正余弦定理 解三角形
1. 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C
===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）
两内角与其正弦值：在△ABC 中，B A B A sin sin <⇔<，…
2. 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
2．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或
222222222
cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩
. （1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角
注意：
①正、余弦定理的实质是方程，因此在应用的过程中要留意方程思想；
②三角形可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解； 类型一：解三角形
在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则
cos AC A
的值等于 ，AC 的取值范围_____________ 解析: 设,2.A B θθ∠=⇒=由正弦定理得,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC AC θθθθ=∴=⇒= 由锐角ABC ∆得0290045θθ<<⇒<<
， 又01803903060θθ<-<⇒<<
，故3045cos 22
θθ<<⇒<< ，
2cos AC θ∴=∈
1．在△ABC 中，3,1==b a ，∠A=30°，求c 的值
解析：
举一反三：
变式1：在△ABC 中，已知2,1=
=b c ，B=45°，求C 和a 变式2：已知△ABC 中，3=a ，1=b , A=2B ，求角B 及边c .
变式3：在△ABC 中， 45,2==A a ，3
2sin =B ，求c 的值. 类型二：已知三角形面积解三角形
1．在△ABC 中，0120,,ABC A c b a S =>== c b ,。
变式1．若在△ABC 中，060,1,ABC A b S ∆∠===则
C B A c b a sin sin sin ++++=_______。 变式2.已知三角形的一个角为60°，面积为2310cm ，周长为cm 20，求此三角形的各边长.
类型三：判定三角形的形状
三角形的形状的判定
（1）根据所给条件确定三角形的形状，常用正弦（余弦）定理实施边角转化，主要有两种途径： ①化边为角； ②化角为边。
（2）判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.
（3）解题中利用ABC ∆中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，
如：sin()sin ,A B C += cos()cos ,A B C +=- tan()tan ,A B C +=- sin cos ,cos sin ,tan cot 222222
A B C A B C A B C +++===. 1.在△ABC 中，若2cosBsinA ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ）
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
2．在△ABC 中，bcosA ＝acosB ，则三角形的形状为 （ ）
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．等腰三角形
D ．等边三角形
3．在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状____________
4.在△ABC 中，若2lg sin lg lg lg -==-B c a ，且B 为锐角，判定△ABC 的形状。
分析：a c b 然后用，表示即可
变式：在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 的形状是（ ）
A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．不能确定
D ．等腰三角形 类型四：证明三角形中的三角恒等式
例：已知△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为c b a ,,，求证：B c C b a cos cos +=.
思路点拨：恒等式的证明实际上就是化繁为简，可以化角为边，也可以化边为角.
解析：法一：利用余弦定理
∵右=左，
∴.
法二：利用正弦定理
∵右==左，
∴.
举一反三：
1．在△ABC 中，求证：)cos cos (a A
b B
c a b b a -=-
2．在△ABC 中，若223cos cos 222C
A
b
a c +=，则求证：2a c
b +=
3．△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别是c b a ,,，如果a 2=b （b+c ），求证：A=2B
用2222cos a b c bc A =+-把左边换掉即可
类型五：求三角形的边（角）问题
1．在△ABC 中，已知c b
c B A B A -=+-tan tan tan tan ，求角A ．
切化弦即可
2．在△ABC 中，设,3,2π
=-=+C A b c a 求B sin 的值。
分析：2a c b +=化正弦把+3A C π=带入化简后把626A C
ππ
-
=把划过来即可
3.在△ABC 中，内角A 、B 、C 对边的边长分别是c b a ,,，已知3,2π
==C c ．
（1）若△ABC 的面积等于3，求,,b a ；（2）若A A B C 2sin 2)sin(sin =-+，求△ABC 的面积．
4.在ABC ∆中，A B C 、、是三角形的三内角，a b c 、、是三内角对应的三边，已知222b c a bc +-=．
（1）求角A 的大小； （2）若222sin sin sin A B C +=，求角B 的大小．
5.已知A 、B 、C 是ABC ∆三内角，向量)3,1(-=m )sin ,(cos A A n =，且1.=n m 。（1）求角A ；
（2）若221sin 23,cos sin B
B B +=--求tan
C 。
类型六：三角形多解问题。
已知两边和其中一对角,.求另一边的对角时要注意分类讨论
1: 在ABC ∆中，A 、B 的对边分别是 a b 、，且A =30 24,a == ，那么满足条件的ABC ∆ （
）
A 、 有一个解
B 、有两个解
C 、无解
D 、不能确定
