第七章参数估计对给定的统计问题，在建立了统计模型以后，我们的任务就是依据样本对未知总体进行各种推断，参数估计是统计推断的重要内容之一。
本章主要介绍进行参数估计的方法及其评价等。
7.1 点估计方法参数估计，就是要从样本出发去构造一个统计量作为总体中某未知参数的一个估计量。
若总体X的分布函数的形式为已知，但它的一个或多个参数未知，则由总体X的一个样本去估计总体未知参数的值的问题就是参数的点估计问题。
例如，某钢筋厂日生产某种型号钢筋10000根，为了要得知这批钢筋的强度，质量检察员从中抽取50跟进行检查。
如何从抽查的50根钢筋强度的数据去估计整批钢筋强度的平均值？这就是参数估计要解决的问题。
在实际问题中，我们常常以统计量作为总体X的期望值的估计量。
设总体X的分布函数为F (x，θ )，其中θ 为未知参数。
X1，X2， (X)为总体X的一个样本。
点估计的问题就是由样本构造一个统计量作为未知参数θ 的一个估计量。
若x1，x2，…，xn是样本观察值，则代入估计量中即可以得到一个关于参数θ 的估计值。
在不致混淆的情况下，我们把估计量或估计值简称为估计。
构造估计的方法很多，下面介绍三中常用的方法。
7.1.1 频率替换法假定在n次实验中，事件A发生了n A次，(n A / n)为A发生的频率，设P (A ) = p (0< p<1)，则由概率论的大数定律：频率(n A / n)依概率收敛于事件A 发生的概率p，即对任意ε >0，成立，于是，当n较大时，(n A / n)与p非常接近，自然地取(n A / n)作为p的估计，.这种由频率估计相应的概率而得到的估计量的方法称为频率替换法。
例1 估计一批产品的次品率p。
设产品只区分正品与次品，分别以X取0和1表示产品为正品和次品，所以总体X服从参数为p的(0-1)分布，即p为未知的待估参数。
令事件A表示“产品为次品”，则p = P (A) = P (X=1)。
第七章参数估计练习题：1．假设一个总体有3、6、9、12、15共5个元素，抽取样本容量为2的样本，绘制总体分布与样本均值的抽样分布，并比较两个分布的异同？解：○1总体分布：总体中5个元素3、6、9、12和15在总体中都各自仅仅出现一次，其分布为均匀分布，如下图所示：○2若重复抽取（抽取后放回）样本容量为2的样本，则可以抽取的样本有52=25个，样本以及样本的均值如下表所示：根据上表可以绘制出25个样本均值的相对频数分布，如下图所示：样本均值的抽样分布2．某报刊为了对某市交通的便利情况进行调查，在全市随机抽取了56名市民，调查其每天上下班大约在公交车上花费的时间，下表是56名市民做出的回答：（单位：分钟）80 80 68 48 60 50 110 50 85 9575 70 210 60 50 60 200 70 40 35120 90 60 80 70 80 190 45 60 120100 40 78 50 80 50 30 55 80 11050 70 90 40 60 30 60 60 70 6060 80 50 60 80 120（1）请计算这56名市民上下班在公交车上花费的时间的平均数x和标准差S。
（2）求该市市民上下班在公交车上花费的平均时间的置信区间，置信度为95%。
解：（1）均值：1808068422475.435656niiXxn=+++====∑…+120标准差：=37.11S===（2）大样本单总体均值的区间估计：在1α-的置信度下，总体均值μ的置信区间为22x Z x Z αα⎛⎫-+ ⎝，该题目中：=0.05α，75.43x =，=37.11σ，0.0522==1.96 Z Z α，56n =则：21.969.72Z α==可得：275.439.7265.71x Z α-=-=275.439.7285.15x Z α+=+=可得总体均值μ的置信区间为()65.71,85.15。
第7章参数估计7.1 考点归纳【知识框架】【考点提示】（1）置信区间的含义理解（选择题、简答题考点）；（2）估计量的三个评价标准（判断题、填空题、简答题考点）；（3）区间估计的步骤（简答题考点）、总体参数的区间估计选择恰当的统计量（计算题考点）；（4）必要样本容量的影响因素、计算（简答题、计算题考点）。
【核心考点】考点一：参数估计的基本原理1．置信区间（1）置信水平为95%的置信区间的含义：用某种方法构造的所有区间中有95%的区间包含总体参数的真值。
（2）置信度愈高（即估计的可靠性愈高），则置信区间相应也愈宽（即估计准确性愈低）。
（3）置信区间的特点：置信区间受样本影响，具有随机性，总体参数的真值是固定的。
一个特定的置信区间“总是包含”或“绝对不包含”参数的真值，不存在“以多大的概率包含总体参数”的问题。
2．评价估计量的标准（1）无偏性：估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数，即E（θ∧）＝θ。
（2）有效性：估计量的方差尽可能小。
（3）一致性：随着样本量的增大，估计量的值越来越接近被估计总体的参数。
【提示】本考点常见考查方式：①直接考查置信水平为95%的置信区间的含义；②置信度、估计可靠性、置信区间的关系及应用；③置信区间的特点；④给出估计量的具体含义，判断体现了什么标准；⑤直接回答估计量的三个评价标准及具体含义（简答题）。
考点二：一个总体参数的区间估计表7-1 一个总体参数的区间估计【总结】一个总体参数的估计及所使用的分布见图7-1：图7-1 一个总体参数的估计及所使用的分布【真题精选】设总体X～N（μ，σ2），σ2已知，样本容量和置信水平固定，对不同的样本观测值，μ的置信区间的长度（）。
[对外经济贸易大学2018研]A．变长B ．变短C ．保持不变D ．不能确定 【答案】C【解析】在正态总体方差已知的条件下，μ的置信区间为/2x z ±ασ所以置信区间长度为/22Z α，当样本容量和置信水平固定时，置信区间长度保持不变。
