(互不相容的概率的加法公式)

1 / 10 事件和与事件积

这节课我们学什么

1.掌握事件和与事件积的概率的求法；

2.

理解事件独立的概念，并掌握独立事件积的概率的求法.

知识框图

2 / 10 知识梳理

1.和事件

（1）和事件：设A、B为两个随机事件，把“事件A与事件B至少有一个出现”叫做事

件A与事件B的和．

（2）事件和的概率（概率加法公式）：()()()()PABPAPBPAB



．

（3）互斥事件：在同一次试验中，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，也叫做

互不相容事件．

（4）互斥事件和的概率：如果事件A、B互斥，那么()()()PABPAPB



．

2.积事件

（1）积事件：设A、B为两个随机事件，把“事件A与事件B同时出现”叫做事件A与

事件B的积．

（2

）独立事件：如果事件A

出现和事件B

出现，互相之间没有影响，即其中一个事

件的发生对另一事件发生的概率没有影响，那么就称事件A

和事件B

互相独立．

如果A

与B是独立的，则

A与B

、A与

B、

A与

B

也是互相独立的．AB互斥

3 / 10 （3）独立事件积的概率：如果事件A、B互相独立，那么()()()PABPAPB

．

（4）推广：如果事件

nAAA、、、

21相互独立，则

)()()(

2121nnAPAPAPAAAP）（

（5）“事件

nAAA、、、

21至少出现一个”这一事件的对立事件是“

nAAA、、、

21

都不出现”，即

12121'''

nnPAAAPAAA

（）（）)'()'()'(1

21nAPAPAP

)](1[)](1)][(1[1

21nAPAPAP

3.总结：

关系

事件概率 含义 A、B互斥 A、

B相互独立

()PABA、B中至少

有一个发生

的概率 ()()PAPB

1()()PAPB

()PABA、B都发生

的概率 0 ()()PAPB

()PABA、B都不发

生的概率 1[()()]PAPB

()()PAPB

()PABABA、B恰有一

一. 随机事件和概率

1、概率的定义和性质 考研数学知识点-概率统计

（4）全概公式

设事件B1, B2,Λ , Bn 满足

（1）概率的公理化定义 1 ° B1, B2,Λ , Bn 两 两 互 不 相 容 ，

设 Ω 为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一

个实数 P(A)，若满足下列三个条件：

1° 0≤P(A)≤1，

2° P(Ω) =1

3° 对于两两互不相容的事件 A1 ， A2 ，…有 P(Bi) > 0(i = 1,2,Λ , n) ，

A ⊂ ΥnBi

2° i=1 ， 则有

P(A) = P(B1)P(A | B1) + P(B2)P(A | B2)

+Λ +

P(Bn)P(A | Bn)⎛ ∞ ⎞ ∑∞ 。

P⎜⎜ Υ Ai ⎟⎟

= P A

( i)

⎝ =

i 1 ⎠ =

i 1 此公式即为全概率公式。

常称为可列（完全）可加性。

则称 P(A)为事件 A 的概率。

（2）古典概型（等可能概型）

1° Ω = {ω1,ω2Λ ωn}，

（5）贝叶斯公式

设事件 B1 ， B2 ，…， Bn 及 A 满足

1° B1 ，B2 ，…，Bn 两两互不相容，P(Bi) >0，i =

1，

2，…， n ，

A ⊂ ΥnBi

2° ω = P(ω ) = Λ P(ω ) =

P( ) 1 。 2° i=1 ， P( A) > 0 ，

1 2 n n 则

设任一事件 A ，它是由ω1,ω2Λ ωm组成的，则有 / ) =n / )

P(B )P( A B

P(B A i i ，i=1，2，…n。

P(A)= {(ω1) Υ (ω2) Υ ΛΥ (ωm)}

ω + Λ + ω i ∑ / )

P(B )P( A B

= P (ω1) + P(2) ( )

Pm j=1 j j

=m=A所包含的基本事件数

n 基本事件总数

2、五大公式（加法、减法、乘法、全概、

1 第十三章 概 率

第一课时

复习内容： 随机事件、事件间关系及运算

复习目标：了解随机现象和随机试验；理解样本空间和随机事件；理解事件间关系和运算．

复习过程：

一，看《数学》第二册P127一P132完成下列知识点。

（1）事件：

1， 叫随机事件。

2， 叫必然事件。

3， 叫不可能事件。

（2）事件的运算

1，事件的和 。

2，事件的积 。

（3）事件的关系：

1，互不相容事件 。

2，对立事件 。

3，相互独立事件 。

二，课堂练习：

一层练习

1、下列命题正确的是 ( )

A．必然发生或必然不发生的现象叫确定性现象

B．事前不能确定会出现某种结果会发生的现象叫随机现象

C．试验前、后都不能确定会出现某种结果会发生的现象叫随机现象

D．在一定条件下，事先不能确定会出现哪种结果的现象叫随机现象

概率统计公式大全

概率统计是研究随机现象及其规律性的一门学科，其核心就是用数学方法来描述和分析随机现象。在概率统计的理论体系中，有很多重要的公式和定理，下面对一些常用的公式进行介绍。

1.概率公式：

(1)加法规则：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，其中A和B为事件，P(A)和P(B)分别是事件A和事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。

(2)乘法规则：P(A∩B)=P(A)×P(B，A)，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。

2.条件概率公式：

(1)贝叶斯定理：P(A，B)=P(B，A)×P(A)/P(B)，其中P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别是事件A和事件B发生的概率。

(2)全概率公式：P(B)=ΣP(Ai)×P(B，Ai)，其中B是一个事件，Ai是样本空间的一个划分，即Ai是互不相容且并集为样本空间的一组事件。

3.期望公式：

(1) 离散型随机变量的期望： E(X) = ΣxiP(X=xi)，其中X是一个离散型随机变量，xi是X的取值，P(X=xi)是X取值为xi的概率。 (2) 连续型随机变量的期望： E(X) = ∫xf(x)dx，其中X是一个连续型随机变量，f(x)是X的概率密度函数。

4.方差公式：

(1) 离散型随机变量的方差： Var(X) = Σ(xi-E(X))^2P(X=xi)，其中Var(X)表示随机变量X的方差，xi是X的取值，E(X)是X的期望，P(X=xi)是X取值为xi的概率。

(2) 连续型随机变量的方差： Var(X) = ∫(x-E(X))^2f(x)dx，其中Var(X)表示随机变量X的方差，E(X)是X的期望，f(x)是X的概率密度函数。