学案 正弦型函数的图像和性质

5.4 三角函数的图象与性质 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象【学习目标】1.了解正弦函数、余弦函数的图象． 2.会用五点法画正弦函数、余弦函数的图象．3.能利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题．【自主学习】一．正弦函数的图象正弦函数的图象叫做 ，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．五点法：在函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，以下五个点： ，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1， ，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，在确定图象形状时起关键作用．描出这五个点，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象形状就基本确定了．因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图． 二．余弦函数图象1.变换法将正弦函数的图象向左平移π2个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示．余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 的图象叫做余弦曲线．它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．2.五点法：y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的五个关键点为： ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0， ，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0， ，用光滑曲线连接这五个点可得到x ∈[－π，π]的简图．注意：(1)“五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点，这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法．(2)“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象时要注意图象的对称性和凸凹方向．【小试牛刀】1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)正、余弦函数的图象形状相同，位置不同．( ) (2)正、余弦函数的图象向左、右和上、下无限伸展．( )(3)将正弦曲线向右平移π2个单位就得到余弦曲线．( )(4)函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π2的图象与函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象的形状完全一致．( )(5)函数y ＝sin x ，x ∈[2k π，2(k ＋1)π]k ∈Z ，且k ≠0的图象与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象形状完全一致．( ) 2.用五点法作函数y ＝sin 2x ，x ∈[0，π]的简图的五个点的横坐标为( ) A ．0，π2，π，3π2，2π B ．0，π4，π2，3π4，π C ．0，π，2π，3π，4π D ．0，π6，π3，π2，2π3【经典例题】题型一 用“五点法”作三角函数图象点拨：用“五点法”画函数y ＝A sin x ＋b (A ≠0)在[0,2π]上的简图的步骤 1.列表2.描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y 1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，y 2，(π，y 3)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，y 4，(2π，y 5)．3.连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来． 例1 用“五点法”作出下列函数的简图：(1)y ＝－sin x (0≤x ≤2π)； (2)y ＝1＋cos x (0≤x ≤2π)．【跟踪训练】1 用“五点法”作出函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，11π6的图象．题型二 利用正、余弦函数的图象解简单的三角不等式 点拨：用三角函数图象解三角不等式的步骤1.作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象(也可以是[－π，π]上的图象)；2.在[0,2π]上或([－π，π]上)写出适合三角不等式的解集；3.根据公式一写出定义域内的解集．例2 利用正弦曲线，求满足12<sin x ≤32的x 的集合．【跟踪训练】2 求下列函数的定义域．(1)y ＝lg(－cos x )； (2)y ＝2sin x － 2.题型三 利用正弦(余弦)函数图象解决图象交点问题 点拨：方程根(或个数)的两种判断方法1.代数法：直接求出方程的根，得到根的个数．2.几何法：(1)方程两边直接作差构造一个函数，作出函数的图象，利用对应函数的图象，观察与x 轴的交点个数，有几个交点原方程就有几个根．(2)转化为两个函数，分别作这两个函数的图象，观察交点个数，有几个交点原方程就有几个根． 例3 方程x ＋sin x ＝0的根有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个【跟踪训练】3 方程sin x ＝lg x 的解的个数是________．【当堂达标】1.对于余弦函数y ＝cos x 的图象，有以下三项描述： ①向左向右无限延伸； ②与x 轴有无数多个交点；③与y ＝sin x 的图象形状一样，只是位置不同． 其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2.函数y ＝1－sin x ，x ∈[0,2π]的大致图象是( )3.使不等式2－2sin x ≥0成立的x 的取值集合是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2k π＋π4≤x ≤2k π＋3π4，k ∈Z B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2k π＋π4≤x ≤2k π＋7π4，k ∈Z C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2k π－5π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋5π4≤x ≤2k π＋7π4，k ∈Z4.方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是________．5.若方程sin x ＝4m ＋1在[0，2π]上有解，则实数m 的取值范围是________．6.求下列函数的定义域．(1)y ＝ sin x －12＋cos x ；(2)y ＝sin x ＋25－x 2.7.在[0，2π]内用“五点法”作出y ＝－2cos x ＋3的简图．。

1.3《正弦函数的图像和性质》 导学案 2015/3/20命制：徐 庆 班级 姓名导学目标:1．掌握正弦函数图象的画法．2．理解并熟练掌握用“五点法”作出正弦函数简图的方法，并利用正弦函数图象掌握单调 性、最值等有关结论。

3．通过学习正弦函数图象的画法培养分析问题、解决问题的能力．重点与难点:五点法画正弦函数的图象、理解正弦函数y=sinx 的性质．课前自主练习：分别画出一、二、三、四象限角的正弦线xyxyxyx y探索新知：一、研究正弦函数 的图像 方法1. 描点法:基本步骤： ⑴列表 ⑵描点 ⑶连线 x6π 3π 2π 32π 65π π 67π 34π 23π 35π 611π2π y=sinx方法2. 三角函数线法 :第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n(这里n=12)等份.把x 轴上从0到2π这一段分成n (这里12n =)等份.第二步：在单位圆中画出对应于角6,0π，3π，2π,…，2π的正弦线（等价于“列表” ）.把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）.第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数 y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象．---2π23πxyπ2π11----[]π2,0,sin∈=x x y _ - 1_1_ x _ 11_x _10 _x _8_x _7_x _5_x _4_ x_ 3_ x _2_x _1 _ M _ 5_ M _ 4_ M _ 2_ M _ 1_ P _ 11_ P_ 10_ P_9_ P_8_ P_7_ P _5_ P _4_ P _3_ P _2_ P _1_ P __ P _6 _ o' _x _9_ O_y _x思考一，在精度要求不高的情况下，如何画出y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象？正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：思考二，如何画出y=sinx ，x ∈R 的图象？知识升华：根据上图y=sinx ，x ∈R 的图象，可以得到正弦函数y=sinx ，x ∈R 的以下重要结论：8．最值情况：①当且仅当x ＝ 时，取得最大值 ； ②当且仅当x ＝ 时，取得最小值 ．1. 定义域:2. 值域：3. 奇偶性:5.单调性:单调递增区间: 单调递减区间:6.对称中心:π7. 对称轴方程:4. (最小正) 周期:x典例剖析：例1.比较下列各组数的大小例2. “五点法” 画出函数y =1+sin x ，x ∈[0, 2π]的简图oo 200sin 10sin 与巩固练习1．比较大小： ⎪⎭⎫⎝⎛5sin π⎪⎭⎫⎝⎛3sin π2、“五点法” 画出函数y=2sinx 在一个周期内的简图课堂小结：课后作业：1、课本p43,练习1、2、32、“五点法” 画出函数y=sin2x 在一个周期内的简图3、“五点法” 画出函数y =sin （x + 3）在一个周期内 的简图：。

《正弦型函数的图象》学案一、学习要求：1、了解正弦型函数的振幅、圆频率、初相，会求出周期。

2、会用五点作图法作出正弦型函数的图象。

二、学习重点：五点法作正弦型函数在一个周期内的简图。

学习难点：正弦型函数图象中五点的确定 三、课时安排：一课时 四、学习过程； （一）课前尝试 1、学习方法：（1）回顾y=sinx 的图象和性质。

图象： 性质：（2）认真阅读书P.197-P.199 2、尝试练习（1）正弦型函数的一般式： （2）一弹簧振子的位移y 与时间t 的函数关系为y=3sin()32π+t (A ＞0，ω＞0)则弹簧振子振动的振幅为 ，圆频率为 . 初相为 ，周期为 。

（3）作出函数y=2sinx 在一个周期内的简图。

（二）课堂探究 1、问题情境：在物理和工程的许多实际问题中，会遇到这样的函数，如物体作简谐振动时 ，位移 s 与时间 t 之间的关系为s = A sin (ωt + ϕ)。

正弦交流电的电压 u 与时间 t 之间的关系为 u = Um sin (ωt + ϕ)2、知识链接正弦型函数一般式、振幅、圆频率、初相、周期。

3、问题探究：用五点作图法作出函数y=sin(x+3π)在一个周期内的简图4、拓展练习(1)用五点作图法作出函数 y=2sin(x -3π)在一个周期内的简图解：T=①、列表：②、五点：③、作图：5、当堂训练（1）用五点作图法作出函数 y=2sin(2x +4π)在一个周期内的简图（2）思考1：将上题“在一个周期内”改为x ∈R的图象如何变化？思考2：如何作出在[0，2π]的图象？6、归纳总结：（三）课后拓展（1）求函数y=2sin(2x +6π)的最大值、最小值、周期，并作出在一个周期内的图象。

（2）网上查找有关正弦型函数的实际应用例子。

（四）格言警句：学习数学要多做习题，边做边思索。

先其知然，然后再知其所以然。

（苏步青）。

6.3函数()sin y A x ωϕ=+的图像与性质（1）学案内容及要求：在0,0A ω>>的情况下：1.研究sin ,sin ,sin y A x y x y A x ωω===的图像与性质，发现并掌握他们与sin y x =的图像与性质之间的关系；2.会用五点法作sin ,sin ,sin y A x y x y A x ωω===的大致图像。

基础知识及技能：1.函数sin ,sin ,sin y A x y x y A x ωω===图像与性质与sin y x =图像与性质之间的关系；2.五点法作图。

课堂教学素材： （一） 引入 一、设置情境：在物理和工程技术的许多问题中 ，往往都会遇到形如 ()sin y A x ωϕ=+ (其中,,A ωϕ为常数) 的函数。

例如：在简谐振动中位移与时间的函数关系就是形如 ()sin y A x ωϕ=+的函数。

思考：函数 ()sin y A x ωϕ=+中的,,A ωϕ这三个常数会使函数 sin y x =的图像发生什么变化呢？二．双基回顾正弦函数sin y x =的图像与性质 图像：（五点法作图）性质：定义域： 值域（最值）： 周期： 奇偶性： 单调性：（二） 新课一、图像的联系与)0(sin sin >==A x A y x y 例1：在同一坐标系内，作函数 y =2sin x 和 y =21sin x 长度为一个周期的图像，并指出它们的图像与 y =sin x 图像的关系。

注：五个关键点_________________________________；_______________________________。

结论1：一般地，函数y =A sin x (A >0且A ≠1）的图像可以看作是把y =sin x 的图像上所有点的纵坐标伸长（ ）或缩短（ ）到原来的_______（ ）而得到的。

二、图像的联系与)0(sin sin >==ωωx y x y例2：在同一坐标系内，作函数 y =sin2x 和 y =sin 21x 长度为一个周期的图像，并指出它们的图像与 y =sin x 的关系。