【信号与系统】基础：定义、连续和离散、功率和能量、功率信号和能量信号信号和系统的定义信号（signal）的定义：在数学上表⽰为，若⼲个独⽴变量的函数。
系统（system）的定义：在数学上表⽰为，将输⼊信号映射为输出信号的变换。
这个定义很棒，因为可以把我已知的⼀些代数知识联系上去。
⾸先，函数、映射、变换在我脑海中都是⼀个东西在不同背景的叫法。
由于函数满⾜了加法和标量乘法的封闭性，符合向量空间的定义，因此这⾥信号所表⽰的函数，以含⼀个独⽴变量为例，其实可以理解为是⼀个⽆限维的向量（可以想象每隔⼀段微⼩距离就取⼀个函数值）。
那么系统所做的⼯作，也就是把输⼊向量，转换为另⼀个输出向量。
这个⼯作，基本上可以想象为⼀种坐标系变换，或者是⼀个施加变换的动作。
如果是有限维的向量，如果这种变换是线性的，显然就是⼀个矩阵形式。
总之，信号就是⼀个映射，系统是⼀个对映射的映射。
当然这个定义之下有⼀些⼯程背景，⽐如信号函数值可能表⽰某些物理量，它的因变量可以表⽰时间、空间等。
这⾥⾯有两个背景我⽐较喜欢，语⾳信号（speech signal）和图像（image）。
语⾳信号是对时间的函数。
图像是对两个空间变量（长、宽）的函数。
连续时间信号与离散时间信号⾸先，依照惯例，含⼀个⾃变量的信号，都把这个⾃变量看做是时间 t。
这⾥有⼀个连续时间信号（Continuous-Time Signal, CTS）和离散时间信号（Discrete-Time Signal, DTS）的概念。
区分的特性是信号的⾃变量是连续还是离散的。
其实这两个概念的划分是⾮常⾃然的。
信号是⼀个函数，⽽连续函数往往出现在⾃然界和⼈的头脑中，只要放在计算机上⾯，都有⼀个将连续函数离散化的过程。
因此，凡是在⾃然界或⼈脑中表达，那么常常是连续时间信号；凡是在计算机上表达，往往是离散时间信号。
有⼀些约定，对于 CTS，表⽰为 f(t)；⽽对于 DTS，表⽰为 f[n]。
前者像数学表达式，后者像数组。
习题二2.1信号cos()t e wt σ可以表示为 st e 与 *s t e 之和，其中 s jw σ=+，*s jw σ=-， 粗略画出下列信号的波形，并在s 平面标出其频率位置。
（1）()cos(3)x t t =(2)3()cos(3)t x t e t -=(3)2()cos(3)t x t e t =(4)2()t x t e -=(5)3()t x t e =(6)()5x t =x (t )50t2.2粗略画出下列信号。
（1）()(3)(5)x t u t u t =---012345tx (t )1（2）()(3)(5)x t u t u t =-+-（3）2(){(3)(5)}x t t u t u t =--- x (t )902535t（4）()2(3)(5)(7)x t u t u t u t =-----2.3简化下列表达式（1）2sin ()()2t x t t t δ=+=0 （2）2()()9jw x jw ωδω+=+=2()9δω (3) ()()2sin 22()14t x t t t πδ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭=-+=-1(1)5t δ- (4) sin()()()kw x t w wδ==k ()w δ 2.4 求下列积分（1）()()()x t x t d δτττ+∞-∞=-⎰=()()x t d δττ+∞-∞⎰=x(t) (2) ()()()x t x t d τδττ+∞-∞=-⎰=()()()x t t d x t δττ+∞-∞-=⎰ (3) 313()(23)sin()(23)sin()()222x t t t dt t dt t dt δπδπδ+∞+∞+∞-∞-∞-∞=-=-=--⎰⎰⎰=-12(4) ()()()1jwt x t t e dt t dt δδ+∞+∞-∞-∞===⎰⎰(5) ()(2)(3)(1)(3)(1)x t x t t dt x t dt x δδ+∞+∞-∞-∞=--=--=-⎰⎰(6) ()()()()t tjw x t e d d u t τδττδττ-∞-∞===⎰⎰(7) 3()(1)cos[(3)]sin[(3)]|0t x t t w t dt w w t δ+∞=-∞'=--=-=⎰(8)()(2)cos[(2)]cos[(2)](2)t tx t t w t dt w t d t δδ-∞-∞'=--=--=⎰⎰cos[(2)](2)|(2)cos[(2)]tt w t t t d w t δδ-∞-∞-----⎰1(2)sin[(2)]1tw t w t dt δ-∞=----=⎰2.5(1)求信号2()()t x t e u t -=的偶部与奇部2()()t x t e u t -=-偶部 {}{}2211()()(){()()}22t t Ev x t x t x t e u t e u t -=+-=+- 奇部{}{}2211{()}()()()()22t t Od x t x t x t e u t e u t -=--=--（2）2401|()|4t E x t dt e dt +∞+∞-∞-∞===⎰⎰ 总能量422220111|||()()|2448t t t E Ev dt e u t e u t dt e dt -+∞+∞+∞-∞-∞-∞==+-=⨯⨯=⎰⎰⎰偶部能量 422220111|||()()|2448t t t E Od dt e u t e u t dt e dt -+∞+∞+∞-∞-∞-∞==--=⨯⨯=⎰⎰⎰奇部能量 （3）由第二问可以得出信号的总能量等于其奇部与偶部能量之和。
功率信号的傅里叶变换傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学工具。
在信号处理领域，傅里叶变换被广泛应用于分析和处理各种类型的信号。
其中，功率信号的傅里叶变换是一种特殊情况，它在能量有限的信号分析中起着重要的作用。
功率信号是指在无穷时间内的平均功率有限的信号。
与能量信号相比，功率信号的能量是无穷大的，但其平均功率是有限的。
傅里叶变换能够将功率信号从时域转换到频域，将信号表示为一系列频率成分的叠加。
在进行功率信号的傅里叶变换时，首先需要将信号表示为无穷级数的形式，即将信号分解为各个频率成分的叠加。
这可以通过傅里叶级数展开来实现。
傅里叶级数展开是一种将周期信号表示为正弦和余弦函数的和的方法，通过调整不同频率成分的幅值和相位，可以准确地描述原始信号。
然而，对于非周期信号或者具有有限持续时间的信号，傅里叶级数展开并不适用。
在这种情况下，可以使用傅里叶变换来处理信号。
傅里叶变换是傅里叶级数展开的推广，可以处理非周期信号以及具有有限持续时间的信号。
功率信号的傅里叶变换可以通过积分的形式来表示。
对于一个功率信号x(t)，它的傅里叶变换X(f)可以表示为：X(f) = ∫[x(t) * e^(-j2πft)] dt其中，X(f)表示信号在频率域的表示，f表示频率，t表示时间，e^(-j2πft)为复指数函数。
功率信号的傅里叶变换提供了一种将信号从时域转换到频域的方法。
通过傅里叶变换，我们可以获取到信号中各个频率成分的信息，进而对信号进行分析和处理。
例如，可以通过傅里叶变换来计算信号的频谱密度，了解信号中各个频率成分的能量分布情况。
功率信号的傅里叶变换在通信系统、音频处理、图像处理等领域都有广泛的应用。
在通信系统中，傅里叶变换可以用于信号调制、解调、滤波等处理过程。
在音频处理中，傅里叶变换可以用于音频信号的压缩、降噪、特征提取等任务。
在图像处理中，傅里叶变换可以用于图像的频域滤波、图像增强等操作。
功率信号的傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的重要工具。
