2017年高考数学(四海八荒易错集)专题12空间平行与垂直文

1 专题12 空间平行与垂直

1．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：

①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.

②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.

③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.

④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．

其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)

答案 ②③④

解析 当m⊥n，m⊥α，n∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.

2.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，点D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.

答案 a或2a

2 3．如图，正方形BCDE的边长为a，已知AB＝3BC，将△ABE沿边BE折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，对翻折后的几何体有如下描述：

①AB与DE所成角的正切值是2；

②AB∥CE；

③VB—ACE是16a3；

④平面ABC⊥平面ADC.

其中正确的是________．(填写你认为正确的序号)

答案 ①③④

解析 作出折叠后的几何体的直观图如图所示：

∴CE⊥AD，又BD∩AD＝D，BD⊂平面ABD，

AD⊂平面ABD， 3

4.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝a，∠ABC＝60°，平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是平行四边形，点M在线段EF上．

(1)求证：BC⊥平面ACEF；

(2)当FM为何值时，AM∥平面BDE？证明你的结论．

(1)证明 ∵在等腰梯形ABCD中，

AB∥CD，AD＝DC＝a，∠ABC＝60°，

∴△ADC是等腰三角形，且∠BCD＝∠ADC＝120°，

∴∠DCA＝∠DAC＝30°，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC.

又∵平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD＝AC，BC⊂平面ABCD，

∴BC⊥平面ACEF.

(2)解 当FM＝33a时，AM∥平面BDE.

证明如下： 4

5．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.

求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；

(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.

证明 (1)由已知，DE为△ABC的中位线，

∴DE∥AC，又由三棱柱的性质可得AC∥A1C1，

∴DE∥A1C1，

且DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，

∴DE∥平面A1C1F.

(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，

∴AA1⊥A1C1，

又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A1，

∴A1C1⊥平面ABB1A1，∵B1D⊂平面ABB1A1，

∴A1C1⊥B1D，

又∵A1F⊥B1D，且A1F∩A1C1＝A1， 5 ∴B1D⊥平面A1C1F，又∵B1D⊂平面B1DE，

∴平面B1DE⊥平面A1C1F.

6．如图1，在正△ABC中，E，F分别是AB，AC边上的点，且BE＝AF＝2CF.点P为边BC上的点，将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使平面A1EF⊥平面BEFC，连接A1B，A1P，EP，如图2所示．

(1)求证：A1E⊥FP；

(2)若BP＝BE，点K为棱A1F的中点，则在平面A1FP上是否存在过点K的直线与平面A1BE平行，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

(1)证明 在正△ABC中，取BE的中点D，连接DF，如图1.

图1

所以A1E⊥平面BEFC.

因为FP⊂平面BEFC，所以A1E⊥FP.

(2)解 在平面A1FP上存在过点K的直线与平面A1BE平行．

理由如下： 6 如图1，在正△ABC中，因为BP＝BE，BE＝AF，所以BP＝AF，所以FP∥AB，

所以FP∥BE.

如图2，取A1P的中点M，连接MK，

图2

易错起源1、空间线面位置关系的判定

例1、(1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )

A．l与l1，l2都不相交

B．l与l1，l2都相交

C．l至多与l1，l2中的一条相交

D．l至少与l1，l2中的一条相交

(2)关于空间两条直线a、b和平面α，下列命题正确的是( )

A．若a∥b，b⊂α，则a∥α

B．若a∥α，b⊂α，则a∥b

C．若a∥α，b∥α，则a∥b

D．若a⊥α，b⊥α，则a∥b

答案 (1)D (2)D 7 解析 (1)若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，∴l1∥l2，这与l1和l2异面矛盾，∴l至少与l1，l2中的一条相交．

(2)线面平行的判定定理中的条件要求a⊄α，故A错；对于线面平行，这条直线与面内的直线的位置关系可以平行，也可以异面，故B错；平行于同一个平面的两条直线的位置关系：平行、相交、异面都有可能，故C错；垂直于同一个平面的两条直线是平行的，故D正确，故选D.

【变式探究】设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：

①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；

③若m∥n，m∥β，则n∥β；④若m∥α，m⊥β，则α⊥β.

其中真命题的个数为( )

A．1B．2C．3D．4

答案

B

【名师点睛】

解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中．

【锦囊妙计，战胜自我】

空间线面位置关系判断的常用方法

(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；

(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断．

易错起源2、空间平行、垂直关系的证明

例2、如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3. 8

(1)证明：BC∥平面PDA；

(2)证明：BC⊥PD；

(3)求点C到平面PDA的距离．

(1)证明 因为四边形ABCD是长方形，

所以BC∥AD，因为BC⊄平面PDA，AD⊂平面PDA，

所以BC∥平面PDA.

(2)证明 因为四边形ABCD是长方形，所以BC⊥CD，因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，

所以BC⊥平面PDC，

因为PD⊂平面PDC，所以BC⊥PD.

(3)解 如图，取CD的中点E，连接AE和PE.

因为PD＝PC，所以PE⊥CD，

在Rt△PED中，PE＝PD2－DE2＝42－32＝7.

因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，PE⊂平面PDC，

所以PE⊥平面ABCD.

由(2)知：BC⊥平面PDC，

由(1)知：BC∥AD，

所以AD⊥平面PDC，

因为PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD.

设点C到平面PDA的距离为h，

因为V三棱锥C—PDA＝V三棱锥P—ACD，

所以13S△PDA·h＝13S△ACD·PE， 9 即h＝S△ACD·PES△PDA＝12×3×6×712×3×4＝372，

所以点C到平面PDA的距离是372.

【变式探究】如图，在四棱锥P—ABCD中，AD∥BC，且BC＝2AD，AD⊥CD，PB⊥CD，点E在棱PD上，且PE＝2ED.

(1)求证：平面PCD⊥平面PBC；

(2)求证：PB∥平面AEC.

因为AD∥BC，所以△ADO∽△CBO，

所以DO∶OB＝AD∶BC＝1∶2，又PE＝2ED，

所以OE∥PB，又OE⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，

所以PB∥平面AEC.

【名师点睛】

垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：

(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质 10 定理进行平行转换．

(2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l⊥α，a⊂α⇒l⊥a.

【锦囊妙计，战胜自我】

空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．

易错起源3、平面图形的折叠问题

例3、如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC∩EF＝O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图的五棱锥P—ABFED，且PB＝10.

(1)求证：BD⊥PA；

(2)求四棱锥P—BFED的体积．

(2)解 设AO∩BD＝H.连接BO，∵∠DAB＝60°，