2017/2018学年度第一学期期末质量检测九年级数学试卷注意事项：1．本次考试时间为120分钟，卷面总分为150分．考试形式为闭卷．2．所有试题必须作答在答题卡上规定的区域内，注意题号必须对应，否则不给分． 3．答题前，务必将姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上.） 1． 一元二次方程24x -＝0的解是 ························································· 【 ▲ 】A ．x ＝2B ．x ＝－2C ．x＝D ．x ＝±22． △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，则sin A 的值是 ························ 【 ▲ 】A ．513B ．1213C ．512D ．1353． 二次函数y ＝2(x －1)2＋3的图像的顶点坐标是 ····································· 【 ▲ 】A ．（1，－3）B ．（－1，3）C ．（1，3）D ．（－1，－3）4． 为了解当地气温变化情况，某研究小组记录了寒假期间连续4天的最高气温，结果如下（单位：℃）：－1，－3，－1，5．下列结论错误的是 ······················· 【 ▲ 】 A ．平均数是0B ．中位数是－1C ．众数是－1D ．方差是65． 如图，扇形OAB 是一个圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1，则这个圆锥的底面半径为 ················································································ 【 ▲ 】 A ．12BCD．6． 如图，△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 上的点，AD 与BE 相交于点G ，若AG ∶GD＝4∶1，BD ∶DC ＝2∶3，则EC ∶AE 的值是 ······································· 【 ▲ 】A ．58B ．23C ．34D ．57二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上）（第6题图）C D EGA（第5题图）ABO学校 班级 考号 姓名…………………………………………密………………………………………封……………………………线……………………………………7． 已知一组数据：1，0，－5，7，－4，5，13，这组数据的极差是 ▲ ．8． 一个不透明的袋子中装有2个蓝球，3个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到黑球的概率是 ▲ ．9． 若x 1，x 2是一元二次方程3x 2－x －3＝0的两根，则x 1＋x 2的值是 ▲ ．10．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来100元降到81元．设平均每次降价的百分率为x ，根据题意可列方程为 ▲ ．11．在阳光下，身高1.7 m 的小明在地面上的影长为3 m ，在同一时刻，测得学校的旗杆在地面上的影长为15 m ，则旗杆的高度为 ▲ m ．12．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠A ＝35°，∠C ＝26°，则∠B ＝ ▲ °．13．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点P 在第一象限，⊙P 与x 轴交于O ，A 两点，点A 的坐标为（6，0），⊙P，则点P 的坐标为 ▲ ． 14．如图，在直角坐标系中，△OAB 和△OCD 是位似图形，O 为位似中心，若A 点的坐标为（1，1），B 点的坐标为（2，1），C 点的坐标为（3，3），那么点D 的坐标是 ▲ ． 15．二次函数y ＝2ax bx c ++（a ≠0）的自变量x 与函数y 的部分对应值如下表：下列结论：①抛物线的开口向下；②当x ＞－3时，y 随x 的增大而增大；③二次函数的最小值是－2；④抛物线的对称轴是直线x ＝52-，其中正确结论的序号是▲ ．16．如图，AB 是半径为1的半圆弧，△AOC 为等边三角形，点D 是 BC 上的一动点，当△COD 的面积最大时，则BD 2＝ ▲ ．三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，推理过程或演算步骤） 17．（本题满分8分）解方程． （1）x 2－3x －4＝0； （2）(1－2x )2＝2(2x －1)．（第12题图） CABO （第14题图）（第13题图） CDA BO （第16题图）18．（本题满分8分）计算：（1）21sin3045tan603︒︒+︒；（2）0112018()3tan303--+︒．19．（本题满分7分）关于x的一元二次方程x2－x－(m＋1)＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为满足（1）的最小整数，求此方程的根．20．（本题满分10分）为了庆祝新年的到来，某中学举行“青春飞扬”元旦汇演，正式表演前，把各班的节目分为A（戏剧类）、B（小品类）、C（歌舞类）、D（其他）四个类别，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整．请你根据统计图解答下列问题：（1）在扇形统计图中，m的值为▲；（2）补全条形统计图；（3）学校决定从本次汇演的D类节目中，选出2个去参加市中学生文艺汇演．已知D 类节目中有相声节目2个，魔术节目1个，朗诵节目1个，请求出所选2个节目恰好是一个相声和一个魔术的概率．21．（本题满分10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，OC∥AD，AD交BC 的延长线于D，AB交OC于E．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AE＝CE＝4．求图中阴影部分的面积．类别1CDAB12%%m（第20题图）（第21题图）22．（本题满分9分）已知二次函数y ＝－x 2＋2x ．（1）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图像；（2）当y ＜0时，x 的取值范围是________________；（直接写出结果）（3）若将此图像沿x 轴向左平移3个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，平移后图像所对应的函数关系式为________________．（直接写出结果）23．（本题满分10分）如图，△ABC 中，D 是BC 上一点，∠DAC ＝∠B ，E 为AB 上一点． （1）求证：△CAD ∽△CBA ；（2）若BD ＝10，DC ＝8，求AC 的长；（3）在（2）的条件下，若DE ∥AC ，AE ＝4，求BE 的长．24．（本题满分7分）如图，在水平地面上有一幢房屋BC 与一棵树DE ，在地面观测点A处测得屋顶C 与树梢D 的仰角分别是45°与60°，∠CAD ＝60°，在屋顶C 处测得∠DCA ＝90°．若房屋的高BC ＝6米，求树高DE 的长度．（第23题图）C DEAB（第22题图）（第24题图）E25．（本题满分10分）某商品进价为每个10元，当售价为每个12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，试解答下列问题：（1）直接写出该商品销售量y （个）与售价x （元）（12≤x ≤30）之间的函数关系式； （2）为了让利给顾客，并同时获得840元的利润，售价应定为多少元？ （3）当售价定为多少元时，获得利润最大，最大利润是多少元？26．（本题满分11分）将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转α度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB ′C ′，我们将这种变换记为[α，n ]．（1）如图①，对△ABC 作变换[58°得△AB ′C ′，则S △AB ′C ′∶S △ABC ＝________；直线BC 与直线B ′C ′所夹的锐角为_______度；（直接写出结果）（2）如图②，△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝90°，对△ABC 作变换[α，n ]得△AB ′C ′，使点B 、C 、C ′在同一直线上，且四边形ABB ′C ′为矩形，求α和n 的值； （3）如图③，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝36°，BC ＝2，对△ABC 作变换[α，n ]得△AB ′C ′，变换后点B 、C 、B ′在同一直线上，且四边形ABB ′C ′为平行四边形，则n 的值为________．（直接写出结果）（第26题图）①CABC 'B '③AB C 'B '②CBC 'B 'A27．（本题满分12分）如图，二次函数y＝x2＋bx－3的图像与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C，且点B的坐标为（3，0），该二次函数图像与直线y＝2x－3交于C、D 两点，连接AD、BD．（1）b的值为________，点D的坐标为________；（直接写出结果）（2）点P是二次函数图像上的一点，连接AP、BP，若5S△ABP＝4S△ABD，求点P的坐标；（3）作直线BC，点M是直线BC下方二次函数图像上的一点，过点M作ME⊥BC于点E，作MF∥y轴交BC于点F，求△MEF周长的最大值．（第27题图）九年级数学参考答案及评分标准（阅卷前请认真校对，以防答案有误！）一、选择题（每小题3分，共18分）二、填空题（每小题3分，共30分）7．18． 8．35． 9．13． 10．2100(1)x -＝81． 11．8.5．12．61°．13．（3，2）． 14．（6，3）． 15．④． 16．2三、解答题 17．（本题满分8分）（1）x 1＝4，x 2＝－1． ············································································ 4分 （2）x 1＝12，x 2＝32． ············································································ 8分 （说明：每对一个根给2分） 18．（本题满分8分）（1）1． ······························································································· 4分（2）2-······················································································ 8分 （说明：（1）中sin30°、cos45°、tan60°的值正确分别给1分，结果正确给1分；（2）中20180、11()3-、tan30°的值正确分别给1分，结果正确给1分）19．（本题满分7分）（1）由题意，得 []2(1)41(1)m --⨯⨯-+＞0． ············································ 2分 解得 m ＞54-． ··················································································· 4分 （2）m ＝－1． ······················································································ 5分 x 1＝0 ，x 2＝1． ···················································································· 7分 20．（本题满分10分） （1）32． ····························································································· 2分 （2）如图中阴影条形所示． ····································································· 4分（3）13． ··························································································· 10分21．（本题满分10分） （1）连接OA ． ∵AD ∥OC ，∴∠AOC ＋∠OAD ＝180°． ····································································· 1分 ∵∠AOC ＝2∠ABC ＝2×45°＝90°， ·························································· 2分 ∴∠OAD ＝90°． ··················································································· 3分 ∴OA ⊥AD ． ························································································ 4分 ∴AD 是⊙O 的切线． ············································································ 5分 （2）设⊙O 的半径为R ，则OA ＝R ，OE ＝R －4．在Rt △OAE 中，∵AO 2＋OE 2＝AE 2，∴R 2＋(R －4)2＝2． ····································································· 7分 解得R ＝6．（负值舍去） ········································································ 8分 ∴S 阴影＝S 扇形OAC －S △OAC ＝22901π663602⨯-⨯＝9π18-． ······························ 10分 22.（本题满分9分）（1）如图所示． ···················································································· 3分（说明：抛物线的顶点、与x 轴的两个交点位置正确分别给1分）（2）x ＜0或x ＞2． ················································································ 6分 （3）y ＝2(2)x -+． ·············································································· 9分 （说明：（2）中只写对一半，如x ＜0，给2分）类别123．（本题满分10分）（1）∵∠DAC ＝∠B ，∠ACD ＝∠BCA ， ···················································· 2分 ∴△CAD ∽△CBA ． ·············································································· 3分 （2）∵△CAD ∽△CBA ， ∴CD AC ＝CA BC ，即8AC ＝18AC． ································································ 5分 ∴AC ＝12．（舍去负值） ········································································· 7分 （3）∵DE ∥AC ，∴BE EA ＝BD DC ，即4BE ＝108． ································································ 9分 ∴BE ＝5． ·························································································· 10分 24．（本题满分7分）在Rt △ABC 中，∵∠CAB ＝45°，BC ＝6，∴AC ＝sin BC CAB ∠＝6sin 45︒＝ ························································· 2分在Rt △ACD 中，∵AC ＝CAD ＝60°，∴AD ＝cos ACCAD∠＝ ······················································ 4分在Rt △ADE 中，∵AD ＝EAD ＝60°，∴DE ＝AD ·sin ∠EAD ＝sin60°＝（m ）． ·································· 6分答：树DE 的高为米． ·································································· 7分 25．（本题满分10分）（1）设售价为x 元时，销售量为y 个．根据题意，得 y ＝180－10(x －12)＝－10x ＋300（12≤x ≤30）． ········································· 2分 （2）由题意，得 (x －10)·y ＝－10x 2＋400x －3000＝840． ···························· 4分 解得 x 1＝16，x 2＝24． ········································································· 6分 ∵让利给顾客， ∴x ＝16，答：售价应定为16元．·········································································· 7分 （3）设获得的利润为W ，W ＝－10x 2＋400x －3000＝－10(x －20)2＋1000． ······· 8分 ∵a ＝－10＜0，∴当x ＝20时，W 取最大值，最大值为1000．答：售价定为20元时，获得利润最大，最大利润是1000元． ······················ 10分 26．（本题满分11分）（1）5∶1，58°． ··················································································· 4分 （说明：每空2分）（2）∵四边形ABB ′C ′是矩形， ∴∠BAC ′＝90°．∴α＝∠CAC ′＝∠BAC ′－∠BAC ＝90°－30°＝60°． ······································ 6分 在Rt △ABB ′中，∠ABB ′＝90°，∠BAB ′＝60°， ∴∠AB ′B ＝30°． ∴AB ′＝2AB ．∴n ＝AB AB'＝2． ··················································································· 8分 （3． ···················································································· 11分 27.（本题满分12分）（1）－2，（4，5）．················································································ 4分 （说明：每空2分）（2）设点P 的纵坐标为P y ． ∵5S △ABP ＝4S △ABD ，∴5×12AB ×P y ＝4×12AB ×5．解得 P y ＝±4． ∵b ＝－2，∴二次函数关系式为y ＝x 2－2x －3．当y ＝4时，4＝x 2－2x －3，解得1x＝1+2x＝1-∴P（1+4）或（1-4）． ······················································ 8分 当y ＝－4时，－4＝x 2－2x －3，解得3x ＝4x ＝1．∴P （1，－4）． ···················································································· 9分 综合知，点P的坐标为（1+4）或（1-4）或（1，－4）． （3）如图，延长MF 交x 轴于点H ，则MH ⊥x 轴． ∵B （3，0）， ∴OB ＝3．在y ＝x 2－2x －3中，当x ＝0时，y ＝－3． ∴C （0，－3）． ∴OC ＝3． ∴OB ＝O C ． 又∵∠BOC ＝90°， ∴∠OBC ＝45°．∵∠BHF ＝∠MEF ＝90°，∠HFB ＝∠MFE ， ∴△MEF ∽△BHF ． ∴∠M ＝∠OBC ＝45°． ∴△MEF 是等腰直角三角形．∴△MEF 的周长为MF ＋EF ＋EM ＝MF＝(1MF ． ············ 11分 设M （t ，t 2－2t －3）．由B （3，0），C （0，－3）可求直线BC 的函数关系式为y ＝x －3． ∴F （t ，t －3）．∴MF ＝23(23)t t t ----＝－t 2＋3t ＝239()24t --+．∵a＝－1＜0，∴当t＝32时，MF取最大值，最大值为94．∴△MEF周长的最大值为9(14+⨯＝94+···································· 12分九年级数学试卷第11页（共11页）。
梁子湖区2022年秋期末质量监测九年级数学试题考试时间：120分钟 试卷总分：120分一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列关于x 的方程中，是一元二次方程的是（ ） A ．33xx += B ．2230x x +-= C ．43x x += D ．2212x x x ++=-2．“垃圾分类，利国利民”．鄂州市碧石渡镇积极创建生活垃圾分类试点镇，已实现“镇-村-湾”生活垃圾分类全覆盖．以下垃圾分类标志的图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．可回收物B ．有害垃圾C ．厨余垃圾D ．其花垃圾3．如图，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画出射线OB ，则AOB ∠=（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．904．将抛物线2y x =平移得到抛物线()21y x =+，则这个平移过程是（ ） A ．向上平移1个单位长度 B ．向下平移1个单位长度 C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度5．近年来，随着经济建设的蓬勃发展，鄂州市花大力气先后修成了江滩公园、西山公园、洋澜湖湿地公园、青天湖公园等各种主题公园，给广大市民提供了外出郊游的良好环境．据有关部门统计，2019年郊游人数约为20万人次，2021年郊游人数约为30万人次，设郊游人数年平均增长率为x ，则下列方程中正确的是（ ） A ．()20130x +=B ．()30120x -=C ．()220130x +=D ．()()22020120130x x ++++=6．如图，正比例函数y x =与反比例函数4y x=的图象交于A ，B 两点，其中()2,2A ，当y x =的函数值大于4y x=的函数值时，x 的取值范围是（ ）A ．2x >B ．2x <-C ．20x -<<或02x <<D ．20x -<<或2x >7．如图，在矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为()1,0，且C ，D 两点在函数()()10,110.2x x y x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩的图象上．若在矩形ABCD 内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．12B ．38C ．14D ．168．如图所示的圆形暗礁区，两灯塔A ，B 之间的距离恰好等于圆的半径，为了使航船S 不进入暗礁区，那么S 对两灯塔A ，B 的视角ASB ∠必须（ ）A ．大于60°B ．小于60°C ．大于30°D ．小于30°9．如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图象交x 轴于()3,0-，对称轴为直线1x =-．下列结论：①0abc >；②420a b c ++>；③30a c +=；④若13,2y ⎛⎫-⎪⎝⎭，21,2y ⎛⎫⎪⎝⎭是图象上的两点，则12y y >；⑤若y c ≤，则20x -≤≤．其中正确结论的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．正三角形ABC 的边长为6，E 是边AC 上一动点，A ，D 两点关于直线BE 对称，连接DC 并延长交直线BE 于F ，连接AF ，在点E 运动过程中，AF CF +的最大值是（ ）A ．6B ．3C ．4D ．5二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．若关于x 的方程260x kx --=的一个根为3，则k 的值为__________．12．现有某种产品100件，其中5件次品，从中随意抽出一件，恰好抽到次品的概率是__________． 13．如图，P A ，PB 是O 的切线，A ，B 为切点，AC 是O 的直径，若25BAC ∠=︒，则P ∠的度数是__________．14．如图，AB 是O 的直径，AC 是弦，3AC =，2BOC AOC ∠=∠．若用扇形OAC （图中阴影部分）围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是__________．15．如图，一次函数43y x b =+的图象与y 轴交于点()0,3B ，与反比例函数()0ky x x=<的图象交于点(),D m n ，以BD 为对角线作矩形ABCD ，使顶点A ，C 落在x 轴上（点A 在点C 的右边），BD 与AC 交于点E ，则k =__________．16．如图，正方形ABCD 中，E 为AB 上一点；AF DE ⊥于点F ，已知2AE =，过点C ，D ，F 的O 与边AD 交于点G ，若O 的半径是5，则DG =__________．三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（本题满分8分）解下列方程： （1）（4分）23210x x --=；（2）（4分）()21160x --=．18．（本题满分8分）某校组织读书征文比赛，评选出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图（不完整），请你根据图中信息解答下列问题：（1）（2分）求本次比赛获奖的总人数，并补全条形统计图； （2）（2分）求扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数；（3）（4分）学校从甲、乙、丙、丁4位一等奖获得者中随机抽取2人参加“世界读书日”宣传活动，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率．19．（本题满分8分）关于x 的方程()222120x k x k ++++=有两个实数根1x ，2x ．（1）（4分）求实数k 的取值范围；（2）（4分）若1x ，2x 满足12121x x x x +=-，求k 的值．20．（本题满分8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，ABC △的顶点都在格点上．（1）（3分）将ABC △向右平移6个单位长度得到111A B C △，请画出111A B C △； （2）（3分）画出与111A B C △关于点O 对称的222A B C △；（3）（2分）若将ABC △绕某一点旋转可得到222A B C △，请直接写出旋转过程中点A 到点2A 所经过的路径长度．21．（本题满分9分）如图，AB 为O 的直径，PD 切O 于点C ，与BA 的延长线交于点D ，DE PO ⊥交PO 的延长线于点E ，连接OC ，PB ，已知6PB =，8DB =，EDB EPB ∠=∠．（1）（3分）求证：PB 是O 的切线；（2）（3分）求O 的半径；（3）（3分）连接BE ，求BE 的长．22．（本题满分9分）某商店出售一款商品，经市场调查，该商品的日销量y （件）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价、日销量、日销售利润的部分对应数据如下表．【注：日销售利润=日销量⨯（销售单价-进价）】（1）（3分）根据下表信息填空：该商品的进价是__________元／件，表中a 的值是__________，y 与x 之间的函数关系式是__________；（2）（3分）求该商品日销售利润的最大值；（3）（3分）由于某种原因，该商品进价降低了m 元/件()0m >，商店规定，在今后的销售中，该商品的销售单价不能低于68元，日销量与销售单价之间仍满足（1）中的函数关系，若日销售最大利润为6600元，求m 的值．23．（本题满分10分）请仔细阅读以下材料：定理一：一般地，如图，四边形ABCD 中，如果连接两条对角线后形成的BAC BDC ∠=∠，则A ，B ，C ，D 四点共圆．我们由定理可以进一步得出结论：BDA BCA ∠=∠，DBC DAC ∠=∠，ACD ABD ∠=∠．定理二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．温馨提示：下面问题的关键地方或许能够用到上述定理，如果用到，请直接运用相关结论；如果你有自己更好的做法，那就以自己的做法为主，只要正确，一样得分．探究问题：如图，在△ABC 和△EFC 中，AC BC =，BC FC =，90ACB ECF =∠=︒∠，连接BF ，AE 交于点D ，BP 交AC 于点H ，连接CD ．（1）（3分）求证BF AE =；（2）（4分）请直接写出ADB ∠=___________度，BDC ∠=___________度； （3）（3分）若15DBC ∠=︒，求证2AH CD =． 24．（本题满分12分）（1）（4分）如图1，在平面直角坐标系中，有两点()11,A x y ，()22,B x y ，过A ，B 两点分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为C ，D ，E ，F ，直线AF 与BD 相交于点G ，则线段()2212AG x x =-，()2212BG y y =-，所以AB =我们把①式称作A ，B 两点间的距离公式．请根据此公式，求出()1,2A -，()2,4B -两点之间的距离；（2）（4分）如图2，平面直角坐标系中，Rt ABC △的三个顶点都在抛物线2y x =上，且AB x ∥轴，90ACB ∠=︒，过点C 作CE AB ⊥，垂足为E ，请直接运用第一问的结论求出CE 的长；（3）（4分）如图3，Rt ABC △的三个顶点都在抛物线24y x =-+上，且直角顶点C 在该抛物线的顶点处，设直线AB 的解析式为y kx b =+，试证明该直线必过一定点．梁子湖区2022年秋期末质量监测九年级数学答案一、选择题1．B 2．B 3．C 4．C 5．C 6．D 7．C 8．D 9．B 10．C 二、填空题 11．1 12．120（或5%均可） 13．50° 14．1/2 15．27216．6 三、解答题17．解：（1）∵23210x x --=， ∴()()1310x x -+=， ∴1x =或13x =-；4分 （2）∵()21160x --=， ∴()2116x -=， ∴14x -=±， ∴5x =或3x =-．8分 答案正确均给分18．（1）本次比赛获奖的总人数为410%40÷=（人），1分 所以二等奖人数为()4042412-+=（人）． 图略．2分（2）扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数为1236010840︒⨯=︒；4分 ∵从四人中随机抽取两人有12种等可能的结果，恰好是甲和乙的有2种可能， ∴抽取两人恰好是甲和乙的概率是21126=．6分 树状图略．8分19．（1）根据题意得()()2221420k k ∆=+-+≥，解得74k ≥；4分 （2）根据题意得()12210x x k +=-+<，21220x x k =+>，∴10x <，20x <， ∵12121x x x x +=-，∴()12121x x x x -+=-，∴22121k k +=+-，整理得220k k -=，解得10k =，22k =， ∵74k ≥， ∴2k =．8分20．解：（1）如图，111A B C △即为所求；3分（2）如图，222A B C △即为所求；6分（3）根据图形可知，旋转中心的坐标为()3,0-． 所以点A 的路径是5π．8分 21．（1）略．3分（2）解：在Rt PBD △中，6PB =，8DB =，根据勾股定理得：10PD ==， ∵PD 与PB 都为O 的切线，∴6PC PB ==，∴1064DC PD PC =-=-=；在Rt CDO △中，设OC r =，则有8OD r =-， 根据勾股定理得：()22284r r -=+， 解得：3r =， 则圆的半径为3．6分（3）延长PB 、DE 相交于点F ， ∵PD 与PB 都为O 的切线，∴OP 平分CPB ∠， ∴DPE FPE ∠=∠， ∵PE DF ⊥，∴90PED PEF ∠=∠=︒， 又∵PE PE =，∴PED PEF △≌△（ASA ）， ∴10PD PD ==，DE EF =， ∴1064BF PF PB =-=-=，在Rt DBF △中，DF ===∴12BE DF ==9分 注，其他做法只要正确同样给分22．解：（1）设该产品的成本单价是n 元，根据题意，得：()525015075n =⨯-，解得40n =．()12078404560a =⨯-=．设日销售量y （件）与销售单价x （元）之间满足的一次函数解析式为y kx b =+，把()75,150，()78,120代入解得一次函数解析式为10900y x =-+．答：商品的进价为40元、a 为4560、y 与x 之间的函数关系式为10900y x =-+；3分 （2）根据题意，得：()()4010900w x x =--+210130036000x x =-+-()210656250x =--+．答：该商品日销售利润的最大值为6250元；6分 （3）设利润为1w 元，根据题意可得：()()14010900w x m x =-+-+()21013001090036000x m x m =-+-+-，∵销售单价不低于68元，即68x ≥， ∴6890x ≤≤， 对称轴为6522b mx a =-=-， ∵0m ≥，∴65682m -<，且开口向下， ∴1w 随x 的增大而减小，∴当68x =时，1w 有最大值为6600， ∴()()68406809006600m -+-+=， ∴2m =．答：m 的值为2．9分23．（1）略．3分（2）90°、45°．7分（3）略证：由定理一得，30DCA DBA ∠=∠=︒ 取AH 中点G ，连接DG则由定理2得GA GH DG ==，又由（1）得15CAD DBC ∠=∠=︒ ∴30DGC DCA ∠=︒=∠∴CD DG =∴2AH CD =．10分其他做法只要正确同样给分24．解（1）AB =4分（2）略解：由对称性可设()2,A a a，()2,B a a -，()2,C c c ， 则()2,E c a ，2AB a =从而22CE a c k =-= ① ()222AC a c k =-+，()222BC a c k =++，224AB a =∴()()222224a c k a c k a -++++= 化简得222k a c =-．②联立①、②得2k k =，1k =或0，又因为0k ≠ ∴1k =、即1CE =．8分（3）求得C （0，4），9分设()2,4A m m -+，()2,4B n n -+ 由两点间距离公式可得224AC m m =+，()()22222AB m n m n =-+-，224BC n n =+，又由勾股定理得222AC BC AB +=，所以()()22242422m m n n m n m n +++=-+-， 化简得220m n mn += 1mn =-或0 ∵0mn ≠∴1mn =-，联立24y x =-+、y kx b =+得 24x kx b -+=+，240x kx b ++-=的两个根分别是m ，n 由根与系数的关系得：4mn b =- 所以41b -=-，3b =∴直线y kx b =+必过点（0，3）．12分 注：其他做法只要正确都可给分。
2017-2018学年鄂州市梁子湖区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）把方程（﹣）（+）+（2﹣1）2=0化为一元二次方程的一般形式是（）A．52﹣2﹣2=0 B．52﹣4﹣2=0 C．52﹣2=0 D．32﹣4﹣2=02．（3分）关于的方程（a2﹣2a﹣3）2+a+b=0是一元二次方程的条件是（）A．a≠0 B．a≠﹣3且a≠1 C．a≠3且a≠﹣1 D．a≠3或a≠﹣13．（3分）已知二次函数y=a2+4a+c的图象与轴的一个交点为（﹣1，0），则它与轴的另一个交点的坐标是（）A．（﹣3，0）B．（3，0） C．（1，0） D．（﹣2，0）4．（3分）若二次函数y=m2﹣4+m有最大值﹣3，则m等于（）A．m=4 B．m=﹣1 C．m=1 D．m=﹣45．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2）绕点A（0，1）顺时针旋转90°，所得到的对应点P′的坐标为（）A．（﹣1，﹣2）B．（3，﹣2）C．（1，3） D．（1，4）6．（3分）方程2﹣2+4=0和方程2﹣4+2=0中所有的实数根之积是（）A．8 B．2 C．6 D．47．（3分）若一次函数y=+b的图象与轴、y轴都交于正半轴，则二次函数y=2+b﹣b的图象可能是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，点P是等边△ABC的内部一点，PA=5，PB=13，PC=12，则△ABP与△ACP的面积之和是（）A．+30 B．72+30 C．60 D．+309．（3分）若关于的方程（a﹣3）2﹣4﹣1=0有实数根，则a满足（）A．a≥﹣1且a≠3 B．a≠3 C．a＞﹣1且a≠3 D．a≥﹣110．（3分）已知二次函数y=a2+b+c的图象如图所示，下列结论：①9a﹣3b+c=0；②4a﹣2b+c ＞0；③方程a2+b+c﹣4=0有两个相等的实数根；④方程a（﹣1）2+b（﹣1）+c=0的两根是1=﹣2，2=2．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）若关于的一元二次方程2+（+3）+=0的一个根是﹣2，则另一个根是．12．（3分）将抛物线y=2﹣4+5向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线的顶点坐标是．13．（3分）如图，▱ABCD中，AE⊥BC于E，以B为中心，取旋转角等于∠ABC，将△BAE 顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC=70°，∠ADA′=50°，则∠DA′E′的度数为．14．（3分）已知函数y=的图象如图所示，观察图象，则当函数值y≥﹣6时，对应的自变量的取值范围是．15．（3分）设m，n是一元二次方程2﹣2018+1=0的两个实数根，则代数式2017m2+2018n2﹣2018n﹣2017×20182的值是．16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=6，D为AC上一点，AD=4，将AD绕点A旋转至AD′，连接BD′，F为BD′的中点，则CF的最大值为．三、解答题（本大题共8小题，共72分）17．（9分）解下列方程：（1）2﹣5=6；（2）2﹣﹣1=0；（3）（﹣2）2=2（+3）（﹣3）．18．（8分）（1）在图1中画出△ABC关于O的中心对称图形△A′B′C′；（2）正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，画出格点△DEF，使DE=，DF=，EF=，并求出△DEF的面积．19．（8分）某班“数学兴趣小组”对函数y=2﹣2||的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：（1）自变量的取值范围是全体实数，与y的几组对应值列表如下：2m= ．（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）探究函数图象发现：①函数图象与轴有个交点，所以对应的方程2﹣2||=0有个实数根；②方程2﹣2||=有个实数根；③关于的方程2﹣2||=a有4个实数根时，a的取值范围是．20．（9分）（1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF=45°，则有BE+DF= ．若AB=2，则△CEF的周长为．（2）如图2，四边形ABCD 中，∠BAD=∠C=90°，AB=AD ，点E ，F 分别在BC ，CD 上，且∠EAF=45°，试判断BE ，EF ，DF 之间的数量关系，并说明理由．21．（8分）已知关于的一元二次方程2﹣（2+1）+2+1=0有两个不等的实数根1，2．（1）求实数的取值范围；（2）若该方程的两个实数根1，2满足|1|+|2|=12+22﹣10，求的值．22．（8分）如图，要建一个面积为130m 2的矩形仓库，仓库的一边靠墙（墙长为am ），并在与墙平行的一边开一道1m 宽的门．现有能围成32m 长的木板，求建仓库的方案．23．（10分）某宾馆有50个房间供游客居住．，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价为元（为整数）．（1）直接写出每天游客居住的房间数量y 与的函数解析式．（2）设宾馆每天的利润为W 元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少？24．（12分）如图1，抛物线y=﹣2+b+c 经过点A （2，0），B （0，2），与轴交于另一点C ．（1）求抛物线的解析式及点C 的坐标；（2）点P 是抛物线y=﹣2+b+c 在第一象限上的点，过点P 分别向轴、y 轴作垂线，垂足分别为D ，E ，求四边形ODPE 的周长的最大值；（3）如图2，点P 是抛物线y=﹣2+b+c 在第一象限上的点，过点P 作PN ⊥轴，垂足为N ，交AB 于M ，连接PB ，PA ．设点P 的横坐标为t ，当△ABP 的面积等于△ABC 面积的时，求t的值．2017-2018学年湖北省鄂州市梁子湖区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）把方程（﹣）（+）+（2﹣1）2=0化为一元二次方程的一般形式是（）A．52﹣2﹣2=0 B．52﹣4﹣2=0 C．52﹣2=0 D．32﹣4﹣2=0【解答】解：化为一般式为：2﹣3+42﹣4+1=0∴52﹣4﹣2=0故选：B．2．（3分）关于的方程（a2﹣2a﹣3）2+a+b=0是一元二次方程的条件是（）A．a≠0 B．a≠﹣3且a≠1 C．a≠3且a≠﹣1 D．a≠3或a≠﹣1【解答】解：∵关于的方程（a2﹣2a﹣3）2+a+b=0是一元二次方程，∴a2﹣2a﹣3≠0．∴a≠3且a≠﹣1．故选：C．3．（3分）已知二次函数y=a2+4a+c的图象与轴的一个交点为（﹣1，0），则它与轴的另一个交点的坐标是（）A．（﹣3，0）B．（3，0） C．（1，0） D．（﹣2，0）【解答】解：二次函数y=a2+4a+c的对称轴为：=﹣=﹣2，∵二次函数y=a2+4a+c的图象与轴的一个交点为（﹣1，0），∴它与轴的另一个交点坐标是（﹣3，0）．故选：A．4．（3分）若二次函数y=m2﹣4+m有最大值﹣3，则m等于（）A．m=4 B．m=﹣1 C．m=1 D．m=﹣4【解答】解：∵二次函数有最大值，∴m＜0且=﹣3，解得m=﹣4．故选：D．5．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2）绕点A（0，1）顺时针旋转90°，所得到的对应点P′的坐标为（）A．（﹣1，﹣2）B．（3，﹣2）C．（1，3） D．（1，4）【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系，点P′的坐标为（1，4）．故选：D．6．（3分）方程2﹣2+4=0和方程2﹣4+2=0中所有的实数根之积是（）A．8 B．2 C．6 D．4【解答】解：∵方程2﹣2+4=0的判别式△=（﹣2）2﹣4×4=﹣12＜0，∴方程2﹣2+4=0无实数根，∵方程2﹣4+2=0，∴两根之积为2，∴方程2﹣2+4=0和方程2﹣4+2=0中所有的实数根之积为2，故选：B．7．（3分）若一次函数y=+b 的图象与轴、y 轴都交于正半轴，则二次函数y=2+b ﹣b 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵一次函数y=+b 的图象与轴、y 轴都交于正半轴，∴＜0，b ＞0，∴二次函数y=2+b ﹣b 的图象开口向下，∵对称轴为﹣＞0，﹣b ＞0，故C 符合题意，故选：C ．8．（3分）如图，点P 是等边△ABC 的内部一点，PA=5，PB=13，PC=12，则△ABP 与△ACP 的面积之和是（ ）A ．+30 B ．72+30 C ．60 D ． +30【解答】解：如图，把△APC 绕点A 顺时针旋转60°得到△ADB ，连接PD ，则△ADP 为等边三角形， ∴DP=PA=5，∵PB=13，PD=PC=12，∴BD 2+PD 2=PB 2，∴△BPD 为直角三角形，∴S△ABP +S △ACP =S △ADP +S △PBD =×5×12+×52=+30， 故选：A ．9．（3分）若关于的方程（a ﹣3）2﹣4﹣1=0有实数根，则a 满足（ ）A ．a ≥﹣1且a ≠3B ．a ≠3C ．a ＞﹣1且a ≠3D ．a ≥﹣1【解答】解：当a ﹣3=0时，∴﹣4﹣1=0，∴=﹣当a ﹣3≠0时，∴△=16+4（a ﹣3）≥0，∴a ≥﹣1，综上所述，a ≥﹣1故选：D ．10．（3分）已知二次函数y=a 2+b+c 的图象如图所示，下列结论：①9a ﹣3b+c=0；②4a ﹣2b+c ＞0；③方程a 2+b+c ﹣4=0有两个相等的实数根；④方程a （﹣1）2+b （﹣1）+c=0的两根是1=﹣2，2=2．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：①由抛物线的对称性可知：与轴交于另一点为（﹣3，0），∴9a ﹣3b+c=0；故①正确；②由图象得：当=﹣2时，y ＞0，∴4a ﹣2b+c ＞0，故②正确；③∵抛物线的顶点（﹣1，4），∴方程a 2+b+c=4有两个相等的实数根，即方程a 2+b+c ﹣4=0有两个相等的实数根；故③正确；④由题意得：方程a 2+b+c=0的两根为：1=﹣3，2=1，∴方程a （﹣1）2+b （﹣1）+c=0的两根是：﹣1=﹣3或﹣1=1，∴1=﹣2，2=2，故④正确；综上得：正确结论为：①②③④，4个，故选：D ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）若关于的一元二次方程2+（+3）+=0的一个根是﹣2，则另一个根是 ﹣1 ．【解答】解：把=﹣2代入2+（+3）+=0得到：（﹣2）2+（+3）×（﹣2）+=0，解得=﹣2．设方程的另一根为t，则﹣2t=﹣2，解得t=﹣1．故答案是：﹣1．12．（3分）将抛物线y=2﹣4+5向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线的顶点坐标是（3，﹣1）．【解答】解：∵y=2﹣4+5=（﹣2）2+1，∴抛物线y=2﹣4+5的顶点坐标是（2，1），∴将抛物线y=2﹣4+5向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线的顶点坐标是（3，﹣1）．故答案是：（3，﹣1）．13．（3分）如图，▱ABCD中，AE⊥BC于E，以B为中心，取旋转角等于∠ABC，将△BAE 顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC=70°，∠ADA′=50°，则∠DA′E′的度数为150°．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=70°，AD∥BC，∴∠ADA′+∠DA′B=180°，∴∠DA′B=180°﹣50°=130°，∵AE⊥BE，∴∠BAE=20°，∵△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，∴∠BA′E′=∠BAE=20°，∴∠DA′E′=130°+20°=150°．故答案为：150°．14．（3分）已知函数y=的图象如图所示，观察图象，则当函数值y≥﹣6时，对应的自变量的取值范围是﹣2≤≤3 ．【解答】解：∵y=，∴当函数值y≥﹣6时，分两种情况：①≤2时，﹣2+2≥﹣6，2≤8，结合图象可以得出：﹣2≤≤2，此时≤2，所以﹣2≤≤2，②＞2时，当函数值y≥﹣6时，﹣2≥﹣6，解得：≤3，此时＞2，所以2＜≤3．综上所述，y≥﹣6时，对应的自变量的取值范围是：﹣2≤≤3，故答案为﹣2≤≤3．15．（3分）设m，n是一元二次方程2﹣2018+1=0的两个实数根，则代数式2017m2+2018n2﹣2018n﹣2017×20182的值是﹣4035 ．【解答】解：∵m、n是关于的一元二次方程2﹣2018+1=0的两个实数根，∴m+n=2018，mn=1，n2﹣2018n+1=0，∴2017m2+2018n2﹣2018n﹣2017×20182=2017[（m+n）2﹣2mn]+n2﹣2018n﹣2017×20182=2017×（20182﹣2）﹣1﹣2017×20182=2017×20182﹣2017×2﹣1﹣2017×20182=﹣4035故答案为：﹣4035．16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=6，D为AC上一点，AD=4，将AD绕点A旋转至AD′，连接BD′，F为BD′的中点，则CF的最大值为．【解答】解：如图，取AB的中点M，连接MF和CM，∵将线段AD绕点A旋转至AD′，∴AD′=AD=4，∵∠ACB=90°，∵AC=6，BC=2，∴AB==2．∵M为AB中点，∴CM=，∵AD′=4．∵M为AB中点，F为BD′中点，∴FM=AD′=2．∵CM+FM≥CF，∴当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时，CF最大，此时CF=CM+FM=+2．故答案为：+2．三、解答题（本大题共8小题，共72分）17．（9分）解下列方程：（1）2﹣5=6；（2）2﹣﹣1=0；（3）（﹣2）2=2（+3）（﹣3）．【解答】解：（1）2﹣5﹣6=0（﹣6）（+1）=0=6或=﹣1（2）2﹣+=+1，（﹣）2==（3）2﹣4+4=22﹣92+4﹣13=02+4+4=13+4（+2）2=17=﹣2±18．（8分）（1）在图1中画出△ABC关于O的中心对称图形△A′B′C′；（2）正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，画出格点△DEF，使DE=，DF=，EF=，并求出△DEF的面积．【解答】解：（1）如图（1）：（2）如图（2）：═S△DEF=3×3﹣3﹣1﹣1.5=3.5．19．（8分）某班“数学兴趣小组”对函数y=2﹣2||的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：（1）自变量的取值范围是全体实数，与y的几组对应值列表如下：2m= 0 ．（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）探究函数图象发现：①函数图象与轴有 3 个交点，所以对应的方程2﹣2||=0有 3 个实数根；②方程2﹣2||=有 4 个实数根；③关于的方程2﹣2||=a有4个实数根时，a的取值范围是0＜a＜﹣1 ．【解答】解：（1）由函数解析式y=2﹣2||知，当=2或=﹣2时函数值相等，∴当=﹣2时，m=0，故答案为：0；（2）如图所示：（3）①由图象可知，函数图象与轴有3个交点，所以对应的方程2﹣2||=0有3个实数根；②由函数图象知，直线y=﹣与y=2﹣2||的图象有4个交点，所以方程2﹣2||=有4个实数根；③由函数图象知，关于的方程2﹣2||=a有4个实数根时，0＜a＜﹣1，故答案为：0＜a＜﹣1；故答案为：①3、3；②4；③0＜a＜﹣1．20．（9分）（1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF=45°，则有BE+DF= EF ．若AB=2，则△CEF的周长为 4 ．（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90°，AB=AD，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF=45°，试判断BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）延长EB至H，使BH=DF，连接AH，如图1，∵在正方形ABCD中，∴∠ADF=∠ABH，AD=AB，在△ADF和△ABH中，∵，∴△ADF≌△ABH（SAS），∴∠BAH=∠DAF，AF=AH，∴∠FAH=90°，∴∠EAF=∠EAH=45°，在△FAE和△HAE中，∵，∴△FAE≌△HAE（SAS），∴EF=HE=BE+HB，∴EF=BE+DF，∴△CEF的周长=EF+CE+CF=BE+CE+DF+CF=BC+CD=2AB=4．故答案为：EF；4．（2）延长CB至M，使BM=DF，连接AM，如图2，∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°，∴∠D=∠ABM，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM ≌△ADF （SAS ）， ∴AF=AM ，∠DAF=∠BAM ，∵∠BAD=∠C=90°，∠EAF=45°， 即∠BAD=2∠EAF ，∴∠DAF+∠BAE=∠EAF ，∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF ， 在△FAE 和△MAE 中，，∴△FAE ≌△MAE （SAS ）， ∴EF=EM=BE+BM=BE+DF ， 即EF=BE+DF ．21．（8分）已知关于的一元二次方程2﹣（2+1）+2+1=0有两个不等的实数根1，2．（1）求实数的取值范围；（2）若该方程的两个实数根1，2满足|1|+|2|=12+22﹣10，求的值．【解答】解：（1）由题意，△＞0， ∴（2+1）2﹣4（2+1）＞0，解得＞．（2）依题意得：1+2=2+1，1•2=2+1，由（1）得：，∴1+2＞0，12＞0，∴1、2同为正根，∴|1|+|2|=12+22﹣10，可化为：1+2=12+22﹣10，2+1=（1+2）2﹣212﹣10，2+1=（2+1）2﹣2（2+1）﹣10，2+﹣6=0，（+3）（﹣2）=0，1=﹣3，2=2，∵＞，∴=2．22．（8分）如图，要建一个面积为130m2的矩形仓库，仓库的一边靠墙（墙长为am），并在与墙平行的一边开一道1m宽的门．现有能围成32m长的木板，求建仓库的方案．【解答】解：设与仓库与墙垂直的一边是米，（32﹣2+1）=130，=10或=6.5，①当0＜a＜13设，没有符合题意的方案．②当13≤a＜20时，建仓库的方案：与仓库与墙垂直的一边是10米，另一边是13米；③当a≥20时，方案一：与仓库与墙垂直的一边是10米，另一边是13米；方案二：与仓库与墙垂直的一边是6.5米，另一边是20米；23．（10分）某宾馆有50个房间供游客居住．，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价为元（为整数）．（1）直接写出每天游客居住的房间数量y与的函数解析式．（2）设宾馆每天的利润为W元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少？【解答】解：（1）y=50﹣=﹣+62；（2）w=（﹣20）（﹣+62）=﹣2+64﹣1240=﹣（﹣320）2+9000，∴当=320时，w取得最大值，最大值为9000，答：当每间房价定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是9000元．24．（12分）如图1，抛物线y=﹣2+b+c经过点A（2，0），B（0，2），与轴交于另一点C．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）点P是抛物线y=﹣2+b+c在第一象限上的点，过点P分别向轴、y轴作垂线，垂足分别为D，E，求四边形ODPE的周长的最大值；（3）如图2，点P是抛物线y=﹣2+b+c在第一象限上的点，过点P作PN⊥轴，垂足为N，交AB于M，连接PB，PA．设点P的横坐标为t，当△ABP的面积等于△ABC面积的时，求t的值．【解答】解：（1）将点A和点B的坐标代入y=﹣2+b+c得：，解得：b=1，c=2．∴抛物线的解析式为y=﹣2++2．令y=0，则0=﹣2++2，解得：=2或=﹣1．∴点C的坐标为（﹣1，0）．（2）设点P的坐标为（t，﹣t2+t+2），则PE=t，PD=﹣t2+t+2，∴四边形ODPE的周长=2（﹣t2+t+2+t）=﹣2（t﹣1）2+6，∴当P点坐标为（1，2）时，∴四边形ODPE 周长最大值为6．（3）∵A （2，0），B （0，2），∴AB 的解析式为y=﹣+2．∵P 点的横坐标为t ，∴P 点纵坐标为﹣t 2+t+2．又∵PN ⊥轴，∴M 点的坐标为（t ，﹣t+2），∴PM=﹣t 2+t+2﹣（﹣t+2）=﹣t 2+2t ．∴S △ABP =S △PMB +S △PMA =PM •ON+PM •AN=PM •OA=﹣t 2+2t ．又∵S △ABC =AC •OB=×3×2=3，∴﹣t 2+2t=3×，解得：t 1=t 2=1．∴当t=1时，△ABP 的面积等于△ABC 的面积的．。
2018-2019学年湖北省鄂州市梁子湖区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.一元二次方程3x2-8x-10=0中的一次项系数为（）A. 3B. 8C.D.2.如果-2是方程x2-m=0的一个根，则m的值为（）A. 2B.C. 3D. 43.下列正多边形中，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是（）A. 正方形B. 正五边形C. 正六边形D. 正八边形4.将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为（）A. B. C. D.5.电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，下列方程正确的是（）A. B.C. D.6.一元二次方程x2+x-6=0的根的情况是（）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根7.如图，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，若AE⊥BC，∠ADC=65°，则∠ABC的度数为（）A. B. C. D.8.对于抛物线y=ax2-4ax+3a下列说法：①对称轴为x=2；②抛物线与x轴两交点的坐标分别为（1，0），（3，0）；③顶点坐标为（2，-a）；④若a＜0，当x＞2时，函数y随x的增大而增大，其中正确的结论有（）个．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9.如图，矩形ABCD的两边BC、CD分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A（-1，2），将矩形ABCD沿x轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为A1，经过第二次翻滚点A对应点记为A2…依此类推，经过5次翻滚后点A对应点A5的坐标为（）A. B. C. D.10.如图，等边△ABC的边长为3，F为边BC上的动点，FD⊥AB于D，FE⊥AC于E，则DE的长（）A. 随点F运动而变化，最小值为B. 随点F运动而变化，最大值为C. 随点F运动而变化，最小值为D. 随点F运动，其值不变二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.x2-6x+（______）=（x-______）212.二次函数y=x2-2x-3的图象的顶点坐标是______．13.若m、n是方程x2+6x-5=0的两根，则3m+3n-2mn=______．14.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（-3，0），该抛物线的对称轴为直线x=-1，若点C（-，y1），D（-，y2），E（，y3）均为函数图象上的点，则y1，y2，y3的大小关系为______．15.已知点C为线段AB上一点，且AC2=BC•AB，则=______．16.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，将△ABC绕点A旋转60°到△ADE的位置，点C的对应点为E，连接CD，若AC=BC=1，则CD的长为______．三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）17.选择适当方法解方程：2x2-x-3=0．18.已知关于x的方程x2-4x+1-p2=0．（1）若p=2，求原方程的根；（2）求证：无论p为何值，方程总有两个不相等的实数根．19.已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），B（3，0），C（2，-）（1）求此抛物线的解析式；（2）当y＜0时，x的取值范围是______（直接写出结果）20.如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（1，-1），B（3，1），将线段AB绕点O逆时针旋转90°到对应线段CD（点A与点C对应，点B与D对应）．（1）请在图中画出线段CD；（2）请直接写出点A、B的对应点坐标C（______，______），D（______，______）；（3）在x轴上求作一点P，使△PCD的周长最小，并直接写出点P的坐标（______，______）．21.如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，以AD为腰作等腰△ADE，AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接CE．（1）求证：BD=CE；（2）已知BC=8，∠BAC=∠DAE=30°，若△DCE的面积为1，求线段BD的长．22.某农庄计划在30亩空地上全部种植蔬菜和水果，菜农小张和果农小李分别承包了种植蔬菜和水果的任务．小张种植每亩蔬菜的工资y（元）与种植面积m（亩）之间的函数关系如图①所示，小李种植水果所得报酬z（元）与种植面积n（亩）之间的函数关系如图②所示．（1）如果种植蔬菜20亩，则小张种植每亩蔬菜的工资是______元，小张应得的工资总额是______元，此时，小李种植水果______亩，小李应得的报酬是______元；（2）当10＜n≤30时，求z与n之间的函数关系式；（3）设农庄支付给小张和小李的总费用为W（元），当10＜m≤30时，求W与m 之间的函数关系式，并求出总费用最大为多少？23.如图，在正方形ABCD中，将正方形的边AD绕点A顺时针旋转到AE，连接BE、DE，过点A作AF⊥BE于F，交直线DE于P．（1）如图①，若∠DAE=40°，求∠P的度数；（2）如图②，若90°＜∠DAE＜180°，其它条件不变，试探究线段AP、DP、EP之间的数量关系，并说明理由；（3）继续旋转线段AD，若旋转角180°＜∠DAE＜270°，则线段AP、DP、EP之间的数量关系为______（直接写出结果）24.在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+4x+4a（0＜a＜2）．（1）当C1与x轴只有一个公共点时，求此时C1的解析式：（2）如图①，若A（1，y A），B（0，y B），C（-1，y C）三点均在C1上，连接BC，作AE∥BC交抛物线C1于E，求点E到y轴的距离；（3）若a=1，将抛物线C1先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线C2，如图②，抛物线C2与x轴相交于点M，N（点M在点N的左侧），抛物线C2的对称轴交x轴于点F，过点F的直线l与抛物线C2相交于点P，Q（点P在第四象限），且S△FMQ-S△FNP=，求直线l的解析式．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.找出方程的一次项系数即可.【解答】解：一元二次方程3x2-8x-10=0中的一次项系数为-8.故选C.2.【答案】D【解析】解：∵x=-2是方程的根，∴x=-2代入方程有：4-m=0，解得：m=4．故选：D．把x=-2代入方程，得到关于m的一元一次方程，可以求出m的值．本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程就可以求出字母系数m的值．3.【答案】B【解析】解：A、正方形的最小旋转角度为90°，故本选项错误；B、正五边形的最小旋转角度为=72°，故本选项正确；C、正六边形的最小旋转角度为=60°，故本选项错误；D、正八边形的最小旋转角度为=45°，故本选项错误；故选：B．求出各个选项图形的最小旋转角度，即可做出判断．本题考查了旋转对称图形的知识，解答本题的关键是求出各图形的最小旋转角度．4.【答案】A【解析】解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为：y=x2-1．故选：A．直接根据上加下减的原则进行解答即可．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．5.【答案】C【解析】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑．根据题意，得：1+x+x（1+x）=81，故选：C．首先设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑．则经过一轮感染，1台电脑感染给了x台电脑，这（x+1）台电脑又感染给了x（1+x）台电脑．利用等量关系：经过两轮感染后就会有81台电脑被感染得出即可．此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，能够正确表示每轮感染中，有多少台电脑被感染是解决此题的关键．6.【答案】A【解析】解：∵△=12-4×1×（-6）=25＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．故选：A．根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=25＞0，进而即可得出该方程有两个不相等的实数根．本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．7.【答案】B【解析】解：∵△ABC绕点A旋转到△AED的位置，∴AD=AC，∠BAE=∠CAD，∵AD=AC，∴∠ACD=∠ADC=65°，∴∠CAD=180°-65°-65°=50°，∴∠BAE=50°，∵AE⊥BC，∴∠ABC=90°-∠BAE=40°．故选：B．先根据旋转的性质得AD=AC，∠BAE=∠CAD，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠CAD=50°，则∠BAE=50°，然后利用互余计算∠ABC的度数．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．8.【答案】C【解析】解：对称轴x=-=-=2，故①正确；令y=0，得ax2-4ax+3a=0，解得x=1或3，∴抛物线与x轴两交点的坐标分别为（1，0），（3，0），故②正确；==-a，∴顶点坐标为（2，-a），故③正确；当a＜0，当x＜2时，函数y随x的增大而增大，故④错误，故选：C．根据对称轴公式x=-，进行计算即可；令y=0，求得方程ax2-4ax+3a=0的解即可；根据顶点坐标公式计算即可；由a＜0，得出对称轴的左侧，函数y随x 的增大而增大．本题考查了二次函数的性质，掌握顶点坐标的方法，对称轴以及增减性是解题的关键．9.【答案】D【解析】解：如下图所示：由题意可得上图，经过5次翻滚后点A对应点A5的坐标对应上图中的坐标，故A5的坐标为：（8，1）．故选项A错误，选项B错误，选项C错误，选项D正确．故选：D．根据题意可以画出相应的图形，然后观察图形即可得到经过5次翻滚后点A 对应点A5的坐标，从而解答本题．本题考查探究点的坐标的问题，关键是画出相应的图形．10.【答案】A【解析】解：作AG⊥BC于G，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∴AG=AB=，∵S△ABF+S△ACF=S△ABC，∴AB•DF+AC•EF=BC•AG，∵AB=AC=BC=3，∴DF+EF=AG=，∵△DEF 中，DE ＜DF+EF ，∴DE 的长随F 点运动而变化，当F 运动到BC 中点时DE 最小值为． 故选：A ．作AG ⊥BC 于G ，根据等边三角形的性质得出∠B=60°，解直角三角形求得AG=，根据S △ABF +S △ACF =S △ABC 即可得出DF+EF=AG=，再根据三角形三边关系即可求解．本题考查了等边三角形的性质，解直角三角函数以及三角形面积等，根据S △ABF +S △ACF =S △ABC 即可得出DF+EF=AG 是解题的关键．11.【答案】9 3【解析】解：∵（x-3）2=x 2-6x+32=x 2-6x+9，故答案为：9，3．先根据乘积二倍项确定出后一个数为3，再根据完全平方公式a 2±2ab+b 2=（a±b ）2即可解答． 本题考查了完全平方公式，属于基础题，关键是要熟记完全平方公式． 12.【答案】（1，-4）【解析】解：∵y=x 2-2x-3=（x-1）2-4，∴抛物线顶点坐标为（1，-4）．已知二次函数y=x 2-2x-3为一般式，运用配方法转化为顶点式，可求顶点坐标．已知抛物线的一般式，可以用配方法写成顶点式求顶点坐标，也可以用顶点坐标公式求解．13.【答案】-8【解析】解：∵m 、n 是方程x 2+6x-5=0的两根，∴m+n=-6，mn=-5，∴3m+3n-2mn=3（m+n ）-2mn=3×（-6）-2×（-5）=-8． 故答案是：-8．根据根与系数的关系直接得到（m+n ）、mn 的值，然后将其代入所求的代数式进行求值．本题考查了根与系数的关系．若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q，反过来可得p=-（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．14.【答案】y3＜y1＜y2【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=-1，开口向下，∴离对称轴近的点的函数值大，∵|-+1|＜|-+1|＜|+1|∴y3＜y1＜y2．故答案为y3＜y1＜y2．由于抛物线开口向上，对称轴是直线x=-1，然后利用两点离对称轴的远近比较函数值的大小．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．15.【答案】【解析】解：∵点C为线段AB上一点，AC2=BC•AB，∴点C为线段AB的黄金分割点，∴=，故答案为：．根据黄金分割的概念得到点C为线段AB的黄金分割点，根据黄金比值得到答案．本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．16.【答案】或【解析】解：当△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE的位置，如图1，作CH⊥ED于H，连结CE，则∠EAC=60°，∠AED=∠ACB=90°，AE=ED=AC=1，∴△AEC为等边三角形，∴∠AEC=60°，EC=CA=1，∴∠DEC=30°，在Rt△CEH中，CH=CE=，EH=CH=，∴DH=ED-EH=1-，在Rt△CHD中，CD===；当△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE的位置，如图2，连结CE，作DH⊥CE于H，则∠EAC=60°，∠AED=∠ACB=90°，AE=ED=AC=1，∴△AEC为等边三角形，∴∠AEC=60°，EC=CA=1，∴∠DEC=150°，∴∠DEH=30°，在Rt△DEH中，DH=DE=，EH=DH=，∴CH=CE+EH=1+，在Rt△CHD中，CD===，纵上所述，CD的长为或=．故答案为或=．分类讨论：当△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE的位置，如图1，作CH⊥ED于H，连结CE，根据旋转的性质得∠EAC=60°，∠AED=∠ACB=90°，AE=ED=AC=1，则可判断△AEC为等边三角形，所以∠AEC=60°，EC=CA=1，易得∠DEC=30°，然后在Rt△CEH中，利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出CH=CE=，EH=CH=，所以DH=ED-EH=1-，于是在Rt△CHD中，利用勾股定理可计算出CD；当△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE的位置，如图2，连结CE，作DH⊥CE于H，同样可证明△AEC为等边三角形得到∠AEC=60°，EC=CA=1，则∠DEC=150°，所以∠DEH=30°，利用含30度的直角三角形三边的关系在Rt△DEH中可计算出DH=DE=，EH=DH=，则CH=CE+EH=1+，然后在Rt△CHD中，利用勾股定理计算CD．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理和含30度的直角三角形三边的关系．注意分类讨论思想的运用．17.【答案】解：2x2-x-3=0，分解因式得：（x+1）（2x-3）=0，可得x+1=0或2x-3=0，解得：x1=-1，x2=．【解析】将方程左边的多项式分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．此题考查了解一元二次方程-因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．18.【答案】解：（1）若p=2，原方程为x2-4x-3=0，解得：x1=2+，x2=2-；（2）△=（-4）2-4×1×（1-p2）=4p2+12，∵p2≥0，∴4p2+12＞0，∴无论p为何值，方程总有两个不相等的实数根．【解析】（1）把p=2代入方程，解一元二次方程即可；（2）利用根的判别式判定即可．本题考查了的根的判别式以及解一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．19.【答案】-1＜x＜3【解析】解：（1）把A（-1，0），B（3，0），C（2，-）代入抛物线解析式，得解得∴该函数的解析式为：y=x2-x-．（2）由抛物线开口向上，交点为A（-1，0），B（3，0）可知，当y＜0时，x的取值范围是-1＜x＜3；故答案为-1＜x＜3．（1）已知抛物线上三点坐标，代入一般式，列三元一次方程组，求a、b、c的值，确定抛物线解析式，再求抛物线与y轴交点的纵坐标．（2）根据抛物线的性质和与x轴的交点坐标求得即可．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．20.【答案】1 1 -1 3 0.5 0【解析】解：（1）如图，CD为所作；（2）C（1，1），D（-1，3）；（3）P（0.5，0）．故答案为1，1；-1，3；0.5，0．（1）利用网格特征和旋转的性质画出A点和B点的对应点；（2）根据第一、二象限内点的坐标特征写出C点和D点坐标；（3）A点与C点关于x轴对称，连结DA交x轴于点P，利用两点之间线段最短和判断此时△PCD的周长最小，于是可得到满足条件的P点坐标．本题考查了作图-旋变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．21.【答案】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠EAC，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE；（2）过D作DF⊥EC交EC的延长线于F，∵△ABD≌△ACE，∴∠ACE=∠B，∵∠BAC=30°，∴∠B+∠ACB=150°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=150°，∴∠DCF=30°，∴DF=CD=（BC-BD）=（8-BD），∵CE=BD，∴DF=4-CE，∵△DCE的面积为1，∴DF•CE=CF•BD=（8-BD）•BD=1，解得：BD=4-，BD=4+（不合题意，舍去）．【解析】（1）易证∠BAD=∠EAC，即可证明△ABD≌△ACE，即可得到结论；（2）过D作DF⊥EC交EC的延长线于F，由△ABD≌△ACE，得到∠ACE=∠B，根据∠BAC=30°，于是得到∠B+∠ACB=150°，等量代换得到∠BCE=∠ACB+∠ACE=150°，由邻补角的性质得到∠DCF=30°，根据直角三角形的性质得到DF=CD=（BC-BD）=（8-BD），根据△DCE的面积为1，列方程即可得到结论．本题考查等腰三角形的性质以及三角形全等的判定和性质，灵活运用相关的判定定理和性质定理是解题的关键．22.【答案】140 2800 10 1500【解析】解：（1）当10≤m≤30时，设y=km+a，，得，∴当10≤m≤30时，y=-2m+180，当m=20时，y=-2×20+180=140，140×20=2800（元），当m=20时，则n=30-20=10（亩），此时z=1500，故答案为：140，2800，10，1500；（2）当10＜n≤30时，设z与n之间的函数关系式z=cn+d，，得，即当10＜n≤30时，z与n之间的函数关系式是z=120n+300；（3）当10＜m＜20时，W=m（-2m+180）+120（30-m）+300=-2m2+60m+3900，当0≤n≤10时，设z=bn，10b=1500，得b=150，即当0≤n≤10时，z=150n，故当20≤m≤30时，W=m（-2m+180）+150（30-m）=-2m2+30m+4500，由上可得，W=，当10＜m＜20时，W=-2m2+60m+3900=-2（m-15）2+4350，∴当m=15时，W取得最大值，此时W=4350，当20≤m≤30时，W=-2m2+30m+4500=-2（m-）2+4612.5，∴当m=20时，W取得最大值，此时W=4300，由上可得，W的最大值是4350，答：当10＜m≤30时，W与m之间的函数关系式是W=，最大费用是4350元．（1）根据题意和函数图象可以解答本题；（2）根据函数图象中的数据可以求得当10＜n≤30时，z与n之间的函数关系式；（3）根据题意函数图象中的数据，利用分类讨论的方法可以求得当10＜m≤30时，W与m之间的函数关系式，并求出总费用最大为多少．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，求出相应的函数关系式，利用分类讨论的数学思想解答．23.【答案】PE=PD+PA【解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠BAD=90°，∵AD绕点A顺时针旋转到AE，∴AD=AE，∵∠DAE=40°，∴∠ADE=∠AED=70°，∠BAE=50°，∵AF⊥BE，∴∠FAE=∠FAB=25°，∴∠P=∠AED-∠PAE=45°；（2）如图2，过A作AQ⊥DE于Q，则∠PAQ=∠BAQ+∠FAB，∵AE=AB，AF⊥BE，∴∠FAE=∠BAF，∴∠APQ=∠EAF+∠AEP，∵∠BAD=∠AQP=90°，∴∠BAQ=∠ADQ，∵AE=AD，∴∠ADQ=∠AEP，∴∠BAQ=∠AEP，∴∠APQ=∠PAQ=45°，∴PQ=AP，∴PE+PQ=PD-PQ，即PE+AP=PD-AP，∴PD=AP+PE；（3）如图3，过A作AQ⊥DE于Q，则∠AQP=90°，∵AD=AE，∴DQ=EQ，∠AEQ=∠ADQ，∵AE=AB，AF⊥BE，∴∠3=∠FAB，∵∠APQ=∠3-∠AEQ=∠3-∠ADQ，∵∠1+∠FAB=∠FAB+∠ABF=90°，∴∠1=∠ABF=∠AEF，∴∠2=90°-∠1-∠ADP=90°-（90°-∠3）-∠AEP=∠3-∠AEP，∴∠2=∠APQ=45°，∴PQ=AP，∴PD+PQ=PE-PQ，即PD+PA=PE-PA，∴PE=PD+PA．故答案为：PE=PD+PA．（1）根据正方形的性质得到AD=AB，∠BAD=90°，由AD绕点A顺时针旋转到AE，得到AD=AE，根据等腰三角形的性质得到∠ADE=∠AED=70°，∠BAE=50°，∠FAE=∠FAB=25°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；（2）如图2，过A作AQ⊥DE于Q，于是得到∠PAQ=∠BAQ+∠FAB，根据等腰三角形的性质得到∠FAE=∠BAF，由外角的性质得到∠APQ=∠EAF+∠AEP于是得到∠APQ=∠PAQ=45°，求出PQ=AP，由于PE+PQ=PD-PQ，即PE+AP=PD-AP，于是得到结论；（3）如图3，过A作AQ⊥DE于Q，则∠AQP=90°，由AD=AE，得到DQ=EQ，∠AEQ=∠ADQ，同理得到∠3=∠FAB，根据外角的性质得到∠APQ=∠3-∠AEQ=∠3-∠ADQ，等量代换得到∠2=90°-∠1-∠ADP=90°-（90°-∠3）-∠AEP=∠3-∠AEP，求得∠2=∠APQ=45°，于是得到PQ=AP，然后由PD+PQ=PE-PQ，即可得到结论：PE=PD+PA．本题考查了正方形的性质，图形的变换-旋转，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，正确的作出辅助线是解题的关键．24.【答案】解：（1）根据题意得：△=42-4•a•4a=0，解得a1=1，a2=-1．而0＜a＜2，所以a=1，所以此时C1的解析式为：y=x2+4x+4；（2）根据题意得A（1，5a+4），B（0，4a），C（-1，5a-4）．设直线BC的解析式为y=kx+4a．把（-1，5a-4）代入，得-k+4a=5a-4，解得k=4-a．∴直线BC的解析式为：y=（4-a）x+4a．∵AE∥BC，∴直线AE的解析式可设为y=（4-a）x+n．把A（1，5a+4）代入，得4-a+n=5a+4，解得n=6a．∴直线AE的解析式为：y=（4-a）x+6a．联立方程组，消去y得：x2-x+2=0．解得x1=1，x2=-2，∴点E的横坐标是-2．∴点E到y轴的距离为2；（3）作QD⊥x轴与D，PG⊥x轴与G，如图2，当a=1时，y=x2+4x+4=（x+2）2，抛物线C1的顶点坐标为（-2，0），把点（-2，0）先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到对应点的坐标为（1，-2），所以抛物线C2的对称轴为x=1，所以F（1，0）．∵抛物线C2与x轴相交于点M，N（点M在点N的左侧），∴FM=FN=MN=×2=．∵S△FMQ-S△FNP=，∴FM•QD-FN•PG=，∴QD-PG=1．∵F（1，0），∴直线l的解析式可以设为y=tx-t（t≠0），联立方程组：，消去y，得x2-（2+t）x+t-1=0，①设P、Q两点的横坐标分别为x P，x Q，则x P+x Q=2+t，x P•x Q=t-1．∵QD-PG=1，∴（tx Q-t）+（tx P-t）=1，∴t（x P+x Q）-2t=1，∴t（2+t）-2t=1，解得t=±1．当t=1时，方程①为x2-3x=0，此时P、Q两点的坐标为（0，-1）和（3，2），这与点P在第四象限矛盾，故t=1舍去．直线l的解析式为：y=-x+1．【解析】（1）当C1与x轴只有一个公共点时，△=0，据此求得a的值；（2）用a表示点A，B，C的坐标和直线BC解析式，表示出直线AE的解析式，联立抛物线解方程组得出点E的坐标进行分析即可；（3）作QD⊥x轴与D，PG⊥x轴与G，如图2，当a=1时，y=（x+2）2，则抛物线C1的顶点坐标为（-2，0），利用抛物线的几何变换得到抛物线C2的解析式为y=（x-1）2-2，即y=x2-2x-1，F（1，0），利用抛物线的对称性得FM=FN，再利用三角形面积公式可得QD-PG=1，结合F（1，0），直线l的解析式可以设为y=tx-t（t≠0），联立方程组：，消去y，得x2-（2+t）x+t-1=0①．设P、Q两点的横坐标分别为x P，x Q，则由根与系数的关系和QD-PG=1，求得t=±1．则方程①为x2-3x=0，通过解方程求得P、Q两点的坐标为（0，-1）和（3，2），最后利用待定系数法确定直线l的解析式．本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；理解坐标与图形性质；会利用△确定抛物线与x轴的交点个数，利用待定系数法求函数解析式；记住三角形面积公式和运用相似比求线段之间的关系．第21页，共21页。
