第二十六章 二次函数
[本章知识要点]
1． 探索具体问题中的数量关系和变化规律．
2． 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念． 3． 会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 4． 会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 5． 会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解．
6． 会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决
简单的实际问题．
26．1 二次函数
[本课知识要点]
通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义． [MM 及创新思维]
（1）正方形边长为a （cm ），它的面积s （cm 2）是多少？
（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x 厘米，则面积增加y 平方厘米，试写出y 与x 的关系式．
请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义． [实践与探索]
例1． m 取哪些值时，函数)1()(2
2
+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？ 分析 若函数)1()(22
+++-=m mx x m m y 是二次函数，须满足的条件是：
02≠-m m ．
解 若函数)1()(2
2
+++-=m mx x m m y 是二次函数，则 02
≠-m m ． 解得 0≠m ，且1≠m ．
因此，当0≠m ，且1≠m 时，函数)1()(2
2
+++-=m mx x m m y 是二次函数． 回顾与反思 形如c bx ax y ++=2
的函数只有在0≠a 的条件下才是二次函数． 探索 若函数)1()(22
+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数，则m
取哪些
值？
例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．
（1）写出正方体的表面积S （cm 2）与正方体棱长a （cm ）之间的函数关系； （2）写出圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系；
（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y （元）与所存年数x 之间的函数关系；
（4）菱形的两条对角线的和为26cm ，求菱形的面积S （cm 2）与一对角线长x （cm ）之间的函数关系． 解 （1）由题意，得 )0(62
>=a a S ，其中S 是a 的二次函数；
（2）由题意，得 )0(42
>=x x y π
，其中y 是x 的二次函数； （3）由题意，得 10000%98.110000⋅+=x y （x ≥0且是正整数），
其中y 是x 的一次函数； （4）由题意，得 )260(132
1
)26(212<<+-=-=
x x x x x S ，
其中S 是x 的二次函数． 例3．正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余
下的部分做成一个无盖的盒子．
(1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积． 解 （1）)2
150(42254152
22<
<-=-=x x x S ； （2）当x=3cm 时，189342252
=⨯-=S （cm 2）． [当堂课内练习]
1．下列函数中，哪些是二次函数？ （1）02
=-x y （2）2
)1()2)(2(---+=x x x y
（3）x
x y 1
2+
= （4）322-+=x x y 2．当k 为何值时，函数1)1(2
+-=+k
k
x k y 为二次函数？
3．已知正方形的面积为)(2
cm y ，周长为x （cm ）． (1)请写出y 与x 的函数关系式； (2)判断y 是否为x 的二次函数． [本课课外作业]
A 组
1． 已知函数7
2
)3(--=m
x m y 是二次函数，求m 的值．
2． 已知二次函数2
ax y =，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y 的值．
3． 已知一个圆柱的高为27，底面半径为x ，求圆柱的体积y 与x 的函数关系式．若圆柱
的底面半径x 为3，求此时的y ．
4． 用一根长为40 cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积y 与它的半径x 之
间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r 的取值范围．
B 组
5．对于任意实数m ，下列函数一定是二次函数的是 （ ） A ．2
2
)1(x m y -= B ．2
2
)1(x m y += C ．2
2
)1(x m y += D ．2
2
)1(x m y -= 6．下列函数关系中，可以看作二次函数c bx ax y ++=2
（0≠a ）模型的是 （ ） A ． 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B ． 我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系
C ． 竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计
空气阻力）
D ． 圆的周长与圆的半径之间的关系 [本课学习体会]
§26.2 用函数观点看一元二次方程（第一课时）
教学目标
(一)知识与技能
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系． 2．理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．
3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h 是实数)交点的横坐标． (二)过程与方法
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神．
2．通过观察二次函数图象与x 轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想．
3．通过学生共同观察和讨论．培养大家的合作交流意识． (三)情感态度与价值观
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造．感受数学的严谨性以及数学结论的确定性，
