渭南师范学院本科毕业论文题目：实数完备性的应用学院：数学与信息科学学院专业班级：数学与应用数学专业2009级3班毕业年份： 2013 姓名：孙月学号： 090741115 指导教师：杨倩利职称：教授渭南师范学院教务处制目录本科毕业论文任务书 (1)本科毕业论文开题报告 (3)本科毕业论文登记表 (5)本科毕业论文文稿 (7)本科毕业论文答辩记录…………………（论文最后页码+1）渭南师范学院本科毕业论文（设计）任务书注：1. 任务书由指导教师填写、经系主任及主管院长审批后，在第七学期末之前下达给学生。
2. 文献查阅指引，应是对查阅内容和查阅方法的指引，即查阅什么和怎样查阅。
渭南师范学院本科毕业论文（设计）开题报告注：开题报告是在导师的指导下，由学生填写。
渭南师范学院本科毕业论文（设计）登记表实数的完备性及其应用孙月（渭南师范学院 数学与信息科学学院 09数本三班）摘 要：实数集的完备性是我们研究实数集的一个基本特征,它在微积分学中起着重要的理论基础作用.我们在学习的过程中可以从不同的方面来刻画实数集的完备性,因此就得出了多个实数集的完备性基本定理,主要包括六个实数集完备性基本定理.通过对这六个基本定理的应用,来对实数集完备性基本定理进行更加深刻的理解.关键词：完备性；反证法；连续性.引言众所周知,数学分析研究的基本对象是函数及其各分析性质（主要包括连续性,可微性以及可积性）,所用的知识是极限理论.极限理论问题首先是极限存在问题.一个数列是否存在极限,不仅与数列本身的结构有关,而且也与数列所在数集有关.如果在有理数集Q 上讨论极限,那么单调有界的有理数列就不一定存在极限.例如,单调有界的有理数列11nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭就不存在极限,因为它的极限是e,是无理数.由于实数集关于极限的运算是封闭的,是实数集的优点,是有别于有理数集的重要特征.因此,将极限理论建立在实数集上就使得极限理论有了巩固的基础.所以实数集的完备性是数学分析的基础.它在整个数学分析中占据着重要的位置.1.实数集的完备性定理1 （确界原理）非空有上（下）界的数集必有上（下）确界. 定理2 (单调有界定理) 任何单调有界数列必定收敛． 定理3 (区间套定理） 设[]{},n n a b 为一区间套： 1.[][]11,,,1,2,n n n n a b a b n ++⊃=L 2.()0lim n n n b a →∞-=.则存在唯一一点[],,1,2,n n a b n ξ∈=L .定理4 (有限覆盖定理) 设(){},H αβ=是闭区间[],a b 的一个无限开覆盖,即[],a b 中每一点都含于中至少一个开区间(),αβ内．则在H 中必存在有限个开区间,它们构成[],a b 的一个有限开覆盖．定理5 (聚点定理) 直线上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点ξ,即在ξ的任意小邻域内都含有S 中无限多个点（ξ本身可以属于S ,也可以不属于S ）．定理 6 (柯西准则) 数列{}n α收敛的充要条件是：0,N N ε+∀>∃∈,只要,n m N >, 恒有m n ααε-<．（后者又称为柯西（Cauchy ）条件,满足柯西条件的数列又称为柯西列,或基本数列）2. 实数完备性的应用实数的完备性定理在闭区间上连续函数性质的证明以及数列收敛有着广泛的应用我们将通过一系列典型的例题来描述实数完备性定理的应用并且认识实数完备性定理在数学学习中的重要作用和地位.2.1实数完备性在连续函数性质方面的应用例1.设f 为],[b a 上的增函数，其值域为)](),([b f a f 。
证明f 在],[b a 上连续。
证明：反证法。
假设f 在],[b a 上某点0x 不连续，则存在00>ε，对任意的0>δ，存在);(0δx U x ∈，使得00)()(ε≥-x f x f 。
又f 为],[b a 上的增函数，则有)()()(0b f x f a f ≤≤。
)](),([b f a f 是一个闭区间，由实数的稠密性，对上述0ε，存在δ，当δ+<<00x x x 时，有00)()(ε<-x f x f 成立。
由假设推出的结论与此矛盾，因此假设错误，原命题结论成立。
即f 在],[b a 上连续。
例2. 证明 若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续,则它在[],a b 上有界.证明：用反证法.若()f x 在[],a b 无界,将[],a b 等分为两个小区间,,22a b a b a b ++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦与,则()f x 至少在其中一个区间上无界,把它记为[]11,a b ；再把[]11,a b 等分为两个小区间,同样()f x 至少在一个区间上无界,记为[]22,a b .如此进行下去,得到一个闭区间套[]{}n n ,a b ,且()f x 在任何一个区间上都是无界的.根据闭区间套定理,存在唯一的实数ξ属于所有的闭区间[]n n ,a b ,并且lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==因为[],a b ξ∈,而()f x 在点ξ连续,则0,0M δ∃>>对于一切()[],,x U a b ξδ∈⋂有()f x M ≤.由于lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==对于充分大的n 有[]()[]n n ,,,a b U a b ξδ⊂⋂于是得到()f x 在[]n n ,a b （n 充分大）上有界.矛盾.即证.例3. 若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续,且()f a *()f b <0,则一定 存在ξ∈[],a b ,使得()0f ξ=.证 不失一般性,设()f a <0, ()0f b >,定义集合V ：[]{}()0,,V x f x x a b =<∈.显然,集合V 有界,非空,所以必有上确界.令 sup V ξ=,下面证明(),a b ξ∈且()0f ξ=由()f x 的连续性及()f a <0,[]110,,:()0;x a a f x δδ∃>∀∈+<再由()0f b >[]220,,:()0x b b f x δδ∃>∀∈->于是可知：12a b δξδ+≤≤-即(),a b ξ∈取()()1,2,,n n x V n x n ξ∈=→→∞L ,因为()0n f x <,可以得到()lim ()0n n f f x ξ→∞=≤若()0f ξ<,由()f x 在点ξ的连续性,()0,,:()0x U f x δξδ∃>∀∈<. 这就与sup V ξ=产生矛盾.于是必然有()0f ξ=.即证. 2.2实数完备性在证明函数一致连续方面的应用。
例4.设f 在),[+∞a 上连续,且)(lim x f x +∞→存在. 证明f 在),[+∞a 上一致连续。
证明：因为)(lim x f x +∞→存在，设A x f x =+∞→)(lim ，则对任意的0>ε，存在0>M ，当Mx >时，有ε<-A x f )(。
又)(x f 在),[+∞a 上连续，从而可得，有)(x f 在],[M a 上一致连续。
对任意的),[,+∞∈'''M x x ，有ε<-'A x f )(，ε<-''A x f )(。
从而有ε2)()()()()()(<-''+-'≤''-+-'=''-'A x f A x f x f A A x f x f x f 。
所以)(x f 在),[+∞M 上一致连续。
由例10的结论可知)(x f 在),[+∞a 上一致连续。
例5.证明：2)(x x f =在],[b a 上一致连续，但在),(+∞-∞上不一致连续。
证明：先证2)(x x f =在],[b a 上一致连续， 由于],[,b a x x ∈'''时，有x x b a x x x x x x x x x x x f x f ''-'⋅≤''-'⋅''+'≤''-'⋅''+'=''-'=''-'},max{2)()()()()(22令},max{2b a c =，所以对任给的0>ε，取cεδ=，当],[,b a x x ∈'''且δ<''-'x x 时，有ε<''-')()(x f x f ，故)(x f 在],[b a 上一致连续。
再证)(x f 在),(+∞-∞上不一致连续。
取10=ε，无论正数δ多么小，存在2,1121δδ+==x x x 满足：δδ<<-221x x ，但0221212221141εδ=>+=-⋅+=-x x x x x x ，所以2)(x x f =在),(+∞-∞上不一致连续。
例6.若函数f 在闭区间[],a b 上连续,则f 在[],a b 上一致连续.证明：用反证法.假设()f x 在[],a b 上非一致连续,则存在00ε>及两点列{}nx '，{}n x '',[],,n n x x a b '''∈满足()()()011,2nn nx x f x f x n nε''''''-<-≥=L . 因为{}nx '有界,由聚点定理的推论有,存在收敛子列{}k n x '：[]lim ,,k n n x a b ξξ→∞'=∈. 在点列{}nx ''中取子列{}k n x '',其下标与{}k n x '下标相同,则由1,1,2k k n n kx x k n '''-<=L ,又得到()lim lim lim k kk k k nn n n n n n n x x x x x ξ→∞→∞→∞⎡⎤'''''''=+-==⎣⎦ 由于函数()f x 在点ξ连续,因而有()()()lim lim k k nn n n f x f x f ξ→∞→∞'''== 于是得到： ()()()lim lim k k nn n n f x f x f ξ→∞→∞'''==但是这与()()0n f x f x ε'''-≥矛盾. 所以假设错误.即证. 2.3实数完备性在可测集上的应用。
