当n ＝1时，猜想显然成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，猜想成立，即a k ＝2k ＋1， 当n ＝k ＋1时，S k ＝3＋5＋7＋…＋(2k ＋1)＝k [3＋(2k ＋1)]2＝k (k ＋2)．又S k ＝2ka k ＋1－3k 2－4k ，∴k(k＋2)＝2ka k＋1－3k2－4k，解得2a k＋1＝4k＋6，∴a k＋1＝2(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时，猜想成立．由①②知，∀n∈N*，a n＝2n＋1.。

1合情推理的妙用合情推理包括归纳推理和类比推理，在近几年的高考试题中，关于合情推理的试题多与其他知识联系，以创新题的形式出现在考生面前．下面介绍一些推理的命题特点，揭示求解规律，以期对同学们求解此类问题有所帮助．一、归纳推理的考查1．数字规律周期性归纳例1观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，则52013的末四位数字为________．解析∵55＝3125,56＝15625,57＝78125，58末四位数字为0625,59末四位数字为3125,510末四位数字为5625,511末四位数字为8125,512末四位数字为0625，…，由上可得末四位数字周期为4，呈规律性交替出现，∴52013＝54×503＋1末四位数字为3125.答案3125点评对于具有周期规律性的数或代数式需要多探索几个才能发现规律，当已给出事实与所求相差甚“远”时，可考虑到看是否具有周期性．2．代数式形式归纳例2设函数f(x)＝xx＋2(x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f(f1(x))＝x3x＋4，f3(x)＝f(f2(x))＝x7x＋8，f4(x)＝f(f3(x))＝x15x＋16，…，根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________.解析 依题意，先求函数结果的分母中x 项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为a n ＝2n －1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为b n ＝2n .所以当n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝x(2n－1)x ＋2n.答案x(2n－1)x ＋2n点评 对于与数列有关的规律归纳，一定要观察全面，并且要有取特殊值最后检验的习惯． 3．图表信息归纳例3 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：图(1)图(2)他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数． 下列数中既是三角形数又是正方形数的是________．(填序号) ①289；②1024；③1225；④1378.分析 将三角形数和正方形数分别视作数列，则既是三角形数又是正方形数的数字是上述两数列的公共项．解析 设图(1)中数列1,3,6,10，…的通项为a n ，其解法如下：a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，…，a n －a n －1＝n . 故a n －a 1＝2＋3＋4＋…＋n ，∴a n ＝n (n ＋1)2.而图(2)中数列的通项公式为b n ＝n 2，因此所给的各项中只有1225满足a 49＝49×502＝b 35＝352＝1225. 答案 ③点评 此类图形推理问题涉及的图形构成的元素一般为点．题目类型为已知几个图形，图形中元素的数量呈现一定的变化，这种数量变化存在着简单的规律性，如点的数目的递增关系或递减关系，依据此规律求解问题，一般需转化为求数列的通项公式或前n项和等．二、类比推理的考查1．类比定义在求解类比某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解．例4等和数列的定义是：若数列{a n}从第二项起，以后每一项与前一项的和都是同一常数，则此数列叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和．如果数列{a n}是等和数列，且a1＝1，a2＝3，则数列{a n}的一个通项公式是________．解析由定义，知公和为4，且a n＋a n－1＝4，那么a n－2＝－(a n－1－2)，于是a n－2＝(－1)n－1(a1－2)．因为a1＝1，得a n＝2＋(－1)n即为数列的一个通项公式．答案a n＝2＋(－1)n点评解题的前提是正确理解等和数列的定义，将问题转化为一个等比数列来求解．2．类比性质从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题．求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键．例5平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行．类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件．解类比平行四边形的两组对边分别平行可得，三组相对侧面互相平行是一个四棱柱为平行六面体的充要条件．类比平行四边形的两组对边分别相等可得，三组相对侧面分别全等是一个四棱柱为平行六面体的充要条件．类比平行四边形的一组对边平行且相等可得，一组相对侧面平行且全等是一个四棱柱为平行六面体的充要条件．类比平行四边形的对角线互相平分可得，主对角线互相平分是一个四棱柱为平行六面体的充要条件．类比平行四边形的对角线互相平分可得，对角面互相平分是一个四棱柱为平行六面体的充要条件．点评由平行四边形的性质类比到平行六面体的性质，注意结论类比的正确性．3．类比方法有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．例6已知数列{a n}的前n项的乘积T n＝3n＋1，则其通项公式a n＝________.解析类比数列前n项和S n与通项a n的关系a n＝S n－S n－1(n≥2)，得到数列前n(n≥2)项的乘积T n与通项a n的关系．注意对n＝1的情况单独研究．当n ＝1时，a 1＝T 1＝31＋1＝4.当n ≥2时，a n ＝T nT n －1＝3n ＋13n 1＋1，a 1不适合上式，所以通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，3n＋13n －1＋1，n ≥2.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，3n＋13n －1＋1，n ≥22 各有特长的综合法与分析法做任何事情都要讲究方法，方法适当，事半功倍；方法不当，事倍功半．解答数学问题，关键在于掌握思考问题的方法，少走弯路，以尽快获得满意的答案．证明数学问题的方法很多，其中综合法与分析法是最常见、使用频率最高的方法．综合法是从已知条件出发，一步步地推导结果，最后推出要证明的结果，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件；分析法则是从待证结论出发，一步步地寻求使其成立的条件，直至寻求到已知条件或公理、定义、定理等，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是寻找它的充分条件．综合法表现为“由因导果”，分析法表现为“执果索因”，它们的应用十分广泛．要证明一个命题正确，我们可以从已知条件出发，通过一系列已确立的命题(如定义、定理等)，逐步向后推演，最后推得要证明的结果，这种思维方法就叫做综合法，可简单地概括为“由因导果”，即“由原因去推导结果”．要证明一个命题正确，为了寻找正确的证题方法或途径，我们可以先设想它的结论是正确的，然后追究它成立的原因，再就这些原因分别研究，看它们成立又各需具备什么条件，如此逐步往上逆求，直至达到已知的事实，这种思维方法就叫做分析法，可简单地概括为“执果索因”，即“拿着结果去寻找原因”． 例1 已知a >b >c ，求证：1a －b ＋1b －c ＋4c －a≥0. 分析 首先使用分析法寻找证明思路． 证明 (分析法)要证原不等式成立， 只需证1a －b ＋1b －c ≥4a －c. 通分，得(b －c )＋(a －b )(a －b )(b －c )≥4a －c，即证a －c (a －b )(b －c )≥4a －c.∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，a －c >0. 只需证(a －c )2≥4(a －b )(b －c )成立． 由上面思路可得如下证题过程． (综合法)∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，a －c >0.∴4(a －b )(b －c )≤[(a －b )＋(b －c )]2＝(a －c )2. ∴a －c (a －b )(b －c )≥4a －c ， 即(b －c )＋(a －b )(a －b )(b －c )－4a －c ≥0. ∴1a －b ＋1b －c ＋4c －a≥0. 从例题不难发现，分析法和综合法各有其优缺点：从寻求解题思路来看，分析法“执果索因”，常常根底渐近，有希望成功；综合法“由因导果”，往往枝节横生，不容易奏效．从表达过程而论，分析法叙述烦琐，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰．也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表达．因此，在实际解题时，把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的，两者结合，互相弥补才是应该提倡的；先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表达解题过程．最后，提醒一下，对于一些较复杂的问题，不论是从“已知”推向“未知”，还是由“未知”靠拢“已知”，都是一个比较长的过程，单靠分析法或综合法显得较为困难．为保证探索方向准确及过程快捷，人们常常把分析法与综合法两者并列起来使用，即常采取同时从已知和结论出发，寻找问题的一个中间目标的“两头凑”的方法去寻求证明途径：先从已知条件出发，看可以得出什么结果，再从要证明的结论开始寻求，看它成立需具备哪些条件，最后看它们的差距在哪里，从而找出正确的证明途径．例2 △ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 所对的边，求证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.证明 方法一 (分析法)要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1，即证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ，即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，即证c a ＋b ＋a b ＋c＝1，只需证明c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 只需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2，只需证b 2＝c 2＋a 2－2ac ·cos60°，只需证B ＝60°. 因为A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°，所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.方法二 (综合法)因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°.由余弦定理知b 2＝c 2＋a 2－2ca ·cos60°，得c 2＋a 2＝ac ＋b 2， 两边同时加上ab ＋bc ，得c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，两边同时除以(a ＋b )(b ＋c )，得c a ＋b ＋a b ＋c ＝1，所以(c a ＋b ＋1)＋(ab ＋c ＋1)＝3，即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.3 反证法的独妙处反证法作为一种证明方法，在高考中，虽然很少单独命题，但是有时运用反证法的证明思路判断、分析命题有独到之处．下面举例分析用反证法证明问题的几个类型： 1．证明否定性问题例1 平面内有四个点，任意三点不共线．证明：以任意三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形．分析 假设以四点中任意三点为顶点的三角形都是锐角三角形，先固定三点组成一个三角形，则第四点要么在此三角形内，要么在此三角形外，且各个三角形的内角都是锐角，选取若干个角的和与一些已知结论对照即得矛盾．证明 假设以任意三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，四个点为A ，B ，C ，D . 考虑△ABC ，则点D 有两种情况：在△ABC 内部和外部.(1)如果点D 在△ABC 内部(如图①)，根据假设知围绕点D 的三个角∠ADB ，∠ADC ，∠BDC 都小于90°，其和小于270°，这与一个周角等于360°矛盾．(2)如果点D 在△ABC 外部(如图②)，根据假设知∠BAD ，∠ABC ，∠BCD ，∠ADC 都小于90°，即四边形ABCD 的内角和小于360°，这与四边形内角和等于360°矛盾． 综上所述，可知假设错误，题中结论成立．点评结论本身是否定形式、惟一性或存在性命题时，常用反证法．2．证明“至多”“至少”“惟一”“仅仅”等问题例2A是定义在[2,4]上且满足如下两个条件的函数φ(x)组成的集合：①对任意的x∈[1,2]，都有φ(2x)∈(1,2)；②存在常数L(0<L<1)，使得对任意的x1，x2∈[1,2]，都有|φ(2x1)－φ(2x2)|<L|x1－x2|.设φ(x)∈A，试证：如果存在x0∈(1,2)，使得x0＝φ(2x0)，那么这样的x0是惟一的．证明假设存在两个x0，x0′∈(1,2)，x0≠x0′，使得x0＝φ(2x0)，x0′＝φ(2x0′)，则由|φ(2x0)－φ(2x0′)|<L|x0－x0′|，得|x0－x0′|<L|x0－x0′|.所以L>1.这与题设中0<L<1矛盾，所以原假设不成立．故得证．点评若直接证明，往往思路不明确，而运用反证法则能迅速找到解题思路，从而简便得证．3．证明较复杂的问题例3如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则下列说法正确的是________．(填序号)①△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形；②△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形；③△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形；④△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形．解析因为正弦值在(0°，180°)内是正值，所以△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0.因此△A1B1C1是锐角三角形．假设△A2B2C2也是锐角三角形，并设cos A1＝sin A2，则cos A1＝cos(90°－A2)．所以A1＝90°－A2.同理设cos B1＝sin B2，cos C1＝sin C2，则有B1＝90°－B2，C1＝90°－C2.又A1＋B1＋C1＝180°，所以(90°－A2)＋(90°－B2)＋(90°－C2)＝180°，即A2＋B2＋C2＝90°.这与三角形内角和等于180°矛盾，所以原假设不成立，故填④.答案④例4已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.求证：a>0，b>0，c>0.分析若从正面证明，比较复杂，需要考虑的方面比较多，故采用反证法来证明．证明假设a<0，由abc>0，知bc<0.由a＋b＋c>0，知b＋c>－a>0，于是ab＋bc＋ca＝a(b＋c)＋bc<0.这与已知矛盾．又若a＝0，则abc＝0，与abc>0矛盾．故a>0.同理可证b>0，c>0.小结至于什么情况下用反证法，应依问题的具体情况而定，切忌滥用反证法．一般说来，当非命题比原命题更具体、更明确、更简捷，易于推出矛盾时，才便于用反证法．运用反证法证题时，还应注意以下三点：1．必须周密考察原结论，防止否定有所遗漏；2．推理过程必须完全正确，否则，不能肯定非命题是错误的；3．在推理过程中，可以使用已知条件，推出的矛盾必须很明确，毫不含糊．另外，反证法证题的首要环节就是对所证结论进行反设，因此大家必须掌握一些常见关键词的否定形式.4数学归纳法中如何用假设数学归纳法是高中数学重要的证明方法之一，它对证明与正整数有关的命题十分有效，解决这类问题的基础是归纳奠基，关键是归纳递推．不管何类题目，只要利用数学归纳法证明，其假设条件必须用上，下面我们结合实例说明数学归纳法的假设条件如何运用．1．直接运用例1 用数学归纳法证明：1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n 是正整数)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝1＋12＝32，中间＝1＋12＝32，右边＝12＋1＝32，所以不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式成立， 即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12＋k .那么，当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1>1＋k 2＋2k ·12k ＋1＝1＋k ＋12， 1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1<12＋k ＋2k ·12k ＝12＋(k ＋1)． 这就是说，当n ＝k ＋1时不等式成立．根据(1)和(2)，知对任意正整数n ，不等式均成立． 2．配凑后运用例2 已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，求证：n ＋f (1)＋…＋f (n －1)＝nf (n )(n ≥2，且n 是正整数)．证明 (1)当n ＝2时， 左边＝2＋f (1)＝2＋1＝3，右边＝2f (2)＝2×⎝⎛⎭⎫1＋12＝3，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立， 即k ＋f (1)＋…＋f (k －1)＝kf (k )． 那么，当n ＝k ＋1时， (k ＋1)＋f (1)＋…＋f (k －1)＋f (k ) ＝1＋f (k )＋kf (k )＝(k ＋1)f (k )＋1＝(k ＋1)⎣⎡⎦⎤f (k )＋1k ＋1＝(k ＋1)f (k ＋1)．这就是说，当n ＝k ＋1时等式成立． 根据(1)和(2)，知等式对从2开始的所有正整数n 都成立． 点评 解决此题的关键是盯住结论(k ＋1)f (k ＋1)，凑出系数k ＋1. 3．增减项后运用例3 证明：(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)·…·(2n )＝2n ·1·3·5·…·(2n －1)(n 是正整数)． 证明 (1)当n ＝1时，左边＝2，右边＝21·1＝2，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，等式成立， 即(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)·…·(2k )＝2k ·1·3·5·…·(2k －1)．那么，当n＝k＋1时，左边＝(k＋2)(k＋3)(k＋4)·…·(2k)(2k＋1)(2k＋2)，设法凑出假设：乘以(k＋1)，再除以(k＋1)，即左边＝(k＋1)·(k＋2)(k＋3)·…·(2k)(2k＋1)(2k＋2)·1k＋1＝2k·1·3·5·…·(2k－1)·(2k＋1)·2(k＋1)·1k＋1＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)·(2k＋1)，这就是说，当n＝k＋1时等式成立．根据(1)和(2)，知等式对任意正整数n都成立．点评对n＝k＋1时，等式的左边乘一项，除一项(或加一项，减一项)，设法凑出假设条件的形式，从而证明n＝k＋1时等式成立，这说明解题时要有目标意识.5走出数学归纳法解题的常见误区数学归纳法一般用于证明与正整数有关的问题，用数学归纳法证明时要分两个步骤，且缺一不可．本文举例剖析用数学归纳法解题的几类常见误区．误区一、未注意初始值例1判断1＋12＋13＋…＋1n>n对任意自然数都成立吗？若成立，请给出证明．错证假设当n＝k(k∈N*)时，结论成立．即1＋12＋13＋…＋1k>k，则当n＝k＋1时，1＋12＋13＋…＋1k＋1k＋1>k＋1k＋1＝k(k＋1)＋1k＋1>k·k＋1k＋1＝k＋1k＋1＝k＋1，∴当n＝k＋1时，不等式也成立．因此，对任意自然数不等式均成立．剖析错证中忽略了当n＝1时，左边＝1，右边＝1,1>1不成立．这种省略第一步的做法是错误的，数学归纳法的两个步骤缺一不可．正证当n＝1时，左边＝1，右边＝1，不等式不成立，当n＝2时，左边＝1＋12，右边＝2，1＋12>2成立，下证同错证．误区二、未用归纳假设例2 用数学归纳法证明：2＋22＋…＋2n －1＝2(2n －1－1)(n >2，n ∈N *)． 错证 (1)当n ＝3时，左边＝2＋22＝6，右边＝2(22－1)＝6，等式成立；(2)假设n ＝k (k >2，k ∈N *)时，结论成立，即2＋22＋…＋2k －1＝2(2k －1－1)， 那么由等比数列的前n 项和公式，得2＋22＋…＋2k －1＋2k＝2(1－2k )1－2＝2(2k －1)． 所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对任何n >2，n ∈N *等式都成立．剖析 错证中的第二步没用到归纳假设，直接使用了等比数列的求和公式．由于未用归纳假设，所以使用的方法并非数学归纳法．正证 (1)当n ＝3时，左边＝2＋22＝6，右边＝2(22－1)＝6，等式成立；(2)假设n ＝k (k >2，k ∈N *)时，结论成立，即2＋22＋…＋2k －1＝2(2k －1－1)， 那么n ＝k ＋1时，2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2(2k －1－1)＋2k ＝2·2k －2＝2(2k －1)． 所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对任何n >2，n ∈N *等式都成立．误区三、未注意从n ＝k 到n ＝k ＋1应增加的项例3 求证：1＋2＋3＋…＋2n －1＝12(4n －1＋2n －1)(n ∈N *)． 错证 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝12(41－1＋21－1)＝1，等式成立； (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即1＋2＋3＋…＋2k －1＝12(4k －1＋2k －1)， 那么1＋2＋3＋…＋2k －1＋2k ＝12(4k －1＋2k －1)＋2k ＝12(4k ＋2k )． 所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)(2)，知对任何n ∈N *等式都成立．剖析 错证中有两个问题：第一未注意从n ＝k 到n ＝k ＋1应增加的项，实际上，并非仅增加了2k 一项，而是增加了2k －1项；第二“12(4k －1＋2k －1)＋2k ＝12(4k ＋2k )”是错误的，这是通过结论直接写出，实际上，这是使用数学归纳法的大忌．正证 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝12(41－1＋21－1)＝1，等式成立； (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即1＋2＋3＋…＋2k －1＝12(4k －1＋2k －1)， 那么当n ＝k ＋1时，1＋2＋3＋…＋2k －1＋(2k －1＋1)＋(2k －1＋2)＋…＋2k ＝1＋2＋3＋…＋2k －1＋(2k －1＋1)＋(2k －1＋2)＋…＋(2k －1＋2k －1)＝(1＋2＋3＋…＋2k －1)＋(1＋2＋3＋…＋2k －1)＋2k －1·2k －1＝12(4k －1＋2k －1)＋(1＋2k －1)2k －12＋2k －1·2k －1＝(4k －1＋2k －1)＋2k －1·2k －1＝2×4k －1＋2k －1＝12(4k ＋2k )．所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)(2)，知对任何n ∈N *等式都成立．。

阶段质量检测(二)　推理与证明[考试时间：120分钟　试卷总分：160分]二总　分题　号一151617181920得　分一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)1．(新课标全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市．由此可判断乙去过的城市为________．2．周长一定的平面图形中圆的面积最大，将这个结论类比到空间，可以得到的结论是________．3．下列说法正确的是________．(写出全部正确命题的序号)①演绎推理是由一般到特殊的推理②演绎推理得到的结论一定是正确的③演绎推理的一般模式是“三段论”形式④演绎推理得到的结论的正误与大、小前提和推理形式有关4．“因为AC，BD是菱形ABCD的对角线，所以AC，BD互相垂直且平分．”以上推理的大前提是________________________________．5．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．6．(陕西高考)观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是______________________________．7．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的一个性质为________．1－y21－x28．已知x，y∈R＋，当x2＋y2＝________时，有x＋y＝1.9．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：①当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立；②假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1；③则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝＝2k ＋1－1，则当n ＝k ＋1时1－2k ＋11－2等式成立．由此可知，对任何n ∈N *，等式都成立．上述证明步骤中错误的是________．10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)内切于正方形ABCD ，任取圆上一点P ，若＝m ＋n (m ，n ∈R )，则 OP OAOB 是m 2，n 2的等差中项；现有一椭圆＋＝1(a ＞b ＞0)内切于矩形14x 2a 2y 2b 2ABCD ，任取椭圆上一点P ，若＝m ＋n (m ，n ∈R )，则 OP OAOB m 2，n 2的等差中项为________．11．(安徽高考)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2.过点 A 作BC 的垂2线，垂足为A 1 ；过点 A 1作 AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 2 作A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，依此类推．设BA ＝a 1 ，AA 1＝a 2 , A 1A 2＝a 3 ，…， A 5A 6＝a 7 ，则 a 7＝________.12．已知x >0，不等式x ＋≥2，x ＋≥3，x ＋≥4，…，可推广为x ＋≥n ＋1，1x 4x 227x 3axn 则a 的值为________．13．如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第n 个图形中共有________个顶点．14．(湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为＝n 2＋n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以n (n ＋1)21212下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝n 2＋n ，1212正方形数N (n,4)＝n 2，五边形数 N (n,5)＝n 2－n ，3212六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ，……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________.二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：＋＋≥8.1a 1b 1ab 16．(本小题满分14分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝n (n ∈N *)，若(15)T n ＝a 1＋a 2·5＋a 3·52＋…＋a n ·5n －1，b n ＝6T n －5n a n ，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，求数列{b n }的通项公式．17．(本小题满分14分)观察 ①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝；34②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝.34由上面两式的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．18．(本小题满分16分)已知实数a 、b 、c 满足0<a ，b ，c <2，求证：(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a 不可能同时大于1.19.(本小题满分16分)数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)．(1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项a n 的表达式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝x 3－x ，数列{a n }满足条件：13a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)，(1)证明：a n ≥2n －1(n ∈N *)．(2)试比较＋＋…＋与1的大小，并说明理由．11＋a 111＋a 211＋an 答 案1．解析：由甲、丙的回答易知甲去过A 城市和C 城市，乙去过A 城市或C 城市，结合乙的回答可得乙去过A 城市．答案：A2．解析：平面图形中的图类比空间几何体中的球，周长类比表面积，面积类比体积．故可以得到的结论是：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大．答案：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大3．解析：如果演绎推理的大前提和小前提都正确，则结论一定正确．大前提和小前提中，只要有一项不正确，则结论一定也不正确．故②错误．答案：①③④4．形对角线互相垂直且平分5．解析：＝＝·＝×＝.V 1V 213S 1h 113S 2h 2(S 1S 2)h 1h 2141218答案：1∶86．解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F ＋V －E ＝2.答案：F ＋V －E ＝27．解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心，故可猜想：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心．答案：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心8．解析：要使x ＋y ＝1，1－y 21－x 2只需x 2(1－y 2)＝1＋y 2(1－x 2)－2y ，1－x 2即2y ＝1－x 2＋y 2.1－x 2只需使(－y )2＝0，1－x 2即＝y ，∴x 2＋y 2＝1.1－x 2答案：19．解析：因为③没有用到归纳假设的结果，错误．答案：③10．解析：如图，设P (x ，y )，由＋＝1知A (a ，b )，B (－a ，b )，由x 2a 2y 2b 2＝m ＋n 可得Error!代入＋＝1可得(m －n )2＋(m ＋n )2＝1，即OP OAOB x 2a 2y 2b 2m 2＋n 2＝，所以＝，即m 2，n 2的等差中项为.12m 2＋n 221414答案：1411．解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2，所以2AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝，A 1A 2＝a 3＝1，…，A 5A 6＝a 7＝a 1×6＝.2(22)14法二：求通项：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2，所以2AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sin ·a n ＝a n ＝2×n ，故a 7＝2×2π422(22)6＝.(22)14答案：1412．解析：由x ＋≥2，x ＋＝x ＋≥3，x ＋＝x ＋≥4，…，可推广为1x 4x 222x 227x 333x 3x ＋≥n ＋1，故a ＝n n .nnxn 答案：n n13．解析：设第n 个图形中有a n 个顶点，则a 1＝3＋3×3，a 2＝4＋4×4，…，a n －2＝n ＋n ·n ，a n ＝(n ＋2)2＋n ＋2＝n 2＋5n ＋6.答案：n 2＋5n ＋614．解析：N (n ，k )＝a k n 2＋b k n (k ≥3)，其中数列{a k }是以为首项，为公差的等差数1212列；数列{b k }是以为首项，－为公差的等差数列；所以N (n,24)＝11n 2－10n ，当n ＝10时，1212N (10,24)＝11×102－10×10＝1 000.答案：1 00015．证明：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1.∴1＝a ＋b ≥2，≤，ab ≤，ab ab 1214∴≥4，1ab (当a ＝12，b ＝12时等号成立)又＋＝(a ＋b )＝2＋＋≥4.1a 1b (1a＋1b )b a ab (当a ＝12，b ＝12时等号成立)∴＋＋≥8.1a 1b 1ab 16．解：因为T n ＝a 1＋a 2·5＋a 3·52＋…＋a n ·5n －1，①所以5T n ＝a 1·5＋a 2·52＋a 3·53＋…＋a n －1·5n －1＋a n ·5n ，②由①＋②得：6T n ＝a 1＋(a 1＋a 2)·5＋(a 2＋a 3)·52＋…＋(a n －1＋a n )·5n －1＋a n ·5n＝1＋×5＋2×52＋…＋n －1×5n －1＋an ·5n15(15)(15)＝n ＋a n ·5n ，所以6T n －5n a n ＝n ，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝n .17.解：观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，由此猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝.34证明：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α(cos 30°cos α－sin 30°sin α)＝sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos α－sin 2α3212＝sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin 2α1234＝＋＋sin 2α1－cos 2α41＋cos (60°＋2α)234＝＋＋cos 2α－sin 2α＋sin 2α1－cos 2α412143434＝.3418．证明：假设(2－a )b >1，(2－b )c >1，(2－c )a >1，则三式相乘：(2－a )b (2－b )c (2－c )a >1①而(2－a )a ≤2＝1，(2－a ＋a 2)同理，(2－b )b ≤1，(2－c )c ≤1，即(2－a )b (2－b )c (2－c )a ≤1，显然与①矛盾，所以原结论成立．19．解：(1)由S n ＝2n －a n ，得，a 1＝2－a 1，即a 1＝1.S 2＝a 1＋a 2＝4－a 2，解得a 2＝.32S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝6－a 3，解得a 3＝.74S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝8－a 4，解得a 4＝.158由此猜想a n ＝(n ∈N *)．2n －12n －1(2)①当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝，2k －12k －1那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1，则a k ＋1＝＝＝＝，2＋ak22＋2k －12k －122k ＋1－12k2k ＋1－12(k ＋1)－1这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立．根据①和②，可知猜想对任何n ∈N *都成立，即a n ＝(n ∈N *)．2n －12n －120．解：(1)证明：∵f ′(x )＝x 2－1，∴a n ＋1≥(a n ＋1)2－1＝a ＋2a n .2n ①当n ＝1时，a 1≥1＝21－1，命题成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时命题成立，即a k ≥2k －1；那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1≥a ＋2a k ＝a k (a k ＋2)≥(2k －1)(2k －1＋2)2k ＝22k －1≥2k ＋1－1.即当n ＝k ＋1时，命题成立，综上所述，命题成立．(2)∵a n ≥2n －1，∴1＋a n ≥2n ，∴≤.11＋an 12n ∴＋＋…＋≤＋＋…＋＝1－<1.11＋a 111＋a 211＋an 1212212n 12n。