山西省晋城市高平市特立高中2017-2018学年高一下学期期中数学试卷 Word版含解析

2017—2018学年高一下学期数学期中模拟考试卷（二）（考试时间90分钟满分100分）一、单项选择题（本题包括17小题，每小题3分，共51分）1．已知U={1，2，3，4，5，6，7}，A={3，4，5}，B={6，7}，则（∁U A）∪B=（）A．{1，2}B．{6，7}C．{3，4，5，6，7}D．{1，2，6，7} 2．cos420°的值为（）A．B．﹣C．D．﹣3．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为4的等边三角形，俯视图是一个圆，那么其体积为（）A．B．C．D．3π4．函数f（x）=log2x+x﹣2的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．log2+log27的值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣16．已知直线的方程是x﹣4y+8=0，那么此直线在y轴上的截距为（）A．2 B．﹣8 C．D．17．函数y=f（x）是奇函数，且在[2，3]上单调递增，则y=f（x）在[﹣3，﹣2]上（）A．单调递增，是偶函数B．单调递减，是偶函数C．单调递增，是奇函数D．单调递减，是奇函数8．过点P（﹣1，3），且平行于直线2x﹣4y+1=0的直线方程为（）A．2x+y﹣5=0 B．2x+y﹣1=0 C．x﹣2y+7=0 D．x﹣2y﹣5=09．已知⊙C：x2+y2=1，直线l：x+y﹣1=0，则l被⊙C所截得的弦长为（）A．B．2 C．D．110．两条直线4x﹣2y+1=0与x+2y+1=0的关系是（）A．平行B．垂直C．相交且不垂直D．重合11．下列函数中，是偶函数且在（﹣∞，0）为增函数的是（）A．B．y=x2+1 C．y=﹣x2D．y=log2x12．函数y=+lg（x﹣2）的定义域是（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣∞，2）C．[1，2）D．（2，+∞）13．函数y=cos（2x﹣）是（）A．最小正周期为2π的偶函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为2π的奇函数D．最小正周期为π的奇函数14．已知tanα=3，则的值为（）A．3 B．2 C．1 D．015．已知a=log2，b=30.5，c=0.53，则有（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b16．要得到函数y=sin（2x+）的图象，只要将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向右平移单位D．向左平移单位17．如图是函数y=f（x）图象的一部分，则函数y=f（x）的解析式可能为（）A．y=sin（x+）B．y=sin（2x﹣）C．y=cos（4x﹣）D．y=cos（2x﹣）二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）18．点P（1，2）到直线x﹣y+2=0的距离为．19．函数f（x）=log a（x﹣3）的图象必过定点M，则点M的坐标为．20．已知角α的终边经过点P（﹣3，4），则cosα=．21．已知函数f（x）=a x（a＞0，a≠1），f（2）=4，则函数f（x）的解析式是f（x）=．22．已知sinθ=，则cos（﹣θ）=．三、解答题（本大题共4小题，共34分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）23．已知函数f（x）=．（1）在所给坐标系中，作出函数y=f（x）的图象已知函数f（x）=3sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期及f（x）的最大值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．25．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知E为DD1的中点．（1）求证：直线AC⊥平面BB1D1D；（2）求直线BD1与AE所成角的正弦值．26．已知圆C：x2+y2=1与直线l：x﹣y+m=0相交于不同的A、B两点，O为坐标原点．（1）求实数m的取值范围；（2）若|AB|=，求实数m的值．参考答案一、单项选择题1．D．2．C．3．B．4．B．5．A 6．A．7．C．8．C．9．C．10．B．11．C 12．D．13．D．14．B．15．B．16．D．17．D．二、填空题18．答案为：．19．答案为：（4，0）．20．答案为：．21．答案为：f（x）=2x．22．答案为：．三、解答题23．解：（1）由题意已知f（x）=3sin2x．∴函数f（x）的最小值周期为，由正弦函数图象及性质，可知：当2x=+2kπ（k∈Z）f（x）取得最大值，即f max（x）=f（）=3sin=3．（2）由正弦函数图象及性质可得：是单调增区间，解得：所以：f（x）的单调递增区间是．25．解：（1）证明：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥BB1又∵AC⊥BD，BD，BB1⊂平面BB1D1D，BD∩BB1，所以AC⊥平面BB1D1D；（2）由题意，设AC∩BD=O，连结OE，则O、E分别是BD、DD1的中点，所以OE∥BD1，所以∠OEA=θ就是直线BD1与AE所成的角．由（1）知，AC⊥平面BB1D1D，又OE⊂平面BB1D1D，所以AC⊥OE．设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2a，则，，在Rt△AOE中，，所以：直线BD1与AE所成角的正弦值为．26．解：（1）由消去y得，由已知得，得m2﹣4＜0，得实数m的取值范围是（﹣2，2）；（2）因为圆心C（0，0）到直线的距离为，所以由已知得，解得m=±1．。

2017-2018学年山西省晋城市高一（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）已知集合A={1，2}，B={0，2，5}，则A∪B中元素的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．52．（3分）函数f（x）=ln（x+4）﹣的定义域为（）A．（﹣4，1]B．（﹣4，1）C．[﹣4，1）D．[﹣4，1]3．（3分）下列四个函数中，在（﹣∞，0）上是增函数的为（）A．f（x）=x2B．f（x）=x﹣C．f（x）=﹣x3+2 D．f（x）=4．（3分）设f：x→ｘ﹣2是集合A到集合B的映射，如果B={1，2}，那么A可能为（）A．4 B．?或{3}C．{3}D．{4，5}5．（3分）三个数60.4，0.47，ln0.6的大小关系是（）A．0.47＞60.4＞ln0.6 B．60.4＞0.47＞ln0.6C．60.4＞ln0.6＞0.47 D．ln0.6＞60.4＞0.476．（3分）已知幂函数f（x）的图象过点（4，），则f（x）的单调递减区间是（）A．（0，+∞）B．[0，+∞）C．（﹣∞，+∞）D．（﹣∞，0）7．（3分）已知函数f（x）=，则有（）A．f（x）是奇函数，f（）=﹣f（x）B．f（x）是奇函数，且f（）=f（x）C．f（x）是偶函数，且f（）=﹣f（x）D．f（x）是偶函数，且f（）=f （x）8．（3分）用二分法求方程e x+x﹣3=0在x∈[0，1]上的近似解的过程中，取区间中点x0=，那么下一个有根区间为（）A．[0，]B．[]C．[0，]或[]都可以D．不能确定9．（3分）函数f（x）=log a|x﹣2|在（2，+∞）上是减函数，那么f（x）在（0，2）上（）A．递增且无最大值 B．递减且无最小值C．递增且有最大值 D．递减且有最小值10．（3分）设f（x）是偶函数，且在[0，+∞）在内是减函数，又f（﹣2）=0，则（x﹣2）f（x）＜0的解集是（）A．{x|x＜﹣2或0＜x＜2}B．{x|﹣2＜x＜0或x＞2}C．{x|x＞﹣2}D．{x|x ＞﹣2且x≠2}11．（3分）若关于x的不等式2（x﹣2）2﹣log m x＞0在（0，）内恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（0，1） B．（1，）C．[）D．（0，1）∪（1，]12．（3分）若关于x的方程x2﹣4x+a|x﹣2|+a+1=0（a＞0且a≠1）有解，则实数a 的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，1）∪（1，2]C．[2，+∞）D．（1，2]二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．（3分）若f（x）=x4+x2+ax为偶函数，则a=．14．（3分）已知函数f（x）=，则=．15．（3分）已知f（x）=（a＞0且a≠1）是（﹣∞，+∞）上的增函数，则实数a的取值范围是．16．（3分）规定：[x]表示不超过x的最大整数，例如，[﹣3.5]=﹣4；[2.1]=2，若对于[x[x]]+a＞1任意的x∈[﹣1，1]恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分52分）17．（8分）已知集合A={x|1≤x≤4}，B={x|﹣1＜x＜3}，C={x|a﹣1≤x≤a}．（1）求A∪B；（2）是否存在实数a使得B∩C=C，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．18．（8分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=﹣x2+2x ﹣2．（1）求函数f（x）的解析式；（2）画出函数f（x）在R上的图象；（3）根据图象写出函数f（x）的单调递减区间．19．（8分）已知函数f（x）=2﹣．（1）若m+n=2，求f（m）+f（n）的值；（2）设T=f（）+f（）+f（）+…+f（），求T．20．（8分）已知函数f（x）=a x﹣2（a＞0且a≠1）．（1）求证函数f（x+1）的图象过定点，并写出该定点；（2）设函数g（x）=log2（x+2）﹣f（x﹣1）﹣3，且g（2）=，试证明函数g （x）在x∈（1，2）上有唯一零点．21．（10分）利民商城举行大型的促销活动，根据以往销售数据显示，当投入促销费用x万元时，销售量t万件满足t=10﹣（0≤x≤3），已知生产该产品t 万件需投入成本（12+t）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（5）万元/万件，现假定生产量与销售量相等．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，商城的利润最大．22．（10分）已知函数f（x）=log a（x﹣a）（a＞0且a≠1）．（1）当a=2时，解不等式f（x）＜2；（2）若不等式f（x）+log a（x﹣3a）≤1对于任意x∈[a+4，a+6]的恒成立，求实数a的取值范围．2017-2018学年山西省晋城市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）已知集合A={1，2}，B={0，2，5}，则A∪B中元素的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用并集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={0，2，5}，∴A∪B={0，1，2，5}，∴A∪B中元素的个数为4个．故选：C．【点评】本题考查并集中元素个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．2．（3分）函数f（x）=ln（x+4）﹣的定义域为（）A．（﹣4，1]B．（﹣4，1）C．[﹣4，1）D．[﹣4，1]【分析】由对数的真数大于0，根式内部的代数式大于等于0，联立求解不等式组即可得答案．【解答】解：由，解得：﹣4＜x≤1．∴函数f（x）=ln（x+4）﹣的定义域为：（﹣4，1]．故选：A．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式的解法，是基础题．3．（3分）下列四个函数中，在（﹣∞，0）上是增函数的为（）A．f（x）=x2B．f（x）=x﹣C．f（x）=﹣x3+2 D．f（x）=【分析】根据常见函数的单调性判断即可．【解答】解：对于A，函数在（﹣∞，0）递减，对于B，函数在（﹣∞，0）递增，对于C，f（x）在R递减，对于D，f（x）在（﹣∞，0）递减，故选：B．【点评】本题考查了常见函数的单调性问题，是一道基础题．4．（3分）设f：x→ｘ﹣2是集合A到集合B的映射，如果B={1，2}，那么A可能为（）A．4 B．?或{3}C．{3}D．{4，5}【分析】直接利用集合的对应关系式求出结果．【解答】解：f：x→ｘ﹣2是集合A到集合B的映射，如果B={1，2}，①当x﹣2=1时，解得x=3，②当x﹣2=2时，解得x=4．根据对应关系A为集合的形式．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：集合的对应关系的应用．5．（3分）三个数60.4，0.47，ln0.6的大小关系是（）A．0.47＞60.4＞ln0.6 B．60.4＞0.47＞ln0.6C．60.4＞ln0.6＞0.47 D．ln0.6＞60.4＞0.47【分析】分别根据指数函数，对数函数的图象和性质即可比较．【解答】解：由对数函数的性质可知：ln0.6＜0，由指数函数的性质可知：0＜0.47＜1，60.4＞1∴60.4＞0.47＞ln0.6故选：B．【点评】本题主要通过数的比较，来考查指数函数，对数函数的图象和性质，解答的关键是结合函数的性质借助于中间数：1或0进行大小比较．6．（3分）已知幂函数f（x）的图象过点（4，），则f（x）的单调递减区间是（）A．（0，+∞）B．[0，+∞）C．（﹣∞，+∞）D．（﹣∞，0）【分析】由题意代入点的坐标可求得α＝﹣；从而写出单调区间．【解答】解：设f（x）=xα，幂函数f（x）的图象过点（4，），∴4α=，则α＝﹣；则y=f（x）=，则其定义域为（0，+∞）；函数的单调递减区间是（0，+∞）；故选：A．【点评】本题考查了幂函数的基本性质，属于基础题．7．（3分）已知函数f（x）=，则有（）A．f（x）是奇函数，f（）=﹣f（x）B．f（x）是奇函数，且f（）=f（x）C．f（x）是偶函数，且f（）=﹣f（x）D．f（x）是偶函数，且f（）=f （x）【分析】利用函数奇偶性的定义去判断函数的奇偶性，然后通过关系式化简f（）与f（x）的关系．【解答】解：要使函数有意义，则1﹣x2≠0，即x≠±1，又，所以函数f（x）是偶函数．又．故选：C．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，要求熟练掌握函数奇偶性的性质．8．（3分）用二分法求方程e x+x﹣3=0在x∈[0，1]上的近似解的过程中，取区间中点x0=，那么下一个有根区间为（）A．[0，]B．[]C．[0，]或[]都可以D．不能确定【分析】方程的实根就是对应函数f（x）的零点，由f（1）＞0，f（1）＜0 知，f（x）零点所在的区间为（，1）．【解答】解：∵f（x）=e x+x﹣3，∴f（0）=1+0﹣3=﹣2＜0，f（1）=e+1﹣3＞0，f（）=+﹣3=﹣＜0，∴f（）f（1）＜0，∴f（x）零点所在的区间为（，1）∴方程e x+x﹣3=0有根的区间是[，1]，故选：B．【点评】本题考查用二分法求方程的根所在的区间的方法，方程的实根就是对应函数f（x）的零点，函数在区间上存在零点的条件是函数在区间的端点处的函数值异号．属基础题．9．（3分）函数f（x）=log a|x﹣2|在（2，+∞）上是减函数，那么f（x）在（0，2）上（）A．递增且无最大值 B．递减且无最小值C．递增且有最大值 D．递减且有最小值【分析】根据复合函数的单调性的判断，得到a 与1的关系，进一步得到所求．【解答】解：因为函数f（x）=log a|x﹣2|在（2，+∞）上是减函数，并且y=|x ﹣2|在（2，+∞）是增函数，所以0＜a＜1，那么f（x）在（0，2）上增函数，且无最大值．故选：A．【点评】本题看错了复合函数的单调性以及最值；口诀：同增异减．10．（3分）设f（x）是偶函数，且在[0，+∞）在内是减函数，又f（﹣2）=0，则（x﹣2）f（x）＜0的解集是（）A．{x|x＜﹣2或0＜x＜2}B．{x|﹣2＜x＜0或x＞2}C．{x|x＞﹣2}D．{x|x ＞﹣2且x≠2}【分析】根据题意，由偶函数的性质可得则f（2）=f（﹣2）=0，结合函数f（x）的单调性与特殊值，分析可得在[0，2）上，f（x）＞0，在区间（2，+∞）上，f（x）＜0，结合函数的奇偶性可得在（﹣2，0]上，f（x）＞0，在区间（﹣∞，﹣2）上，f（x）＜0，而不等式可以转化为或，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）是偶函数，则f（2）=f（﹣2）=0，又由f（x）在[0，+∞）在内是减函数，则在[0，2）上，f（x）＞0，在区间（2，+∞）上，f（x）＜0，若f（x）为偶函数，则在（﹣2，0]上，f（x）＞0，在区间（﹣∞，﹣2）上，f （x）＜0，（x﹣2）f（x）＜0?或?或，解可得：x＞﹣2且x≠2，即（x﹣2）f（x）＜0的解集是{x|x＞﹣2且x≠2}；故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析f（x）的取值情况．11．（3分）若关于x的不等式2（x﹣2）2﹣log m x＞0在（0，）内恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（0，1） B．（1，）C．[）D．（0，1）∪（1，]【分析】首先将不等式变形为2（x﹣2）2＞log m x，设f（x）=2（x﹣2）2，g（x）=log m x，只要f（x）min＞g（x）max即可．【解答】解：由已知不等式变形为2（x﹣2）2＞log m x，设f（x）=2（x﹣2）2，g（x）=logm x，要使关于x的不等式2（x﹣2）2﹣log m x＞0在（0，）内恒成立，只要f（x）＞g（x）max，minf（x）＞2（﹣2）2=1，∴1＞log m x，即log m m＞log m x恒成立，所以或恒成立，所以m；故选：C．【点评】本题考查了不等式恒成立问题求参数范围；关键是将所求转化为求函数的最值．12．（3分）若关于x的方程x2﹣4x+a|x﹣2|+a+1=0（a＞0且a≠1）有解，则实数a的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，1）∪（1，2]C．[2，+∞）D．（1，2]【分析】关于x的方程x2﹣4x+a|x﹣2|+a+1=0（a＞0且a≠1）有解，即函数y=x2﹣4x+a+1与y=﹣a|x﹣2|的图象有交点，画出两函数的图象，数形结合得答案．【解答】解：关于x的方程x2﹣4x+a|x﹣2|+a+1=0（a＞0且a≠1）有解，即函数y=x2﹣4x+a+1与y=﹣a|x﹣2|的图象有交点，画出两函数的图象如图：要使函数y=x2﹣4x+a+1与y=﹣a|x﹣2|的图象有交点，第11页（共18页）则a ﹣3≤﹣1，可得a ≤2，又a ＞0且a ≠1，∴实数a 的取值范围是（0，1）∪（1，2]．故选：B ．【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．（3分）若f （x ）=x 4+x 2+ax 为偶函数，则a=0．【分析】根据函数的奇偶性求出a 的值即可．【解答】解：由题意f （﹣x ）=x 4+x 2﹣ax=x 4+x 2+ax=f （x ），故a=0，故答案为：0．【点评】本题考查了函数的奇偶性问题，考查偶函数的定义，是一道基础题．14．（3分）已知函数f （x ）=，则=．【分析】由代入f （x ）=log 3x ，先求出，代入f （x ）=2x 求出值．【解答】解：∵f （x ）=，∴=f （=f （﹣3）=2﹣3=故答案为：【点评】本题考查分段函数求值，关键是判定出自变量的值属于哪一段就代入那一段的解析式，属于基础题．15．（3分）已知f （x ）=（a ＞0且a ≠1）是（﹣∞，+∞）上的。

2017-2018学年山西省大同一中高一（下）期中数学试卷一、选择题1．下列角中终边与330°相同的角是（）A．30°B．﹣30°C．630°D．﹣630°2．已知=（﹣2，2），=（x，﹣3），若⊥，则x的值为（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣33．已知向量=（3，4），=（sinα，cosα），且，则tanα=（）A．B．﹣C．D．﹣4．若0＜α＜2π，则使sinα＜和cosα＞同时成立的α的取值范围是（）A．（﹣，）B．（0，）C．（，2π）D．（0，）∪（，2π）5．已知向量=（3，4），则与方向相同的单位向量是（）A．（，）B．（，）C．（﹣﹣，）D．（4，3）6．在△ABC中，若sin（A+B﹣C）=sin（A﹣B+C），则△ABC必是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形7．如图，已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点，=，=，则=（）A．﹣B．﹣C．+D．+8．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点的（）A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变9．函数y=2sin2x是（）A．以2π为周期的偶函数B．以π为周期的偶函数C．以2π为周期的奇函数D．以π为周期的奇函数10．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）+f（x）=0，且在[3，4]上是增函数，A、B 是锐角三角形的两个内角，则（）A．f（sinA）＜f（cosB）B．f（sinA）＞f（cosB）C．f（sinA）＞f（sinB）D．f （cosA）＞f（cosB）二、填空题11．cos=．12．求值：tan20°+tan40°+tan20°tan40°=．13．在△ABC中，||=5，||=4，||=3，则•=．14．在平行四边形ABCD中，=，=，=3，M为BC的中点，则=（，表示）15．设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=．三、解答题16．已知向量，的夹角为60°，且||=2，||=1．（1）求•；（2）|﹣2|17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．18．已知是一个三角形的内角，且sinα+cosα=（1）求tanα的值；（2）用tanα表示并求其值．19．已知=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），函数f（x）=•．（1）求f（x）的对称轴方程；（2）若对任意实数x∈[，]，不等式f（x）﹣m＜2恒成立，求实数m的取值范围．20．已知：、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）（1）若||=2，且∥，求的坐标；（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．2017-2018学年山西省大同一中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．下列角中终边与330°相同的角是（）A．30°B．﹣30°C．630°D．﹣630°【考点】终边相同的角．【专题】计算题．【分析】直接利用终边相同的角判断即可．【解答】解：因为330°的终边与﹣30°的终边相同，所以B满足题意．故选B．【点评】本题考查终边相同的角的表示方法，考查基本知识的熟练程度．2．已知=（﹣2，2），=（x，﹣3），若⊥，则x的值为（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用．【分析】由⊥得到•=﹣2x+2×（﹣3）=0，解得即可．【解答】解：∵=（﹣2，2），=（x，﹣3），⊥，∴•=﹣2x+2×（﹣3）=0，解得x=﹣3，故选：D．【点评】本题考查了向量垂直与数量积之间的关系，考查了计算能力，属于基础题．3．已知向量=（3，4），=（sinα，cosα），且，则tanα=（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出tanα的值．【解答】解：∵向量=（3，4），=（sinα，cosα），且，∴3cosα﹣4sinα=0，∴=；即tanα=．故选：A．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算以及同角的三角函数的运算问题，是基础题目．4．若0＜α＜2π，则使sinα＜和cosα＞同时成立的α的取值范围是（）A．（﹣，）B．（0，）C．（，2π）D．（0，）∪（，2π）【考点】三角函数线．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据正弦函数和余弦函数的单调性分别求得在0＜α＜2π，满足已知条件α的范围，最后去交集即可．【解答】解：∵0＜α＜2π，sinα＜，∴0＜α＜或＜α＜2π，①∵0＜α＜2π，cosα＞，∴0＜α＜，或＜α＜2π，②①②取交集得0＜α＜或＜α＜2π，故选：D．【点评】本题主要考查了三角函数图象与性质，三角函数的单调性．解题可结合正弦函数和余弦函数的图象，可能更直观．5．已知向量=（3，4），则与方向相同的单位向量是（）A．（，）B．（，）C．（﹣﹣，）D．（4，3）【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题；规律型；平面向量及应用．【分析】求出向量的模，然后求解单位向量．【解答】解：=（3，4），∴||==5，∴与方向相同的单位向量的坐标为：（，）．故选：B．【点评】本题考查单位向量的求法向量的模的求法，考查计算能力．6．在△ABC中，若sin（A+B﹣C）=sin（A﹣B+C），则△ABC必是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形【考点】解三角形．【专题】计算题．【分析】结合三角形的内角和公式可得A+B=π﹣C，A+C=π﹣B，代入已知sin（A+B﹣C）=sin（A﹣B+C）化简可得，sin2C=sin2B，由于0＜2B＜π，0＜2C＜π从而可得2B=2C或2B+2C=π，从而可求【解答】解：C∵A+B=π﹣C，A+C=π﹣B，∴sin（A+B﹣C）=sin（π﹣2C）=sin2Csin（A﹣B+C）=sin（π﹣2B）=sin2B，则sin2B=sin2C，B=C或2B=π﹣2C，即．所以△ABC为等腰或直角三角形．故选C【点评】本题主要考查了三角形的内角和公式，三角函数的诱导公式，由三角函数值寻求角的关系，依据主要是利用三角函数的图象．7．如图，已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点，=，=，则=（）A．﹣B．﹣C．+D．+【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】直接利用向量的基本定理判断选项即可．【解答】解：如图：连结CD，OD，∵已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点，∴AODC是平行四边形，∴=．故选：D．【点评】本题考查平面向量基本定理的应用，是基础题．8．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点的（）A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】规律型．【分析】得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点横坐标变为原来的一半【解答】解：由函数图象变换的规则函数的图象，可以由函数的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到故选B．【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，解题的关键是掌握住图象变换的规则，属于基本题型．9．函数y=2sin2x是（）A．以2π为周期的偶函数B．以π为周期的偶函数C．以2π为周期的奇函数D．以π为周期的奇函数【考点】余弦函数的图象；二倍角的余弦．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】利用二倍角的余弦公公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性和奇偶性，得出结论．【解答】解：∵函数y=2sin2x=2•=1﹣cos2x，∴它是以π为周期的偶函数，故选：B．【点评】本题主要考查二倍角的余弦公公式，余弦函数的周期性和奇偶性，属于基础题．10．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）+f（x）=0，且在[3，4]上是增函数，A、B 是锐角三角形的两个内角，则（）A．f（sinA）＜f（cosB）B．f（sinA）＞f（cosB）C．f（sinA）＞f（sinB）D．f （cosA）＞f（cosB）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】由f（x+1）+f（x）=0得f（x+2）=f（x）得函数的周期为2，然后利用函数的周期和奇偶性进行判断．【解答】解：由f（x+1）+f（x）=0得f（x+1）=﹣f（x）即f（x+2）=f（x），所以函数的周期为2，因为f（x）在[3，4]上是增函数，所以f（x）在[﹣1，0]上为增函数，因为f（x）为偶函数，所以f（x）在[0，1]上为单调减函数．因为在锐角三角形中，π﹣A﹣B＜，所以A+B＞，所以＞A＞﹣B＞0，所以sinA＞sin（﹣B）=cosB，因为f（x）在[0，1]上为单调减函数．所以f（sinA）＜f（cosB），故选：A．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性和周期性的应用，以及三角函数的图象和性质，综合性较强，涉及的知识点较多．二、填空题11．cos=．【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】函数思想；转化法；三角函数的求值．【分析】根据题意，由=﹣，结合余弦的差角公式可得cos=cos（﹣）=coscos+sin cos，代入数据计算可得答案．【解答】解：根据题意，由=﹣，则cos=cos（﹣）=cos cos+sin cos=×+×=，故答案为：．【点评】本题考查余弦的差角公式，关键是将用特殊角的差的形式表示出来．12．求值：tan20°+tan40°+tan20°tan40°=．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】计算题；压轴题．【分析】利用60°=20°+40°，两角和的正切公式，进行变形，化为所求式子的值．【解答】解：tan60°=tan（20°+40°）==tan20°+tan40°+tan20°tan40故答案为：【点评】本题考查两角和的正切函数公式的应用，考查计算化简能力，观察能力，是基础题．13．在△ABC中，||=5，||=4，||=3，则•=﹣9．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；定义法；平面向量及应用．【分析】边长满足勾股定理，从而确定△ABC为直角三角形，即可求出B的余弦值，根据向量数量积的定义即可求出．【解答】解：∵||=5，||=4，||=3，∴||2=||2+||2，∴△ABC为直角三角形，且∠C为直角，∴cosB=，∴•=||•||cos（﹣B）=5×3×（﹣）=﹣9，故答案为：﹣9．【点评】本题考查平面向量数量积的定义，同时注意挖掘题目中的条件，考查计算能力．14．在平行四边形ABCD中，=，=，=3，M为BC的中点，则=（，表示）【考点】向量的加法及其几何意义．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量的三角形法则、平行四边形法则、向量共线定理即可得出．【解答】解：∵=3，M为BC的中点，则=====．故答案为：．【点评】本题考查了向量的三角形法则、平行四边形法则、向量共线定理，属于基础题．15．设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=﹣．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．【专题】压轴题；三角函数的求值．【分析】f（x）解析式提取，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x=θ时，函数f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ=，与sin2θ+cos2θ=1联立即可求出cosθ的值．【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cosα=，sinα=），∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=，又sin2θ+cos2θ=1，联立得（2cosθ+）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．三、解答题16．已知向量，的夹角为60°，且||=2，||=1．（1）求•；（2）|﹣2|【考点】平面向量数量积的运算．【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用．【分析】（1）根据向量的数量积定义计算；（2）计算（）2再开方即可．【解答】解：（1）=||||cos60°=2×=1．（2）∵（）2=﹣4+4=4﹣4+4=4，∴|﹣2|=2．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）通过函数的图象求出A和T，然后求出ω，通过函数经过的特殊点求出φ，即可得到函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求利用x在区间，求出相位的范围，然后结合函数的值域求出函数的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）由图象知，A=2，故ω=2，将点代入f（x）的解析式，得，又，所以，故…（Ⅱ）由，得即所以f（x）的最大值为2，最小值为﹣1．…【点评】本题主要考察函数f（x）=Asin（ωx+φ）的性质以及对三角函数知识的综合运用能力，简单题．18．已知是一个三角形的内角，且sinα+cosα=（1）求tanα的值；（2）用tanα表示并求其值．【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；规律型；转化思想；三角函数的求值．【分析】（1）将已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，整理后判断出sinα与cosα的正负，利用同角三角函数间基本关系得到sin2α+cos2α=1，联立求出sinα与cosα的值，即可确定出tanα的值．（2）利用同角三角函数基本关系式化简求解即可．【解答】解：（1）将sinα+cosα=，两边平方得：（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，∴sinαcosα=﹣＜0，即sinα＞0，cosα＜0，与sin2α+cos2α=1，联立得：，∴，则tanα=﹣．（2）====．【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．19．已知=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），函数f（x）=•．（1）求f（x）的对称轴方程；（2）若对任意实数x∈[，]，不等式f（x）﹣m＜2恒成立，求实数m的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）利用数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的表达式，通过正弦函数的对称轴直接求f（x）的对称轴方程；（2）利用（1）的函数的解析式，对任意实数x∈[，]，不等式f（x）﹣m＜2恒成立，求出f（x）﹣2在已知范围难度最大值，即可求实数m的取值范围．【解答】（本小题满分14分）解：（1）由f（x）=•及=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），可得f（x）=sin2x+sinxcosx …=…=…令，k∈Z，解得x=，k∈Z．…所以，f（x）的对称轴方程为x=，k∈Z．…（2）∵x∈[，]，∴．…又∵y=sinx在上是增函数，∴sin．…又∵sin=sin（）=sin cos﹣cos sin==，…∴f（x）在x∈[，]，时的最大值是f max（x）==．…∵不等式f（x）﹣m＜2恒成立，即f（x）﹣2＜m恒成立，…∴，即m，所以，实数m的取值范围是．…【点评】本题考查向量的数量积的计算．两角和与差的三角函数正弦函数的对称轴方程以及单调性的应用，考查计算能力．20．已知：、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）（1）若||=2，且∥，求的坐标；（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角．【专题】计算题．【分析】（1）设，由||=2，且∥，知，由此能求出的坐标．（2）由，知，整理得，故，由此能求出与的夹角θ．【解答】解：（1）设，∵||=2，且∥，∴，…解得或，…故或．…（2）∵，∴，即，…∴，整理得，…∴，…又∵θ∈[0，π]，∴θ=π．…【点评】本题考查平面向量的坐标运算和数量积判断两个平面垂直的条件的灵活运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．。

山西大学附中2017-2018学年高一第二学期期中考试数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由诱导公式可得，，故选D.2. 已知向量，若与平行，则（）A. -B.C. 7D.【答案】D【解析】分析：直接利用向量平行的坐标表示列方程求解即可.详解：因为向量，且与平行，所以，，故选D.点睛：利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.3. 如果点位于第四象限，那么角所在的象限是（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】分析：根据象限内坐标的特点，判断，由三角函数的定义可得结果.详解：因为点位于第四象限，所以横坐标，纵坐标，可得，只有终边在第二象限的角正弦小于零，余弦大于零，故选B.点睛：本题主要考查三角函数的定义以及三角函数在象限内的符号，意在考查对基础知识的掌握情况，属于简单题.4. 已知，则在方向上的投影为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据平面向量数量积的几何意义以及平面向量数量积公式求解即可.详解：在向量方向上的投影等于向量的模长乘以夹角的余弦值，，故选A.点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.5. 函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：根据正切函数的单调性，列不等式求解即可.详解：要使函数有意义，根号下不小于零，即，，函数的定义域为，故选C.点睛：定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.6. 已知函数，下面结论正确的是（）A. 函数的最小正周期为B. 函数在区间上是增函数C. 函数的图象关于直线对称D. 函数的图象关于点对称【答案】C【解析】分析：根据余弦函数的周期性、单调性、对称性，对四个选项中的结论逐一验证即可得结果.详解：函数，周期，错；单调递增区间，函数在区间上不是单调函数，错；对称轴为，时是对称轴，正确；对称中心的横坐标，错，故选C.点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.7. 若，则（）A.- B. 2 C. D.【答案】C【解析】分析：将变形为含的式子，将代入，即可得结果.详解：，故选C.点睛：本题主要考查，同角三角函数之间的关系（平方关系）的应用，属于中档题. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.8. 为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上（）A. 各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位B. 各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位C. 各点的横坐标缩短到原来的2倍，再向左平移个单位D. 各点的横坐标缩短到原来的2倍，再向左平移个单位【答案】B【解析】分析：根据三角函数周期变换与相位变换的性质，逐一验证四个选项即可得结果.详解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到的图象，再向左平移个单位，所以，为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上，各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位，故选B.点睛：本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.9. 的边所在直线上有一点满足，则可表示为（）A. B.C. D. （（（（（（（【答案】B【解析】由题意得，整理得，选B. 【点睛】本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。