第4讲勾股定理的实际应用问题题型1.面积问题勾股定理c2=a2+b2描述描述的是直角三角形三边长的关系，但是这个等式可以用在不同的条件中去解决问题，例如由直角三角形衍生出的面积问题。
2.我们之前通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系，同时也学习了用面积方法证明勾股定理．在下列三幅图中，我们来探究一下勾股定理在面积问题中的应用。
问题1：以直角三角形的三边为直角边向外作等腰直角三角形，探究S1、S2与S3的关系（如图1）．问题2：以直角三角形的三边为直径向形外作半圆，探究S1、S2与S3的关系（如图2）．练习题：1.勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I 都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（）A．90B．100 C．110 D．121 2.如图，梯形ABCD中，AD∥BC、AB＝CD，AC丄BD于点O，∠BAC＝60°，若BC＝错误！未找到引用源。
，则此梯形的面积为（）A、2 B、1＋3错误！未找到引用源。
C、62 D、2＋错误！未找到引用源。
5.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是．6.现有四块直角边为a，b，斜边为c的直角三角形的纸板，我们可以从中取出若干块拼图（需画出所拼的图形）然后证明勾股定理．如拼成下图，可利用相等面积关系证明勾股定理．（1）利用所拼的图形证明勾股定理；（2）请你再拼一个图形，然后通过上述的方法证明勾股定理．题型2.长度问题：解决关键：首先构造直角三角形，然后利用勾股定理求解1.在一次台风天气过后，一旗杆在其31的B处折断，量得AC=3m，则旗杆原来有多高？2.公园里有间距为3m的两棵树，其中大树高6m，小树高2m，有一只愤怒的小鸟从大树顶端沿直线飞到了小树顶端，问愤怒的小鸟飞了多少米？3.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小明头顶正上方4km处，过了20秒，飞机距离小明头顶5km，问：飞机的速度是多少km/s？练习：1.如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面2.8米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部9.6米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？2.有一只喜鹊在一棵5m高的小树上觅食，它的巢筑在距该树24m的一棵大树上，大树高12m ，当它听到巢中幼鸟的叫声时，立即赶过去，若它飞行速度为5m/s，则它至少需要多少时间才能赶回巢中？3.如图，飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4800m处，过了10s，飞机距离这个男孩头顶5000m，飞机每秒飞行多少米？题型3.行程中的距离问题解决关键:首先判断直角三角形，然后利用勾股定理求解1.如图，甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两点，且知AB=30海里，问乙轮船每小时航行多少海里？练习：1.已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）．某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固1.一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子底端距墙底6m ． （1）求梯子的顶端与地面的距离.（2）若梯子的底端水平向外滑动1m ，梯子的顶端端C 也下移1 m 吗？（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？练习题：1.在一次火灾中，消防员要通过梯子登上12米高的房顶，按照规定，为保证安全，梯子底端离3.如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面2米，问：发生火灾的住户窗口距离地面多高？4.如图所示，一个3m 长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO 的距离为2.5m ，如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m ，那么梯子底端B 也外移0.5m 吗？如果不是的话，移动了多少米？5.小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真的探索． 【思考题】如图，一架2.5米长的梯子AB 斜靠在竖直的墙AC 上，这时B 到墙C 的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B 将向外移动多少米？ （1）请你将小明对“思考题”的解答补充完整：解：设点B 将向外移动x 米，即BB 1=x ，则B 1C=x+0.7，A 1C=AC ﹣AA 10.42=而A 1B 1=2.5，在Rt △A 1B 1C 中，由2221111BC AC A B +=得方程，解方程得x 1= ，x 2= ， ∴点B 将向外移动 米．（2）“解完思考题”后，小聪提出了如下两个问题：【问题一】在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从A 处沿墙AC 下滑的距离与点B 向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？请你解答小聪提出的这两个问题．题型5.容纳问题1.如图是一个长方体盒子，棱长AB=2cm ，BF=3cm ，BC=4cm ． (1)连接BD ，求BD 的长；(2)一根长为6cm 的木棒能放进这个盒子里去吗？说明你的理由．2.如图所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽2.6米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？练习题：1.一辆装满货物的卡车，2.5米高，1.6米宽，想要开进某工厂，工厂厂门如图所示(上部分为半圆，下部分为长方形)，则这辆卡车 通过．(填“能”或“不能”)2.将一根24cm 的吸管，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度h cm ，则h 的取值范围是（ ）A ．h ≤17cmB ．h ≥8cmC ．15cm ≤h ≤16cmD ．7cm ≤h ≤16cm3.如图，将一根21cm 的筷子，置于底面直径为8cm ，高15cm 的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的最短长度是 cm ．4.在长，宽，高分别为12cm ，4cm ，3cm 的木箱中，放一根木棒，能放进去的木棒的最大长度为 cm.5.如图将一根15cm 长的细木棒放入长宽分别为4cm ，3cm 和12cm 的长方体无盖盒子中，则细木棒露在外面的最短长度是多少？6.小明要把一根长为70cm 的木棒放到一个长、宽、高分别为50cm ，40cm ，30cm 的木箱中，他能放进去吗？7.如图，一个直径为8cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm，当筷子倒向杯壁时(筷子底端不动)，筷子顶端刚好触到杯口，求筷子长度和杯子的高度．题型6.爬行问题（最短距离问题）1.如图，一只蚂蚁从长宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是( )A．(18+8)cmB．10cm C．14cm D．无法确定2.有一个棱长为1m且封闭的正方形纸箱，一只蚂蚁沿纸箱表面从顶点A爬到顶点B，那么这只蚂蚁爬行的最短路程是 m.3.如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，有一动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点M的最短距离为 .（结果保留π）练习题：1.如图，圆柱底面直径AB、母线BC均为4cm，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC课后练习：1.已知三角形相邻两边长分别为20cm 和30cm．第三边上的高为10cm，则此三角形的面积为___________cm2．2.如图：Rt△ABC中，∠A=900，BC=4，∠ABC=60°，点P是直线AB上不同于A、B的一点，且∠ACP=300，则PB的长为．3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，若DE=2，CD=则BE的长为．4.如图，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10，点E是CD的中点则AE的长是_______．3.如图，矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为（）A．14 B．16 C．20 D．284.如图为梯形纸片ABCD，E点在BC上，且∠AEC＝∠C＝∠D＝90°，AD＝3，BC＝9，CD＝8．若以AE为折线，将C折至BE上，使得CD与AB交于F点，则BF长度为何（）A．4.5 B．5 C．5.5 D．6备选练习： 备选练习：5.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=15，BC ：AC=3：4，则BC=______．6.一直角三角形的两条直角边长度分别为7和24，则第三边长度是多少？1.如图，矩形OABC 的边OA 长为2，边AB 长为1，OA 在数轴上，以原点O 为圆心，对角线OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ） A 、2.5B 、22错误！未找到引用源。
