一、选择题
1．已知等差数列a 1，a 2，a 3，…，a n 的公差为d ，则ca 1，ca 2，ca 3，…，ca n (c 为常数，且c ≠0)是( )
A ．公差为d 的等差数列
B ．公差为cd 的等差数列
C ．非等差数列
D ．以上都不对
解析：∵ca n ＋1－ca n ＝c (a n ＋1－a n )＝c ·d ＝常数．
∴{ca n }是公差为cd 的等差数列．
答案：B
2．在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值为( )
A ．24
B ．22
C ．20
D ．－8
解析：∵a 1＋3a 8＋a 15＝120，∴5a 8＝120.即a 8＝24.
∴2a 9－a 10＝a 8＝24.
答案：A
3．(2012·临沂高二检测)等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程：x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( )
A ．无实根
B ．有两个相等实根
C ．有两个不等实根
D ．不能确定有无实根 解析：由于a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，而3a 5＝9，
∴a 5＝3，方程为x 2＋6x ＋10＝0，无解．
答案：A
4．(2011·湖北高考)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )
A ．1升
B.6766升
C.4744升
D.3733
升 解析：设最上面一节的容积为a 1，公差为d ，则有
⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧
4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4. 解得⎩⎨⎧ a 1＝1322，d ＝766，
则a 5＝6766，故第5节的容积为6766
升． 答案：B
二、填空题 5．若m ≠n ，两个等差数列m ，a 1，a 2，n 与m ，b 1，b 2，b 3，n 的公差分别为d 1和d 2，则d 1d 2
的值为________． 解析：n －m ＝3d 1，d 1＝13
(n －m )． 又n －m ＝4d 2，d 2＝14
(n －m )． ∴d 1d 2＝13(n －m )14
(n －m )＝43. 答案：43
6．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________.
解析：∵a 6＋a 2＝a 3＋a 5，
∴a 6＝a 3＋a 5－a 2＝7＋a 2＋6－a 2＝13.
答案：13
7．已知数列{a n }满足a 2n ＋1＝a 2n ＋4，且a 1＝1，a n ＞0，则a n
＝________. 解析：由已知a 2n ＋1－a 2n ＝4.
∴{a 2n }是等差数列，且首项a 21＝1，公差d ＝4.
∴a 2n ＝1＋(n －1)·
4＝4n －3. 又a n ＞0，∴a n ＝
4n －3. 答案：4n －3
8．如果有穷数列a 1，a 2，…，a m (m 为正整数)满足条件：a 1＝a m ，a 2＝a m －1，…，a m ＝a 1，则称其为“对称”数列．例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{c n }中c 11，c 12，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，c 2＝________.
解析：因为c 11，c 12，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c 20＝c 11＋9d ＝1＋9×2＝19，
又{c n }为21项的对称数列，所以c 2＝c 20＝19.
答案：19
三、解答题
9．某市2011年底绿地面积为560平方千米，预计每年都比上一年新增绿地面积4平方千米，问到2021年底该市绿地面积为多少平方千米？
解：将该市从2011年起每年年底的绿地面积依次排成数列，记为{a n }，由题意可知{a n }为等差数列，其中a 1＝560，d ＝4，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n ＋556.
2021年底的绿地面积在数列{a n }中是第11项，
所以a 11＝556＋4×11＝600(平方千米)．
答：到2021年底该市绿地面积为600平方千米．
10．已知递增的等差数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝15，a 2a 3a 4＝105，求a 1.
解：∵{a n }是等差数列，
∴a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＝15.
∴a 3＝5.∴a 2＋a 4＝10.
∴a 2a 3a 4＝5a 2a 4＝105.即a 2a 4＝21.
即⎩
⎪⎨⎪⎧ a 2a 4＝21，a 2＋a 4＝10， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝3，a 4＝7，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝7，a 4＝3.
又{a n }是递增数列，
∴a 4＞a 2，即a 2＝3，a 4＝7.
∴d ＝a 4－a 24－2
＝7－32＝2. ∴a 1＝a 2－d ＝3－2＝1.
