高一年级数学月考试题

高一年级第二学期第一次检测数学（理科）试题考试时间：120分钟 分值：150分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．下列命题正确的是（ ）A ．OA OB AB -=u u u r u u u r u u u r B ．0AB BA +=u u u r u u u rC ．00AB =r u u u r r gD ．AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r2．已知O 为坐标原点，(1,2)OA =u u u r ，(1,3)AC =-u u u r，则点C 的坐标是（ ）A ．(2,1)-B ．(0,5)C ．(1,6)-D ．(0,1)-3．已知,a b r r 满足1a b ==r r ，,a b r r 的夹角为120o则a b =r r g( )A ．12 B ．12- C D ．14．已知点(1,3),(2,A B x -），向量(1,2)a =r若//AB a u u u r r 则实数x 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．65．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若2a =，3b =，6A π=，则ABC ∆解的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．不确定6．已知向量()0,5a =r ，向量()3,1b =-r ，若a b μ-r r 与a b +r r垂直，则μ=（ ）A ．1-B ．1C ．12D ．147．在ABC ∆中，若cos cos a cA C b++=，则ABC ∆的形状是( ) A ．C 为直角的直角三角形 B ． C 为钝角的钝角三角形 C ．B 为直角的直角三角形 D ． A 为锐角的三角形8．已知非零向量a r ，b r 满足||4||b a =r r ，且(2)a a b ⊥+r r r ，则a r与b r 的夹角为( )A ．3π B ．2π C ．23π D ．56π 9．在ABC ∆中，若222cos cos cos 1A B C +->，则ABC ∆的形状是( ) A ．锐角三角形 B ． 钝角三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定 10．已知O 是平面上一点,，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，点O 满足0AB AC BA BC OA OB AB AC BA BC ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⋅-=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r ，则O 点一定是△ABC 的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心11．已知|a v|=|b v|=1，且a v⊥b v，则2a v +b v 在a v +b v方向上的投影为( )A ．2 B ．2C ．2 D ．2 12．在△ABC 中，(cos18,cos 72)AB =o o u u u r ，(2sin 27,2sin 63)BC =o ou u u r ，则△ABC 的面积为（ ） ABCD第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）13．已知向量(2,1)a =r，10a b ⋅=r r，a b +=r r b r ＝____.14．在平行四边形ABCD 中，F 是CD 边的中点，AF 与BD 相交于E ，设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，用,a b r r表示 _________.AE =u u u r15．在锐角ABC ∆中，三个内角,,A B C 对应的三边分别为,,a b c ，给出下列结论：①B A cos sin >；②tan tan 1A B <；③0>•；④222a b c +>.其中正确结论的序号有_________.16．在△ABC 中，3B π=，BC边上的高等于3BC ，则sin _______.A =三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.） 17．（本题满分10分）已知向量(3,),a x =r (4,8),b =-r (2,)c y =r且//a b r r ，a c ⊥r r 。

2023-2024学年河南省高一上册第一次月考数学试题一、单选题1．已知集合{}220A x x x =-≤，{}1,0,3B =-，则()R A B ⋂=ð（）A ．∅B ．{}0,1C ．{}1,0,3-D ．{}1,3-【正确答案】D【分析】先由一元二次不等式的解法求得集合A ，再由集合的补集和交集运算可求得答案.【详解】因为{}{}22002A x x x x x =-≤=≤≤，所以{R |0A x x =<ð或}2x >，又{}1,0,3B =-，所以(){}1,3R A B ⋂=-ð，故选：D ．2．已知函数()f x =()()3y f x f x =+-的定义域是（）A ．[-5，4]B ．[-2，7]C ．[-2，1]D ．[1，4]【正确答案】D【分析】由函数解析式可得2820x x +-≥，解不等式可得24x -≤≤，再由24234x x -≤≤⎧⎨-≤-≤⎩即可求解.【详解】由()f x =2820x x +-≥，解得24x -≤≤，所以函数()()3y f x f x =+-的定义域满足24234x x -≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，解得14x ≤≤，所以函数的定义域为[1，4].故选：D 3．不等式3112x x-≥-的解集是（）A ．3{|2}4x x ≤≤B ．3{|2}4x x ≤<C ．{>2x x 或3}4x ≤D ．3{|}4x x ≥【正确答案】B【分析】把原不等式的右边移项到左边，通分计算后，然后转化为()()432020x x x ⎧--⎨-≠⎩，求出不等式组的解集即为原不等式的解集．【详解】解：不等式3112x x --可转化为31102x x ---，即4302x x --，即4302x x --，所以不等式等价于()()432020x x x ⎧--⎨-≠⎩，解得：324x <，所以原不等式的解集是3{|2}4x x <．故选：B ．4．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N+，使n ≥2x+1”的否定形式是（）A ．∀x ∈R ，∃n ∈N+，有n<2x+1B ．∀x ∈R ，∀n ∈N+，有n<2x+1C ．∃x ∈R ，∃n ∈N+，使n<2x+1D ．∃x ∈R ，∀n ∈N+，使n<2x+1【正确答案】D【分析】根据全称命题、特称命题的否定表述：条件中的∀→∃、∃→∀，然后把结论否定，即可确定答案【详解】条件中的∀→∃、∃→∀，把结论否定∴“∀x ∈R ，∃n ∈N+，使n ≥2x+1”的否定形式为“∃x ∈R ，∀n ∈N+，使n<2x+1”故选：D本题考查了全称命题、特称命题的否定形式，其原则是将原命题条件中的∀→∃、∃→∀且否定原结论5．已知12a b ≤-≤，24a b ≤+≤，则32a b -的取值范围是（）A ．3,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．5,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．7,72⎡⎤⎢⎥⎣⎦【正确答案】D【分析】令32()()a b m a b n a b -=-++求,m n ，再利用不等式的性质求32a b -的取值范围.【详解】令32()()()()a b m a b n a b m n a n m b -=-++=++-，∴32m n n m +=⎧⎨-=-⎩，即51,22m n ==，∴55()5,121()222a b a b ≤-≤≤+≤，故73272a b ≤-≤.故选：D6．如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，16AB =，点P 是斜边AB 上任意一点，过点P 作PQ AB ⊥，垂足为P ，交边AC （或边CB ）于点Q ，设AP x =，APQ △的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】D【分析】首先过点C 作CD AB ⊥于点D ，由ABC 中，90ACB ∠= ，30A ∠= ，可求得B ∠的度数与AD 的长度，再分别从当012AD ≤≤与当1216x <≤时，去分析求解即可求得y 与x 之间的函数关系式，进一步选出图象.【详解】过点C 作CD AB ⊥于点D ，因为90ACB ∠= ，30A ∠= ，16AB =，所以60B ∠= ，142BD BC ==，12AD AB BD =-=.如图1，当012AD ≤≤时，AP x =，tan 30PQ AP x =⋅ ，所以21236y x x x ==，如图2：当1216x <≤时，16BP AB AP x =-=-，所以)tan 6016PQ BP x =⋅=-，所以)211622y x x x =-=-+，故选：D此题考查了动点问题，注意掌握含30 直角三角形的性质与二次函数的性质；注意掌握分类讨论的思想.属于中档题.7．已知函数221111x xf x x --⎛⎫= ⎪++⎝⎭，则()f x 的解析式为（）A ．()()2211x f x x x =≠-+B ．()()2211xf x x x =-≠-+C ．()()211xf x x x =≠-+D ．()()211xf x x x =-≠-+【正确答案】A 【分析】令11x t x -=+，则11tx t-=+，代入已知解析式可得()f t 的表达式，再将t 换成x 即可求解.【详解】令11x t x -=+，则11tx t-=+，所以()()222112111111t t t f t t t t t -⎛⎫- ⎪+⎝⎭==≠-+-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，所以()()2211xf x x x=≠-+，故选：A.8．已知0x >，0y >，且2121x y+=+，若2231x y m m +>--恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．1m ≤-或4m ≥B ．4m ≤-或m 1≥C ．14-<<mD ．41m -<<【正确答案】C 由2121x y +=+得121y x=+，利用基本不等式求出2x y +的最小值，再将不等式恒成立转化为最值，解不等式可得结果.【详解】由2121x y +=+得212(1)y x x y ++=+，所以12x xy +=，所以121y x=+，所以121x y x x +=++13≥=，当且仅当1,1x y ==时，等号成立，所以()min 23x y +=，所以2231x y m m +>--恒成立，可化为2331m m >--，即2340m m --<，解得14-<<m .故选：C结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：①若()k f x ≥在[,]a b 上恒成立，则max ()k f x ≥；②若()k f x ≤在[,]a b 上恒成立，则min ()k f x ≤；③若()k f x ≥在[,]a b 上有解，则min ()k f x ≥；④若()k f x ≤在[,]a b 上有解，则max ()k f x ≤；二、多选题9．有以下判断，其中是正确判断的有（）.A ．()xf x x =与()1,01,0x g x x ≥⎧=⎨-<⎩表示同一函数B ．函数()22122x f x x =+++的最小值为2C ．函数()y f x =的图象与直线1x =的交点最多有1个D ．若()1f x x x =--，则112f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【正确答案】CD【分析】根据函数的定义域可判断A 的正误，根据基本不等式可判断B 的正误，根据函数的定义可判断C 的正误，根据函数解析式计算对应的函数值可判断D 的正误.【详解】对于A ，()xf x x=的定义域为()(),00,∞-+∞U ，而()1,01,0x g x x ≥⎧=⎨-<⎩的定义域为R ，两个函数的定义域不同，故两者不是同一函数.对于B ，由基本不等式可得()221222f x x x =++≥+，但221x +=无解，故前者等号不成立，故()2f x >，故B 错误.对于C ，由函数定义可得函数()y f x =的图象与直线1x =的交点最多有1个，故C 正确.对于D ，()1012f f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：CD.10．下面命题正确的是（）A ．“3x >”是“5x >"的必要不充分条件B ．“0ac <”是“一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负两个实根”的充要条件C ．“1x ≠”是“2430x x -+≠”的必要不充分条件D ．设,R x y ∈，则“4x y +≥”是“2x ≥且2y ≥”的充分不必要条件【正确答案】ABC【分析】利用充分条件，必要条件的定义逐项判断作答.【详解】对于A ，3x >不能推出5x >，而5x >，必有3x >，“3x >”是“5x >"的必要不充分条件，A 正确；对于B ，若0ac <，一元二次方程20ax bx c ++=判别式240b ac ∆=->，方程有二根12,x x ，120cx x a=<，即12,x x 一正一负，反之，一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负两个实根12,x x ，则120cx x a=<，有0ac <，所以“0ac <”是“一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负两个实根”的充要条件，B 正确；对于C ，当1x ≠时，若3x =，有2430x x -+=，当2430x x -+≠时，1x ≠且3x ≠，因此“1x ≠”是“2430x x -+≠”的必要不充分条件，C 正确；对于D ，,R x y ∈，若4x y +≥，取1,4x y ==，显然“2x ≥且2y ≥”不成立，而2x ≥且2y ≥，必有4x y +≥，设,R x y ∈，则“4x y +≥”是“2x ≥且2y ≥”的必要不充分条件，D 不正确.故选：ABC11．函数()1,Q0,Qx D x x ∈⎧=⎨∉⎩被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是（）A ．函数()D x 的值域为[]0,1B ．若()01D x =，则()011D x +=C ．若()()120D x D x -=，则12x x -∈Q D ．x ∃∈R ，(1D x =【正确答案】BD【分析】求得函数()D x 的值域判断选项A ；推理证明判断选项B ；举反例否定选项C ；举例证明x ∃∈R ，(1D x =.判断选项D.【详解】选项A ：函数()D x 的值域为{}0,1.判断错误；选项B ：若()01D x =，则0Q x ∈，01Q x +∈，则()011D x +=.判断正确；选项C ：()()2ππ000D D -=-=，但2ππ=πQ -∉.判断错误；选项D ：当x =时，((()01D x D D ===.则x ∃∈R ，(1D x =.判断正确.故选：BD12．已知集合{}20,0x x ax b a ++=>有且仅有两个子集，则下面正确的是（）A ．224a b -≤B ．214a b+≥C ．若不等式20x ax b +-<的解集为()12,x x ，则120x x >D ．若不等式2x ax b c ++<的解集为()12,x x ，且124x x -=，则4c =【正确答案】ABD【分析】根据集合{}20,0x x ax b a ++=>子集的个数列方程，求得,a b 的关系式，对A ，利用二次函数性质可判断；对B ，利用基本不等式可判断；对CD ，利用不等式的解集及韦达定理可判断.【详解】由于集合{}20,0x x ax b a ++=>有且仅有两个子集，所以2240,4a b a b ∆=-==，由于0a >，所以0b >.A ，()22224244a b b b b -=-=--+≤，当2,b a ==时等号成立，故A 正确.B ，21144a b b b +=+≥=，当且仅当114,,2b b a b ===时等号成立，故B 正确.C ，不等式20x ax b +-<的解集为()12,x x ，120x x b =-<，故C 错误.D ，不等式2x ax b c ++<的解集为()12,x x ，即不等式20x ax b c ++-<的解集为()12,x x ，且124x x -=，则1212,x x a x x b c +=-=-，则()()22212121244416x x x x x x a b c c -=+-=--==，4c ∴=，故D 正确，故选：ABD三、填空题13．已知21,0()2,0x x f x x x ⎧+≥=⎨-<⎩,求()1f f -=⎡⎤⎣⎦________.【正确答案】5【分析】先求()1f -，再根据()1f -值代入对应解析式得()1.f f ⎡⎤-⎣⎦【详解】因为()()1212,f -=-⨯-=所以()[]1241 5.f f f ⎡⎤-==+=⎣⎦求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现(())f f a 的形式时，应从内到外依次求值.14．已知正实数a 、b 满足131a b+=，则()()12a b ++的最小值是___________.【正确答案】13+13+【分析】由已知可得出3ba b =-且3b >，化简代数式()()12a b ++，利用基本不等式可求得结果.【详解】因为正实数a 、b 满足131a b +=，则03b a b =>-，由0b >可得3b >，所以，()()()()()()32312122222333b b a b b b b b b b +⎛⎫⎛⎫++=++=++=++⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭()()()33515222313131333b b b b b -+=++=-++≥+=+--当且仅当62b =时，等号成立.因此，()()12a b ++的最小值是13+.故答案为.13+15．对于[]1,1a ∈-，()2210x a x a +-+->恒成立的x 取值________.【正确答案】()(),02,-∞+∞ 【分析】设()()()2221121f a x a x a x a x x =+-+-=-+-+关于a 的一次函数，只需()()1010f f ⎧>⎪⎨->⎪⎩即可求解.【详解】令()()()2221121f a x a x a x a x x =+-+-=-+-+，因为对于[]11a ∈-，，不等式()2210x a x a +-+->恒成立，所以()()1010f f ⎧>⎪⎨->⎪⎩即220320x x x x ⎧->⎨-+>⎩解得：0x <或2x >.故答案为.()()02-∞⋃+∞，，方法点睛：求不等式恒成立问题的方法（1）分离参数法若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）恒成立，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈恒成立，进而转化为()max g x λ≥或()()min g x x D λ≤∈，求()g x 的最值即可.（2）数形结合法结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系（相对于x 轴）求解.此外，若涉及的不等式转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.（3）主参换位法把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解，一般情况下条件给出谁的范围，就看成关于谁的函数，利用函数的单调性求解.16．若函数2()2f x x x =+，()2(0)g x ax a =+>，对于1x ∀∈[]1,2-，[]21,2x ∃∈-，使12()()g x f x =，则a 的取值范围是_____________.【正确答案】(]0,3【分析】由题意可知函数()g x 在区间[]1,2-的值域是函数()f x 在区间[]1,2-的值域的子集，转化为子集问题求a 的取值范围.【详解】()()20g x ax a =+>在定义域上是单调递增函数，所以函数在区间[]1,2-的值域是[]2,22a a -+函数()22f x x x =+在区间[]1,2-是单调递增函数，所以函数()f x 的值域是[]1,8-，由题意可知[][]2,221,8a a -+⊆-，所以21228a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解得.3a ≤故答案为.(]0,3本题考查双变量等式中任意，存在问题求参数的取值范围，重点考查函数的值域，转化与化归的思想，属于中档题型.四、解答题17．已知{|13}A x x =-<≤，{|13}B x m x m =≤<+（1）若1m =时，求A B ⋃；（2）若R B A ⊆ð，求实数m 的取值范围．【正确答案】（1）(1,4)A B =-U ；（2）()1,3,2m ⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥⎝⎦ ．（1）利用集合的并集定义代入计算即可;（2）求出集合R A ð，利用集合包含关系，分类讨论B =∅和B ≠∅两种情况，列出关于m 的不等式，求解可得答案.【详解】（1）当1m =时，{|14}B x x =≤<，则{|14}A B x x ⋃=-<<即(1,4)A B =-U ．（2）{|1R A x x =≤-ð或}(]()3,13,x >=-∞-⋃+∞，由R B A ⊆ð，可分以下两种情况：①当B =∅时，13m m ≥+，解得：12m ≤-②当B ≠∅时，利用数轴表示集合，如图由图可知13131m m m <+⎧⎨+≤-⎩或133m m m <+⎧⎨>⎩，解得3m >；综上所述，实数m 的取值范围是：12m ≤-或3m >，即()1,3,2m ⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥⎝⎦ 易错点睛：本题考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是要注意：∅是任何集合的子集，所以要分集合B =∅和集合B ≠∅两种情况讨论，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题.18．（1）已知a b c <<，且0a b c ++=，证明：a a a c b c<--．（2213a a a a ---(3)a ≥【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】(1)利用不等式的性质证明即可；(2)a 3a -<1a -2a -，对不等式两边同时平方后只需证明()3a a -<()()12a a --.【详解】证明：（1）由a b c <<，且0a b c ++=，所以0a <，且0,a cbc -<-<所以()()0a c b c -->，所以()()a c a c b c -<--()()b c a c b c ---，即1b c -<1a c -；所以a b c ->a a c -，即a a c -<a b c-．（2213a a a a ---，(3)a ≥a 3a -<1-a 2a -，即证(3)(3)(1)(2)2(1)(2)a a a a a a a a +-+--+-+--()3a a -<()()12a a --即证(3)(1)(2)a a a a -<--；即证02<，显然成立；213a a a a ---19．已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣a +2．(1)若关于x 的不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0的解集是{x |﹣1＜x ＜3}，求实数a ，b 的值；(2)若b ＝2，a ＞0，解关于x 的不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0．【正确答案】(1)a ＝﹣1，b ＝2(2)见解析【分析】（1）根据一元二次不等式的解集性质进行求解即可；（2）根据一元二次不等式的解法进行求解即可.【详解】（1）由题意知，﹣1和3是方程ax 2+bx ﹣a +2＝0的两根，所以132(1)3b a a a ⎧-+=-⎪⎪⎨-+⎪-⨯=⎪⎩，解得a ＝﹣1，b ＝2；（2）当b ＝2时，不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0为ax 2+2x ﹣a +2＞0，即（ax ﹣a +2）（x +1）＞0，所以()210a x x a -⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，当21a a-=-即1a =时，解集为{}1x x ≠-；当21a a -<-即01a <<时，解集为2a x x a -⎧<⎨⎩或}1x >-；当21a a ->-即1a >时，解集为2a x x a -⎧>⎨⎩或}1x <-.20．（1）求函数()3f x x 在区间[]2,4上的值域.（2）已知二次函数2()1(R)f x x mx m m =-+-∈.函数在区间[]1,1-上的最小值记为()g m ，求()g m 的值域；【正确答案】（1）12,4⎤-⎦；（2）(]0-∞，【分析】(1)t =，可得函数()22()36318g t t tt t =--=+-，讨论其值域即可求解；(2)分类讨论二次函数的对称轴与给定区间[]1,1-的关系，分别表示出函数的最小值，表示为分段函数形式，作出图象即可求解.【详解】(1)函数()3f x x =，t =，则26x t =-∵[]2,4x ∈2t ≤≤那么函数()f x 转化为()22()36318g t t t t t =--=+-其对称轴16t =-，2t ≤≤时()g t 单调递增，∴()(2)g g t g ≤≤，12()4g t -≤≤-，故得()f x的值域为12,4⎤--⎦.（2）2()1f x x mx m =-+-，二次函数对称轴为2m x =，开口向上①若12m <-，即2m <-，此时函数()f x 在区间[]1,1-上单调递增，所以最小值()(1)2g m f m =-=.②若112m -≤≤，即22m -≤≤，此时当2m x =时，函数()f x 最小，最小值2()124m m g m f m ⎛⎫==-+- ⎪⎝⎭.③若12m >，即m>2，此时函数()f x 在区间[]1,1-上单调递减，所以最小值()(1)0g m f ==.综上22,2()1,2240,2m m m g m m m m <-⎧⎪⎪=-+--≤≤⎨⎪>⎪⎩，作出分段函数的图像如下，所以当2m <-时，()(,4);g m ∈-∞-当22m -≤≤时，[]4,0;g(m)∈-当m>2时，()0g m =，综上知()g m 的值域为(]0.，-∞21．今年，我国某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且()2101001000,040100007018450,40x x x R x x x x ⎧++<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.(1)求2023年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式；(2)2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【正确答案】(1)()2106001250,040100008200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)2023年产量为100（千部）时，企业所或利润最大，最大利润是8000万元【分析】（1）根据已知条件求得分段函数()W x 的解析式.（2）结合二次函数的性质、基本不等式求得()W x 的最大值以及此时的产量.【详解】（1）当040x <<时，()()22700101001000250106001250W x x x x x x =-++-=-+-；当40x ≥时，()100001000070070184502508200W x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；∴()2106001250,040100008200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）若040x <<，()()210307750W x x =--+，当30x =时，()max 7750W x =万元；若40x ≥，()10000820082008000W x x x ⎛⎫=-++≤-= ⎪⎝⎭，当且仅当10000x x=即100x =时，()max 8000W x =万元.答：2023年产量为100（千部）时，企业所或利润最大，最大利润是8000万元.22．已知()11282,0,11f x f x x x x x ⎛⎫+=+-≠≠ ⎪-⎝⎭，(1)求()f x 的解析式；(2)已知()()()22,22g x mx mx g x x f x m =--<-+在()1,3上有解，求m 的取值范围．【正确答案】(1)1()2f x x=+，0,1x x ≠≠；(2)3m <.【分析】（1）根据给定条件，用11,1x x x--依次替换x ，再消元求解作答.（2）由（1）结合已知，变形不等式，分离参数构造函数，求出函数在()1,3的最大值作答.【详解】（1）0,1x x ≠≠，11()2()821f x f x x x +=+--，用11x-替换x 得：11()2912()1x f f x x x x -+=-+--，则有1114()4()8222(9)1011x f x f x x x x x x x --=+---+=-+---，用1x x-替换x 得：1112()2()82(1)711x f f x x x x x x x -+=+--=++--，于是得99()18f x x =+，则1()2f x x=+，所以()f x 的解析式为1()2f x x=+，0,1x x ≠≠.（2）(1,3)x ∈，2221()()22(2)22g x x f x m mx mx x m x-<-+⇔--+<-+，即22(2)22m x x x x -+<++，于是得22222x x m x x ++<-+，令2222(),132x x h x x x x ++=<<-+，依题意，(1,3)x ∈，()m h x <有解，当(1,3)x ∈时，222223()22323()22222222[()][()]23333x x x x h x x x x x x x -++-==+=+-+-+-+--++322316219(2333x x =+≤+-++-，当且仅当1629233x x -=-，即2x =时取等号，因此当2x =时，max ()(2)3h x h ==，则3m <，所以m 的取值范围是3m <．。

2023-2024学年吉林省吉林市吉林高一上册第一次月考数学试题一、单选题1．下列说法正确的是（）A ．0∈∅B ．πQ∈C ．∅⊆∅D ．A ⋃∅=∅【正确答案】C【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系，以及空集的定义，逐项分析判断即可．【详解】对于A ：0∉∅，选项A 错误；对于B ：π是无理数，πQ ∉，选项B 错误；对于C ：∅是它本身的子集，即∅⊆∅，选项C 正确；对于D ：仅当A 为空集时，A ⋃∅=∅成立，否则不成立，选项D 错误．故选：C ．2．设集合{|03}A x x =<<，1{|4}2B x x =≤≤，则A B = （）A ．1{|0}2x x <≤B ．1{|3}2x x ≤<C ．{|34}x x <≤D ．{|04}x x <≤【正确答案】B【分析】利用交集定义直接求解．【详解】因为集合{|03}A x x =<<，1{|4}2B x x =≤≤，则1{|3}2A B x x ⋂=≤<.故选：B ．3．已知{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆，则满足条件的集合A 的个数为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【正确答案】D【分析】由条件分析集合A 的元素的特征，确定满足条件的结合A 即可.【详解】因为{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆，所以{}1,2A =或{}1,2,3或{}1,2,4或{}1,2,5或{}1,2,3,4或{}1,2,3,5或{}1,2,4,5或{}1,2,3,4,5，即满足条件的集合A 的个数为8，故选：D ．4．设x ∈R ，则“01x <<”成立是“1x <”成立的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【正确答案】A【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可．【详解】由01x <<成立可推出1x <成立，所以“01x <<”成立是“1x <”成立充分条件当0x =时，1x <，但{}01x x x ∉<<，即由1x <成立不能推出01x <<成立，所以“01x <<”成立不是“1x <”成立必要条件所以01x <<成立是1x <成立的充分不必要条件，故选：A ．5．已知a b >，则下列不等关系中一定成立的是（）A ．2ab b <B ．22a b >C ．11a b<D ．33a b >【正确答案】D【分析】举反例可判断ABC ，利用函数3y x =在R 上单调递增，可判断D ．【详解】对于A 选项，取2a =，1b =，满足a b >，但是221ab b =>=，故A 错误，对于BC 选项，取1a =，2b =-，满足a b >，但是2214a b =<=，11112a b =>=-，故BC 错误，对于D 选项，因为函数3y x =在R 上单调递增，所以由a b >可得33a b >，故D 正确，故选：D ．6．若不等式组232x a x a ⎧>⎨<-⎩有解，则实数a 的取值范围为（）A ．12a <<B ．1a <或2a >C ．12a ≤≤D ．1a ≤或2a ≥【正确答案】A【分析】由题意可知232a a <-，从而求出a 的取值范围即可．【详解】 不等式组232x a x a ⎧>⎨<-⎩有解，232a a ∴<-，解得12a <<，即实数a 的取值范围为(1,2)．故选：A ．7．已知正数,x y 满足1x y +=，则14x y+的最小值为（）A ．5B ．143C ．92D ．9【正确答案】D【分析】由已知利用乘1法，结合基本不等式即可求解．【详解】因为正数,x y 满足1x y +=，则14144()()559y x x y x y x y x y +=++=++≥+=，当且仅当4y x x y =，即13x =，23y =时取等号,故选：D ．8．已知命题236:1,1x x p x a x ++∃>-<+，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围为（）A ．5a >B ．6a >C ．5a ≤D ．6a ≤【正确答案】C【分析】由题意可知236:1,1x x p x a x ++⌝∀>-≥+为真命题，问题转化为只需2min 36()1x x a x ++≤+，然后利用基本不等式求出最小值，进而可以求解．【详解】若命题p 是假命题，则236:1,1x x p x a x ++⌝∀>-≥+为真命题，即2361x x a x ++≤+在(1,)∈-+∞x 上恒成立，只需2min 36()1x x a x ++≤+，又2236(1)1441115111x x x x x x x x ++++++==+++≥=+++，当且仅当411x x +=+，即1x =时取得最小值为5，所以5a ≤，故选：C ．二、多选题9．已知集合{}{}1,4,,1,2,3A a B ==，若{}1,2,3,4A B = ，则a 的取值可以是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【正确答案】AB【分析】根据并集的结果可得{}1,4,a {}1,2,3,4，即可得到a 的取值；【详解】解：因为{}1,2,3,4A B = ，所以{}1,4,a {}1,2,3,4，所以2a =或3a =；故选：AB10．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（）A ．若0ab ≠且a b <，则11a b>B ．若01a <<，则2a a<C ．若0a b >>且0c >，则b c ba c a+>+D ．()221222a b a b ++≥--【正确答案】BCD【分析】由不等式的性质逐一判断即可.【详解】解：对于A ，当0a b <<时，结论不成立，故A 错误；对于B ，2a a <等价于()10a a -<，又01a <<，故成立，故B 正确；对于C ，因为0a b >>且0c >，所以b c ba c a+>+等价于ab ac ab bc +>+，即()0a b c ->，成立，故C 正确；对于D ，()221222a b a b ++≥--等价于()()22120a b -++≥，成立，故D 正确.故选：BCD.11．已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为{3x x ≤-或}4x ≥，则下列说法正确的是（）A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集为{}4x x <-C ．不等式20cx bx a -+<的解集为14x x ⎧<-⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭D ．0a b c ++>【正确答案】AC【分析】由题知二次函数2y ax bx c =++的开口方向向上且3434bac a⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩，再依次分析各选项即可．【详解】解：关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为][(),34,-∞-⋃+∞，所以二次函数2y ax bx c =++的开口方向向上，即0a >，故A 正确；方程20ax bx c ++=的两根为3-、4，由韦达定理得3434bac a⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩，解得12b a c a =-⎧⎨=-⎩．对于B ，0120bx c ax a +>⇔-->，由于0a >，所以12x <-，所以不等式0bx c +>的解集为{}12x x <-，故B 不正确；对于C ，由B 的分析过程可知12b ac a=-⎧⎨=-⎩所以220120cx bx a ax ax a -+<⇔-++<2112104x x x ⇔-->⇔<-或13x >，所以不等式20cx bx a -+<的解集为14x x ⎧<-⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭，故C 正确；对于D ，12120a b c a a a a ++=--=-<，故D 不正确．故选：AC ．12．[]x 表示不超过x 的最大整数，则满足不等式[][]25140x x --≤的x 的值可以为（）A ． 2.5-B ．3C ．7.5D ．8【正确答案】BC【分析】由一元二次不等式得[]27x -≤≤【详解】解：因为[][][]()[]()2514720x x x x --=-+≤，所以[]27x -≤≤，所以28x -≤<．所以x 的值可以为[)2,8-内的任何实数.故选：BC三、填空题13．不等式210-+≥x kx 的解集为R ，则实数k 的取值集合为__．【正确答案】[]22-,【分析】根据二次不等式的解法即得.【详解】因为不等式210-+≥x kx 的解集为R ，所以240k ∆=-≤，所以22k -≤≤，即实数k 的取值集合为[]22-,.故答案为.[]22-,14．已知102x <<，函数(12)y x x =-的最大值是__．【正确答案】18##0.125【分析】由基本不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，得()221212(12)24x x x x +-⎡⎤-≤=⎢⎥⎣⎦，由此即可求出函数(12)y x x =-的最大值．【详解】 102x <<，∴()()()2212111122122228x x x x x x +-⎡⎤-=⋅-≤⋅=⎢⎥⎣⎦,当且仅当212x x =-时，即14x =时等号成立，因此，函数(12)y x x =-的最大值为18.故答案为:18.15．若实数x ，y 满足1201x y x y <+<⎧⎨<-<⎩，则3x y +的取值范围为__．【正确答案】(2,5)【分析】将3x y +表示成关于()x y +和()x y -的表达式进行求解即可.【详解】由不等式的性质求解即可．解：32()()+=++-x y x y x y ，因为实数x ，y 满足1201x y x y <+<⎧⎨<-<⎩，所以()()225x y x y <++-<，即3x y +的取值范围为(2,5)．故(2,5)．四、双空题16．《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．设0a >，0b >，称2aba b+为a ，b 的调和平均数．如图，C 为线段AB 上的点，且AC a =，CB b =，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆．过点C 作AB 的垂线，交半圆于D ，连结OD ，AD ，BD ．过点C 作OD 的垂线，垂足为E ．则图中线段OD 的长度是a ，b 的算术平均数2a b+，线段CD 的长度是a ，b__的长度是a ，b 的调和平均数2aba b+，该图形可以完美证明三者的大小关系为__．【正确答案】DE22ab a ba b +≤≤+【分析】根据圆的性质、勾股定理、三角形三边大小关系以及基本不等式的性质判断即可．【详解】由题意得：2a bOD +=，CD =，由于CD OC ⊥，CE OD ⊥，所以ΔΔOCD CED ∽，则OD CDCD ED=a bED +=，解得2abED a b=+，利用直角三角形的边的关系，所以OD CD DE >>．当O 和C 重合时，OD CD DE ==，所以22ab a ba b +≤≤+．故DE；22ab a ba b +≤≤+五、解答题17．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}0,1B =，{}1,2C =.(1)求B C ⋃；(2)求()A B C ð.【正确答案】(1){0,1,2}(2){2,1,0,2}--【分析】（1）利用并集的概念即可求解；（2）利用交集及补集的运算即可求解.【详解】（1）{}0,1B = ，{}1,2C =，{0,1,2}B C ∴= （2）∵{}0,1B =，{}1,2C =，∴{1}B C = ，又{}2,1,0,1,2A =--故(){2,1,0,2}A B C =-- ð．18．已知集合U 为全体实数集,{1M x x =≤-或6}x ≥,{}131N x a x a =+≤≤-．(1)若3a =,求()U M N ðI ;(2)若M N N ⋂=,求实数a 的取值范围．【正确答案】(1){}46x x ≤<(2)1a <或5a ≥【分析】(1)利用集合的交、补运算即可求解．(2)讨论N =∅或N ≠∅,根据集合的包含关系列不等式即可求解．【详解】（1）解:由题知{1M x x =≤-或6}x ≥,{}131N x a x a =+≤≤-,所以{}16U M x x =-<<ð,当3a =时,{}48N x x =≤≤,所以(){}46U M N x x ⋂=≤<ð;（2）由题知M N N ⋂=,即N M ⊂,①当N =∅时,即131a a +>-,解得:1a <;②当N ≠∅,即1a ≥时,因为N M ⊂,所以311a -≤-或16a +≥,解得:0a ≤(舍)或5a ≥,综上:1a <或5a ≥.19．全国文明城市，简称文明城市，是指在全面建设小康社会中市民整体素质和城市文明程度较高的城市.全国文明城市称号是反映中国城市整体文明水平的最高荣誉称号.连云港市黄海路社区响应号召，在全面开展“创文”的基础上，对一块空闲地进行改造，计划建一面积为24000m 矩形市民休闲广场.全国文明城市是中国所有城市品牌中含金量最高､创建难度最大的一个，是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，是目前国内城市综合类评比中的最高荣誉，也是最具有价值的城市品牌.为此社区党委开会讨论确定方针：既要占地最少，又要美观实用.初步决定在休闲广场的东西边缘都留有宽为2m 的草坪，南北边缘都留有5m 的空地栽植花木.(1)设占用空地的面积为S （单位：2m ），矩形休闲广场东西距离为x （单位：m ，0x >），试用x 表示为S 的函数；(2)当x 为多少时，用占用空地的面积最少？并求最小值.【正确答案】(1)()()40004100S x x x ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭(2)休闲广场东西距离为40m 时，用地最小值为24840m 【分析】(1)根据面积公示列关系式即可.(2)代入第一问求出的解析式结合基本不等式求最值即可即可.【详解】（1）因为广场面积须为24000m ，所以矩形广场的南北距离为4000m x，所以()()40004100S x x x ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭；（2）由（1）知16000404010404040408004840S x x =++≥+=+=，当且仅当x =40时，等号成立.答：当休闲广场东西距离为40m 时，用地最小值为24840m .20．集合A ={}|()(3)0,0x x a x a a --<>，B =2|01x x x -⎧⎫<⎨⎬-⎩⎭.（1）若1a =，求()R A C B I ；（2）已知命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若命题p 的充分不必要条件是命题q ，求实数a 的取值范围.【正确答案】（1）[)()2,3R A C B =I （2）213a ≤≤【分析】（1）a ＝1时，A ＝（1，3），B ＝（1，2），可得∁R B ＝（﹣∞，1]∪[2，+∞）．即可得出A ∩（∁R B ）．（2）由a ＞0，可得A ＝（a ，3a ），B ＝（1，2）．根据q 是p 的充分不必要条件，即可得出B ⊊A ．【详解】解：（1）a ＝1时，A ＝（1，3），B ＝（1，2），(][)=,12,R C B -∞+∞U ∴[)()2,3R A C B =I ；（2）∵a ＞0，∴A ＝（a ，3a ），B ＝（1，2）．∵q 是p 的充分不必要条件，∴B ⊊A ．由B ⊆A 得132a a ≤⎧⎨≥⎩，解得213a ≤≤，又a ＝1及23a =符合题意．∴213a ≤≤．本题考查了集合的交并补运算、不等式的解法、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．已知a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .【正确答案】证明见解析.【分析】根据已知对不等式左边的式子进行变形，结合基本不等式进行证明即可.【详解】证明：(1－a )(1－b )(1－c )＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )，(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b8abc .当且仅当b ＝c ＝a ＝13时，等号成立.本题考查了基本不等式的应用，考查了推理论证能力.22．已知关于x 的不等式()2110ax a x a R ++<∈-，．（1）若不等式的解集为112x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，求a ；（2）当a R ∈时，解此不等式．【正确答案】（1）2（2）0a =时，(1,)x ∈+∞，01a <<时，1(1,x a∈，1a =时，不等式的解集为空集，1a >时，1(,1)x a∈，a<0时，1(,(1,)x a ∈-∞+∞ .【分析】（1）根据不等式的解集和韦达定理，可列出关于a 的方程组，解得a ；（2）不等式化为(1)(1)0ax x --<，讨论a 的取值，从而求得不等式的解集。

数学试题命题人：孟梦 考试时间：2023年3月13日14：00-16：00一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）5a ＝4b ＝·12a b - ＝a b A. B. C. － D. 35-b 35b 34b 34b 【答案】C【解析】【分析】向量在向量上的投影向量等于与向量同向的单位向量和向量在向量上的投影(实数)的a b b a b 向量的数乘积，根据已知条件计算即得. ()2·a b b b 【详解】向量在向量上的投影向量为, a b ()2·123444a b b b b b =-=-⨯ 故选：C2. 已知，，则“”是“”的（ ） 02πα<<02βπ<<αβ=sin 2sin 2αβ=A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义直接判断即可.【详解】依题意，，若，则，故，即“”可推02πα<<02βπ<<αβ=22αβ=sin 2sin 2αβ=αβ=出“”； sin 2sin 2αβ=若，结合，，则有，或者，故或sin 2sin 2αβ=02απ<<02βπ<<22αβ=22αβπ+=αβ=，即“”推不出“”.2παβ+=sin 2sin 2αβ=αβ=故“”是“”的充分不必要条件.αβ=sin 2sin 2αβ=故选：A.3. 设，向量，，，且，，则（ ）, x y ∈R (,1)a x = (1,)b y = (2,4)c =- a c ⊥ //b c ||a b += A. B. C.D. 10【答案】B【解析】【分析】根据向量垂直平行关系明确参数，从而可得所求向量的模.【详解】∵向量，，，且，， (,1)a x = (1,)b y = (2,4)c =- a c ⊥ //b c∴ ，∴， 240420x y -=⎧⎨--=⎩22x y =⎧⎨=-⎩∴，，，(2,1)a = (1,2)b =-()3,1+=- a b ∴. ||a b +== 故选：B. 4. （ ） ⋅sin 40sin 80cos 40cos 60︒︒⋅=+A. B. C. D.12-12【答案】C【解析】【分析】利用两角和差的正弦公式，二倍角余弦公式和同角关系化简即可.【详解】因为 sin 40sin 80sin 6020sin 602013cos 40cos 60cos 4022︒︒︒︒︒︒︒︒︒⋅-⋅+==++（）（），所以原式22222313cos 20sin 20sin 2014443322sin 202sin 2044︒︒︒︒︒--===--（）（）=故选：C5. 将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标2cos 413y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭3π不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ）A. B. C. D.12x π=6x π=-3x π=-12x π=-【答案】B【解析】【分析】根据图像的伸缩和平移变换得到，再整体代入即可求得对称轴方程. 2cos(2)13y x π=++【详解】将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍， 2cos 413y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭得到，再向左平移个单位， 2cos 213y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭3π得到， 2cos[2()12cos(2)1333y x x πππ=+-+=++令，，则，. 23x k π+=πZ k ∈26k x ππ=-Z k ∈显然，时，对称轴方程为，其他选项不符合. =0k 6x π=-故选：B6. 如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ．设，，则（ ）AB mAM = AC nAN = m n +=A. 1B. 2C.D. 312【答案】B【解析】 【分析】本题应用两个结论：，点O 是BC 的中点； ()12AO AB AC =+ 三点共线：若A 、B 、C 三点共线，则． ,1OA OB OC λμλμ=++=u u r u u u r u u u r 【详解】由题意得， ()()112222m n AO AB AC mAM nAN AM AN =+=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r因为M 、O 、N 三点共线，所以，解得， 122m n +=2m n +=故选B ． 7. 已知向量，满足：，，设与的夹角为，则的最小值为a b 3a b -= 2a b = a b - a b + θcos θ（ ）A. B. C. D. 45351325【答案】B【解析】【分析】，求出，根据数量积的定义求夹角，由判别式求得最小值．2b t = a b + 【详解】令，则， 2b t = 2244a b t == 则，，2222()29a b a b a a b b -=-=-⋅+= 259a b t ⋅=- 由得，59224t a b a b t -=⋅≤= 9t ≤由得，59224t a b a b t -=⋅≥-=-1t ≥所以，19t ≤≤，a b +===所以， ()()cos a b a b a b a b θ+⋅-===+- =令，显然，，所以，， 2109t y t =-0y >21090t yt y -+=2100360y y ∆=-≥925y ≥时，， 925y =9[1,9]5t =∈所以． cos θ35=故选：B.8. 函数的零点个数是（ ） ππ()(2π)cos sin ,(2π,3π)22f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=----∈-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A.B.C. D. 1567【答案】D【解析】 【分析】令，利用诱导公式化简可得，然后分类讨论，利用正切函数的()0f x =(2π)sin cos 0x x x -+=图象和性质即可求解.【详解】令，即， ()0f x =ππ(2π)cos sin 022x x x ⎛⎫⎛⎫----= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，当时， (2π)sin cos 0x x x -+=3πππ3π5π,,,,22222x ≠--方程可化为，tan π2x x =-在同一直角坐标系中分别做出与的图象，tan y x =π2y x =-由图可知：当时， 3πππ3π5π,,,,22222x ≠--函数与的图象有6个交点，分别为,tan y x =π2y x =-,,,,,A B C D E F又因为，满足方程，所以也是函数的一个零点，综上，函数π2x =(2π)sin cos 0x x x -+=π2()f x 的零点个数是， ππ()(2π)cos sin ,(2π,3π)22f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=----∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7故选：.D 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9. 对于任意向量，，，下列命题中不正确的是（ ）a b cA. 若，则与中至少有一个为B. 若，则 0a b ⋅= a b 0 a b ⊥ 0a b ⋅=C. 向量与向量夹角的范围是D. a b [0,)π()()0b c a c a b c ⎡⎤⋅-⋅⋅=⎣⎦ 【答案】AC【解析】 【分析】根据互相垂直的平面向量的性质，结合平面向量数量积的定义、运算性质逐一判断即可.【详解】A ，当为非零向量，且时，，所以A 选项错误.,a b a b ⊥ 0a b ⋅= B ，若，则，B 选项正确. a b ⊥ πcos 02a b a b ⋅=⋅⋅= C ，向量与向量夹角的范围是，所以C 选项错误. a b[]0,πD ，，D 选项正确. ()()()()()()0b c a c a b c b c a c c a b c ⎡⎤⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=⎣⎦ 故选：AC10. 已知函数，下列关于函数f (x )说法正确的是（ ） ()1π3sin 126f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭A. 最小正周期为πB. 图象关于直线对称 2π3x =C. 图象关于点对称 π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度可得到函数13sin2y x =π3f (x )的图象【答案】BD【解析】【分析】根据三角函数的周期性、对称性、三角函数图象变换等知识确定正确答案. 【详解】的最小正周期，A 选项错误.()f x 2π4π12T ==，所以图象关于直线对称，B 选项正确. 12πππ2362⨯+=()f x 2π3x =由于，， 1ππ0236⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭π13f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以图象关于点对称，C 选项错误. ()f x π,13⎛⎫- ⎪⎝⎭函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得， 13sin 2y x =π31π1π3sin 3sin 2326y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦再向上平移1个单位长度可得到，D 选项正确. ()1π3sin 126f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭故选：BD11. 已知函数， 且在区间上单调递减，则下列结论正确的有()()()sin 0f x x ωϕω=+>()f x 2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭（ ）A. 的最小正周期是()f x π3B. 若， 则 2π5π036f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C. 若恒成立，则满足条件的有且仅有1个 ()π3f x f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭ωD. 若，则的取值范围是 π6ϕ=-ω22[1,2]4,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】BCD【解析】【分析】利用单调区间长度不超过周期的一半，求出周期范围，判断A ，根据中心对称即可求值，知B 正确，由周期的范围求出的范围，利用函数平移求出周期，判断C ，结合已知单调区间得出范围后判断ωωD. 【详解】对于A ，因为函数在区间上单调递减，所以， ()f x 2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭5π2ππ2636T ≥-=所以的最小正周期，即的最小正周期的最小值为，故A 错误； ()f x π3T ≥()f x π3对于B ，因为，所以的图像关于点对称， 2π5π036f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 3π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，故B 正确； 3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭对于C ，若恒成立，则为函数的周期或周期的倍数，所以，所以()π3f x f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭π3()f x 2ππ3k ω⨯=，因为，所以， 6k ω=π3T ≥2π6T ω=≤又，所以，所以，0ω>06ω<≤6ω=即满足条件的有且仅有1个，故C 正确；ω对于D ，由题意可知为单调递减区间的子集， 2π5π,36⎛⎫ ⎪⎝⎭()πsin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以，其中，解得，， 2πππ2π3625ππ3π2π662k k ωω⎧-≥+⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩Z k ∈123125k k ω+≤≤+k ∈Z 当时，，当时，， 0k =12ω≤≤1k =2245ω≤≤故的取值范围是，故D 正确. ω22[1,2]4,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 故选：BCD12. 已知点为所在平面内一点，满足，（其中）.（ ）O ABC A 0OC OB OA λμ++=u u u r u u u r u u r rR λμ∈，A. 当时，直线过边的中点； λμ=OC AB B. 若，且，则； 1OA OB OC === ==1λμ32OA AB ⋅=-u u r u u u r C. 若时，与的面积之比为；=2=3λμ，AOB A AOC A 2:3D. 若，且，则满足.0OA OB ⋅= 1OA OB OC === λμ，22+=1λμ【答案】ABD【解析】【分析】对于A ，根据向量的线性运算结合向量数乘的含义可判断A;对于B ，由条件可判断为等边ABC A 三角形，利用数量积的定义即可求得的值；对于C ，利用作图，结合向量加减法的几何意义，可OA AB ⋅判断与的面积之比；对于D ,由得，，平方后AOB A AOC A 0OC OB OA λμ++=u u u r u u u r u u r r ()OC OB OA λμ=-+u u u r u u u r u u r 结合数量积的运算可推得结果.【详解】对于A ，设AB 的中点为D ，则当时，有, λμ=20OC OB OA OC OD λμλ++=+=u u u r u u u r u u r u u u r u u u r r即得O,C,D 三点共线，故直线过边的中点，故A 正确；OC AB 对于B ，由于且时，，1OA OB OC === ==1λμ0OC OB OA ++= 故O 为的外心和重心，故为等边三角形，ABC A ABC A则 ,由可得， 30BAO ∠=1OA OB OC === ||21cos30AB =⨯⨯=故，故B 正确； 31cos1502OA AB ⋅==-o u u r u u u r 对于C ，延长OA 至,使 , 延长OB 至,使,A '3OA OA '=B '2OB OB '=连接,设其中点为E ,连接OE 并延长至 ，使 ,A B ''C 'EC EO '=连接 ,则四边形是平行四边形，,A C B C ''''OA C B '''所以，而时，， 23OB OA OB OA OC ''+=+= =2,=3λμ230OC OB OA ++=u u u r u u u r u u r r故,即 三点共线，且，0OC OC '+=u u u r u u u r r ,,C O C '||||OC OC '=u u u r u u u r 根据同底等高三角形面积相等，则,2AOC AOC AOB AOB S S S S ''===A A A A 即与的面积之比为,故C 错误；AOB A AOC A 1:2对于D ，因为，且，0OA OB ⋅= 1OA OB OC === 由得，，0OC OB OA λμ++=u u u r u u u r u u r r ()OC OB OA λμ=-+u u u r u u u r u u r 所以,即，故D 正确，2222221OC OB OA OB OA λλμμ=+⋅+=u u u r u u u r u u r u u u r u u r 22+=1λμ故选：ABD 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知､均为单位向量，若，则与的夹角为___________.a b 2a b -= a b 【答案】 ##3π60【解析】【分析】将两边平方，根据数量积的定义可求得答案.2a b -=【详解】由､均为单位向量，，a b 2a b -= 得：，即，223a b -= 22443a a b b -⋅+= 所以， 1,,[0,],cos ,23a b a b a b ππ⋅=〈〉∈〈〉= 故答案为：3π14. 如图，扇形OPQ 的半径为1，圆心角为θ，且，C 是扇形弧上的动点，矩形ABCD 内接于扇tan 2θ=形，当tan ∠POC =__________时，矩形ABCD 的周长最大，最大周长为__________.【答案】 ①. ## ②. 120.5【解析】 【分析】设，利用的周长，结合三角函数的性质求出最值即可.POC α∠=αABCD 【详解】设，,02POC αα∠=<<则， sin sin ,cos ,tan 2AD AD BC OB OA αααθ=====所以， sin cos 2AB αα=-所以矩形的周长为， ABCD sin 2cos 2sin sin 2cos 2ααααα⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭()αϕ=+其中，则， cos tan 2ϕϕϕ===π3π2ϕ<<所以当时，矩形的周长最大， π2αϕ+=ABCD此时， πsin ππcos 2,tan tan 2π22sin cos 2ϕϕαϕαϕϕϕ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-=-=== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭且矩形ABCD 故答案为：.1215. 如图，在菱形ABCD 中，，，若菱形的边长为6，则的取值范围为12BE BC = 2CF FD =AE EF ⋅__________．【答案】 ()21,9--【解析】【分析】利用向量的运算法则以及向量的数量积，结合三角函数的有界性，求解即可. 【详解】依题意，因为在菱形ABCD 中，，，12BE BC = 2CF FD =所以，12BE EC AD == 2233CF CD AB ==- 所以()()AE EF AB BE EC CF ⋅=+⋅+ 112223AB AD AD AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，22211364AB AB AD AD =-+⋅+2496cos ,AB AD =-++ 6cos ,15AB AD =- 因为，所以.()cos ,1,1AB AD ∈- ()6cos ,1521,9AB AD -∈--故答案为：.()21,9--16. 已知函数图像的两条相邻对称轴之间()()ππsin 2cos cos 0,02424x x f x x a a ωωωω⎛⎫⎛⎫=++->>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的距离小于，，且，则的最小值为_____________. ππ3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()π6f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ω【答案】7【解析】【分析】先利用三角恒等变换化简，再由题设条件推得，从而推得()f x πππ,Z 26k k θω=-+∈，再利用基本关系式求得，由此求得的最小值. π1tan6aω=a ω【详解】因为()ππsin 2cos cos 2424x x f x x a ωωω⎛⎫⎛⎫=++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππsin 2cos cos 24242x x x a ωωω⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππsin 2cos sin 2424x x x a ωωω⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin sin 2x a x ωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中， sin cos x a x ωω=+)x ωθ=+()tan 0a a θ=>由题意可得，又，所以， 112ππ22T ω=⋅<0ω>1ω>因为，则为的最值，所以，π()6f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x πππ,Z 62k k ωθ+=+∈所以，故，πππ,Z 26k k θω=-+∈ππsin π26tan ππcos π26k k ωθω⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭当时，，21,Z k m m =+∈πππππsin πsin 2ππcos 26266k m ωωω⎛⎫⎛⎫-+=-++=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；πππππcos πcos 2ππsin 26266k m ωωω⎛⎫⎛⎫-+=-++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，，2,Z k m m =∈πππππsin πsin 2πcos 26266k m ωωω⎛⎫⎛⎫-+=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；πππππcos πcos 2πsin 26266k m ωωω⎛⎫⎛⎫-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以， πππsin πcos 1266tan ππππsin tan cos π6626k a k ωωθωωω⎛⎫-+ ⎪⎝⎭====⎛⎫-+ ⎪⎝⎭所以， ()π1tan06a aω=>因为，所以，ππ33f ωθ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin 3ωθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以，ππππsin πcos 3266k ωωω⎛⎫+-+=±=⎪⎝⎭πcos 6ω=所以， π1sin6aω=因为，所以，解得， 22ππsincos 166ωω+=222133111a a a ⨯+=++a =所以，故，所以， πtan6ω==πππ,Z 66n n ω=+∈16,Z n n ω=+∈又因为，所以的最小值为. 1ω>ω7故答案为：.7【点睛】关键点睛：本题的突破口是充分利用辅助角的值，结合三角函数的基本关系式求得值，从而确a 定的范围.ω四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. （1）化简:；()()()()πtan πcos 2sin 2cos πsin ααααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭---（2）已知，，，求的值.π3π24βα<<<()12cos 13αβ-=()3sin 5αβ+=-sin 2α【答案】（1）；（2）. 1-5665-【解析】【分析】（1）先利用诱导公式化简，再结合同角三角函数的关系化简即可； （2）根据，可得，，结合同角三角函数的关系可得π3π24βα<<<3ππ2αβ<+<π04αβ<-<，的值，进而结合两角和的正弦公式求解即可.()sin αβ-()cos αβ+【详解】（1）；()()()()()πtan πcos 2πsin tan cos cos 21cos πsin cos sin αααααααααα⎛⎫--+ ⎪-⋅⋅⎝⎭==-----⋅-（2）因为， π3π24βα<<<所以，， 3ππ2αβ<+<π04αβ<-<所以，()5sin 13αβ-===，()4cos 5αβ+===-所以()()()()()()sin 2sin sin cos cos sin ααβαβαβαβαβαβ=-++=-++-+⎡⎤⎣⎦. 541235613513565⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18. 在中，向量，向量，且满足．ABC ()2cos ,1m B =u r()1sin ,sin 2n B B =- m n m n +=- （1）证明，并求角的大小； m n ⊥B （2）求的取值范围． sin cos AC +【答案】（1）证明见解析，30B =︒（2） ⎛ ⎝【解析】【分析】（1）根据，可得，根据数量积的坐标表示求得，即可得解；m n m n +=- 0m n ⋅=cos B （2）根据三角形内角关系，利用三角恒等变换化简，再结合正弦函数的性质即可得出答案. 【小问1详解】证明：由，得，m n m n +=- ()()22m nm n +=-u r ru r r 故有，所以，0m n ⋅= m n ⊥由，，()2cos ,1m B =u r()1sin ,sin 2n B B =-+所以有，得 2cos sin 2sin 22cos 0m n B B B B ⋅=-==u r rcos B =又，所以； 0180B ︒<<︒30B =︒【小问2详解】解：， ()()3sin cos sin cos 30sin 302A C A A A A A +=-︒+==-︒又，则，， 0150A ︒<<︒3030120A -︒<-︒<︒()1sin 3012A -<-︒≤所以 sin cos A C <+≤即的取值范围是． sin cos A C +⎛ ⎝19. 已知函数的部分图象如图所示，其中的图像与()()sin 0,0,02f x A x A πωφωφ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭()f x 轴的一个交点的横坐标为.x 12π-（1 （2）求函数在区间上的最大值和最小值．()f x ,212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】（1），()2sin(2)6f x x π=+,(Z)36k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭（2 2-【解析】【分析】（1）由三角函数的图象与性质求解， （2）由整体代换法求解， 【小问1详解】 由图知，，， 2A =(),61244TT ππππ--==∴=22Tπω∴==， 2sin(2)2,0,6626f ππππφφφ⎛⎫=⋅+=<<∴=⎪⎝⎭，()2sin(2)6f x x π∴=+由得，2(2,2)622x k k πππππ+∈-++x ∈,(Z)36k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭故的递增区间是()f x ,(Z)36k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【小问2详解】时，，，,212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦52[,663x πππ+∈-()[f x ∈-在区间 ()f x \,212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2-20. 已知函数. ()22cos 2sin cos sin f x x x x x =+-（1）求函数f (x )的单调递减区间； （2）若函数在区间(0,)上有两个零点，求实数k 的取值范围. ()()g x f x k =-π2【答案】（1）；π5ππ,π,88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z（2）. (【解析】【分析】（1）先由倍角公式及辅助角公式得，再由正弦函数的单调性求解即可；()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）将题设转化为在上有两个解，确定在上的单调性求出值域，即可求出()k f x =π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭实数k 的取值范围． 【小问1详解】，22()cos 2sin cos sin f x x x x x =+-sin 2cos 2x x =+π24x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令， ππ3π2π22π,242k x k k +≤+≤+∈Z解得， π5πππ,88k x k k +≤≤+∈Z 则的单调递减区间为；()f x π5ππ,π,88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 【小问2详解】函数在上有两个零点，可转化为在上有两个解，()()g x f x k =-π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()k f x =π0,2⎛⎫⎪⎝⎭当时，，单调递增，π0,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πππ2,442x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当时，，单调递减，ππ,82x ⎛⎫∈⎪⎝⎭ππ5π2,424x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又，，，()π014f ==ππ82f ⎛⎫== ⎪⎝⎭π5π124f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭要使在上有两个解，则. ()k f x =π0,2⎛⎫⎪⎝⎭(k ∈即k 的取值范围为.(21. 如图，在中，设，，，，已知，，ABC A AC a = AB b =||2a = ||3b =2DB AD = 2CE EB =，与交于点O ．60BAC ∠=︒CD AE（1）求的值；AE DC ⋅（2）若，求的值．0OC OD μλ+= λμ【答案】（1）1（2） 6【解析】【分析】（1）先以，为基底表示、，再去求即可；a b AE DC AE DC ⋅ （2）依据向量共线列出关于的方程，即可求得的值．λλ，，2212()3333AE AC CE a CB a b a a b ==+=+-=++ 13DC AC AD a b =-=- 则．22121152333399a b a b a C b A a b E D ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 221512223313929=⨯+⨯⨯⨯-⨯=所以． 1AE DC ⋅=【小问2详解】若,则 0OC OD μλ+= ()1CO OD CD CD CB BD λλλλμλμμλμλμ====++++2221233333CB BA CB CA CB CB CA λλλλμλμλμλμλ⎛⎫⎛⎫=+=+-=⋅+⋅ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 1223CE CA λλμλμλ=⋅+⋅++ 因为A ，O ， E 三点共线，所以，所以， 12123λλμλμλ⋅+⋅=++67λμλ=+6λμ=22. 定义在区间上的函数且为奇函数． [4,4]-1()1(R,01xa f x ab b +=-∈>+1)b ≠（1）求实数的单调性：a ()f x （2）不等式对于任意的恒成立，求实数的取值222(1)22cos )1b f m b θθ+++>-A π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦m 范围．【答案】（1）1；答案见解析（2）答案见解析 【解析】【分析】（1）利用即可求出，然后利用奇函数的定义进行检验；分和结合单(0)0f =1a =01b <<1b >调性的定义进行讨论即可； （2）题意可得到，利用可得到()π(2sin 21)26f m f θ⎛⎫+++> ⎪⎝⎭π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，然后分和两种情况进行讨论即可[]π2sin 212,36m m m θ⎛⎫+++∈++ ⎪⎝⎭01b <<1b >因为是奇函数，所以，解得， 1()11xa f xb +=-+1(0)1011a f +=-=+1a =所以，检验：，满足题意； 2()11xf x b =-+22()()11011x x f x f x b b --+=-+-=++任取，且，12,[4,4]x x ∈-12x x <则， ()()2121221111x x f x f x b b ⎛⎫-=--- ⎪++⎝⎭()()()1212211x x x xb b b b -=++因为，，所以，，12,[4,4]x x ∈-12x x <110x b +>210x b +>当时，，所以即， 01b <<12x x b b >()()210f x f x ->()()21f x f x >此时在上单调递增；()f x [4,4]-当时，，所以即， 1b >12x x b b <()()210f x f x -<()()21f x f x <此时在上单调递减； ()f x [4,4]-【小问2详解】，2π22cos 2cos 212sin 216θθθθθ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭由可得，222(1)22cos )1b f m b θθ+++>-A ()22π1(2sin 21)261b f m f b θ-⎛⎫+++>= ⎪+⎝⎭因为，所以，所以，所以π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦5π2π6π,66θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦+1πs ,in 2126θ⎡⎤∈⎢⎥⎭⎣⎛⎫+ ⎝⎦⎪，[]π2sin 212,36m m m θ⎛⎫+++∈++ ⎪⎝⎭所以，解得，2434m m +≥-⎧⎨+≤⎩61m -≤≤当时，由在上单调递增可得恒成立， 01b <<()f x [4,4]-π2sin 2126m θ⎛⎫+++> ⎪⎝⎭所以，解得；2261m m +>⎧⎨-≤≤⎩01m <≤当时，由在上单调递减可得恒成立， 1b >()f x [4,4]-π2sin 2126m θ⎛⎫+++< ⎪⎝⎭所以，解得；3261m m +<⎧⎨-≤≤⎩61m -≤<-当时，实数的取值范围是；当时，实数的取值范围是01b <<m {}01m m <≤1b >m {}61m m -≤<-；【点睛】方法点睛：函数存在性和恒成立问题，构造新函数并利用新函数的性质是解答此类问题的关键，并注意把握下述结论：①存在解；恒成立； ()()f x g a <min ()()f x g a ⇔<()()f x g a <max ()()f x g a ⇔<②存在解；恒成立； ()()f x g a ≤min ()()f x g a ⇔≤()()f x g a ≤max ()()f x g a ⇔≤③存在解；恒成立； ()()f x g a >max ()()f x g a ⇔>()()f x g a >min ()()f x g a ⇔>④存在解；恒成立 ()()f x g a ≥max ()()f x g a ⇔≥()()f x g a ≥min ()()f x g a ⇔≥。