人教【数学】数学一模试题分类汇编——旋转综合含答案

一、旋转 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=（600），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD。

（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含的式子表示）；

（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；

（3）在（2）的条件下，连结DE，若∠DEC=45°，求的值。

【答案】（1）1302（2）见解析（3）30

【解析】解：（1）1302。

（2）△ABE为等边三角形。证明如下：

连接AD，CD，ED，

∵线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD，

∴BC=BD，∠DBC=60°。

又∵∠ABE=60°，

∴1ABD60DBEEBC302且△BCD为等边三角形。

在△ABD与△ACD中，∵AB=AC，AD=AD，BD=CD，

∴△ABD≌△ACD（SSS）。∴11BADCADBAC22。

∵∠BCE=150°，∴11BEC180(30)15022。∴BECBAD。

在△ABD和△EBC中，∵BECBAD，EBCABD，BC=BD，

∴△ABD≌△EBC（AAS）。∴AB=BE。

∴△ABE为等边三角形。 （3）∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，∴DCE1506090。

又∵∠DEC=45°，∴△DCE为等腰直角三角形。

∴DC=CE=BC。

∵∠BCE=150°，∴(180150)EBC152。

而1EBC30152。∴30。

（1）∵AB=AC，∠BAC=，∴180ABC2 。

∵将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，∴DBC60。

∴180ABDABCDBC603022。

（2）由SSS证明△ABD≌△ACD，由AAS证明△ABD≌△EBC，即可根据有一个角等于60的等腰三角

形是等边三角形的判定得出结论。

（3）通过证明△DCE为等腰直角三角形得出(180150)EBC152，由（1）1EBC302，从

而130152，解之即可。

2．（操作发现）

（1）如图1，△ABC为等边三角形，先将三角板中的60°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板斜边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=30°，连接AF，EF．

①求∠EAF的度数；

②DE与EF相等吗？请说明理由；

（类比探究）

（2）如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，先将三角板的90°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板另一直角边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=45°，连接AF，EF．请直接写出探究结果：

①∠EAF的度数；

②线段AE，ED，DB之间的数量关系．

【答案】（1）①120°②DE=EF；（2）①90°②AE2+DB2=DE2

【解析】

试题分析：（1）①由等边三角形的性质得出AC=BC，∠BAC=∠B=60°，求出∠ACF=∠BCD，证明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=60°，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°；

②证出∠DCE=∠FCE，由SAS证明△DCE≌△FCE，得出DE=EF即可；

（2）①由等腰直角三角形的性质得出AC=BC，∠BAC=∠B=45°，证出∠ACF=∠BCD，由SAS证明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=45°，AF=DB，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°；

②证出∠DCE=∠FCE，由SAS证明△DCE≌△FCE，得出DE=EF；在Rt△AEF中，由勾股定理得出AE2+AF2=EF2，即可得出结论．

试题解析：解：（1）①∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠BAC=∠B=60°．∵∠DCF=60°，∴∠ACF=∠BCD．

在△ACF和△BCD中，∵AC=BC，∠ACF=∠BCD，CF=CD，∴△ACF≌△BCD（SAS），∴∠CAF=∠B=60°，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°；

②DE=EF．理由如下：

∵∠DCF=60°，∠DCE=30°，∴∠FCE=60°﹣30°=30°，∴∠DCE=∠FCE．在△DCE和△FCE中，∵CD=CF，∠DCE=∠FCE，CE=CE，∴△DCE≌△FCE（SAS），∴DE=EF；

（2）①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC，∠BAC=∠B=45°．∵∠DCF=90°，∴∠ACF=∠BCD．在△ACF和△BCD中，∵AC=BC，∠ACF=∠BCD，CF=CD，∴△ACF≌△BCD（SAS），∴∠CAF=∠B=45°，AF=DB，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°；

②AE2+DB2=DE2，理由如下：

∵∠DCF=90°，∠DCE=45°，∴∠FCE=90°﹣45°=45°，∴∠DCE=∠FCE．在△DCE和△FCE中，∵CD=CF，∠DCE=∠FCE，CE=CE，∴△DCE≌△FCE（SAS），∴DE=EF．在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，又∵AF=DB，∴AE2+DB2=DE2．

3．(1)发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b．填空：

当点A位于 时，线段AC的长取得最大值，且最大值为 (用含a，b的式子表示)

(2)应用：点A为线段BC外一动点，且BC＝4，AB＝1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．

①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值． (3)拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(6，0)，点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．

【答案】(1)CB的延长线上， a+b；(2)①CD＝BE，理由见解析；②BE长的最大值为5；(3)满足条件的点P坐标(2﹣2，2)或(2﹣2，﹣2)，AM的最大值为22+4．

【解析】

【分析】

（1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；（2）①根据已知条件易证△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质即可得CD＝BE；②由于线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN＝PA＝2，BN＝AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为22+4；如图2，过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质即可求得点P的坐标．如图3中，根据对称性可知当点P在第四象限时也满足条件，由此求得符合条件的点P另一个的坐标．

【详解】

(1)∵点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，

∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB＝a+b，

故答案为CB的延长线上，a+b；

(2)①CD＝BE，

理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，

∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，

∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，

即∠CAD＝∠EAB，

在△CAD与△EAB中，ADABCADEABACAE ，

∴△CAD≌△EAB(SAS)，

∴CD＝BE；

②∵线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，

由(1)知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，

∴最大值为BD+BC＝AB+BC＝5；

(3)如图1，

∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，

则△APN是等腰直角三角形，

∴PN＝PA＝2，BN＝AM，

∵A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(6，0)，

∴OA＝2，OB＝6，

∴AB＝4，

∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，

∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，

最大值＝AB+AN，

∵AN＝2AP＝22，

∴最大值为22+4；

如图2，

过P作PE⊥x轴于E，

∵△APN是等腰直角三角形，

∴PE＝AE＝2，

∴OE＝BO﹣AB﹣AE＝6﹣4﹣2＝2﹣2，

∴P(2﹣2，2)．

如图3中，

根据对称性可知当点P在第四象限时，P(2﹣2，﹣2)时，也满足条件．

综上所述，满足条件的点P坐标(2﹣2，2)或(2﹣2，﹣2)，AM的最大值为22+4．

【点睛】

本题综合考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．

4．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

（1）请问EG与CG存在怎样的数量关系，并证明你的结论；

（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（请直接写出结果，不必写出理由）

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）结论仍然成立

【解析】

【分析】

（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．

（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG．

（3）结论依然成立．

【详解】

（1）CG=EG．理由如下：