九年级数学下册 实际问题与二次函数教案 新课标人教版

实际问题与二次函数(3个课时)

教学设计思路

本节安排了三个探究性问题，以商品价格、磁盘存储量和拱桥桥洞的有关问题为背景，运用二次函数分析和解决实际问题。教科书从实际问题出发，引导学生分析问题中的数量关系，建立相应的数学模型即列出函数关系式，进而利用二次函数的性质和图象研究问题的解法。通过这一节的学习可以使学生对解决实际问题的数学模型的认识再提高一步，从而提高运用数学分析问题和解决问题的能力。

教学目标

知识与技能

通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义，能对变量的变化趋势进行预测。

过程与方法

经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系；

情感态度价值观

通过实际问题的解决，逐步领会二次函数的应用价值和实际意义．

通过学生之间的讨论、交流和探索，建立合作意识和提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望。

教学重点和难点

重点是解决与二次函数有关的实际应用题。

难点是二次函数的应用。

教学方法

启发引导，小组讨论

教学媒体

电脑、flash课件

教学过程

（一）情景导入

观察以下的图片：

通过观察我们发现这些图片给我们以抛物线的印象，可见二次函数的应用在生活中是普遍存在的，前面我们结合实际问题，讨论了二次函数，看到了二次函数在解决实际问题中的一些应用，下面我们进一步用二次函数讨论一些实际问题。

问题引入：

1.求下列函数的最大值或最小值．

（1）

（2）

（二）知识探究

探究1

某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件：每降价1元，每星期可多买出20件。已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

分析：调整价格包括涨价和降价两种情况。我们先来看涨价的情况。

教师展示问题:①该如何定价呢？

（学生分组讨论，如何利用函数模型解决问题．教师帮助学生解决问题．）

②本问题中的变量是什么？（利润随着价格的变化而变化）；

教师关注：

（1）学生对商品利润问题的理解；利润＝销售额－进货额 销售额＝销售单价×销售量

进货额＝进货单价×进货量

总利润＝每件商品的利润 总稍售量

（2）学生对两个变量的理解．

师生共同分析：（1）销售额为多少？（2）进货额为多少？

（3）利润y与每件涨价x元的函数关系式是什么？

（4）变量x的范围如何确定？

（5）如何求解最值？

（1）设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y随之变化。我们先来确定y随x变化的函数式。涨价x元时，每星期少卖10x件，实际卖出（300－10x）件，销售额为（60＋x）（300－10x）元，买进商品需付40（300－10x）元。因此，所得利润

y＝（60＋x）（300－10x）－40（300－10x），

即y＝－10x2＋100x＋6000，

其中，0≤x≤30。（怎样确定x的取值范围？）

根据上面的函数，填空：

当x＝_____时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价________元，即定价_________元时，利润最大，最大利润是_______。

小组讨论得到：

①画出函数的图像，观察图像的最高（或最低）点，就可以得到函数的最大（或最小）值。

②依照二次函数的性质，判断该二次函数的开口方向，进而确定它有最大值还是最小值；再利用顶点坐标公式，直接计算出函数的最大（或最小）值。

教师关注：

（1）学生能否用函数的观点来认识问题；

（2）学生能否建立函数模型；

（3）学生能否找到两个变量之间的关系；

（4）学生能否从利润问题中体会到函数模型对解决实际问题的价值．

（2）在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的讨论自己得出答案。

设每件降价x元，每星期售出的商品的利润y随x的变化： 1 0 x y y=（60－x－40）（300+20x）

=

自变量x的取值范围：

0≤x≤20

当x=2。5时，y的最大值为6125

由（1）（2）的讨论及现在的销售状况，你知道应如何定价能使利润最大了吗？

最后综合涨价与降价两种情况，得出本题的答案。

教师关注：有部分学生直接设定价为Ｘ，利润为Ｙ

（ ）

（通过第二种方法的介绍引导学生发现：当所设的变量不同，所得的解析式不同，并且自变量的取值范围也有所不同．）

在活动中，教师应重点关注：

（1）学生在利用函数模型时是否注意分类了；

（2）在每一种情况下，是否注意自变量的取值范围了；

（3）是否对二种情况的最大值进行比较；

（4）对问题的讨论是否完整．

课堂练习：

小结：

学生谈体会．

教师进行补充、总结．

教师关注：（1）实际问题中抽象出数学问题；（2）建立数学模型，解决实际问

题；（3）掌握数形结合思想；（4）感受数学在生活实际中的使用价值．

布置作业：

教学反思：

6000100202xx]30020)60)[(40(xxy6040x

第二课时：

探究2

计算机把数据存储在磁盘上，磁盘是带有磁性物质的圆盘，磁盘上有一些同心圆轨道，叫做磁道。如图26．3-1，现有一张半径为45mm的磁盘。

（1）磁盘最内磁道的半径为r mm，其上每0．015mm的弧长为1个存储单元，这条磁道有多少个存储单元？

（这问题材难度不大，学生会较自然的得到答案）解：（1）最内磁道的周长为2rmm，它上面的存储单元的个数不超过20.015r。

（2）磁盘上各磁道之间的宽度必须不小于0．3mm，磁盘的外圆周不是磁道，这张磁盘最多有多少条磁道？

（此问有些难度，可让学生独立思考，小组内交流．）

教师问：磁道之间的宽度越小，磁盘上磁道的条数越多还是越少？

教师出示图形：

右图中线段ＡＢ的长等于磁盘半径减去最内磁道的半径r毫米,然后把它按0.3毫米为一段平均分开.由于磁盘的外圆周不是磁道,所以AB线段上点的个数(不包括B点)等同于磁道的个数,从上图中,点的个数(不包括B点)等于AB的长度除以0.3毫米,因此磁道的条数最多为450.3r条磁道.

（3）如果各磁道的存储单元数目与最内磁道相同，最内磁道的半径r是多少时，磁盘的存储量最大？ (本问题先由学生独立思考和解答.若学生解答有困难,教师设计如下问题进行引导:)

①磁盘的存储量与哪几个量有关?(每条磁道的存储量与磁道的条数)

②r可以无限增大吗?(自变量的取值范围0

解:当各磁道的存储单元数目与最内磁道相同时，磁盘每面存储最＝每条磁道的存储单元数×磁道数。

设磁盘每面存储量为y，则

2450.0150.3rry，

即22450.0045yrr （0＜r＜45）。

根据上面这个函数式，你能得出当r为何值时磁盘的存储量最大吗？

先由学生讨论，根据函数的图像和性质得出以上问题的答案。

课堂练习：第２８页 ２

小结：

布置作业：第２８页 １．３

第三课时：

探究3

图26．3-2中的抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m。水面宽4m。水面下降1m，水面宽度增加多少？

教师展示图片并提出问题；

学生观察图片，自主分析，学生讨论：该如何建立适当的坐标系？该怎样设这个函数，会使问题变得更简单。

分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数。

解法一:

为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系（图26．3-3）。

可设这条抛物线表示的二次函数为y＝ax2。

由题意知抛物线经过点)2,2(，

可得 22ax，21a．

这条抛物线表示的二次函数为221xy

又知水面下降1米时，水面的纵坐标为3y，则对应的横坐标是6和6

所以水面增加的宽度是)462(米．

教师关注：

（１）学生能否用函数的观点来认识问题；

（2）学生能否建立函数模型；

（3）学生能否找到两个变量之间的关系；

（4）学生能否从拱桥问题中体会到函数模型对解决实际问题的价值．

解法二:

如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.

此时,抛物线的顶点为(0,2)

∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为:

当拱桥离水面2m时,水面宽4m

即:抛物线过点(2,0)

∴这条抛物线所表示的二次函数为:2212xy

当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有: 22axy5.0a

水面宽度为 m

∴当水面下降1m时,水面宽度增加了

解法三:

如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系.

此时,抛物线的顶点为(2,2

∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为:

抛物线过点(0,0)

∴这条抛物线所表示的二次函数为

当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有:

这时水面的宽度为:

∴当水面下降1m时,水面宽度增加了: m

课堂练习:

例:某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物,大门底部宽AB=4m,顶部C离地面的高度为4.4m,现有载满货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面2.7m,装货宽度为2.4m.这辆汽车能否顺利通过大门?若能,请你通过计算加以说明;若不能,请简要说明理由.

解：如图，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.

解:略

作业:

1.有一辆载有长方体体状集装箱的货车要想通过洞拱横截面为抛物线的隧道，如图1，已知沿底部宽AB为4m，高OC为3.2m；集装箱的宽与车的宽相同都是2.4m；集装箱顶部离地面2.1m。该车能通过隧道吗？请说明理由.

2.一场篮球赛中,球员甲跳起投篮,如图2,已知球在A处出手时离地面20/9 m,与篮筐中心C的水平距离是7m,当球运行的水平距离是4 m时,达到最大高度4m（B处）,设篮球运行的路线为抛物线.篮筐距地面3m. ①问此球能否投中?

选做)②此时对方球员乙前来盖帽,已知乙跳起后摸到的最大高度为3.19m,他如何做才能盖帽成功?

小结: 学生谈体会．教师进行补充、总结．

教师关注： 25.012x6x62)462(2)2(2xay2)2(02a21a2)2(212xy2)2(2112x621x622x6212xx)462(