高中数学二轮复习 考点突破 第一部分 专题一 第二讲 函数 基本初等函数的图象与性质 理

用心 爱心 专心 1 第二讲 函数、基本初等函数的图象与性质

一、选择题

1．(2010·陕西)已知函数f(x)＝ 2x＋1，x<1，x2＋ax，x≥1，若f(f(0))＝4a，则实数a等于( )

A.12 B.45 C．2 D．9

解析：f(x)＝ 2x＋1，x<1，x2＋ax，x≥1.

∵0<1，∴f(0)＝20＋1＝2.

∵f(0)＝2≥1，∴ f(f(0))＝22＋2a＝4a，

∴a＝2，故选C.

答案：C

2．(2010·山东)设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，

则f(－1)＝ ( )

A．3 B．1 C．－1 D．－3

解析：因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，可求得b＝－1，f(－1)＝－f(1)

＝－(21＋2＋b)＝－3.故选D.

答案：D

3．(2010·安徽)设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是 ( )

解析：A项，由图象开口向下知a<0，由对称轴位置知－b2a<0，∴b<0.又∵abc>0，

∴c>0.而由图知f(0)＝c<0；B项，由图知a<0，－b2a>0，∴b>0.

又∵abc>0，∴c<0，而由图知f(0)＝c>0；

C项，由图知a>0，－b2a<0，∴b>0.

又∵abc>0，∴c>0，而由图知f(0)＝c<0；

D项，由图知a>0，－b2a>0，∴b<0.又∵abc>0，∴c<0，由图知f(0)＝c<0.D正确．

答案：D 用心 爱心 专心 2 4．(2010·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝|lg x|.若0

( )

A．(22，＋∞)

B．[22，＋∞)

C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)

解析：f(x)＝|lg x|的图象如图所示，由图知f(a)＝f(b)，则有0

＝－lg a，f(b)＝|lg b|＝lg b，即－lg a＝lg b，得a＝1b，∴a＋2b＝2b＋1b.

令g(b)＝2b＋1b，g′(b)＝2－1b2，显然b∈(1，＋∞)时，g′(b)>0，∴g(b)在(1，＋

∞)上为增函数，得g(b)＝2b＋1b>3，故选C.

答案：C

5．(2009·山东)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是

增函数，则( )

A．f(－25)

C．f(11)

解析：∵f(x－4)＝－f(x)，

∴f(x－8)＝f[(x－4)－4]＝－f(x－4)＝－[－f(x)]＝f(x)，

∴f(x)是以8为周期的周期函数．

f(80)＝f(8×10)＝f(0)，

f(11)＝f(3＋8)＝f(3)＝－f(3－4)

＝－f(－1)＝－[－f(1)]＝f(1)，

f(－25)＝f[8×(－3)－1]＝f(－1)＝－f(1)．

∵f(x)在区间[0,2]上递增，∴f(0)

又∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，∴f(1)>0，∴－f(1)<0，

∴－f(1)

答案：D

二、填空题

6．已知函数f(x)＝x2－cos x，对于－π2，π2上的任意x1，x2，有如下条件：①x1>x2；

②x21>x22；③|x1|>x2.其中能使f(x1)>f(x2)恒成立的条件序号是________． 用心 爱心 专心 3 解析：函数f(x)＝x2－cos x显然是偶函数，其导数y′＝2x＋sin x在0

也大于0，是增函数，要使f(x1)>f(x2)恒成立，即f(|x1|)>f(|x2|)恒成立．∵f(x)在0，π2

上是增函数，

∴|x1|>|x2|，即②成立，①③不成立．

答案：②

7．已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－1fx，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则

f(1.5)＝________.

解析：∵f(x＋2)＝－1fx，∴f(x＋4)＝－1fx＋2＝f(x)∴T＝4，∴f(1.5)＝f(1.5－4)＝

f(－2.5)＝f(2.5)＝2.5.

答案：2.5

8．(2010·全国Ⅰ)直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是

________．

解：y＝x2－|x|＋a是偶函数，图象如图所示．

由图可知y＝1与y＝x2－|x|＋a有四个交点，

需满足a－14<1

答案：1

9．(2010·重庆)已知函数f(x)满足：f(1)＝14，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则

f(2 010)＝________.

解析：解法一：∵当x＝1，y＝0时，f(0)＝12；当x＝1，y＝1时，f(2)＝－14；当x

＝2，y＝1时，f(3)＝－12；当x＝2，y＝2时，f(4)＝－14；当x＝3，y＝2时，f(5)＝14；

当x＝3，y＝3时，f(6)＝12；当x＝4，y＝3时，f(7)＝14；当x＝4，y＝4时，f(8)＝

－14；… 用心 爱心 专心 4 ∴f(x)是以6为周期的函数，

∴f(2 010)＝f(0＋335×6)＝f(0)＝12.

解法二：∵f(1)＝14，4f(x)·f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)，

∴构造符合题意的函数f(x)＝12cos π3x，

∴f(2 010)＝12cos π3×2 010＝12.

答案：12

三、解答题

10．在直角坐标平面中，已知点P1(1,2)，P2(2,22)，对平面上任一点A0，记A1为A0关

于点P1的对称点，A2为A1关于点P2的对称点．

(1)求向量A0 A2→的坐标；

(2)当点A0在曲线C上移动时，点A2的轨迹是函数y＝f(x)的图象，其中f(x)是以3

为周期的周期函数，且当x∈(0,3]时，f(x)＝lg x．求以曲线C为图象的函数在(1,4]

上的解析式．

解：(1)设A0(x，y)，

根据已知条件A1(2－x,4－y)，A2(2＋x,4＋y)，

∴A0 A2→＝(2,4)．

(2)∵f(x)为以3为周期的周期函数，且f(x)＝lg x，x∈(0,3]，

当x∈(3,6]时，x－3∈(0,3]．

f(x)＝f(x－3)＝lg (x－3)，

由(1)知 x2＝2＋x，y2＝4＋y.

当1

由y2＝lg(x2－3)得4＋y＝lg (x－1)，

即y＝lg(x－1)－4，(1

11．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a>0)，F(x)＝ fx x>0，－fx x<0.若f(－1)＝0，且对

任意实数x均有f(x)≥0成立．

(1)求F(x)的表达式；

(2)当x∈[－2,2]时， g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求k的取值范围．

解：(1)∵f(－1)＝0，∴a－b＋1＝0，∴b＝a＋1， 用心 爱心 专心 5 ∴f(x)＝ax2＋(a＋1)x＋1.

∵f(x)≥0恒成立，

∴ a>0，Δ＝a＋12－4a≤0，∴ a>0a－12≤0.

∴a＝1，从而b＝2，∴f(x)＝x2＋2x＋1，

∴F(x)＝ x2＋2x＋1 x>0，－x2－2x－1 x<0.

(2)g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1.

∵g(x)在[－2,2]上是单调函数，

∴k－22≤－2或k－22≥2，解得k≤－2或k≥6.

所以所求k的取值范围为k≤－2或k≥6.

12．(2009·江苏镇江)已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，若m、n∈

[－1,1]，m＋n≠0时，有fm＋fnm＋n>0.

(1)解不等式fx＋12

(2)若f(x)≤t2－2at＋1对所有x∈[－1,1]，a∈[－1,1]恒成立，求实数t的取值范围．

解：(1)任取x1、x2∈[－1,1]，且x2>x1，则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝fx2＋f－x1x2＋－x1·(x2

－x1)>0，∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)是增函数．

fx＋12

为0，14.

(2)由于f(x)为增函数，∴f(x)的最大值为f(1)＝1，

∴f(x)≤t2－2at＋1对a∈[－1,1]、x∈[－1,1]恒成立⇔t2－2at＋1≥1对任意a∈

[－1,1]恒成立⇔t2－2at≥0对任意a∈[－1,1]恒成立．

把y＝t2－2at看作a的函数，

由a∈[－1,1]知其图象是一条线段，

∴t2－2at≥0对任意a∈[－1,1]恒成立 用心 爱心 专心 6 ⇔ t2－2×－1×t≥0，t2－2×1×t≥0⇔ t2＋2t≥0，t2－2t≥0

⇔ t≤－2或t≥0t≤0或t≥2，⇔t≤－2，或t＝0，或t≥2.