Logistic映射及其混沌序列特性分析_曹书豪 (1)

１ Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映 射
经典的 Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映射描述为 ｘｎ＋１ ＝ｆ（μ，ｘｎ）＝μｘｎ（１－ｘｎ）， （１） 其中参数μ ∈ （０，４］，对所有的ｘ ∈ ［０，１］．
收 稿 日 期 ：２０１４－０１－１１ ＊ 通 信 作 者 ：徐 红 梅 （１９７５— ），女 ，讲 师 ，研 究 方 向 为 混 沌 动 力 学 ．
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ ｍｅｔｈｏｄ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ａｎａｌｙｓｉｓ ｔｈｅ ｓｔａｔｕｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｌｏｇｉｓｔｉｃ ｍａｐ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｓｐｅｃｔｒａｌ ｆｅａｔｕｒｅ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ．Ｆｉｒｓｔｌｙ，ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｙｐｉｃａｌ Ｌｏｇｉｓｔｉｃ ｗｈｉｃｈ ｖａｒｉｅｓ ｗｉｔｈ ｐａ－ ｒａｍｅｔｅｒｓ ｉｎ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ｇｉｖｅｎ ｉｎｉｔｉａｌ ｖａｌｕｅ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ；ｓｅｃｏｎｄｌｙ，ｔｈｅ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ｏｆ Ｌｏｇｉｓｔｉｃ ｉｓ ｏｂ－ ｔａｉｎｅｄ ｂｙ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ，ｗｈｉｃｈ ｍａｋｅ ｕｐ ｔｈｅ ｄｅｆｅｃｔ ｏｆ Ｌｏｇｉｓｔｉｃ ｃｈａｏｔｉｃ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｉｎ ｔｈｅ ｔｉｍｅ ｄｏｍａｉｎ ａ－ ｎａｌｙｓｉｓ；ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅ ｇｅｎｕｓ ｒａｎｄｏｍｎｅｓｓ ｏｆ Ｌｏｇｉｓｔｉｃ ｉｓ ｆｉｔ ｔｏ ｓｅｃｕｒｅ ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ ｂｙ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ａｎｄ ａｎａｌｙｓｉｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｌｏｇｉｓｔｉｃ ｍａｐ；ｃｈａｏｓ；ｇｅｎｕｓ ｒａｎｄｏｍｎｅｓｓ；ｓｅｃｕｒｅ ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ
图６ Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映射功率谱（μ ＝３．６）
图７ Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映射功率谱（μ ＝３．９８）
从图４— 图 ７ 可 以 看 到：当 功 率 谱 是 单 峰 或 多峰时，Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映射对 应 于 周 期 态 或 拟 周 期 态； 当μ ＞３．５６９时，功率谱无明显的峰（连成一片）， Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映 射 处 于 弱 混 沌 状 态 ，且 随 着 参 数μ 的 增 大功率谱变得 更 稠 密，其 对 应 的 Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映 射 处 于强混沌状态．
曹 书 豪 ， 徐 红 梅 ＊
（延边大学工学院 电子信息工程系，吉林 延吉 １３３００２ ）
摘要：提出了一种基于频谱特征分析 Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映射工 作 状 态 的 方 法．首 先，对 典 型 Ｌｏｇｉｓｔｉｃ迭 代 映 射 函 数，在 给定初 值 的 情 况 下 随 参 数μ 变 化 得 到 不 同 的 数 值 分 布 序 列 图 和 分 岔 图 ；其 次，通 过 傅 立 叶 变 换 得 到 Ｌｏｇｉｓｔｉｃ 映射的频谱特性，从频域弥补了时域 分 析 中 无 法 观 测 到 的 Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映 射 混 沌 特 性；最 后，通 过 对 比 分 析 表 明 Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映 射 的 类 随 机 性 适 合 应 用 于 保 密 通 信 领 域 ． 关 键 词 ：Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映 射 ；混 沌 ；随 机 性 ；保 密 通 信 中 图 分 类 号 ：ＴＮ９１４．４２ 文 献 标 识 码 ：Ａ
经过多次分岔后，当参数μ ＞３．５７０时，系统进入 混沌状态．
２ Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映 射 混 沌 序 列
分岔图能从总体上反映系统的倍周期运动过 程．根据倍周期分岔 定 理，以 参 数μ 为 横 坐 标、迭 代函数值 为 纵 坐 标，由 （１）式 可 得 到 处 于 不 同 参 数区间的 Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映射分岔图．
５）当μ∈（３．５４４，３．５６４）时 ，系 统 存 在８个 周 期点；
６）当μ ＞３．５６４时 ，Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映 射 进 入 倍 周 期 分 岔 状 态 ．在 此 过 程 中 ，存 在 一 个 重 要 的 度 量 参 数
Ｆｅｉｇｅｎｂａｕｍ 常 数，即ｌｉｍμｎ －μｎ－１ ＝ ４．６６９ ２０１． ｎ→ ! μｎ＋１ wenku.baidu.comμｎ
Ｎ
Ｎ
∑ ∑ ａｋ
＝
１ ｎ
ｉ＝１ｘｉｃｏｓπＮｉｊ，ｂｋ
＝
ｎ１ ｉ＝１ｘｉｓｉｎπＮｉｊ．然 后 ，
计算 Ｐ′Ｋ ＝ａｋ２ ＋ｂｋ２，由多组 变 量 计 算 功 率 谱 后 取
平均值即 得 最 后 的 功 率 谱．图 ４— 图 ７ 给 出 了 初
始值ｘ０ ＝０．３、数据长度取６００点时，参数μ分别 取不同数值时对应的 Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映射功率谱．
３）当３≤μ ≤４时，由（１）式得到的 Ｌｏｇｉｓｔｉｃ 系统动力学行为变得十分复杂 ——— 由倍周期进入 弱 混沌状态后再进入完全混沌状态 ，如图３所示 ．
图 １ Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映 射 分 布 图 图 ２ Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映 射 分 布 图
１３６
延 边 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ）
Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ Ｌｏｇｉｓｔｉｃ ｍａｐ ａｎｄ ｃｈａｏｔｉｃ ｓｅｑｕｅｎｃｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ
ＣＡＯ Ｓｈｕｈａｏ， ＸＵ Ｈｏｎｇｍｅｉ＊
（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ Ｉｎｆｏｒｎａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ， Ｙａｎｂｉａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｙａｎｊｉ １３３００２，Ｃｈｉｎａ ）
１）当μ ∈ （０，１）时，系统稳定于ｘ ＝０； ２）当μ∈［１，３］时，系统有两个稳定点ｘ ＝０ 或ｘ ＝１－ １；
μ ３）当μ ∈ （３，３．４４９）时，系 统 存 在 两 个 周 期
点ｘ
＝ １＋μ±
槡（μ＋１）（μ－３）；
２μ
４）当μ∈（３．４４９，３．５４４）时 ，系 统 存 在４个 周
期点；
状态进行了研究，其 结 果 表 明 系 统 状 态 突 变 的 速 度 和 程 度 与 映 射 的 控 制 参 数 有 关 ．文 献 ［８］研 究 了 噪声相互关联时间对 Ｌｏｇｉｓｔｉｃ系统亚稳态稳定性 的影响．文献［９］研 究 了 基 于 Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映 射 混 沌 扩 频序列的产生方法．基于上述 研 究，本 文 提 出 了 基 于 Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映射频 谱 特 性，分 析 系 统 周 期 态 和 混 沌态的方法．
第４０卷
当３＜μ＜１＋槡６ 时，Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映射迭代序列最终稳
定在两个交替的状态，即周期 ２ 状态；当１ ＋ 槡６ ＜
μ ＜３．５４时，Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映 射 迭 代 序 列 最 终 稳 定 在 ４个 状态，即周期４状态；当３．５４４＜μ ＜３．５６６ ９ 时 ，随 着 参 数μ 的 增 大 ，迭 代 序 列 相 继 出 现 周 期８、 周期 １６ 等 分 岔 现 象；当μ ＞３．５７ 以 后，Ｌｏｇｉｓｔｉｃ 系统 进入了混沌状态，即参数μ ＝ ３．５６９ ９４５ ６７３ 是 Ｌｏｇｉｓｔｉｃ系统从倍周期分岔进入混沌状态的分 界点．由 此 可 知，Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映 射 的 分 岔 点 依 次 为： ３．０、３．４４９ ４８９ ７、３．５４４ ０９、３．５６４ ０７、３．５６８ ７５９、 ３．５６９ ６９２、３．５６９ ８９１ 和３．５６９ ９３４．
第２期
曹 书 豪 ，等 ：Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映 射 及 其 混 沌 序 列 特 性 分 析
１３５
在给定参 数 μ 以 及 系 统 初 值ｘ０ 的 情 况 下， 通过 对 （１）式 的 迭 代 计 算 可 以 获 得 任 意 长 度 的
Ｌｏｇｉｓｔｉｃ序 列 ．当 参 数μ 取 不 同 值 时 ，Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映 射 经过多次迭代以后会出现以下情况：
３ Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映 射 功 率 谱 特 性
信号的时域描述和频域描述是一一对应的，
对于时域上不明显 的 特 性，在 频 域 分 析 时 会 表 现
出显著的变化．处 于 混 沌 态 的 Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映 射 时 间
序列不规则，但其 功 率 谱 可 能 呈 现 出 一 些 独 有 的
特性．对 离 散 序 列 采 用 快 速 傅 氏 变 换，得 到 系 数
在图３的混沌区域内有一些由若干曲线段组 成 的 空 白 带 ，称 做 混 沌 区 域 中 的 周 期 窗 口 ，即 当 参 数μ ＝３．８３６时，Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映射迭代序列出现了周 期３的 循 环 ，这 表 明 Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映 射 自 此 进 入 了 完 全 混 沌 状 态 ，系 统 的 动 力 学 行 为 由 此 变 得 更 加 复 杂 ．
图４ Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映射功率谱（μ ＝１）
图 ３ Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映 射 分 布 图
图５ Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映射功率谱（μ ＝３．５６）
第２期
曹 书 豪 ，等 ：Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映 射 及 其 混 沌 序 列 特 性 分 析
１３７
由以上分析可 以 得 出，由 单 一 Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映 射 产生的混沌序列处 于 完 全 混 沌 状 态 时，频 谱 比 较 平 滑 ，并 且 对 序 列 长 度 具 有 鲁 棒 性 ，与 保 密 通 信 领 域 所 要 求 的 混 沌 信 号 具 有 宽 带 、连 续 频 谱 、对 初 始 条件敏感依赖性的 特 点 相 吻 合，说 明 处 于 混 沌 状 态的 Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映射的部分序列适用于混沌系统的 通信领域．
混沌信号是由确定的非线性系统产生的具有 伪 随 机 性 、不 可 逆 性 和 动 态 特 性 的 信 号 ．由 于 混 沌 信号在传输过程中不易受其他外界因素的影响， 因此混沌通信和混沌加密技术成为国际电子通信 领域重要的研究 方 向，其 研 究 成 果 已 经 被 应 用 到 数据安全和保 密 通 信 等 领 域［１－４］．Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映 射 是 典 型 的 一 维 非 线 性 映 射 ．现 有 数 学 理 论 研 究 证 明 ， 在一维非线性映射中得到的分岔序列和临界点附 近的标度性质 对 于 高 维 映 射 也 同 样 适 用［５］．文 献 ［６］研究了 Ｌｏｇｉｓｔｉｃ混沌系统的信息熵特性，论证 了信息熵值能够 区 分 系 统 的 周 期 态 和 混 沌 态．文 献［７］对 Ｌｏｇｉｓｔｉｃ模 型 的 均 值 突 变 时 间 序 列 临 界
１）当０＜μ ≤１时，由（１）式得到的 Ｌｏｇｉｓｔｉｃ 系统动力学行为很简单，只存在不动点ｘ０ ＝０，且 ｘ０ 为吸引不动点，此时系统处于静止状态，如图 １ 所示．
２）当１＜μ ＜３时，由（１）式得到的 Ｌｏｇｉｓｔｉｃ 系 统 动 力 学 行 为 相 对 较 为 简 单 ，存 在 两 个 不 动 点 ０ 和１－１／μ，且０为排斥不动点，１－１／μ 为吸引不 动点，如图２（ａ）所示．对于每一个确定的参数μ值， 系统只有一个稳定 状 态，即 系 统 处 于 稳 定 的 周 期 １状 态 ，而 且 稳 定 点 的 数 值 随 着 参 数μ 的 增 大 而 增 大．此时 Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映射的分岔图如图２（ｂ）所示．
［３］ 范九伦，张雪锋．分段 Ｌｏｇｉｓｔｉｃ混沌映射 及 其 性 能 分 析 ［Ｊ］．电 子 学 报 ，２００９，３７（４）：７２０－７２５．
［４］ 邱跃洪，何晨，诸鸿 文．一 种 无 限 折 叠 混 沌 映 射 及 其 量化序 列 ［Ｊ］．上 海 交 通 大 学 学 报，２００２，３６（１２）：
第４０卷 第２期 ２０１４ 年 ６ 月
延 边 大 学 学 报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｙａｎｂｉａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ （Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ）
文 章 编 号 ：１００４－４３５３（２０１４）０２－０１３４－０４
Ｖｏｌ．４０ Ｎｏ．２ Ｊｕｎｅ ２０１４
Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映射及其混沌序列特性分析
参考文献：
［１］ 刘 文 波．Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映 射 的 电 路 实 现 及 应 用 ［Ｊ］．数 据 采 集 与 处 理 ，２００１，１６（１）：１２９－１３２．
［２］ 许 刚，田 立 新．Ｌｏｇｉｓｔｉｃ 方 程 中 的 孤 立 子 及 其 控 制 ［Ｊ］．江 苏 大 学 学 报 ，２００４，２５（３）：２２８－２３１．