初中数学知识点梳理（沪教市北综合版）
导言
《初中数学知识点梳理沪教市北综合版》为编者依据沪教版《初中数学》和市北初级中学资优生培训教材《初中数学》的内容综合编撰而成，既吸取了沪教版《初中数学》侧重基础、知识全面的特点，也吸取了市北版《初中数学》拓展广度、延伸深度的特点，实现了两者内容的有机融合，保证了初中数学知识点梳理的基础性、系统性、全面性、拓展性和概括性，能为初中数学的学习提供较好的知识帮助。文中带“（★）”部分为市北版的加深内容，练习带“（★）”部分也为市北版内容。
第一章数的整除
一、知识结构
二、重点和难点
重点：会正确地分解素因数，并会求两个正整数的最大公因数和最小公倍数。
难点：求两个正整数的最小公倍数。
第一节整数和整除
1.1整数和整除的意义
⑴正整数：用来表示物体个数的数1，2，3，4，5…叫做正整数。
⑵负整数：在正整数1，2，3，4，5…之前添上“-”，得到的数-1，-2，-3，-4，-5…叫做负整数。
⑶自然数：零和正整数统称为自然数。
⑷整数：正整数、零、负整数统称为整数。
⑸整除：设a、b是两个整数，且b≠a，若存在整数q，使a＝bq，则称b整除a，或a被b整除，记作b∣a。
（★）
或者说，如果整数a除以整数b(b ≠ 0）所得的商是整数，那么叫做a被b整除，或b能整除a 。
例1：下列哪一个算式的被除数能被除数整除？
28÷7 10÷3 5÷4
解：因为28÷7＝4 ，
10÷3＝3……1 ，
5÷4＝1.25 ，
所以被除数能被除数整除的是28÷7。
例如：a为整数时，
2∣a(a+1)
6∣a(a+1)(a+2)
24∣a(a+1)(a+2)(a+3)
……（★）
解：由于4个连续的整数中必有 1个数为4的倍数，还有另一个数为2的倍数，有1个是3的倍数，因为a、a+1、a+2、a+3为4个连续的整数，
所以，a、a+1、a+2、a+3中必有一个数为4的倍数，另有一个数为2的倍数，有一个数为3的倍数，即为2×3×4=24的倍数。
练习
⑴是否有最小的自然数？
⑵是否有最大的整数？
⑶把下列各数分别填入相应的括号中。
22
－60，12，3.14，0，1，－1，－0.618，—
7
正整数（），负整数（），自然数（），整数（）。
⑷下列各式中，哪些式子表示整除？
12÷4＝3 （） 20÷0.5＝40 （） 35÷7＝5 （）
45÷45＝1 （） 4.2÷1.4＝3（） 78÷7.8＝10 （）
⑸ 2.6÷1.3＝2，能不能说2.6能被1.3整除？
⑹如果a表示一个自然数，且a≥2，写出：
①紧挨着它，在它后面的两个连续自然数_______________;
②紧挨着它，在它前面的两个连续自然数_______________。
⑺下列算式中，哪些是除尽？哪些是整除？
42÷7＝6 （）3÷5＝0.6 （）4÷0.2＝20 （）5÷3＝1……2 （）
8.1÷3＝2.7 （）
2÷3＝0.66666……（）
1.2因数和倍数
⑴倍数和因素：如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数(mutiple)，b就叫做a的因数(factor)
（或a的约数）。倍数和因数是相互依存的。
⑵因素的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
⑶倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
例：求18的因素。
①乘积是18的算式有：1×18=18，2×9=18，3×6=18，所以，18的因素有1，2，3，6，9，18。
②18能整除的算式有：18÷1=18，18÷2=9，18÷3=6，所以，18的因素有1，2，3，6，9，18。
练习
填空:
⑴ 45÷5= 9，( ) 能被( )整除，( )能整除( )；( )是( )的因数，( )
是( )的倍数。
⑵一个正整数a的因数的个数是( )，其中最小的一个是( )，最大的一个是( )；正整数a的倍
数的个数是( )，其中最小的一个是( )。
⑶一个数的最小倍数是9，那么这个数的最大因数是( )，最小因数是( )。
⑷有一个数，它既是6的倍数，又是6的因数，这个数是( )。
1.3数的整除性
例1：一年级72名学生课间加餐共交□52.7□元，□处的数字辨认不清，问每个学生交了多少钱？（★）解：由于72＝8×9，
因此，□527□要都能被8、9整除，
□527□被8整除，即27□被8整除，
从而得出个位数字是2。
□527□被9整除，即：
□＋5＋2＋7＋2＝□＋7＋9
被9整除，从而可得首位是2。
所以每人交了：252.72÷72＝3.51(元)。
答：每人交了3.51元。
例2：要使六位数15ABC6能被36整除，而且所得的商最小，求A、B、C。（★）
解：因为36＝4×9 ，
所以C只可能是1，3，5，7，9。
要使商最小，首先A应尽可能小，
于是取A＝0，又
1＋5＋6＋A＋B＋C＝9＋3＋B＋C
能被9整除，即B＋C＋3是9的倍数，
C只能是1，3，5，7，9，而B应尽可能小，
因此B取1，C取5。
答：A、B、C分别是0、1、5。
练习1.1（★）
1、有15位同学参加学校组织的夏令营活动，老师准备把他们平均分成若干小组，有几种分法？有可能把他们
平均分成4个小组吗？为什么？
2、一班同学分成四个小组糊纸盒，每组糊的个数同样多，小马虎统计时说：全班共糊纸盒342个。小马虎统
计错了吗？为什么？
3、不超过100的正整数中，能被25整除的数有哪些？不错过1000的正整数中，能被125整除的数有哪些？
