2019年全国高中数学联赛浙江赛区预赛试题

年高中数学联赛浙江赛区初赛试题

阳泉十一中：杨翔鹏整理（说明：本试卷满分分，共题，道填空题，道解答题。填空题的答案和解答题的解答过程写在答题纸上。）

一、填空题（每题分，共分）

如图，将长度为的线段分为两段，再将长度为的线

段弯成半圆周，将长度为的线段折成矩形

三条边，构成闭“曲边形”，则

该曲边形面积的最大值为 .

已知集合为正整数，若集合中所有元素之和为

则当取最大值时，集合 .

设，则的最大值为 .

设三条不同的直线：

则它们相交于一点的充分必要条件为 .

如图，在中，.在

边上取一点，将沿线段折

起，得到，当平面垂直平面时，则

到平面的距离最大值为 .

如图，在中，分别为上的点，且

.设为四边形

内一点.若则实数的

取值范围为 .

设，定义则 .

设为复数，且满足，，则取值

为 .

设，数列满足，.若，则的取值范围为 .

在复平面上，任取方程的三个不同的根为顶点组成三角形，则不同的锐角三角形的数目为 .

二、解答题（第题分，第题各分）

如图，椭圆，抛物线.

设相交于两点，为坐标原点.

若的外心在椭圆上，求实数的值；

若的外接圆经过点，求实数的值.

设.若，证明：

设是有限集，为正整数，是包含.如果中的部分子集构成的集族满足：对中任意两个不相等的集合，

均不成立，则称为反链.设为包含集合最多的反链，是任意反链.证明存在到的单射成立.