第一类 椭圆中的探索性问题
1．已知椭圆Ã
：2
2
143
x y +
=的右焦点为F ，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆Ã交于A(x 1， y 1)、B(x 2， y 2)两点(点A 在x 轴上方)，点A 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA 、PB 分别交直线l ：x=4于M 、N 两点，记M 、N 两点的纵坐标分别为y M 、y N ． (1) 求直线PB 的斜率(用k 表示)；
(2) 求点M 、N 的纵坐标y M 、y N (用x 1， y 1表示) ，并判断y M y N 是否为定值？若是，请求出该定值；若
不是，请说明理由．
【答案】（1）3
4k
-
（2）–9
试题解析：
(1)设直线AB 方程为()1y k x =-，
联立()
2
2
1{ 143
y k x x y =-+=，消去y ，得()22224384120k x k x k +-+-=， 因为()11,A x y 、()22,B x y ，且2
122
2
122843
{ 41243
k x x k k x x k +=+-=
+，
又()11,P x y --，所以kPB=
(
)()12121212113
4k x k x y y x x x x k
-+-+==-
++.
2．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，且椭圆C 过点23,2⎫
-⎪⎪⎭．过点()1,0做两条相互垂直的直线1l 、2l 分别与椭圆C 交于P 、Q 、M 、N 四点． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）若MS SN =， PT TQ =，探究：直线ST 是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）22142x y +=（2）2,03⎛⎫
⎪⎝⎭
【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知，可建立关于椭圆三个参数,,a b c 的方程组进行求解，由离心率可得
2
2
c a =，又点232⎫-⎪⎪⎭
，在椭圆上，可得2231
12a b +=，结合222a b c =+，从而问题可得解． （Ⅱ）由题意，可对直线12,l l 的斜率分“不存在与0”和“都存在且121k k ⋅=-”两种情况进行分类讨论，先对后一种情况探究，则可设两直线的方程分别为()1:1l y k x =-， ()21
:1l y x k
=-
-，逐个联立椭圆方程，分别计算,MN PQ 的中点,S T 的坐标，从而求出直线ST 的方程，并求得其定点为203
⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，再对前一种情况进行验证即可．
试题解析：（Ⅰ）由题意知，
22
222 31
1
2
{
2
a b
a b c
c
a
+=
=+
=
，解得
2
{2
2
a
b
c
=
=
=
，
故椭圆C的方程为
22
1
42
x y
+=．
∴直线ST的方程为()
22
3
2121
k k
y
k k
-
+=
+-
2
2
2
21
k
x
k
⎛⎫
-
⎪
+
⎝⎭
，
即()
2
32
3
21
k
y x
k
-⎛⎫
=-
⎪
-⎝⎭
，∴直线ST过定点
2
,0
3
⎛⎫
⎪
⎝⎭
；
当两直线的斜率分别为0和不存在时，则直线ST的方程为0
y=，也过点
2
,0
3
⎛⎫
⎪
⎝⎭
；
综上所述，直线ST过定点
2
,0
3
⎛⎫
⎪
⎝⎭
．
3．如图，,A B是椭圆
2
2
:1
2
x
C y
+=长轴的两个端点，,
M N是椭圆上与,A B均不重合的相异两点，设直线,,
AM BN AN的斜率分别是
123
,,
k k k．
(1)求
23
k k⋅的值；
(2)若直线MN过点
2
,0 2
⎛
⎫
⎪
⎪
⎝⎭
，求证：
13
1
6
k k⋅=-；
(3)设直线MN与x轴的交点为(),0t(t为常数且0
t≠)，试探究直线AM与直线BN的交点Q是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
23
1
2
k k⋅=-（2）见解析（3）落在定直线
2
x
t
=上
（3）同（2）法，由点,
M N的纵坐标，求出直线,
AM BN的方程，联立两直线方程，求出其交点Q的横坐标
2
x
t
=与点,
M N的坐标无关，从而可判断交点Q落在定直线
2
x
t
=上，从而问题可得解．
试题解析：(1)设()
00
,
N x y，由于())
2,0,2,0
A B
-，
所以
2
000
232
00
2
22
y
k k
x
x x
⋅==
-
-+
，
因为()
00
,
N x y在椭圆C上，于是
2
2
1
2
x
y
+=，即22
00
22
x y
-=-，
所以
2
232
1
22
y
k k
x
⋅==-
-
．
