2019-2020学年江苏省无锡市宜兴市九年级(上)期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年度第一学期九年级期末测试数学试题一、选择题：本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.方程(1)(2)0x x --=的解是（ ）A. 1x =B. 2x =C. 1x =或2x =D. 1x =-或2x =- 【答案】C【解析】【分析】方程左边已经是两个一次因式之积，故可化为两个一次方程，解这两个一元一次方程即得答案.【详解】解：∵(1)(2)0x x --=，∴x －1=0或x －2=0，解得：1x =或2x =.故选：C.【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握分解因式解方程的方法是关键. 2.若25x y =，则x y y +的值为（ ） A. 25 B. 72 C. 57 D. 75【答案】D【解析】分析】由已知可得x 与y 的关系，然后代入所求式子计算即可. 【详解】解：∵25x y =， ∴25x y =， ∴2755y y x y y y ++==.故选：D.【点睛】本题考查了比例的性质，属于基础题型，熟练掌握比例的性质是解题关键.3.若直线l 与半径为5的O e 相离，则圆心O 与直线l 的距离d 为（ ）A. 5d <B. 5d >C. 5d =D. 5d ≤ 【答案】B【解析】【分析】直线与圆相离等价于圆心到直线的距离大于半径，据此解答即可.【详解】解：∵直线l 与半径为5的O e 相离，∴圆心O 与直线l 的距离d 满足：5d >.故选：B.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于应知应会题型，若圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，当d >r 时，直线与圆相离；当d =r 时，直线与圆相切；当d <r 时，直线与圆相交.4.在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，=1BC ，则sin A 的值为（ ）A. B. C. 13 D. 【答案】A【解析】【分析】先根据勾股定理求出斜边的长，再根据正弦的定义解答即可.【详解】解：在Rt ABC ∆中，∵90C ∠=︒，3AC =，=1BC ，∴AB =∴sinBC A AB ===. 故选：A.【点睛】本题考查了勾股定理和正弦的定义，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题关键.5.若将二次函数2y x =的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，则所得图象对应函数的表达式为（ ）A. 2(2)2y x =++B. 2(2)2y x =--C. 2(2)2y x =+-D. 2(2)2y x =-+【答案】C【解析】【分析】 根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可.【详解】解：将2y x =的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，则所得二次函数的表达式为：2(2)2y x =+-.故选：C.【点睛】本题考查了抛物线的平移，属于基本知识题型，熟练掌握抛物线的平移规律是解题的关键. 6.已知圆锥的底面半径为5cm ，母线长为13cm ，则这个圆锥的全面积是（ ）A. 265cm πB. 290cm πC. 2130cm πD. 2155cm π【答案】B【解析】【分析】先根据圆锥侧面积公式：S rl π=求出圆锥的侧面积，再加上底面积即得答案.【详解】解：圆锥的侧面积=251365cm ππ⨯⨯=，所以这个圆锥的全面积=2265590cm πππ+⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查了圆锥的有关计算，属于基础题型，熟练掌握圆锥侧面积的计算公式是解答的关键. 7.国庆期间电影《我和我的祖国》第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把增长率记作x ，则方程可以列为（ ）A. 3(1)10x +=B. 23(1)10x +=C. 233(1)10x ++=D. 233(1)3(1)10x x ++++= 【答案】D【解析】【分析】用含x 的代数式表示出第二天和第三天的票房收入，三天的票房收入再相加即得答案.【详解】解：设平均每天票房收入的增长率记作x ，则233(1)3(1)10x x ++++=.故选：D.【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用之增长降低率问题，一般的，若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为：()21a x b ±=.8.如图，已知正五边形ABCDE 内接于O e ，连结,BD CE 相交于点F ，则BFC ∠的度数是（ ）A. 60︒B. 70︒C. 72︒D. 90︒【答案】C【解析】【分析】 连接OA 、OB 、OC 、OD 、OE ，如图，则由正多边形性质易求得∠COD 和∠BOE 的度数，然后根据圆周角定理可得∠DBC 和∠BCF 的度数，再根据三角形的内角和定理求解即可.【详解】解：连接OA 、OB 、OC 、OD 、OE ，如图，则∠COD =∠AOB =∠AOE =360725︒=︒， ∴∠BOE =144°， ∴1362DBC COD ∠=∠=︒，1722BCE BOE ∠=∠=︒， ∴18072BFC DBC BCF ∠=︒-∠-∠=︒.故选：C.【点睛】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理和三角形的内角和定理，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题关键.的9.对于二次函数2610y x x =-+，下列说法不正确的是（ ）A. 其图象的对称轴为过(3,1)且平行于y 轴的直线.B. 其最小值为1.C. 其图象与x 轴没有交点.D. 当3x <时，y 随x 的增大而增大.【答案】D【解析】【分析】先将二次函数变形为顶点式，然后可根据二次函数性质判断A 、B 、D 三项，再根据抛物线的顶点和开口即可判断C 项，进而可得答案.【详解】解：()2261031y x x x =-+=-+，所以抛物线的对称轴是直线：x =3，顶点坐标是（3，1）； A 、其图象的对称轴为过(3,1)且平行于y 轴的直线，说法正确，本选项不符合题意；B 、其最小值为1，说法正确，本选项不符合题意；C 、因为抛物线的顶点是（3，1），开口向上，所以其图象与x 轴没有交点，说法正确，本选项不符合题意；D 、当3x <时，y 随x 的增大而增大，说法错误，所以本选项符合题意.故选：D.【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，属于基本题型，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键. 10.将一副学生常用的三角板如下图摆放在一起，组成一个四边形ABCD ，连接AC ，则tan ACD ∠的值为（ ）A.B. 1C.1D. 【答案】B【解析】【分析】 的设AC 、BD 交于点E ，过点C 作CF ⊥BD 于点F ，过点E 作EG ⊥CD 于点G ，则CF ∥AB ，△CDF 和△DEG都是等腰直角三角形，设AB =2，则易求出CF CEF ∽△AEB ，可得2EF CF BE AB ==，于是设EF ，则2BE x =，然后利用等腰直角三角形的性质可依次用x 的代数式表示出CF 、CD 、DE 、DG 、EG 的长，进而可得CG 的长，然后利用正切的定义计算即得答案.【详解】解：设AC 、BD 交于点E ，过点C 作CF ⊥BD 于点F ，过点E 作EG ⊥CD 于点G ，则CF ∥AB ，△CDF 和△DEG 都是等腰直角三角形，∴△CEF ∽△AEB ，设AB =2，∵∠ADB =30°，∴BD =∵∠BDC =∠CBD =45°，CF ⊥BD ，∴CF=DF=BF =12BD∴EF CF BE AB ==，设EF ，则2BE x =，∴(2BF CF DF x ===+，∴(2CD x x ===，((22DE DF EF x x =+==+，∴(222EG DG DE x x ===+=，∴(CG CD DG x x =-=-=，∴tan 1x EG ACD CG∠==.故选：B.【点睛】本题以学生常见的三角板为载体，考查了锐角三角函数和特殊角的三角函数值、30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，构图简洁，但有相当的难度，正确添加辅助线、熟练掌握等腰直角三角形的性质和锐角三角函数的知识是解题的关键.二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分，将答案填在答题纸上）11.若1x =为一元二次方程210x mx ++=的一个根，则m =__________．【答案】-2【解析】【分析】把x =1代入已知方程可得关于m 的方程，解方程即可求得答案.【详解】解：∵1x =为一元二次方程210x mx ++=的一个根，∴110m ++=，解得：m =－2.故答案为：－2.【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，属于应知应会题型，熟练掌握一元二次方程的解的概念是解题关键.12.若有一组数据为8、4、5、2、1，则这组数据的中位数为__________．【答案】4【解析】【分析】根据中位数的定义求解即可.【详解】解：将数据8、4、5、2、1按从小到大的顺序排列为：1、2、4、5、8，所以这组数据的中位数为4.故答案为：4.【点睛】本题考查了中位数的定义，属于基本题型，解题的关键是熟知中位数的概念.13.若关于x 的一元二次方程x 2﹣4x +m ＝0没有实数根，则m 的取值范围是_____．【答案】m ＞4【解析】【分析】根据根的判别式即可求出答案．【详解】解：由题意可知：△＜0，∴()2=441640m m ∆--=<﹣， ∴m ＞4故答案为m ＞4【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式．14.如图，在ABCD Y 中，13BE DF BC ==，若1BEG S ∆=，则ABF S ∆=__________．【答案】6【解析】【分析】先根据平行四边形的性质证得△BEG ∽△F AG ，从而可得相似比，然后根据同高的两个三角形的面积等于底边之比可求得ABG S ∆，根据相似三角形的性质可求得AFG S ∆，进而可得答案.【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，AD ∥BC ，∴△BEG ∽△F AG ， ∵13BE DF BC ==， ∴12EG BE AG AF ==， ∴211,24BEG BEG ABG AFG S S EG BE S AG S AF ∆∆∆∆⎛⎫==== ⎪⎝⎭，∵1BEG S ∆=，∴2ABG S ∆=，4AFG S ∆=，∴6ABF ABG AFG S S S ∆∆∆=+=.故答案为：6.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及三角形的面积等知识，属于常考题型，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键.15.如图，ABC ∆是O e 的内接三角形，45BAC ∠=︒，»BC 的长是54π，则O e 的半径是__________．【答案】52【解析】【分析】连接OB 、OC ，如图，由圆周角定理可得∠BOC 的度数，然后根据弧长公式即可求出半径.【详解】解：连接OB 、OC ，如图，∵45BAC ∠=︒，∴∠BOC =90°，∵»BC 的长是54π， ∴9051804OB ππ⋅=， 解得：52OB =. 故答案为：52.【点睛】本题考查了圆周角定理和弧长公式，属于基本题型，熟练掌握上述基本知识是解答的关键.16.已知实数,,a b c 满足0a ≠，且0a b c -+=，930a b c ++=，则抛物线2y ax bx c =++图象上的一点(2,4)-关于抛物线对称轴对称的点为__________．【答案】(4,4)【解析】【分析】先根据题意确定抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性解答即可.【详解】解：∵0a b c -+=，930a b c ++=，∴点（－1，0）与（3，0）在抛物线2y ax bx c =++上，∴抛物线的对称轴是直线：x =1，∴点(2,4)-关于直线x =1对称的点为：（4，4）.故答案为：（4，4）.【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，属于常考题型，根据题意判断出点（－1，0）与（3，0）在抛物线上、熟练掌握抛物线的对称性是解题的关键.17.如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点,,,A B C D 为格点（即小正方形的顶点），AB 与CD 相交于点O ，则AO 的长为_________．【解析】【分析】如图所示，由网格的特点易得△CEF ≌△DBF ，从而可得BF 的长，易证△BOF ∽△AOD ，从而可得AO 与AB 的关系，然后根据勾股定理可求出AB 的长，进而可得答案.【详解】解：如图所示，∵∠CEB =∠DBF =90°，∠CFE =∠DFB ，CE=DB =1，∴△CEF ≌△DBF ，∴BF =EF =12BE =12，∵BF∥AD，∴△BOF∽△AOD，∴11248 BO BFAO AD===，∴89AO AB=，∵AB=∴9AO=故答案为：9【点睛】本题以网格为载体，考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解答的关键.18.如图，已知二次函数3(1)(4)4y x x=-+-的图象与x轴交于,A B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点,C P为该二次函数在第一象限内的一点，连接AP，交BC于点K，则PKAK的最大值为__________.【答案】4 5【解析】【分析】由抛物线的解析式易求出点A、B、C的坐标，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，过点P作PQ∥x轴交直线BC于点Q，则△PQK∽△ABK，可得PK PQAK AB=，而AB易求，这样将求PKAK的最大值转化为求PQ的最大值，可设点P的横坐标为m，注意到P、Q的纵坐标相等，则可用含m的代数式表示出点Q的横坐标，于是PQ可用含m的代数式表示，然后利用二次函数的性质即可求解.【详解】解：对二次函数2339(1)(4)3444y x x x x =-+-=-++， 令x =0，则y =3，令y =0，则3(1)(4)04x x -+-=， 解得：121,4x x =-=，∴C (0，3)，A (－1，0)，B (4，0)，设直线BC 的解析式为：y kx b =+，把B 、C 两点代入得：340b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的解析式为：334y x =-+， 过点P 作PQ ∥x 轴交直线BC 于点Q ，如图，则△PQK ∽△ABK ， ∴PK PQ AK AB=， 设P （m ，239344m m -++）， ∵P 、Q 的纵坐标相等， ∴当239344y m m =-++时，233933444x m m -+=-++， 解得：23x m m =-，∴()2234PQ m m m m m =--=-+，又∵AB =5， ∴()224142555PK m m m AK -+==--+. ∴当m =2时，PK AK 的最大值为45. 故答案为：45.【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点、二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定和性质等知识，难度较大，属于填空题中的压轴题，解题的关键是利用相似三角形的判定和性质将所求PK AK的最大值转化为求PQ 的最大值、熟练掌握二次函数的性质. 三、解答题：本大题共10小题，共84分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.（10(2020)2tan 60π--︒（2）解方程：2210x x --=【答案】（1）1；（2）1211x x ==【解析】【分析】（1）原式分别根据二次根式的性质、0指数幂的运算法则和特殊角的三角函数值计算各项，再合并即可； （2）利用配方法求解即可.【详解】解：（1）原式1=-1=；（2）原方程可变形为：2212x x -+=，即()212x -=，∴1x -=∴1211x x ==.【点睛】本题考查了二次根式的性质、0指数幂的运算法则和特殊角的三角函数值以及一元二次方程的解法等知识，属于基本题型，熟练掌握上述基本知识是解题关键.20.如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的三个顶点的坐标分别为点(1,0)A 、(3,0)B 、(0,1)C .（1）ABC ∆的外接圆圆心M 的坐标为 .（2）①以点M 为位似中心，在网格区域内画出DEF ∆，使得DEF ∆与ABC ∆位似，且点D 与点A 对应，位似比为2：1，②点D 坐标为 .（3）DEF ∆的面积为 个平方单位.【答案】（1）(2,2)；（2）①见解析；②(4,6)；（3）4【解析】【分析】（1）由于三角形的外心是三边垂直平分线的交点，故只要利用网格特点作出AB与AC的垂直平分线，其交点即为圆心M；（2）根据位似图形的性质画图即可；由位似图形的性质即可求得点D坐标；（3）利用（2）题的图形，根据三角形的面积公式求解即可.【详解】解：（1）如图1，点M是AB与AC的垂直平分线的交点，即为△ABC的外接圆圆心，其坐标是（2，2）；故答案为：（2，2）；如图2所示；②点D坐标为（4，6）；（2）①DEF故答案为：（4，6）；（3）DEF ∆的面积=11242422DE ⨯=⨯⨯=个平方单位. 故答案为：4. 【点睛】本题考查了三角形外心的性质、坐标系中位似图形的作图和三角形的面积等知识，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题关键.21.某校根据课程设置要求，开设了数学类拓展性课程，为了解学生最喜欢的课程内容，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人必须且只选中其中一项），并将统计结果绘制成如下统计图（不完整），请根据图中信息回答问题：（1）求m ，n 的值．（2）补全条形统计图．（3）该校共有1200名学生，试估计全校最喜欢“数学史话”的学生人数．【答案】（1）15%m =，15%n =；（2）见解析；（3）300人.【解析】【分析】（1）用选A 的人数除以其所占的百分比即可求得被调查的总人数，然后根据百分比＝其所对应的人数÷总人数分别求出m 、n 的值j 即可；（2）用总数减去其他各小组的人数即可求得选D 的人数，从而补全条形统计图；（3）用样本估计总体即可确定全校最喜欢“数学史话”的学生人数．【详解】（1）抽取的学生人数为1220%60÷=人，所以156025%,96015%m n =÷==÷=．（2）最喜欢“生活应用”的学生数为6030%18⨯=（人）．条形统计图补全如下：（3）该要校共有1200名学生，可估计全校最喜欢“数学史话”学生有；120025%300⨯=人．【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图的应用，从条形统计图、扇形统计图中获取必要的信息是解决问题的关键．22.在一个不透明的盒子中装有4张卡片，4张卡片的正面分别标有数字1、2、3、4，这些卡片除数字外都相同，将卡片搅匀.（1）从盒子任意抽取一张卡片，恰好抽到标有奇数卡片的概率是 ；（2）先从盒子中任意抽取一张卡片，再从余下的3张卡片中任意抽取一张卡片，求抽取的2张卡片标有数字之和大于5的概率（请用画树状图或列表等方法求解）.【答案】（1）12；（2）13【解析】【分析】（1）用标有奇数卡片的张数除以卡片的总张数即得结果； （2）利用树状图画出所有出现的结果数，再找出2张卡片标有数字之和大于5的结果数，然后利用概率公式计算即可. 【详解】解：（1）标有奇数卡片的是1、3两张，所以恰好抽到标有奇数卡片的概率=2142=. 故答案为：12； （2）画树状图如下：的由图可知共有12种等可能的结果，其中抽取的2张卡片标有数字之和大于5的结果数有4种， 所以抽取的2张卡片标有数字之和大于5的概率=41123=. 【点睛】本题考查了利用画树状图或列表的方法求两次事件的概率，属于常考题型，掌握求解的方法是解题的关键.23.如图，已知AB 是⊙O 上的点，C 是⊙O 上的点，点D 在AB 的延长线上，∠BCD=∠BAC． ．1）求证：CD 是⊙O 的切线；．2）若∠D=30°．BD=2，求图中阴影部分的面积．【答案】．1）证明见解析；（2）阴影部分面积为43π【解析】【分析】（1）连接OC．易证∠BCD=∠OCA ，由于AB 是直径，所以∠ACB=90°，所以∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°．CD 是⊙O 的切线．．2）设⊙O 的半径为r．AB=2r ，由于∠D=30°．∠OCD=90°，所以可求出r=2．∠AOC=120°．BC=2，由勾股定理可知：OAC 的面积以及扇形OAC 的面积即可求出阴影部分面积.【详解】（1．如图，连接OC．∵OA=OC．∴∠BAC=∠OCA．∵∠BCD=∠BAC．∴∠BCD=∠OCA．∵AB 是直径，∴∠ACB=90°．∴∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°∴∠OCD=90°∵OC 是半径，∴CD 是⊙O 的切线．2）设⊙O 的半径为r．∴AB=2r．∵∠D=30°．∠OCD=90°．∴OD=2r．∠COB=60°∴r+2=2r．∴r=2．∠AOC=120°∴BC=2．∴由勾股定理可知：易求S △AOC =12S 扇形OAC =120443603ππ⨯=．∴阴影部分面积为43π【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.24.如图，90ABD BCD ︒∠=∠=，DB 平分∠ADC ，过点B 作BM CD ‖交AD 于M ．连接CM 交DB 于N ．（1）求证：2BD AD CD =⋅；（2）若68CD AD ==，，求MN 的长．【答案】（1）见解析；（2）MN =【解析】【分析】 （1）通过证明ABD BCD ∆∆∽，可得AD BD BD CD=，可得结论； （2）由平行线的性质可证MBD BDC ∠∠＝，即可证4AM MD MB ＝＝＝，由2BD AD CD ⋅＝和勾股定理可求MC 的长，通过证明MNB CND ∆∆∽，可得23BM MN CD CN ==，即可求MN 的长．【详解】证明：（1）∵DB 平分ADC ∠，ADB CDB ∴∠∠＝，且90ABD BCD ∠∠︒＝＝，ABD BCD ∴∆∆∽ADBDBD CD ∴=2BD AD CD ∴⋅＝（2）//BM CD QMBD BDC ∴∠∠＝ADB MBD ∴∠∠＝，且90ABD ∠︒＝BM MD MAB MBA ∴∠∠＝，＝4BM MD AM ∴＝＝＝2BD AD CD ⋅Q ＝，且68CD AD ＝，＝，248BD ∴＝，22212BC BD CD ∴＝﹣＝22228MC MB BC ∴+＝＝MC ∴＝//BM CD QMNB CND ∴∆∆∽23BMMNCD CN ∴==且MC =MN ∴=【点睛】考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求MC 的长度是本题的关键． 25.2019年12月27日，我国成功发射了“长征五号”遥三运载火箭.如图，“长征五号”运载火箭从地面A 处垂直向上发射，当火箭到达B 处时，从位于地面M 处的雷达站测得此时仰角45AMB ∠=︒，当火箭继续升空到达C 处时，从位于地面N 处的雷达站测得此时仰角30ANC ∠=o ，已知120MN km =，40BC km =. （1）求AB 的长；（2）若“长征五号”运载火箭在C 处进行“程序转弯”，且105ACD ∠=o ，求雷达站N 到其正上方点D 的距离.【答案】（1）AB =；（2）160km【解析】【分析】（1）设AB 为xkm ，根据题意可用含x 代数式依次表示出AM 、AC 、AN 的长，然后在直角△CAN 中利用解直角三角形的知识即可求出x 的值，进而可得答案；（2）由（1）的结果可得CN 的长，作DH CN ⊥，垂足为点H ，如图，根据题意易得∠DCN 和∠DNC 的度数，设HN=y ，则可用y 的代数式表示出CH ，根据CH+HN=CN 可得关于y 的方程，解方程即可求出y 的值，进一步即可求出结果.【详解】解：（1）设AB 为xkm ，∵45AMB ∠=︒，∴45ABM ∠=︒，则AM AB ==xkm ，在Rt ACN ∆中，∵30ANC ∠=︒，AC=AB+BC=x +40，AN=AM+MN=x +120，∴tan 60AN AC =︒=g ，)120x x +=+，解得：x =∴AB =；（2）作DH CN ⊥，垂足为点H ，如图，由（1）可得，40AC =，∵30ANC ∠=︒，∴80CN =，∵105ACD ∠=︒，∴45NCD ∠=︒，∴CH=DH ，∵90AND ∠=︒，∴60CND ∠=︒，设HN 为y ，则DH CH ==，80y +=，解得：80y =，∴2160DN y ==.答：雷达站N 到其正上方点D 的距离为160km .【点睛】本题以“长征五号”遥三运载火箭发射为背景，是解直角三角形的典型应用题，主要考查了解直角三角形的知识，属于常考题型，正确添加辅助线构造直角三角形、熟练掌握锐角三角函数的知识是解题关键.26.某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y=﹣x+26．（1）求这种产品第一年的利润W1（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式；（2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？（3）第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元．【答案】（1）W1=﹣x2+32x﹣236；（2）该产品第一年的售价是16元；（3）该公司第二年的利润W2至少为18万元．【解析】【分析】（1）根据总利润=每件利润×销售量﹣投资成本，列出式子即可；（2）构建方程即可解决问题；（3）根据题意求出自变量的取值范围，再根据二次函数，利用而学会设的性质即可解决问题.【详解】（1）W1=（x﹣6）（﹣x+26）﹣80=﹣x2+32x﹣236．（2）由题意：20=﹣x2+32x﹣236．解得：x=16，答：该产品第一年的售价是16元．（3）由题意：7≤x≤16，W2=（x﹣5）（﹣x+26）﹣20=﹣x2+31x﹣150，∵7≤x≤16，∴x=7时，W2有最小值，最小值=18（万元），答：该公司第二年的利润W2至少为18万元．【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或函数解决问题.27.如图，已知二次函数22=-++>的图象与x轴交于,A B两点（点A在点B的左侧），y x mx m m23(0)与y轴交于点C，顶点为点D.（1）点B 的坐标为 ，点D 的坐标为 ；（用含有m 的代数式表示）（2）连接,CD BC .①若CB 平分OCD ∠，求二次函数的表达式；②连接AC ，若CB 平分ACD ∠，求二次函数的表达式.【答案】（1）(3,0)m ，2(,4)m m ；（2）①21y x x =-++，②295y x x =-++ 【解析】【分析】 （1）令y =0，解关于x 的方程，解方程即可求出x 的值，进而可得点B 的坐标；把抛物线的解析式转化为顶点式，即可得出点D 的坐标；（2）①如图1，过点D 作DH AB ⊥，交BC 于点E ，作DF ⊥y 轴于点F ，则易得点C 的坐标与CF 的长，利用BH 的长和∠B 的正切可求出HE 的长，进而可得DE 的长，由题意和平行线的性质易推得CD DE =，然后可得关于m 的方程，解方程即可求出m 的值，进而可得答案；（3）如图2，过点B 作BK ∥y 轴，过点C 作CK ∥x 轴交BK 于点K ，交DH 于点G ，连接AE ，利用锐角三角函数、抛物线的对称性和等腰三角形的性质可推出1234∠=∠=∠=∠，进而可得AC AE =，然后利用勾股定理可得关于m 的方程，解方程即可求出m ，问题即得解决.【详解】解：（1）令y =0，则22302x mx m -+=+，解得：123,x m x m ==-，∴点B 的坐标为(3,0)m ；∵()2222243y x mx m x m m =-+-++=-，∴点D 的坐标为2(,4)m m ；故答案为：(3,0)m ，2(,4)m m ；（2）①如图1，过点D 作DH AB ⊥于点H ，交BC 于点E ，作DF ⊥y 轴于点F ，则2(0,3)C m ，(,0)A m -，DF=m ，CF =22243m m m -=，∵BC 平分OCD ∠，∴∠BCO =∠BCD ，∵DH ∥OC ，∴∠BCO =∠DEC ，∴∠BCD =∠DEC ，∴CD DE =， ∵23tan 3OC m ABC m OB m∠===，BH =2m ， ∴22HE m =，∴222422DE DH HE m m m =-=-=，∵CD DE =，∴22CD DE =，∴2444m m m +=，解得：m =（m =舍去），∴二次函数的关系式为：21y x x =-+；②如图2，过点B 作BK ∥y 轴，过点C 作CK ∥x 轴交BK 于点K ，交DH 于点G ，连接AE ， ∵223tan 1,tan 23DG m BK m m m CG m CK m∠===∠===，∴tan 1tan 2∠=∠，∴12∠=∠，∵EA=EB ，∴∠3=∠4，又∵23∠∠=，∴1234∠=∠=∠=∠，∵12DCB ∠=∠+∠，34AEC ∠=∠+∠，∴DCB AEC ACE ∠=∠=∠，∴AC AE =，∴2222AC AE EH AH ==+，即2442944m m m m +=+，解得：m =（m =舍去），∴二次函数的关系式为：295y x x =-++.【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、抛物线图象上点的坐标特征、角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角性质、勾股定理、锐角三角函数和一元二次方程的解法等知识，综合性强、难度较大，正确作出辅助线、利用勾股定理构建方程、熟练掌握上述知识是解答的关键.28.如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，60BAC ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，过点D 作DE AC P 交AB 于点E ，点M 是线段AD 上的动点，连结BM 并延长分别交DE ，AC 于点F 、G .（1）求CD 的长.（2）若点M 是线段AD 的中点，求EF DF的值. （3）请问当DM 的长满足什么条件时，在线段DE 上恰好只有一点P ，使得60CPG ∠=︒?【答案】（1）DC =；（2）23EF DF =；（3）当DM =DM <<点P 只有一个.【解析】【分析】（1）由角平分线定义得30DAC ∠=︒，在Rt ADC ∆中，根据锐角三角函数正切定义即可求得DC 长.（2）由题意易求得BC =，BD =ASA 得DFM AGM ∆≅∆，根据全等三角形性质得DF AG =，根据相似三角形判定得~BFE BGA ∆∆，由相似三角形性质得EF BE BD AG AB BC==，将DF AG =代入即可求得答案.（3）由圆周角定理可得CQG ∆是顶角为120°的等腰三角形，再分情况讨论：①当Q e 与DE 相切时，结合题意画出图形，过点Q 作QH AC ⊥，并延长HQ 与DE 交于点P ，连结QC ，QG ，设Q e 半径为r ，由相似三角形的判定和性质即可求得DM 长； ②当Q e 经过点E 时，结合题意画出图形，过点C 作CK AB ⊥，设Q e 半径为r ，在Rt EQK ∆中，根据勾股定理求得r ，再由相似三角形的判定和性质即可求得DM 长；③当Q e 经过点D 时，结合题意画出图形，此时点M 与点G 重合，且恰好在点A 处，由此可得DM 长.【详解】（1）解：∵AD 平分BAC ∠，60BAC ∠=︒， ∴1302DAC BAC ∠=∠=︒．在Rt ADC ∆中，tan 30DC AC =⋅︒=（2）解：易得，BC =BD =由DE AC P ，得EDA DAC ∠=∠，DFM AGM ∠=∠．∵AM DM =，∴DFM AGM ∆≅∆，∴AG DF =．由DE AC P ，得~BFE BGA ∆∆， ∴EF BE BD AG AB BC==∴23EF EF BD DF AG BC ==== （3）解：∵60CPG ∠=︒，过C ，P ，G 作外接圆，圆心为Q ，∴CQG ∆是顶角为120°的等腰三角形.①当Q e 与DE 相切时，如图1，过Q 点作QH AC ⊥，并延长HQ 与DE 交于点P ，连结QC ，QG设Q e 的半径QP r =则12QH r =，12r r +=解得r =∴4CG ==，2AG =． 易知DFM AGM ∆∆:，可得43DM DF AM AG ==，则47DM AD =∴DM =②当Q e 经过点E 时，如图2，过C 点作CK AB ⊥，垂足为K ．设Q e 的半径QC QE r ==，则QK r =．在Rt EQK ∆中，()2212r r +=，解得r =，∴143CG ==易知DFM AGM ∆∆:，可得DM =③当Q e 经过点D 时，如图3，此时点M 与点G 重合，且恰好在点A 处，可得DM =综上所述，当DM =DM <<P 只有一个. 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．点(1,)-P k 在反比例函数y ＝3x -的图象上，则k 的值是（ ） A ．1B ．3C ．﹣1D ．﹣3 【答案】B【解析】把P （﹣1，k ）代入函数解析式即可求k 的值．【详解】把点P （﹣1，k ）代入y ＝3x -得到：k ＝31--＝1． 故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标适合解析式是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线OA 过点(4，2)，则tan α的值是( )A ．12B ．5C ．5D ．2【答案】A【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数和图象中的数据即可解答本题．【详解】如图：过点（4，2）作直线CD ⊥x 轴交OA 于点C ，交x 轴于点D ，∵在平面直角坐标系中，直线OA 过点（4，2），∴OD=4，CD=2，∴tanα=CD OD ＝24＝12， 故选A ．【点睛】本题考查解直角三角形、坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．3．若关于x 的方程220x x a --=，它的一根为3，则另一根为（ ）A ．3B ．3-C ．1-D ．c【答案】C 【分析】设方程的另一根为t ，根据根与系数的关系得到3+t=2，然后解关于t 的一次方程即可．【详解】设方程的另一根为t ，根据题意得：3+t=2，解得：t=-1，即方程的另一根为-1．故选：C ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：12x x 、是一元二次方程20x px q ++=的两根时，12x x p +=-，12x x q =．4．把抛物线22y x =-向右平移l 个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） A ．22(1)3y x =-+-B ．22(1)3y x =--+C ．22(1)3y x =-++D ．22(1)3y x =---【答案】D【分析】根据题意原抛物线的顶点坐标为（0，0），根据平移规律得平移后抛物线顶点坐标为（1，-3），根据抛物线的顶点式求解析式．【详解】解：抛物线形平移不改变解析式的二次项系数，平移后顶点坐标为（1，-3），∴平移后抛物线解析式为22(1)3y x =---．故选：D ．【点睛】本题考查抛物线的平移与抛物线解析式的联系，关键是把抛物线的平移转化为顶点的平移，利用顶点式求解析式．5．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）A ．平行四边形B ．等腰三角形C ．矩形D ．正方形 【答案】B【分析】根据轴对称图形的概念和中心对称图形的概念进行分析判断．【详解】解： 选项A ，平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，错误；选项B ，等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，正确．选项C ，矩形是轴对称图形，也是中心对称图形；错误；选项D ，正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，错误；故答案选B ．【点睛】本题考查轴对称图形的概念和中心对称图形的概念，正确理解概念是解题关键．6．已知点()()121,,2,A y B y 在抛物线2(1)2y x =-++上，则下列结论正确的是（ ）A ．122y y >>B ．212y y >>C ．122y y >>D ．212y y >> 【答案】A【分析】分别计算自变量为1和2对应的函数值，然后对各选项进行判断．【详解】当x=1时,y1=−(x+1) 2+2=−(1+1) 2+2=−2；当x=2时,y 1=−(x+1) 2+2=−(2+1) 2+2=−7；所以122y y >>.故选A【点睛】此题考查二次函数顶点式以及二次函数的性质，解题关键在于分析函数图象的情况7．用长分别为3cm ，4cm ，5cm 的三条线段可以围成直角三角形的事件是（ ）A ．必然事件B ．不可能事件C ．随机事件D ．以上都不是【答案】A【解析】试题解析：用长为3cm ，4cm ，5cm 的三条线段一定能围成一个三角形，则该事件是必然事件． 故选A ．8．抛物线y=2（x ﹣1）2+3的对称轴为（ ）A ．直线x=1B ．直线y=1C ．直线y=﹣1D ．直线x=﹣1【答案】A【解析】解：∵y =2（x ﹣1）2+3，∴该抛物线的对称轴是直线x =1．故选A ．9．一元二次方程23210x x --=的根的情况为（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．只有一个实数根 【答案】B【分析】直接利用判别式△判断即可．【详解】∵△=()()22431160---=>∴一元二次方程有两个不等的实根故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程根的情况，注意在求解判别式△时，正负号不要弄错了．10．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，其对称轴为x=1，下列结论：①abc>0；②2a+b=0；③4a+2b+c<0；④若(23-，y 1)，(83，y 2)是抛物线上两点，则y 1<y 2，其中正确的结论有( )个A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【分析】①由抛物线的开口方向、对称轴即与y 轴交点的位置，可得出a ＜0、b ＞0、c ＞0，进而即可得出abc ＜0，结论①错误；②由抛物线的对称轴为直线x=1，可得出2a+b=0，结论②正确；③由抛物线的对称性可得出当x=2时y ＞0，进而可得出4a+2b+c ＞0，结论③错误；④找出两点离对称轴的距离，比较后结合函数图象可得出y 1=y 2，结论④错误．综上即可得出结论．【详解】解：①∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，与y 轴交于正半轴，∴a ＜0，2b a-=1，c ＞0， ∴b=-2a ＞0，∴abc ＜0，结论①错误；②抛物线对称轴为直线x=1，∴2b a-=1， ∴b=-2a ，∴2a+b=0，结论②正确；③∵抛物线的对称轴为直线x=1，与x 轴的一个交点坐标是（-1，0），∴另一个交点坐标是（3，0）， ∴当x=2时，y ＞0，∴4a+2b+c ＞0，结论③错误；④21()3--=53，85133-=， ∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线开口向下，∴y 1=y 2，结论④错误；综上所述：正确的结论有②，1个，故选择：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．11．如图，点A 、B 、C 均在⊙O 上，若∠AOC ＝80°，则∠ABC 的大小是（ ）A ．30°B ．35°C ．40°D ．50°【答案】C 【分析】根据圆周角与圆心角的关键即可解答.【详解】∵∠AOC ＝80°， ∴102ABCAOC 4. 故选：C.【点睛】此题考查圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-4x+4的图像与x 轴,y 轴分别交于A,B 两点，正方形ABCD 的顶点C,D 在第一象限，顶点D 在反比例函数()y 0k k x=≠ 的图像上，若正方形ABCD 向左平移n 个单位后，顶点C 恰好落在反比例函数的图像上，则n 的值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【分析】由一次函数的关系式可以求出与x 轴和y 轴的交点坐标，即求出OA ，OB 的长，由正方形的性质，三角形全等可以求出DE 、AE 、CF 、BF 的长，进而求出G 点的坐标，最后求出CG 的长就是n 的值．【详解】如图过点D 、C 分别做DE ⊥x 轴，CF ⊥y 轴，垂足分别为E,F ．CF 交反比例函数的图像于点G ．把x=0和y=0分别代入y=-4x+4得y=4和x=1∴A(1,0),B(0,4)∴OA=1，OB=4由ABCD是正方形，易证△AOB≌△DEA≌△BCF（AAS）∴DE=BF=OA=1,AE=CF=OB=4∴D(5，1)，F(0,5)把D点坐标代入反比例函数y=kx，得k=5把y=5代入y=5x,得x=1,即FG=1CG=CF-FG=4-1=3,即n=3故答案为B．【点睛】本题考查了反比例函数的图像上的坐标特征，正方形的性质，以及全等三角形判断和性质，根据坐标求出线段长是解决问题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）13．已知一元二次方程230x x a++=的一个根为1，则a=__________．【答案】-4【分析】将x=1代入方程求解即可.【详解】将x=1代入方程得4+a=0，解得a=-4，故答案为：-4.【点睛】此题考查一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，已知方程的解时将解代入方程求参数即可.14．某园进行改造，现需要修建一些如图所示圆形（不完整）的门，根据实际需要该门的最高点C距离地面的高度为2.5m，宽度AB为1m，则该圆形门的半径应为_____m．【答案】7 5【分析】过圆心作弦AB的垂线，运用垂径定理和勾股定理即可得到结论．【详解】过圆心点O 作OE ⊥AB 于点E ，连接OC ，∵点C 是该门的最高点，∴=AC BC ，∴CO ⊥AB ，∴C ，O ，E 三点共线，连接OA ，∵OE ⊥AB ，∴AE=2AB =0.5m ， 设圆O 的半径为R ，则OE=2.5-R ，∵OA 2=AE 2+OE 2，∴R 2=（0.5）2+（2.5-R ）2，解得：R=75， 故答案为75． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．15．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，1=2AD DB ，则ADE BCED 的面积四边形的面积＝_____．【答案】18【分析】先利用平行条件证明三角形的相似,再利用相似三角形面积比等于相似比的平方,即可解题. 【详解】解：∵DE ∥BC ，AD 1=DB 2， ∴AD 1=AB 3,由平行条件易证△ADE ~△ABC,∴S △ADE :S △ABC =1:9, ∴ADE S ADE BCED S ABC S ADE 的面积四边形的面积=-=18. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,中等难度,熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键. 16．已知：25(2)my m x -=-是反比例函数，则m=__________． 【答案】-2【解析】根据反比例函数的定义．即y=k x （k≠0），只需令m 2-5=-1、m-2≠0即可． 【详解】因为y=(m −2)25 m x -是反比例函数，所以x 的指数m 2−5=−1，即m 2=4，解得：m=2或−2；又m −2≠0，所以m≠2，即m=−2.故答案为：−2.【点睛】本题考查的知识点是反比例函数的定义，解题的关键是熟练的掌握反比例函数的定义.17．已知一元二次方程x 2＋kx －3＝0有一个根为1，则k 的值为__________．【答案】2【分析】把x=1代入已知方程，列出关于k 的新方程，通过解新方程来求k 的值．【详解】∵方程x 2+kx−3=0的一个根为1，∴把x=1代入，得12+k×1−3=0，解得，k=2.故答案是：2.【点睛】本题考查了一元二次方程的知识点，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程解的应用.18．二次函数()2y ax bx c a 0=++≠中的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：则2ax bx c 0++=的解为________．【答案】x 2=-或1【分析】由二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）过点（-1，-2），（0，-2），可求得此抛物线的对称轴，又由此抛物线过点（1，0），即可求得此抛物线与x 轴的另一个交点．继而求得答案.【详解】解：∵二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）过点（-1，-2），（0，-2），∴此抛物线的对称轴为：直线x=-12， ∵此抛物线过点（1，0），∴此抛物线与x 轴的另一个交点为：（-2，0），∴ax 2+bx+c=0的解为：x=-2或1． 故答案为x=-2或1.【点睛】此题考查了抛物线与x 轴的交点问题．此题难度适中，注意掌握二次函数的对称性是解此题的关键.三、解答题（本题包括8个小题） 19．关于x 的一元二次方程220x mx m ++-=（1）若方程的一个根为1，求方程的另一个根和m 的值（2）求证：不论m 取何实数，方程总有两个不相等的实数根．【答案】（1）12m =，另一个根是32-；（2）详见解析． 【分析】（1）代入x=1求出m 值，从而得出方程，解方程即可；（2）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＞0，由此可证出：不论m 取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．【详解】解：（1）把1x =代入原方程得120m m ++-=解得：12m = 当12m =时，原方程为213022x x +-= 解得：1231,2x x ==- ∴方程的另一个根是32- （2）证明：224(m 2)(2)4m m ∆=--=-+∵2(2)0m -≥∴2(2)40,m -+≥0∆>即∴不论m 取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，由判别式的符号得到方程根的情况是解题的关键．20．用一段长为28m的铁丝网与一面长为8m的墙面围成一个矩形菜园，为了使菜园面积尽可能的大，给出了甲、乙两种围法，请通过计算来说明这个菜园长、宽各为多少时，面积最大？最大面积是多少？【答案】当矩形的长、宽分别为9m、9m时，面积最大，最大面积为81m1．【分析】根据矩形的面积公式甲图列出算式可以直接求面积，乙图设垂直于墙的一边为x，则另一边为（18﹣x）（包括墙长）列出二次函数解析式即可求解．【详解】解：如图甲：设矩形的面积为S，则S＝8×12（18﹣8）＝2．所以当菜园的长、宽分别为10m、8m时，面积为2；如图乙：设垂直于墙的一边长为xm，则另一边为12（18﹣1x﹣8）+8＝（18﹣x）m．所以S＝x（18﹣x）＝﹣x1+18x＝﹣（x﹣9）1+81因为﹣1＜0，当x＝9时，S有最大值为81，所以当矩形的长、宽分别为9m、9m时，面积最大，最大面积为81m1．综上：当矩形的长、宽分别为9m、9m时，面积最大，最大面积为81m1．【点睛】本题考查了二次函数的应用，难度一般，关键在于找到等量关系列出方程求解，另外注意配方法求最大值在实际中的应用21．一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外无其它差别，其中红球有2个，若从中随机摸出一个，这个球是白球的概率为23．（1）求袋子中白球的个数；（2）随机摸出一个球后，不放回，再随机摸出一个球，请结合树状图或列表求两次都摸到相同颜色的小球的概率．【答案】（1）袋子中白球有4个；（2）7 15【分析】（1）设白球有 x 个，利用概率公式得方程，解方程即可求解；（2）画树状图展示所有30种等可能的结果数，再找出两次摸到颜色相同的小球的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】（1）设袋中白球有x个，由题意得：2 23xx=+，解之，得：4x=，经检验，4x=是原方程的解，故袋子中白球有4个；（2）设红球为A、B，白球为a b c d，，，，列举出两次摸出小球的所有可能情况有：共有30种等可能的结果，其中，两次摸到相同颜色的小球有14种，故两次摸到相同颜色的小球的概率为：1473015P==．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A 或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．22．如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，点C坐标为（﹣1，0），点A坐标为（0，2）．一次函数y＝kx+b的图象经过点B、C，反比例函数y＝mx的图象经过点B．（1）求一次函数和反比例函数的关系式；（2）直接写出当x＜0时，kx+b﹣mx＜0的解集；（3）在x轴上找一点M，使得AM+BM的值最小，直接写出点M的坐标和AM+BM的最小值．【答案】（1）y＝﹣12x﹣12，y＝﹣3x；（2）﹣3＜x＜0；（3）点M的坐标为（﹣2，0），AM+BM的最小值为2．【分析】（1）过点B作BF⊥x轴于点F，由△AOC≌△CFB求得点B的坐标，利用待定系数法可求出一次函数和反比例函数的关系式；（2）当x＜0时，求出一次函数值y＝kx+b小于反比例函数y＝mx的x的取值范围，结合图形即可直接写出答案．（3）根据轴对称的性质，找到点A 关于x 的对称点A′，连接BA′，则BA′与x 轴的交点即为点M 的位置，求出直线BA′的解析式，可得出点M 的坐标，根据B 、A′的坐标可求出AM+BM 的最小值．【详解】解：（1）过点B 作BF ⊥x 轴于点F ，∵点C 坐标为(﹣1,0)，点A 坐标为（0,2）．∴OA ＝2，OC ＝1，∵∠BCA ＝90°，∴∠BCF+∠ACO ＝90°，又∵∠CAO+∠ACO ＝90°，∴∠BCF ＝∠CAO ，在△AOC 和△CFB 中90CAO BCF AOC CFB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△AOC ≌△CFB （AAS ），∴FC ＝OA ＝2，BF ＝OC ＝1，∴点B 的坐标为（﹣3，1），将点B 的坐标代入反比例函数解析式可得： 13k -=-， 解得：k ＝﹣3，故可得反比例函数解析式为y ＝﹣3x； 将点B 、C 的坐标代入一次函数解析式可得：310k b k b -+=⎧⎨-+=⎩， 解得：1212k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 故可得一次函数解析式为1122y x =--．（2）结合点B 的坐标及图象，可得当x ＜0时，m kx b x+-＜0的解集为：﹣3＜x ＜0； （3）作点A 关于x 轴的对称点A′，连接 B A′与x 轴 的交点即为点M ，∵A （0，2），作点A 关于x 轴的对称点A′，∴A′（0，﹣2），设直线BA′的解析式为y ＝ax+b ，将点A′及点B 的坐标代入可得：312a b b -+=⎧⎨=-⎩解得：12a b =-⎧⎨=-⎩， 故直线BA′的解析式为y ＝﹣x ﹣2，令y ＝0，可得﹣x ﹣2＝0，解得：x ＝﹣2，故点M 的坐标为（﹣2，0），AM+BM ＝BM+MA′＝BA′＝()()22301232--++= 综上可得：点M 的坐标为（﹣2，0），AM+BM 的最小值为32【点睛】本题考查的是全等三角形判断和性质、待定系数法求一次函数和反比例函数及其性质、根据对称性求最短路线问题．确定一次函数和反比例函数式是解决问题的关键．23．2018年非洲猪瘟疫情暴发后，专家预测，2019年我市猪肉售价将逐月上涨，每千克猪肉的售价y 1（元）与月份x （1≤x≤12，且x 为整数）之间满足一次函数关系，如下表所示．每千克猪肉的成本y 2（元）与月份x （1≤x≤12，且x 为整数）之间满足二次函数关系，且3月份每千克猪肉的成本全年最低，为9元，如图所示． 月份x… 3 4 5 6 … 售价y 1/元 … 12 14 16 18 …（1）求y 1与x 之间的函数关系式．（2）求y 2与x 之间的函数关系式．（3）设销售每千克猪肉所获得的利润为w （元），求w 与x 之间的函数关系式，哪个月份销售每千克猪肉所第获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）y 1＝2x+6；（2）y 2＝14x 2﹣32x+454；（3）w ＝﹣14x 2+72x ﹣214，1月份销售每千克猪肉所第获得的利润最大，最大利润是11元1．【分析】（1）设1y 与x 之间的函数关系式为1y kx b =+，将（3，12）（4，14）代入1y 解方程组即可得到结论；（2）由题意得到抛物线的顶点坐标为（3，9），设2y 与x 之间的函数关系式为：2y ＝239a x -+（），将（5，10）代入2y ＝239a x -+（）得2539a -+（）＝10，解方程即可得到结论；（3）由题意得到w ＝1y −2y ＝2x ＋6−142x ＋32x−454＝−142x ＋72x−214，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）设y 1与x 之间的函数关系式为y 1＝kx+b ，将（3，12）（4，14）代入y 1得，312414k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：26k b =⎧⎨=⎩， ∴y 1与x 之间的函数关系式为：y 1＝2x+6；（2）由题意得，抛物线的顶点坐标为（3，9），∴设y 2与x 之间的函数关系式为：y 2＝a （x ﹣3）2+9，将（5，10）代入y 2＝a （x ﹣3）2+9得a （5﹣3）2+9＝10，解得：a ＝14， ∴y 2＝14（x ﹣3）2+9＝14x 2﹣32x+454； （3）由题意得，w ＝y 1﹣y 2＝2x+6﹣14x 2+32x ﹣454＝﹣14x 2+72x ﹣214， ∵﹣14＜0， ∴w 由最大值，∴当x ＝﹣2b a＝﹣72124⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭＝1时，w 最大＝﹣14×12+72×1﹣214＝1． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数求函数解析式、由相等关系得出利润的函数解析式、利用二次函数的图象与性质是解题的关键． 24．如图，反比例函数y ＝k x（x ＞0）和一次函数y ＝mx+n 的图象过格点（网格线的交点）B 、P ．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）观察图象，直接写出一次函数值大于反比例函数值时x 的取值范围是： ．（3）在图中用直尺和2B 铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件： ①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O ，点P ；②矩形的面积等于k 的值．【答案】（1）y ＝4x，y ＝﹣12x +3；（2）2＜x ＜1；（3）见解析 【分析】（1）利用待定系数法即可求出反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象即可求得；（3）根据矩形满足的两个条件画出符合要求的两个矩形即可．【详解】（1）∵反比例函数y ＝k x （x ＞0）的图象过格点P （2，2）， ∴k ＝2×2＝1，∴反比例函数的解析式为y ＝4x， ∵一次函数y ＝mx+n 的图象过格点P （2，2），B （1，1），∴2241m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得123m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴一次函数的解析式为y ＝﹣12x +3； （2）一次函数值大于反比例函数值时x 的取值范围是2＜x ＜1，故答案为2＜x ＜1．（3）如图所示：矩形OAPE、矩形ODFP即为所求作的图形．【点睛】此题是一道综合题，考查待定系数法求函数解析式、矩形的性质，（3）中画矩形时把握矩形特点即可正确解答.25．如图，点P是AB上一动点，连接AP，作∠APC=45°，交弦AB于点C．AB=6cm．小元根据学习函数的经验，分别对线段AP，PC，AC的长度进行了测量．下面是小元的探究过程，请补充完整：（1）下表是点P是AB上的不同位置，画图、测量，得到线段AP，PC，AC长度的几组值，如下表：AP/cm 0 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00PC/cm 0 1.21 2.09 2.69 m 2.82 0AC/cm 0 0.87 1.57 2.20 2.83 3.61 6.00①经测量m的值是（保留一位小数）．②在AP，PC，AC的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，______的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△ACP为等腰三角形时，AP的长度约为cm（保留一位小数）．【答案】（1）①3.0；②AP的长度是自变量，PC的长度和AC的长度都是这个自变量的函数；（答案不唯一）;(2)见解析; （3）2.3或4.2【分析】（1）①根据题意AC的值分析得出PC的值接近于半径；②由题意AP的长度是自变量，分析函数值即可；（2）利用描点法画出函数图像即可；（3）利用数形结合的思想解决问题即可.【详解】解：（1）①AC=2.83可知PC接近于半径3.0；②AP的长度是自变量，PC的长度和AC的长度都是这个自变量的函数；（答案不唯一）（2）如图（答案不唯一，和（1）问相对应）；（3）结合图像根据AP=PC以及AC=PC进行代入分析可得AP为2.3或4.2【点睛】本题考查函数图像的相关性质，利用描点法画出函数图像以及利用数形结合的思想进行分析求解. 26．北京市第十五届人大常委会第十六次会议表决通过《关于修改<北京市生活垃圾管理条例>的决定》，规定将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其它垃圾四大基本品类，修改后的条例将于2020年5月1日实施.某小区决定在2020年1月到3月期间在小区内设置四种垃圾分类厢：厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其它垃圾，分别记为A、B、C、D，进行垃圾分类试投放，以增强居民垃圾分类意识. （1）小明家按要求将自家的生活垃圾分成了四类，小明从分好类的垃圾中随机拿了一袋，并随机投入一个垃圾箱中，请用画树状图的方法求垃圾投放正确的概率；（2）为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区四类垃圾箱中共1 000千克生活垃圾，数据统计如下（单位：千克）：A B C D厨余垃圾400 100 40 60可回收物25 140 20 15有害垃圾 5 20 60 15其它垃圾25 15 20 40求“．厨余垃圾．．．．”．投放正确的概率.【答案】（1）垃圾投放正确的概率为14；（2）厨余垃圾投放正确的概率为23【分析】（1）画出树状图，找出所有等可能的结果，然后找出符合条件的结果数，最后根据概率公式进行求解即可；（2）用厨余垃圾正确投放量除以厨余垃圾投放量即可得答案.【详解】解：（1）四类垃圾随机投入四类垃圾箱的所有结果用树状图表示如下：由树状图可知垃圾投放正确的概率为41 164=；（2）厨余垃圾投放正确的概率为4002 40010040603=+++【点睛】本题考查了树状图法或列表法求概率，正确掌握相关知识是解题的关键.27．一只不透明的袋子中装有3个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出2个球．（1）“其中有1个球是黑球”是事件；（2）求2个球颜色相同的概率．【答案】（1）随机（2）【解析】试题分析：（1）直接利用随机事件的定义分析得出答案；（2）利用树状图法画出图象，进而利用概率公式求出答案．试题解析：（1）“其中有1个球是黑球”是随机事件；故答案为随机；（2）如图所示：，一共有20种可能，2个球颜色相同的有8种，故2个球颜色相同的概率为：=．考点：列表法与树状图法．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，CE ∥BD ，DE ∥AC ，若OA=2，则四边形CODE 的周长为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C 【分析】首先由CE ∥BD ，DE ∥AC ，可证得四边形CODE 是平行四边形，又由四边形ABCD 是矩形，根据矩形的性质，易得OC ＝OD ＝2，即可判定四边形CODE 是菱形，继而求得答案．【详解】解：∵CE ∥BD ，DE ∥AC ，∴四边形CODE 是平行四边形，∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD ，OA ＝OC=2，OB ＝OD ，∴OD ＝OC ＝2，∴四边形CODE 是菱形，∴四边形CODE 的周长为：4OC ＝4×2＝1．故选：C ．【点睛】此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形CODE 是菱形是解此题的关键．2．如图，菱形ABCD 的边长为2，∠A=60°，以点B 为圆心的圆与AD 、DC 相切，与AB 、CB 的延长线分别相交于点E 、F ，则图中阴影部分的面积为（ ）A 32πB 3π+C 32πD ．232π【答案】A【详解】解：设AD 与圆的切点为G ，连接BG ，∴BG ⊥AD ，∵∠A=60°，BG ⊥AD ，∴∠ABG=30°，在直角△ABG 中，BG=3AB=3×2=3，AG=1， ∴圆B 的半径为3，∴S △ABG =1132⨯⨯=3， 在菱形ABCD 中，∵∠A=60°，则∠ABC=120°，∴∠EBF=120°，∴S 阴影=2（S △ABG ﹣S 扇形ABG ）+S 扇形FBE =23303120(3)2()2360360ππ⨯⨯-+=32π+． 故选A ．考点：1．扇形面积的计算；2．菱形的性质；3．切线的性质；4．综合题．324x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是A ．x ≤12B ．x ≥12C ．x ≤2D ．x ≥2【答案】A【分析】根据二次根式被开方数为非负数即可求解.【详解】依题意得2-4x≥0解得x≤12故选A.【点睛】此题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟知二次根式被开方数为非负数.4．用配方法解方程2640x x +-=，下列变形正确的是（ ）A ．2(3)5x +=B ．2(3)5x +=-C ．2(3)13x -=-D ．2(3)13x += 【答案】D【解析】等式两边同时加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式进行整理即可.【详解】解：原方程等式两边同时加上一次项系数一半的平方得，2226343x x ++-=，整理后得， ()2313x +=，故选择D.【点睛】本题考查了配方法的概念.5．在一个不透明的布袋中装有60个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小红每次摸出一个球并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.6左右，则布袋中黑球的个数可能有（ ） A ．24B ．36C ．40D ．90 【答案】D【分析】设袋中有黑球x 个，根据概率的定义列出方程即可求解.【详解】设袋中有黑球x 个，由题意得：60x x+=0.6，解得：x=90， 经检验，x=90是分式方程的解，则布袋中黑球的个数可能有90个．故选D ．【点睛】此题主要考查概率的计算，解题的关键是根据题意设出未知数列方程求解.6．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，⊙O 是△ABC 的内切圆，三个切点分别为D 、E 、F ，若BF ＝2，AF ＝3，则△ABC 的面积是( )A ．6B ．7C ．32D ．12【答案】A 【解析】利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形OECD 是正方形，进而利用勾股定理得出答案．【详解】连接DO ，EO ，∵⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ，F ，∴OE ⊥AC ，OD ⊥BC ，CD=CE ，BD=BF=3，AF=AE=4又∵∠C=90°，∴四边形OECD 是矩形，又∵EO=DO ，∴矩形OECD 是正方形，设EO=x ，则EC=CD=x ，在Rt △ABC 中BC 2+AC 2=AB 2故（x+2）2+（x+3）2=52，解得：x=1，∴BC=3，AC=4，∴S △ABC =12×3×4=6， 故选A ．【点睛】此题主要考查了三角形内切圆与内心，得出四边形OECF 是正方形是解题关键．7．若抛物线22(21)y x m x m =+-+与坐标轴有一个交点，则m 的取值范围是（ ）A ．14m >B ．14m <C ．14m ≥D ．14m = 【答案】A【分析】根据抛物线y=x 2+（2m-1）x+m 2与坐标轴有一个交点，可知抛物线只与y 轴有一个交点，抛物线与x 轴没有交点，据此可解．【详解】解：∵抛物线y=x 2+（2m-1）x+m 2与坐标轴有一个交点，抛物线开口向上，m 2≥0，∴抛物线与x 轴没有交点，与y 轴有1个交点，∴（2m-1）2-4m 2＜0 解得14m > 故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，解决本题的关键是掌握判别式和抛物线与x 轴交点的关系． 8．如图，将Rt △ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°得到△DEC ，连接AD ，若∠BAC ＝26°，则∠ADE 的度数为（ ）A ．13°B ．19°C ．26°D ．29°【答案】B 【分析】根据旋转的性质可得AC ＝CD ，∠CDE ＝∠BAC ，再判断出△ACD 是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出∠CDA ＝45°，根据∠ADE ＝∠CDA ﹣∠CDE ，即可求解.【详解】∵Rt △ABC 绕其直角顶点C 按顺时针方向旋转90°后得到Rt △DEC ，∴AC ＝CD ，∠CDE ＝∠BAC ＝26°，∴△ACD 是等腰直角三角形，∴∠CDA ＝45°，∴∠ADE ＝∠CDA ﹣∠CDE ＝45°﹣26°＝19°．故选：B ．【点睛】本题主要考查旋转的性质和等腰直角三角形的判定和性质定理，掌握等腰直角三角形的性质，是解题的关键,9．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），当x=1时，函数y 有最大值，设（x 1，y 1），（x 2，y 2）是这个函数图象上的两点，且1＜x 1＜x 2，那么（ ）A ．a ＞0，y 1＞y 2B ．a ＞0，y 1＜y 2C ．a ＜0，y 1＞y 2D ．a ＜0，y 1＜y 2【答案】C【解析】由当x =2时，函数y 有最大值，根据抛物线的性质得a ＜0，抛物线的对称轴为直线x =2，当x ＞2时，y 随x 的增大而减小，所以由2＜x 2＜x 2得到y 2＞y 2．【详解】∵当x =2时，函数y 有最大值，∴a ＜0，抛物线的对称轴为直线x =2．∵2＜x 2＜x 2，∴y 2＞y 2．故选C ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点满足其解析式．也考查了二次函数的性质．10．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点1,0A ，()5,0B ，下列说法正确的是（ ）。

上学期期末学业质量测试九年级数学试卷（考试用时：120分钟 满分：150分）一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）1. 一名射击爱好者5次射击的中靶环数如下：6，7，9，8，9，这5个数据的中位数是（ ▲ ）. A ．6 B ．7C ．8D ．92．掷一个骰子时，点数小于2的概率是（ ▲ ）.A ．61 B ．31 C ．21D ．03. 下列说法中，正确的是（ ▲ ）.A .长度相等的弧叫等弧 B.直角所对的弦是直径 C .同弦所对的圆周角相等 D.等弧所对的弦相等4. 如图，坡角为30的斜坡上两树间的水平距离AC 为2m ，则 两树间的坡面距离AB 为（ ▲ ）. A ．4m BCD． 5. 若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ▲ ）. A ． 1：2B ．1：4C ．2：1D ．4：16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=经过平移得到抛物线y=，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（ ▲ ）.A ．2B ．4C ．8D ．16二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接写在相应的位置上）第6题图第4题图7. 在比例尺为1：10000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30厘米，则两地的实际距离是▲千米.8. 已知x ：y =2 ：3，则(x+y) ：y 的值为▲.9. 一个不透明的袋中装有2枚白色棋子和n枚黑色棋子，它们除颜色不同外，其余均相同．若小明从中随机摸出一枚棋子，多次实验后发现摸到黑色棋子的频率稳定在80%．则n很可能是▲枚．10. 在△ABC中，∠C=90°，BC=2，2sin3A=，则边AC的长是▲．11. 某居民小区为了了解本小区100户居民家庭平均月使用塑料袋的数量情况，随机调査了10户居民家庭月使用塑料袋的数量，结果如下：（単位：只）65 70 85 74 86 78 74 92 82 94根据统计情况，估计该小区这100户家庭平均使用塑料袋▲只．12. 在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为▲m．13. 如图，抛物线的对称轴是直线1=x，与x轴交于A、B两点，若B点坐标是3(,0)2，则A点的坐标是▲.DA第13题图第14题图第16题图14. 如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在⌒AB上，若PA长为2，则△PEF的周长是▲．15. 若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的高为2m，母线长为2.5m，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，则这块油毡的面积是▲m2.16. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜15），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为▲．三、解答题（本大题共有10小题，共102分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（12分）（1）计算：3sin30°－2cos45°+tan2600;（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°, c＝20，∠A=30°, 解这个直角三角形.18.（8分）甲、乙两人在相同的条件下各射靶10次，每次命中的环数如下：甲：9，7，8，9，7，6，10，10，6，8；乙：7，8，8，9，7，8，9，8，10，6 （1）分别计算甲、乙两组数据的方差；（2）根据计算结果比较两人的射击水平．19. （8分）在一个不透明的布口袋中装有只有颜色不同，其他都相同的白、红、黑三种颜色的小球各1只，甲、乙两人进行摸球游戏:甲先从袋中摸出一球,看清颜色后放回，再由乙从袋中摸出一球．（1）试用树状图（或列表法）表示摸球游戏所有可能的结果；（2）如果规定：乙摸到与甲相同颜色的球为乙胜，否则为甲胜，问谁在游戏中获胜的可能性更大些？20.（8分）某课题组为了解全市九年级学生对数学知识的掌握情况,在一次数学检测中,从全市20000名九年级考生中随机抽取部分考生的数学成绩进行调查,并将调查结果绘制成如下图表:(1)表中a和b所表示的数分别为a= ,b= ;(2)请在图中补全频数分布直方图;(3)如果把成绩在70分以上(含70分)定为合格,那么该市20000名九年级考生数学成绩为合格的考生约有多少名?21. （10分）如图，某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，•该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼的前面24米处要盖一栋高20米的新楼．当冬季正午的阳光与水平线的夹角为︒32时．（1）问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？ （2）若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？ （参考数据：sin ︒32≈53100，cos ︒32≈,125106︒32tan ≈85．）22．(10分) 如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图像过A （2，0），B （0，﹣1）和C （4，5）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）设二次函数的图像与x 轴的另一个交点为D ，求点D 的坐标；（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x 在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．第22题图第21题图23.（10分）一块直角三角形木版的一条直角边AB 为3m ，面积为62m ，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，小明打算按图①进行加工，小华准备按图②进行裁料，他们谁的加工方案符合要求?A图① 图②第23题图24.（10分））如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作半圆⊙0，交BC 于点D ，连接AD ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为点E ，交AB 的延长线于点F ． （1）求证：EF 是⊙0的切线;（2）如果⊙0的半径为9，sin ∠ADE=79，求AE 的长．第24题图25. （12分）如图所示，E 是正方形ABCD 的边AB 上的动点，正方形的边长为4， EF ⊥DE 交BC 于点F ．（1）求证：△ADE ∽△BEF ；（2）AE=x ，B F=y ．当x 取什么值时，y 有最大值? 并求出这个最大值; (3) 已知D 、C 、F 、E 四点在同一个圆上，连接CE 、DF ，若sin ∠C EF =第25题图 备用图26. （14分）如图，二次函数223y x bx c =++的图像交x 轴于A 、C 两点，交y 轴于B 点，已知A 点坐标是（2，0），B 点的纵坐标是8． （1）求这个二次函数的表达式及其图像的顶点坐标；（2）作点A 关于直线BC 的对称点A ’ ，求点A ’的坐标；（3）在y 轴上是否存在一点M ，使得∠AMC ＝30°，如存在，直接写出点M 的坐标，如不存在，请说明理由.第26题图 备用图九年级数学试卷参考答案（下列答案仅供参考．．．．．．．．，如有其它解法．．．．．．，请参照标准给分．．．．．．．，如有输入错误．．．．．．，请以正确答案给分．．．．．．．．） 一．选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分） 1. C; 2.A; 3.D; 4.C; 5.A; 6.B.二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）7. 3000； 8.53； 9. 8; ；12. 15； 13. 1(,0)2；14. 4; 15. 154π；16. 5或8.2或11.8（少一解扣1分，多解不扣分） 三、解答题（本大题共有10小题，共102分）17.（12分）（1）1.53（3分）=4.53分）；（2）a=10（2分），b=（2分），∠B ＝60°（2分）18.（8分）（1）甲、乙的平均数分别是8, 8（2分）; .甲、乙的方差分别是2，1.2（4分）； （2）∵S 2甲＞S 2乙，∴乙的射击水平高（2分）．19. （8分）（1）树状图如下或列表如下：（4分）；（2）乙摸到与甲相同颜色的球有三种情况，乙能取胜的概率为13，所以甲在游戏中获胜的可能性更大（4分）。

2019-2020学年江苏省无锡市新吴区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（3分）一元二次方程(1)(2)0x x --=的解是( ) A ．1x = B ．2x =C ．11x =，22x =D ．11x =-，22x =-2．（3分）若25x y =，则x yy+的值为( ) A ．25B ．72C ．57D ．753．（3分）若直线l 与半径为5的O 相离，则圆心O 与直线l 的距离d 为( ) A ．5d <B ．5d >C ．5d =D ．5d4．（3分）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，1BC =，则sin A 的值为( ) A ．1010B ．31010 C ．13D ．1035．（3分）将抛物线2y x =先向左平移2个单位，再向下平移2个单位，那么所得抛物线的函数关系式是( ) A ．2(2)2y x =++B ．2(2)2y x =+-C ．2(2)2y x =-+D ．2(2)2y x =--6．（3分）已知圆锥的底面半径为5cm ，母线长为13cm ，则这个圆锥的全面积是( ) A ．265cm πB ．290cm πC ．2130cm πD ．2155cm π7．（3分）某电影上映第一天票房收入约3亿元，以后每天票房收入按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达到10亿元．若增长率为x ，则下列方程正确的是( ) A ．3(1)10x += B ．23(1)10x +=C ．233(1)10x ++=D ．233(1)3(1)10x x ++++=8．（3分）如图，已知正五边形ABCDE 内接于O ，连结BD ，CE 相交于点F ，则BFC ∠的度数是( )A ．60︒B ．70︒C ．72︒D ．90︒9．（3分）对于二次函数2610y x x =-+，下列说法不正确的是( ) A ．其图象的对称轴为过(3,1)且平行于y 轴的直线 B ．其最小值为1C ．其图象与x 轴没有交点D ．当3x <时，y 随x 的增大而增大10．（3分）将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形ABCD ，连接AC ，则tan ACD ∠的值为( )A ．3B ．31+C ．31-D ．23二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分，将答案填在答题纸上） 11．（2分）已知1x =是方程210x mx ++=的一个根，则m = ． 12．（2分）若有一组数据为8、4、5、2、1，则这组数据的中位数为 ．13．（2分）若关于x 的一元二次方程240x x m -+=没有实数根，则m 的取值范围是 ． 14．（2分）如图，在平行四边形ABCD 中，13BE DF BC ==，若1BEG S ∆=，则ABF S ∆= ．15．（2分）如图，ABC ∆是O 的内接三角形，45BAC ∠=︒，BC 的长是54π，则O 的半径是 ．16．（2分）已知实数a ，b ，c 满足0a ≠，且0a b c -+=，930a b c ++=，则抛物线2y ax bx c =++图象上的一点(2,4)-关于抛物线对称轴对称的点为 ．17．（2分）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A ，B ，C ，D 为格点（即小正方形的顶点），AB 与CD 相交于点O ，则AO 的长为 ．18．（2分）如图，已知二次函数3(1)(4)4y x x =-+-的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，P 为该二次函数在第一象限内的一点，连接AP ，交BC 于点K ，则PKAK的最大值为 ．三、解答题：本大题共10小题，共84分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．（8分）（1012(2020)2tan 60π+--︒ （2）解方程：2210x x --=20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的三个顶点的坐标分别为点(1,0)A 、(3,0)B 、(0,1)C ．（1）ABC ∆的外接圆圆心M 的坐标为 ．（2）①以点M 为位似中心，在网格区域内画出DEF ∆，使得DEF ∆与ABC ∆位似，且点D 与点A 对应，位似比为2:1． ②点D 坐标为 ．（3）DEF ∆的面积为 个平方单位．21．（8分）某校根据课程设置要求，开设了数学类拓展性课程，为了解学生最喜欢的课程内容，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人必须且只选其中一项），并将统计结果绘制成如下统计图（不完整）．请根据图中信息回答问题：（1）求m，n的值．（2）补全条形统计图．（3）该校共有1200名学生，试估计全校最喜欢“数学史话”的学生人数．22．（8分）在一个不透明的盒子中装有4张卡片，4张卡片的正面分别标有数字1，2，3，4，这些卡片除数字外都相同，将卡片搅匀．（1）从盒子中任意抽取一张卡片，恰好抽到标有奇数卡片的概率是；（2）先从盒子中任意抽取一张卡片，再从余下的3张卡片中任意抽取一张卡片，求抽取的2张卡片标有数字之和大于4的概率．（请用画树状图或列表等方法求解）．23．（8分）如图，已知AB是O的直径，C是O上的点，点D在AB的延长线上，∠=∠．BCD BAC（1）求证：CD是O的切线；（2）若30BD=，求图中阴影部分的面积．∠=︒，2D24．（8分）如图，90BM CD交AD于M．连∠，过点B作//∠=∠=︒，DB平分ADCABD BCD接CM交DB于N．（1）求证：2=；BD AD CD（2）若6AD=，求MN的长．CD=，825．（8分）2019年12月27日，我国成功发射了“长征五号”遥三运载火箭．如图，“长征五号”运载火箭从地面A处垂直向上发射，当火箭到达B处时，从位于地面M处的雷达站测得此时仰角45∠=︒，当火箭继续升空到达C处时，从位于地面N处的雷达站测得此AMB时仰角30BC km=．=，40MN km∠=︒，已知120ANC（1）求AB的长；（2）若“长征五号”运载火箭在C处进行“程序转弯”，且105ACD∠=︒，求雷达站N到其正上方点D的距离．26．（8分）某公司投入研发费用80万元(80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式26=-+．y x（1）求这种产品第一年的利润1W （万元）与售价x （元/件）满足的函数关系式； （2）若该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？（3）在（2）的条件下，第二年，该公司将第一年的利润20万元(20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润2W 至少为多少万元．27．（10分）如图，已知二次函数2223(0)y x mx m m =-++>的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为点D ．（1）点B 的坐标为 ，点D 的坐标为 ；（用含有m 的代数式表示） （2）连接CD ，BC ．①若CB 平分OCD ∠，求二次函数的表达式； ②连接AC，若CB 平分ACD ∠，求二次函数的表达式．28．（10分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，60BAC ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，过点D 作//DE AC 交AB 于点E ，点M 是线段AD 上的动点，连结BM 并延长分别交DE ，AC 于点F 、G ．（1）求CD的长．（2）若点M是线段AD的中点，求EFDF的值．（3）请问当DM的长满足什么条件时，在线段DE上恰好只有一点P，使得60CPG∠=︒？参考答案一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．（3分）一元二次方程(1)(2)0x x --=的解是( ) A ．1x =B ．2x =C ．11x =，22x =D ．11x =-，22x =-解：10x -=或20x -=， 所以11x =，22x =． 故选：C ． 2．（3分）若25x y =，则x yy+的值为( ) A ．25 B ．72C ．57D ．75解：25x y =， ∴27155x y x y y y y +=+=+=， 故选：D ．3．（3分）若直线l 与半径为5的O 相离，则圆心O 与直线l 的距离d 为( ) A ．5d <B ．5d >C ．5d =D ．5d解：直线l 与O 的位置关系是相离， d r ∴>， 5r ∴=， 5d ∴>，故选：B ．4．（3分）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，1BC =，则sin A 的值为( )A B C ．13D 解：在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，1BC =，∴由勾股定理得到：AB ===．110sin 1010BC A AB ∴===． 故选：A ．5．（3分）将抛物线2y x =先向左平移2个单位，再向下平移2个单位，那么所得抛物线的函数关系式是( ) A ．2(2)2y x =++B ．2(2)2y x =+-C ．2(2)2y x =-+D ．2(2)2y x =--解：抛物线2y x =先向左平移2个单位，再向下平移2个单位， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为(2,2)--，∴所得抛物线的函数关系式是2(2)2y x =+-．故选：B ．6．（3分）已知圆锥的底面半径为5cm ，母线长为13cm ，则这个圆锥的全面积是( ) A ．265cm πB ．290cm πC ．2130cm πD ．2155cm π解：这个圆锥的侧面积21251365()2cm ππ=⨯⨯⨯=． 底面积为：22525()cm ππ⨯=， 所以全面积为2652590()cm πππ+=． 故选：B ．7．（3分）某电影上映第一天票房收入约3亿元，以后每天票房收入按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达到10亿元．若增长率为x ，则下列方程正确的是( ) A ．3(1)10x += B ．23(1)10x +=C ．233(1)10x ++=D ．233(1)3(1)10x x ++++=解：设增长率为x ，依题意，得：233(1)3(1)10x x ++++=． 故选：D ．8．（3分）如图，已知正五边形ABCDE 内接于O ，连结BD ，CE 相交于点F ，则BFC ∠的度数是( )A ．60︒B ．70︒C ．72︒D ．90︒解：如图所示：五边形ABCDE 为正五边形，BC CD DE ∴==，108BCD CDE ∠=∠=︒，180108362CBD CDB CED DCE ︒-︒∴∠=∠=∠=∠==︒， 72BFC BDC DCE ∴∠=∠+∠=︒．故选：C ．9．（3分）对于二次函数2610y x x =-+，下列说法不正确的是( ) A ．其图象的对称轴为过(3,1)且平行于y 轴的直线 B ．其最小值为1C ．其图象与x 轴没有交点D ．当3x <时，y 随x 的增大而增大 解：二次函数22610(3)1y x x x =-+=-+， ∴对称轴为3x =，故选项A 正确，不符合题意；顶点坐标为(3,1)，所以有最小值1，故选项B 正确，不符合题意； △2(6)41040=--⨯=-<，故选项C 正确，不符合题意， 开口向上，当3x <时y 随着x 的增大而减小， 故选：D ．10．（3分）将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形ABCD ，连接AC ，则tan ACD ∠的值为( )A ．3B ．31+C ．31-D ．23解：如图作AH CB ⊥交CB 的延长线于H ． 90ABD ∠=︒，45DBC ∠=︒， 45ABH ∴∠=︒， 90AHB ∠=︒，ABH ∴∆是等腰直角三角形， AH BH ∴=，设AH BH a ==，则2AB a =，6BD a =，3BC CD a ==，3CH a a =+， 90AHB DCB ∠=∠=︒， //AH DC ∴， ACD CAH ∴∠=∠，tan tan 31CHACD CAH AH∴∠=∠==+， 故选：B ．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分，将答案填在答题纸上） 11．（2分）已知1x =是方程210x mx ++=的一个根，则m = 2- ． 解：关于x 的一元二次方程210x mx ++=有一个根是1， 2110m ∴++=，解得：2m =-， 故答案为：2-；12．（2分）若有一组数据为8、4、5、2、1，则这组数据的中位数为 4． 解：把这组数据从小到大排列为1，2，4，5，8， 最中间的数是4，则中位数是4； 故答案为4．13．（2分）若关于x 的一元二次方程240x x m -+=没有实数根，则m 的取值范围是 4m > ．解：由题意可知：△0<， 1640m ∴-<， 4m ∴>故答案为：4m >14．（2分）如图，在平行四边形ABCD 中，13BE DF BC ==，若1BEG S ∆=，则ABF S ∆= 6 ．解：过点G 作MN AD ⊥于点M ，交BC 于点N ，如图所示． 四边形ABCD 为平行四边形， //AD BC ∴，AD BC =．13BE DF BC ==，2AF BE ∴=． //AF BE ， FAG BEG ∴∆∆∽， ∴2()FAG BEG S AF S EB∆∆=，GM AFGN EB =， 4FAG S ∆∴=，2GM GN =，32MN GM ∴=，113362222ABF FAG S AF MN AF GM S ∆∆∴====．故答案为：6．15．（2分）如图，ABC∆是O的内接三角形，45BAC∠=︒，BC的长是54π，则O的半径是52．解：连接OB，OC，45BAC∠=︒，290BOC BAC∴∠=∠=︒，BC的长是54π，∴9051804OBππ⨯=，52OB∴=，O∴的半径是52，故答案为：52．16．（2分）已知实数a，b，c满足0a≠，且0a b c-+=，930a b c++=，则抛物线2y ax bx c=++图象上的一点(2,4)-关于抛物线对称轴对称的点为(4,4)．解：0a b c-+=和930a b c++=，3c a∴=-，2b a=-，∴抛物线解析式为223y ax ax a =--， ∴对称轴为212ax a-=-=， (2,4)∴-关于抛物线对称轴对称的点为(4,4)．故答案是：(4,4)．17．（2分）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A ，B ，C ，D 为格点（即小正方形的顶点），AB 与CD 相交于点O ，则AO 的长为8179．解：如图所示：在BDF ∆和ECF ∆中， 90DBF CEF BFD EFCBD CE ∠==︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()BDF ECF AAS ∴∆≅∆， 12BF EF ∴==， 又//BF DA ， BFO ADO ∴∆∆∽， ∴AO ADBO BF=， 又4AD =， ∴8AOBO=， 在Rt ABD ∆中，由勾股定理得，22224117AB AD BD =+=+=又AB AO BO =+，8179AO ∴=故答案为817 9．18．（2分）如图，已知二次函数3(1)(4)4y xx=-+-的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P为该二次函数在第一象限内的一点，连接AP，交BC于点K，则PKAK的最大值为45．解：过P作//PQ AB，与BC交于点Q，如图，二次函数3(1)(4)4y x x=-+-的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，(1,0)A∴-，(4,0)B，(0,3)C，设BC的解析式为：(0)y mx n m=+≠，则340nm n=⎧⎨+=⎩，∴343mn⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴3:34BC y x=-+，设(P t，3(1)(4))4t t-+-，则2(3Q t t-，3(1)(4))4t t-+-，24PQ t t∴=-+，//PQ AB，PQK ABK∴∆∆∽，∴224144(1)55PK PQ t tt tAK AB-+===-+--，15-<，∴当452 12()5t=-=⨯-时，PKAK有最大值为214422555-⨯+⨯=，故答案为：45．三、解答题：本大题共10小题，共84分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．（8分）（1）计算：012(2020)2tan60π+--︒（2）解方程：2210x x--=解：（1）原式231231=+-=（2）2210x x--=，2212x x∴-+=，2(1)2x∴-=，12x∴=±20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，ABC∆的三个顶点的坐标分别为点(1,0)A、(3,0)B、(0,1)C．（1）ABC∆的外接圆圆心M的坐标为(2,2)．（2）①以点M为位似中心，在网格区域内画出DEF∆，使得DEF∆与ABC∆位似，且点D 与点A对应，位似比为2:1．②点D坐标为．（3）DEF∆的面积为个平方单位．解：（1）如图：(2,2)M；故答案为：(2,2)；（2）①如图所示：DEF∆即为所求；②(4,6)D；故答案为：(4,6)；（3）DEF∆的面积为：14242⨯⨯=．故答案为：4．21．（8分）某校根据课程设置要求，开设了数学类拓展性课程，为了解学生最喜欢的课程内容，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人必须且只选其中一项），并将统计结果绘制成如下统计图（不完整）．请根据图中信息回答问题：（1）求m，n的值．（2）补全条形统计图．（3）该校共有1200名学生，试估计全校最喜欢“数学史话”的学生人数．解：（1）观察条形统计图与扇形统计图知：选A的有12人，占20%，故总人数有1220%60÷=人，1560100%25%m∴=÷⨯=960100%15%n=÷⨯=；（2）选D的有6012159618----=人，故条形统计图补充为：（3）全校最喜欢“数学史话”的学生人数为：120025%300⨯=人．22．（8分）在一个不透明的盒子中装有4张卡片，4张卡片的正面分别标有数字1，2，3，4，这些卡片除数字外都相同，将卡片搅匀．（1）从盒子中任意抽取一张卡片，恰好抽到标有奇数卡片的概率是2；（2）先从盒子中任意抽取一张卡片，再从余下的3张卡片中任意抽取一张卡片，求抽取的2张卡片标有数字之和大于4的概率．（请用画树状图或列表等方法求解）．解：（1）从盒子中任意抽取一张卡片，恰好抽到标有奇数卡片的概率是为21 42 =，故答案为：12．（2）根据题意列表得：1234 1345235634574567由表可知，共有12种等可能结果，其中抽取的2张卡片标有数字之和大于4的有8种结果，所以抽取的2张卡片标有数字之和大于4的概率为82 123=．23．（8分）如图，已知AB是O的直径，C是O上的点，点D在AB的延长线上，BCD BAC∠=∠．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若30D ∠=︒，2BD =，求图中阴影部分的面积．解：（1）连接OC ， OA OC =， BAC OCA ∴∠=∠， BCD BAC ∠=∠， BCD OCA ∴∠=∠，AB 是直径， 90ACB ∴∠=︒，90OCA OCB BCD OCB ∴∠+∠=∠+∠=︒ 90OCD ∴∠=︒OC 是半径， CD ∴是O 的切线（2）设O 的半径为r ， 2AB r ∴=，30D ∠=︒，90OCD ∠=︒， 2OD r ∴=，60COB ∠=︒22r r ∴+=，2r ∴=，120AOC ∠=︒ 2BC ∴=，∴由勾股定理可知：3AC =易求123132AOC S ∆=⨯=120443603OAC S ππ⨯==扇形 ∴阴影部分面积为433π-24．（8分）如图，90ABD BCD∠=∠=︒，DB平分ADC∠，过点B作//BM CD交AD于M．连接CM交DB于N．（1）求证：2BD AD CD=；（2）若6CD=，8AD=，求MN的长．【解答】证明：（1）DB平分ADC∠，ADB CDB∴∠=∠，且90ABD BCD∠=∠=︒，ABD BCD∴∆∆∽∴AD BDBD CD=2BD AD CD∴=（2）//BM CDMBD BDC∴∠=∠ADB MBD∴∠=∠，且90ABD∠=︒BM MD∴=，MAB MBA∠=∠4BM MD AM∴===2BD AD CD=，且6CD=，8AD=，248BD∴=，22212BC BD CD∴=-=22228MC MB BC∴=+=7MC∴=//BM CDMNB CND ∴∆∆∽∴23BM MNCD CN==，且27MC=475MN∴=25．（8分）2019年12月27日，我国成功发射了“长征五号”遥三运载火箭．如图，“长征五号”运载火箭从地面A处垂直向上发射，当火箭到达B处时，从位于地面M处的雷达站测得此时仰角45AMB∠=︒，当火箭继续升空到达C处时，从位于地面N处的雷达站测得此时仰角30ANC∠=︒，已知120MN km=，40BC km=．（1）求AB的长；（2）若“长征五号”运载火箭在C处进行“程序转弯”，且105ACD∠=︒，求雷达站N到其正上方点D的距离．解：（1）设AB为xkm，则AM为xkm，在Rt ACN∆中，30ANC∠=︒，tanAC ANCAN∴∠=340120xx+=+，解得：3x=∴403AB=（2）作DH CN ⊥，垂足为点H ，由（1）可得，40340AC =， ∴380CN =+，105ACD ∠=︒，45NCD ∴∠=︒，90AND ∠=︒，60CND ∴∠=︒，设HN 为y ，则3DH CH ==， ∴380380y +=，解得：80y =，2160DN y ∴==，答：雷达站N 到其正上方点D 的距离为160km ．26．（8分）某公司投入研发费用80万元(80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y （万件）与售价x （元/件）之间满足函数关系式26y x =-+．（1）求这种产品第一年的利润1W （万元）与售价x （元/件）满足的函数关系式；（2）若该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？（3）在（2）的条件下，第二年，该公司将第一年的利润20万元(20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润2W 至少为多少万元．解：（1）21(6)(26)8032236W x x x x =--+-=-+-．（2）由题意：22032236x x =-+-．解得：16x =，答：该产品第一年的售价是16元．（3）公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．1416x ∴，22(5)(26)2031150W x x x x =--+-=-+-，抛物线的对称轴15.5x =，又1416x ，14x ∴=时，2W 有最小值，最小值88=（万元）， 答：该公司第二年的利润2W 至少为88万元．27．（10分）如图，已知二次函数2223(0)y x mx m m =-++>的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为点D ．（1）点B 的坐标为 (3,0)m ，点D 的坐标为 ；（用含有m 的代数式表示）（2）连接CD ，BC ．①若CB 平分OCD ∠，求二次函数的表达式；②连接AC ，若CB 平分ACD ∠，求二次函数的表达式．解：（1）在二次函数2223y x mx m =-++中，当0y =时，13x m =，2x m =-，点A 在点B 的左侧，0m >，(,0)A m ∴-，(3,0)B m ，222223()4y x mx m x m m =-++=--+，∴顶点2(,4)D m m ，∴故答案为：(3,0)m ，2(,4)m m ；（2）①如图1，过点D 作DH AB ⊥，交BC 于点E ，则//DH OC ，DEC OCE ∴∠=∠， BC 平分OCD ∠，OCE DCE ∴∠=∠，DEC DCE ∴∠=∠，CD DE ∴=，由（1）知，2(0,3)C m ，(,0)A m -，(3,0)B m ，23OC m ∴=，3OB m =，23tan 3m ABC m m∠==， 22HE m ∴=，222422DE DH HE m m m ∴=-=-=，CD DE =，22CD DE ∴=，2424m m m ∴+=，解得：1m =2m =，∴二次函数的关系式为：21y x x =-++；②如图2，过点D 作DH AB ⊥，交BC 于点E ，过点C 作y 轴的垂线CK ，过点B 作x 轴的垂线交CK 于点K ，连接AE ，tan DG DCG m CG ∠==，tan BK KCB m CK∠==，DCG KCB∴∠=∠，//CK AB∴，KCB EBA∴∠=∠，由对称性知，DH垂直平分AB，EA EB∴=，EAB EBA∴∠=∠，DCG KCB EBA EAB∴∠=∠=∠=∠，AEC EAB EBA∠=∠+∠，DCB DCG KCB∠=∠+∠，CB平分ACD∠，DCB AEC ACE∴∠=∠=∠，AC AE∴=，2222AC AE EH AH∴==+，2442944m m m m∴+=+，解得：115 5m=，215 5m=-（舍去），∴二次函数的关系式为：22159 55y x x=-++．28．（10分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，60BAC ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，过点D 作//DE AC 交AB 于点E ，点M 是线段AD 上的动点，连结BM 并延长分别交DE ，AC 于点F 、G ．（1）求CD 的长．（2）若点M 是线段AD 的中点，求EF DF的值． （3）请问当DM 的长满足什么条件时，在线段DE 上恰好只有一点P ，使得60CPG ∠=︒？ 解：（1）AD 平分BAC ∠，60BAC ∠=︒， 1302DAC BAC ∴∠=∠=︒， 在Rt ADC ∆中，3tan 30623DC AC =︒== （2）由题意易知：63BC =，43BD =，//DE AC ，FDM GAM ∴∠=∠，AM DM =，DMF AMG ∠=∠， ()DFM AGM ASA ∴∆≅∆， DF AG ∴=，//DE AC ， ∴EF BE BD AG AB BC ==， ∴432363EF EF BD DF AG BC ====．（3）60CPG ∠=︒，过C ，P ，G 作外接圆，圆心为Q ， CQG ∴∆是顶角为120︒的等腰三角形． ①当Q 与DE 相切时，如图31-中，作QH AC ⊥于H ，交DE 于P ．连接QC ，QG ．设Q 的半径为r ．则12QH r =，1232r r +=， 43r ∴= 4334CG ∴==，2AG =， 由DFM AGM ∆∆∽，可得43DM DF AM AG ==， 41637DM AD ∴==． ②当Q 经过点E 时，如图32-中，延长CQ 交AB 于K ，设CQ r =．QC QG =，120CQG ∠=︒， 30KCA ∴∠=︒， 60CAB ∠=︒， 90AKC ∴∠=︒， 在Rt EQK ∆中，33QK r =-，EQ r =，1EK =， 2221(33)r r ∴+-=， 解得1439r =， 14314393CG ∴=⨯=， 由DFM AGM ∆∆∽，可得1435DM =． ③当Q 经过点D 时，如图33-中，此时点M ，点G 与点A 重合，可得43DM AD ==．观察图象可知：当DM=43<时，满足条件的点P只有一个．DM。

2019-2020学年江苏省无锡市江阴市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填在题后的括号内）1．sin60°＝（）A．B．C．D．2．若△ABC∽△DEF，相似比为1：2，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．2：1B．1：2C．4：1D．1：43．体育课上，某班两名同学分别进行了5次短跑训练，要判断哪一名同学的成绩比较稳定，通常需要比较这两名学生成绩的（）A．平均数B．频数分布C．中位数D．方差4．方程x2﹣3x＝0的根是（）A．x＝3B．x1＝0，x2＝3C．x1＝，x2＝﹣D．x1＝3，x2＝﹣35．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（）A．2cm B．3cm C．5cm D．8cm6．将抛物线y＝x2向上平移1个单位，就得到抛物线（）A．y＝x2+1B．y＝（x+1）2C．y＝x2﹣1D．y＝（x﹣1）27．某人沿着坡度为1：2.4的斜坡向上前进了130m，那么他的高度上升了（）A．50m B．100m C．120m D．130m8．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕A逆时针方向旋转40°得到△ADE，点B经过的路径为弧BD，是图中阴影部分的面积为（）A．π﹣6B．πC．π﹣3D．+π9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，对称轴为过点（﹣，0）且平行于y轴的直线，则下列结论中正确的是（）A．abc＞0B．a+b＝0C．2b+c＞0D．4a+c＜2b10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝60°，点P是△ABC外一点，BP＝6，CP＝3，则线段OP的最大值为（）A．9B．4.5C．3D．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在题中的横线上）11．如果在比例尺为1：1000000的地图上，A、B两地的图上距离是5.8cm，那么A、B两地的实际距离是km．12．已知x＝1是关于x的一元二次方程2x2﹣x+a＝0的一个根，则a的值是．13．二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为．14．已知某小区的房价在两年内从每平方米8100元增加到每平方米12500元，设该小区房价平均每年增长的百分率为x，根据题意可列方程为．15．若圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则此圆锥的侧面积是cm2．16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣2﹣1012…y…105212…则当y＜5时，x的取值范围是．17．如图，▱ABCD中，点E、F分别是边AD、CD的中点，EC、EF分别交对角线BD于点H、G，则DG：GH：HB＝．18．如图，已知射线BP⊥BA，点O从B点出发，以每秒1个单位长度沿射线BA向右运动；同时射线BP绕点B顺时针旋转一周，当射线BP停止运动时，点O随之停止运动．以O为圆心，1个单位长度为半径画圆，若运动两秒后，射线BP与⊙O恰好有且只有一个公共点，则射线BP旋转的速度为每秒度．三、解答题（本大题共10小题，共84分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（1）计算：2sin60°﹣3tan45°+；（2）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．20．某校为了深入学习社会主义核心价值观，对本校学生进行了一次相关知识的测试，随机抽取了部分学生的测试成绩进行统计（根据成绩分为A、B、C、D、E五个组，x表示测试成绩，A组：90≤x≤100；B组：80≤x＜90；C组：70≤x＜80；D组：60≤x＜70；E组：x＜60），通过对测试成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答以下问题：（1）抽取的学生共有人，请将两幅统计图补充完整；（2）抽取的测试成绩的中位数落在组内；（3）本次测试成绩在80分以上（含80分）为优秀，若该校初三学生共有1200人，请估计该校初三测试成绩为优秀的学生有多少人？21．现有A、B两个不透明的盒子，A盒中装有红色、黄色、蓝色卡片各1张，B盒中装有红色、黄色卡片各1张，这些卡片除颜色外都相同．现分别从A、B两个盒子中任意摸出一张卡片．（1）从A盒中摸出红色卡片的概率为；（2）用画树状图或列表的方法，求摸出的两张卡片中至少有一张红色卡片的概率．22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，﹣1），请解答下列问题：（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，点A1的坐标为；（2）在网格内以点（1，1）为位似中心，把△A1B1C1按相似比2：1放大，得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；若边AC上任意一点P的坐标为（m，n），则两次变换后对应点P2的坐标为．23．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，CE⊥AD于E．（1）求证：CD2＝DE•DA；（2）当∠BED＝47°时，求∠ABC的度数．24．如图，某数学社团成员想利用所学的知识测量广告牌的高度（即图中线段MN的长），在地面A处测得点M的仰角为60°、点N的仰角为45°，在B处测得点M的仰角为30°，AB＝5m，MN⊥AB于点P，且B、A、P三点在同一直线上．求广告牌MN的长（结果保留根号）．25．如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为的中点，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）当BD＝2，sin D＝时，求AE的长．26．某商场将进货单价为30元的商品以每个40元的价格售出时，平均每月能售出600个，调查表明：这种商品的售价每上涨1元，其销售量就减少10个．（1）为了使平均每月有10000元的销售利润且尽快售出，这种商品的售价应定为每个多少元？（2）当该商品的售价为每个多少元时，商场销售该商品的平均月利润最大？最大利润是多少？27．如图，已知二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线AC交二次函数图象的对称轴于点D，若点C为AD的中点．（1）求m的值；（2）若二次函数图象上有一点Q，使得tan∠ABQ＝3，求点Q的坐标；（3）对于（2）中的Q点，在二次函数图象上是否存在点P，使得△QBP∽△COA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．28．已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点E、F分别在边BC、AD上，将四边形ABEF沿直线EF翻折，点A、B的对称点分别记为A′、B′．（1）当BE＝时，若点B′恰好落在线段AC上，求AF的长；（2）设BE＝m，若翻折后存在点B′落在线段AC上，则m的取值范围是．2019-2020学年江苏省无锡市江阴市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填在题后的括号内）1．【解答】解：sin60°＝．故选：C．2．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的周长比为1：2．故选：B．3．【解答】解：由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两名学生了5次短跑训练成绩的方差．故选：D．4．【解答】解：x2﹣3x＝0，x（x﹣3）＝0，x＝0，x﹣3＝0，x1＝0，x2＝3，故选：B．5．【解答】解：∵弦CD⊥AB于点E，CD＝8cm，∴CE＝CD＝4cm．在Rt△OCE中，OC＝5cm，CE＝4cm，∴OE＝＝＝（cm），∴AE＝AO+OE＝5+3＝8（cm）．故选：D．6．【解答】解：将抛物线y＝x2向上平移1个单位得到的抛物线是y＝x2+1．故选：A．7．【解答】解：如图，根据题意知AB＝130米，tan B＝＝1：2.4，设AC＝x，则BC＝2.4x，则x2+（2.4x）2＝1302，解得x＝50（负值舍去），即他的高度上升了50m，故选：A．8．【解答】解：∵AB＝5，AC＝3，BC＝4，∴△ABC为直角三角形，由题意得，△AED的面积＝△ABC的面积，由图形可知，阴影部分的面积＝△AED的面积+扇形ADB的面积﹣△ABC的面积，∴阴影部分的面积＝扇形ADB的面积＝＝π，故选：B．9．【解答】解：由图象可得，a＞0，b＞0，c＜0，故abc＜0，故选项A错误；∵对称轴为直线x＝﹣，∴﹣，得a＝b，a﹣b＝0，故选项B错误；∵当x＝1时，y＝a+b+c＜0，∴2b+c＜0，故选项C错误；∵对称轴为直线x＝﹣，当x＝1时，y＜0，∴x＝﹣2时的函数值与x＝1时的函数值相等，∴x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，∴4a+c＜2b，故选项D正确；故选：D．10．【解答】解：如图，连接OB，OC，∵∠A＝60°，∴∠BOC＝120°，∴将△POC绕点O顺时针旋转120°，得到△HOB，连接PH，过点O，作OE⊥PH，∴PC＝BH＝3，OH＝OP，∠POH＝120°，∴∠OHP＝∠OPH＝30°，且OE⊥PH，∴PE＝EH＝OP，∴PH＝OP，在△BPH中，PH≤BP+BH＝9，∴OP≤3，∴OP的最大值为3，故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在题中的横线上）11．【解答】解：根据题意，5.8÷＝5800000厘米＝58千米．即实际距离是58千米．故答案为：58．12．【解答】解：将x＝1代入方程得：2﹣1+a＝0，解得：a＝﹣1，故答案为：﹣1．13．【解答】解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4m＝0，解得m＝1．故答案为1．14．【解答】解：设该小区房价平均每年增长的百分率为x，依题意，得：8100（1+x）2＝12500．故答案为：8100（1+x）2＝12500．15．【解答】解：圆锥的底面周长＝4πcm，圆锥的侧面积＝lr＝×4π×5＝10πcm2，故答案为10π．16．【解答】解：由表格可知，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，该函数开口向上，则当y＝﹣5对应的x的值是x＝﹣1或x＝﹣3，故当y＜5时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，故答案为：﹣1＜x＜3．17．【解答】解：连接AC交BD于O，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，AD＝BC，AD∥BC，∴△BCH∽△DEH，∴＝，∵点E、F分别是边AD、CD的中点，∴BC＝AD＝2DE，EF是△ACD的中位线，∴＝＝，EF∥AC，EF＝AC＝OA＝OC，∴DG＝OG，EG是△AOD的中位线，△EGH∽△COH，∴EG＝OA＝OC，＝＝，∴OH＝2GH，DG＝OG＝3GH，OB＝OD＝6GH，∴HB＝8GH，∴DG：GH：HB＝3：1：8；故答案为：3：1：8．18．【解答】解：∵射线BP与⊙O恰好有且只有一个公共点，∴射线BP与⊙O相切，如图，当BP′与⊙O相切于D，连接OD，则OD＝1，OB＝2，OD⊥BP′，∴∠OBD＝30°，∵BP⊥BA，∴∠ABP＝90°，∴∠PBP′＝60°，∵＝30°，∴射线BP与⊙O恰好有且只有一个公共点，则射线BP旋转的速度为每秒30°，当BP″与⊙O相切于E，连接OE，同理∠ABP″＝30°，∴∠PBP″＝120°，∵＝60°，∴射线BP与⊙O恰好有且只有一个公共点，则射线BP旋转的速度为每秒60°，综上所述，射线BP与⊙O恰好有且只有一个公共点，则射线BP旋转的速度为每秒30°或60°，故答案为：30或60．三、解答题（本大题共10小题，共84分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．【解答】解：（1）原式＝2×﹣3+3＝．（2）∵x2﹣4x﹣1＝0，∴x2﹣4x+4＝5，∴（x﹣2）2＝5，∴x＝2±20．【解答】解：（1）本次抽取的学生共有：40÷10%＝400（人），故答案为：400；A所占的百分比为：100÷400×100%＝25%，C所占的百分比为：80÷400×100%＝20%，B组的人数为：400×30%＝120，补全的统计图如右图所示；（2）由扇形统计图可知，抽取的测试成绩的中位数落在B组内，故答案为：B；（3）1200×（25%+30%）＝660（人），答：该校初三测试成绩为优秀的学生有660人．21．【解答】解：（1）从A盒中摸出红色卡片的概率为，故答案为：．（2）画树状图如下：由树状图知，共有6种等可能结果，其中摸出的两张卡片中至少有一张红色卡片的有4种结果，∴摸出的两张卡片中至少有一张红色卡片概率为．22．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；点A1的坐标为（2，1）；故答案为：（2，1）；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；P2的坐标为（﹣2m+3，2n+3）．故答案为：（﹣2m+3，2n+3）．23．【解答】证明（1）∵CE⊥AD，∴∠CED＝∠ACB＝90°，∵∠CDE＝∠ADC，∴△CDE∽△ADC，∴CD：AD＝DE：CD，∴CD2＝DE•AD．（2）∵D是BC的中点，∴BD＝CD；∵CD2＝DE•AD，∴BD2＝DE•AD，∴BD：AD＝DE：BD；又∵∠ADB＝∠BDE，∴△BDE∽△ADB，∴∠BED＝∠ABC，∵∠BED＝47°，∴∠ABC＝47°．24．【解答】解：∵在Rt△APN中，∠NAP＝45°，∴P A＝PN，在Rt△APM中，tan∠MAP＝，设P A＝PN＝x米，∵∠MAP＝60°，∴MP＝AP•tan∠MAP＝x，在Rt△BPM中，tan∠MBP＝，∵∠MBP＝30°，AB＝5，∴＝，∴x＝，符合题意，∴MN＝MP﹣NP＝x﹣x＝（米），答：广告牌的宽MN的长为米．25．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵点C为弧BF的中点，∴弧BC＝弧CF．∴∠BAC＝∠F AC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC．∴∠OCA＝∠F AC，∴OC∥AE，∵AE⊥DE，∴OC⊥DE．∴DE是⊙O的切线；（2）∵sin D＝＝，∴设OC＝3x，OD＝5x，则5x＝3x+2，∴x＝1，∴OC＝3，OD＝5，∴AD＝8，∵sin D＝＝＝，∴AE＝．26．【解答】解：（1）设该商品售价x元，根据题意得：（40+x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]＝10000，解得x1＝50，x2＝80（不合题意舍去），答：为了尽快售出，这种商品的售价应定为每个50元；（2）该商品的利润为：y＝（40+x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]＝﹣10x2+130x﹣3000；＝﹣10（x﹣65）2+12250∵当售价为65元时，可得最大利润12250元．27．【解答】解：（1）设对称轴交x轴于点E，交对称轴于点D，函数的对称轴为：x＝1，点C为AD的中点，则点A（﹣1，0），将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：m＝﹣3，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）tan∠ABQ＝3，点B（3，0），则AQ所在的直线为：y＝±3x（x﹣3）…②，联立①②并解得：x＝﹣4或3（舍去）或2，故点Q（﹣4，21）或（2，﹣3）；（3）不存在，理由：△QBP∽△COA，则∠QBP＝90°①当点Q（2，﹣3）时，则BQ的表达式为：y＝﹣（x﹣3）…③，联立①③并解得：x＝3（舍去）或﹣，故点P（﹣，），此时BP：PQ≠OA：OB，故点P不存在；②当点Q（﹣4，21）时，同理可得：点P（﹣，），此时BP：PQ≠OA：OB，故点P不存在；综上，点P不存在．28．【解答】解：（1）由翻折的性质得：AB＝A′B′＝1，BE＝B′E＝，AF＝A′F，∠A′＝∠BAD＝90°，过点B′作B′H⊥BC于H，延长HB′交AD于Q，连接B′F，如图所示：则四边形ABHQ与四边形CDQH是矩形，∴HQ＝AB＝1，∠EHB′＝∠B′QF＝90°，B′H∥AB，∴△CHB′∽△CBA，∴＝，设B′H＝a，即＝，∴CH＝2a，∴EH＝BC﹣BE﹣CH＝2﹣﹣2a＝﹣2a，在Rt△EHB′中，EH2+B′H2＝B′E2，即（﹣2a）2+a2＝（）2，解得：a＝或a＝（不合题意舍去），∴B′H＝，EH＝，B′Q＝HQ﹣B′H＝1﹣＝，设AF＝x，∵四边形ABCD与四边形CDQH是矩形，∴AD＝BC＝2，DQ＝CH＝，∴FQ＝AD﹣DQ﹣AF＝2﹣﹣x＝﹣x，B′F2＝A′F2+A′B′＝x2+1，在Rt△FQB′中，x2+1＝（﹣x）2+（）2，解得：x＝，∴AF＝；（2）当F与A重合时，如图2所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴AC＝＝＝，由折叠的性质得：B'E＝BE＝m，AB'＝AB＝1，∠AB'E＝∠B＝90°，∴CE＝BC﹣BE＝2﹣m，∠CB'E＝90°，∴CB'＝AC﹣AB'＝﹣1，在Rt△CEB'中，由勾股定理得：m2+（﹣1）2＝（2﹣m）2，解得：m＝；当B'与C重合时，E为BC的中点，如图3所示：m＝BC＝1；若翻折后存在点B′落在线段AC上，m的取值范围是≤m≤1；故答案为：≤m≤1．。

A ．平均数B．方差C．中位数D．极差5．（3 分）二次函数2x2 6x 图象的顶点坐标为B． ( 3, 9)ABCD 内接于O ，若个圆柱形输水管横截面的示意图，A． 30C．C．(3, 9)40 ，则135D．D．阴影部分为有水部分，2cm ，则该输水管的半径为（C．6cm D．O中，若弦 AB 3 2 ，B． 45(0, 6)140如果水面 AB 的8cm则弦 AB 所对的圆周角的度数为（）C． 30 或 150 D． 45 或 135 2019-2020 学年江苏省无锡市滨湖区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共 10 小题） .1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（)A．2x y1 B ．x2 3xy 61C． x 42D ． x 3x 22．（3分）下列方程中，有两个不相等的实数根的是()A．x2x10 2B ． x2x 1 02C． x 2 1 02D． x 22x 1 0 3．（3 分）若两个相似多边形的面积之比为4 : 9 ，则这两个多边形的周长之比为（）A． 2: 3 B．2:3 C． 4:9 D． 16 :814．（3 分）有 9 名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前 4名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这 9 名同学成绩A． (3,0)B．1208．（3 分）在半径为3cm7．（3 分）如图是9．（3分）如图，等边三角形 ABC的边长为 5，D 、 E分别是边 AB、AC 上的点，将ADE沿 DE 折叠，点 A 恰好落在 BC 边上的点 F 处，若 BF 2 ，则 BD 的长是（）A．2 B．3C．218 24 D．710．（ 3分）已知二次函数y2 (x 1)25 ，当 m x n 且mn0 时， y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m n 的值为（)1 3 5A．B．C．2 D．2 2 2二、填空题（共 8 小题）11．（2分）一元二次方程 x 4 0 的解是12．（ 2 分）一个不透明的口袋中装有若干只除了颜色外其它都完全相同的小球，若袋中有红球 6 只，且摸出红球的概率为3，则袋中共有小球只．513．（2分）某一时刻，一棵树高 15m ，影长为 18m ．此时，高为 50m的旗杆的影长为m．214．（2 分）已知一个圆锥底面圆的半径为 6cm ，高为 8cm ，则圆锥的侧面积为cm2．（结果保留）15．（ 2 分）在 ABCD 中， ABC 的平分线 BF 交对角线 AC 于点 E ，交 AD 于点F ．若2 b 0（a、b 、m 为常数，a 0）的解是 x1 2 ，x2 1 ，那么方程a（x m 2）2 b 0 的解17．（ 2 分）如图，若一个半径为 1 的圆形纸片在边长为 6 的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片能接触到的最大面积为．18．（2分）如图，在边长为 4的菱形 ABCD中， A 60 ，M 是AD边的中点，点N是AB 边上一动点，将 AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△ AMN ，连接 AC ，则线段 AC长度的最小值是三、解答题（本大题共 10 小题，共 84 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（ 8 分）解方程：（1）x22x 1 0 ；2（2）（2x 1）2 4（2 x 1）．220．（ 8分）已知关于 x的方程x2（k 1）x 2k 0 ，若方程的一个根是 4 ，求另一个根及 k 的值．21．（ 6分）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形， ABC 的顶点及点 O 都在格点上（每个小方格的顶点叫做格点）．（1）以点 O 为位似中心，在网格区域内画出△ A B C ，使△ A B C 与 ABC 位似（A 、 B 、C 分别为 A、 B、 C的对应点），且位似比为 2:1 ；（2）△ A B C 的面积为个平方单位；（3）若网格中有一格点 D （异于点 C ），且△ AB D 的面积等于△ ABC 的面积，请在图中标出所有符合条件的点 D ．（如果这样的点 D 不止一个，请用 D1 、D2 、、 D n 标出）22．（ 8 分）某射击队教练为了了解队员训练情况，从队员中选取甲、乙两名队员进行射击测试，相同条件下各射靶 5 次，成绩统计如下：命中环数 6 7 8 9 10 甲命中相应环数的次数 0 1 3 1 0 乙命中相应环数的次数2211）根据上述信息可知：甲命中环数的中位数是 环，乙命中环数的众数是 环； 2）试通过计算说明甲、乙两人的成绩谁比较稳定？ （3）如果乙再射击 1 次，命中 8 环，那么乙射击成绩的方差会 或“不变” ） 23（． 8分）“2020比佛利”无锡马拉松赛将于 3月22 日鸣枪开跑，本次比赛设三个项目： A ．全 程马拉松； B ．半程马拉松； C ．迷你马拉松．小明和小红都报名参与该赛事的志愿者服 务工作，若两人都已被选中，届时组委会随机将他们分配到三个项目组． （1）小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为 ；（2）请利用树状图或列表法求两人被分配到同一个项目组的概率．24．（8 分）如图，已知直线 l 切 O 于点 A ，B 为 O 上一点，过点 B 作BC l ，垂足为 点 C ，连接 AB 、 OB ． 1）求证： ABC ABO ；25．（8分）如图，在 ABCD 中，点E 是边 AD 上一点，延长 CE 到点F ，使 FBC DCE ，．（填“变大” 、“变小”1 ，求 O 的半径．且 FB 与 AD 相交于点 G ． 1）求证： D F ；2）用直尺和圆规在边 AD 上作出一点 P ，使 BPC ∽ CDP ，并加以证明． （作图要求：26．（ 10分）某商店购进一批成本为每件 30 元的商品． 经调查发现， 该商品每天的销售量 y （件 ）与销售单价 x （元 ） 之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求该商品每天的销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式；（ 2）若商店按单价不低于成本价且不高于 50 元销售， 则销售单价定为多少， 才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于 800 元，试利用函数图象确定销售单价2 27．（ 10 分）如图，已知二次函数y ax 2的左侧），交 y 轴于点 C ．一次函数y1）求这个二次函数的表达式； 52）若点 M 为 x 轴上一点，求 MD MA 的最小值．5与这个二次函数的图象的另一个交点为 E ，且 AD : DE 3:2 ．28．（10 分）如图，在正方形 ABCD 中， AB 4，动点 P从点 A出发，以每秒 2 个单位的速度，沿线段 AB 方向匀速运动，到达点 B 停止．连接 DP 交 AC 于点E ，以 DP 为直径作 O 交 AC 于点F ，连接 DF 、 PF ．（1）求证： DPF 为等腰直角三角形；（2）若点 P 的运动时间t秒．①当t为何值时，点 E恰好为 AC 的一个三等分点；② 将 EFP 沿 PF 翻折，得到 QFP ，当点 Q 恰好落在 BC 上时，求t 的小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛， 还需要知道这 9 名同学成绩参考答案、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题所给出的四个选项中， 只有一项是正确的，请用 2B 铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1．（3 分）下列方程中，是一元二次方程的是 （ ） 2 1 2A ．2x y 1B ． x 23xy 6C ． x4 D ． x 23x 2 x解： A 、原方程为二元一次方程，不符合题意； B 、原方程为二元二次方程，不符合题意； C 、原方程为分式方程，不符合题意； D 、原方程为一元二次方程，符合题意， 故选： D ．2．（3 分）下列方程中，有两个不相等的实数根的是 （ ） A ． x 2 x 1 0 2B ． x x 1 02C ． x 21 0 2D ． x 22x 1 0解：在x2x 1 0中，△ 2 ( 1)24 1 ( 1) 1 45 0 ，故该方程有两个不相等的实数根，故 A 符合题意；在 x 2x 1 0 中，△ 2124 1 1 1 4 3 0 ，故该方程无实数根， 故 B 不符合题意； 在 x 2 1 0 中，△ 0 4 1 1 0 4 4 0 ，故该方程无实数根，故 C 不符合题意； 在x 2 2x 1 0 中，△ 2 22 4 1 10， 故该方程有两个相等的实数根， 故D 不符合题意故选： A ．3．（3 分）若两个相似多边形的面积之比为 4 : 9 ，则这两个多边形的周长之比为 （ ） 解： 两个相似多边形的面积之比为 4 :9 ， 两个相似多边形的对应边的比为 2: 3， 两个相似多边形的周长的比为 2: 3， 故选： B ．4．（3 分）有 9 名同学参加歌咏比赛， 他们的预赛成绩各不相同，A ． 2 : 3B ．2:3C ． 4:9D ．16 :81现取其中前 4 名参加决赛，A ．平均数B．方差C．中位数D．极差解：由于总共有 9 个人，且他们的分数互不相同，第 5 的成绩是中位数，要判断是否进入前 5 名，故应知道中位数的多少．故选：C ．5．（3 分）二次函数x2 6x 图象的顶点坐标为（A． (3,0)B． ( 3,9)C．(3,9)D．(0,6)解：y x26x 26x 9 9 (x 3)2 9 ，二次函数y6 x 图象的顶点坐标为(3,9) ．故选：C ．B．120ABCD 内接于O ，若40 ，则C．135 D．140解：四边形 ABCD 内接于 O ，C A 180 ，C 180 40 140 ．故选：D ．7．（3 分）如图是一个圆柱形输水管横截面的示意图，阴影部分为有水部分，如果水面 AB的2cm ，则该输水管的半径为（C． 6cm D．8cm解：如图所示：过点 O作OD AB于点 D，连接 OA，OD AB ，1AD AB 4cm ， 2 设 OA r ，则 OD r 2 ，在 Rt AOD 中， OA 2OD 2AD 2，即 r 2(r 2)242， 解得 r 5cm ．连接 OA ，OB ， 则 OA OB 3 ， B 3 2 ， 2 2 2OA 2 OB 2AB 2，AOB 90 ，劣弧 AB 的度数是 90 ，优弧 AB 的度数是 360 90 270 ， 弦 AB 对的圆周角的度数是 45 或 135 ， 故选： D ．9．(3分)如图，等边三角形 ABC 的边长为 5，D 、 E 分别是边 AB 、AC 上的点，将 ADE 沿 DE 折叠，点 A 恰好落在 BC 边上的点 F 处，若 BF 2 ，则 BD 的长是 ( )5cm ；O 中， 若弦 AB3 2 ，则弦 AB 所对的圆周角的度数为 ( ) 解： 如图所示， C ． 30 或 150D ． 45 或 135该输水管的半A ． 3解： 二次函数 y (x 1)25的大致图象如下：B ．3C ．21824 D ．7解： ABC 是等边三角形，C 60 ， AB BC AC5，ADE FDE ，DFE A 60 ， AD DF ， AE EF ， 设 BD x ，AD DF 5 x ， CE y ， AE5BF 2 ， BC 5 ，CF 3 ，C 60 ， DFE 60EFCFEC 120DFBEFC 120DFB FEC ，DBF ∽ FCE ， BD BF DF ，CE EF，5 x，yFC 即x 3解得：即 BD21821，8，故选： C ．10．( 3 分)已知二次函数(x0 时， y 的最小值为 2m ，大值为 2n ，则 m n 的值为 ( A ．12B ．C ．2D ．52A ． 2 沿 DE 折叠 A 落在 BC 边上的点 F 上，yCBn 且 21)25 ，①当 m 0 x n 1时，当 x m 时， y 取最小值，即 2m(m 1)2 5， 解得m 2 ．当x n 时， y 取最大值，即 2n （n 1）25 ，解得n 2或 n 2 （均不合题意，舍去） ；②当 m 0 x 1 n 时，当 x m 时， y 取最小值，即 2m (m 1)2 5， 解得m 2 ．当x 1时， y 取最大值，即 2n （1 1）25，解得n 2.5 ，或x n 时， y 取最小值， x 1时， y 取最大值，2m 2(n 1)25，n 2.5 ，11 m 181， m 0 ，此种情形不合题意， 所以 m n 2 2.5 0.5 ． 故选： A ．二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 2分，共 16分．不需写出解答过程，只需把答案直 接填写在答题卡上相应的位置）11．（ 2 分）一元二次方程 x 24 0 的解是 x 2 ． 解： 移项得 x 24 ， x 2 ． 故答案： x 2 ．12．（ 2 分）一个不透明的口袋中装有若干只除了颜色外其它都完全相同的小球，若袋中有3红球 6 只，且摸出红球的概率为 3，则袋中共有小球 10 只．5解： 设袋中共有小球只， 根据题意得 6 3 ，解得 x 10 ，x5 所以袋中共有小球 10 只． 故答案为 10．15m ，影长为 18m ．此时，高为 50m 的旗杆的影长为 60 m ． 解： 设旗杆的影长为 xm ，解得 x 60 ， 即高为 50m 的旗杆的影长为 60m ． 故答案为： 60． 14．（ 2 分）已知一个圆锥底面圆的半径为 cm 2．（结果保留 ）解：根据题意得，圆锥的母线 62 8210cm ， 圆锥的底面周长 2r 12 cm ，圆锥的侧面积 1 lR 1 212 10 60 cm 2 ．22故答案为 60 ．15．（ 2 分）在 ABCD中， ABC 的平分线 BF 交对角线 AC 于点 E ，交 AD 于点F ．若13．（ 2 分）某一时刻，一棵树高 由题意得， 50 15x 186cm ，高为 8cm ，则圆锥的侧面积为 60AFB EBC ，BF 是 ABC 的角平分线，EF 3；BF 8；故答案为： 3 ．816．（ 2分）已知关于 x 的方程 a （x m ）2b 0（a 、b 、m 为常数， a 0） 的解是 x 1 2，x 21，那么方程 a（x2m 2)2b 0 的解 x 3 0 ， x 4 3 ．解： 关于 x 的方程a （x m)2b 0的解是x 1 2，x 2 1，（a ，m ， b 均为常数， a 0) ， 方程 a( x m 2) 2 b 0变形为 a[( x2)2m]2b 0，即此方程中 x 2 2或 x 2 1 ， 解得 x 0 或x3．故答案为：x 30， x 4 3．17．（ 2 分）如图，若一个半径为 1 的圆形纸片在边长为 6 的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片能接触到的最大面积为 6 3 当圆形纸片运动到与 A 的两边相切的位置时， 过圆形纸片的圆心 O 作两边的垂线，垂足分别为 D ，E ，AFE3 B CAF连接 AO ，则 Rt ADO 中， OAD 30 ， OD 1 ， AD 3 ，S四边形 ADOE2 SADO 3 ，DOE 120 ，S扇形 DOE 3，纸片不能接触到的部分面积为： 3( 3 3) 3 3SABC纸片能接触到的最大面积为：故答案为 6 3 18．（2分）如图，在边长为 4的菱形 ABCD 中， A 60 ，M 是AD 边的中点，点N 是AB 边上一动点， 将 AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△ AMN ，连接 AC ，则线段 AC 长度的 最小值是 2 7 2解： 如图所示：在 N 的运动过程中 A 在以 M 为圆心， MA 的长为半径的圆上， MA 是定值， A C 长度取最小值时，即 A 在MC 上时， 过点 M 作 MF DC 于点 F ，在边长为 4 的菱形 ABCD 中， A 60 ， M 为 AD 中点， MD 2 ， FDM 60 ， FMD 30 ，SADO12OD AD 23，FD 1 MD 1 ，2FM DM cos30 3，MCFM 2CF 22 7 ，AC MC MA2 72 ．三、解答题(本大题共 10 小题，共 84 分．请在答题卡指定区域内作答， 字说明、证明过程或演算步骤) 19．( 8 分)解方程：2(1) x 22x 1 0 ；(2)(2x 1)24(2 x 1)．解：( 1) x 22x 1 0 ， x 22x 1 2 ，2(x 2)22 ，22) (2x 1)24(2x 1) ， (2x 1 4)(2 x 1) 0 ，220．( 8分)已知关于 x 的方程 x 2(k 1)x 2k 0 ，若方程的一个根是 的值． 解： 关于 x 的方程 x 2(k 1)x 2k 0的一个根是 4 ， 16 4(k 1) 2k 0 ，解得 k 2 ，2原方程为 x 23x 4 0 ，解得 x 4 或 x 1 ，解答时应写出文 4 ，求另一个根及 k故答案为： 2 7 2 ．51 x 或 x22即方程的另一根为 1， k 的值为 2 ．21．（ 6分）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形， ABC 的顶点及点 O 都在格点上（每个小方格的顶点叫做格点）．（1）以点 O 为位似中心，在网格区域内画出△ A B C ，使△ A B C 与 ABC 位似（A 、 B 、C 分别为 A、 B、 C的对应点），且位似比为 2:1 ；（2）△ A BC 的面积为 10 个平方单位；（3）若网格中有一格点 D （异于点 C ），且△ AB D 的面积等于△ ABC 的面积，请在图中标出所有符合条件的点 D ．（如果这样的点 D 不止一个，请用 D1、 D2、、 D n 标出）12)△ A B C 的面积为 4 6 2 42 124224 4 4 6 10 ；故答案为： 10；3）如图所示，所有符合条件的点D 有 5 个．22．（ 8 分）某射击队教练为了了解队员训练情况，从队员中选取甲、乙两名队员进行射击测试，相同条件下各射靶 5 次，成绩统计如下：（1）根据上述信息可知：甲命中环数的中位数是8 环，乙命中环数的众数是环；（2）试通过计算说明甲、乙两人的成绩谁比较稳定？（3）如果乙再射击 1 次，命中 8 环，那么乙射击成绩的方差会．（填“变大” 、“变小”或“不变” ）解：（1）把甲命中环数从小到大排列为7，8， 8，8，9，最中间的数是 8，则中位数是 8；在乙命中环数中， 6和 9都出现了 2次，出现的次数最多，则乙命中环数的众数是 6和 9；故答案为： 8， 6 和 9；（2）甲的平均数是：（7 8 8 8 9） 5 8 ，则甲的方差是：1[(72 2 28)23(8 8)2(9 8)2] 0.4 ，乙的平均数是：(6 69 9 10) 5 8 ，则乙的方差是：1[2(8)22(9 8)2(10 8)2]2.8 ，所以甲的成绩比较稳定；（3）如果乙再射击1 次，命中 8 环，那么乙的射击成绩的方差变小．故答案为：变小．23（． 8分）“2020比佛利”无锡马拉松赛将于 3月22 日鸣枪开跑，本次比赛设三个项目： A．全程马拉松； B ．半程马拉松； C ．迷你马拉松．小明和小红都报名参与该赛事的志愿者服务工作，若两人都已被选中，届时组委会随机将他们分配到三个项目组．（1）小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为1；3（2）请利用树状图或列表法求两人被分配到同一个项目组的概率．解：（1）小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为2）画树状图为：共有 9 种等可能的结果数，其中两人被分配到同一个项目组的结果数为OB OA ， OA AC ， BC AC ， OA/ /BC ， OBA ABC ， ABC ABO ；3，所以两人被分配到同一个项目组的概率31 9324．（ 8 分） 如图，已知直线 l O 于点 A ， B O 上一点，过点 B 作 BC l ，垂足为 点 C ，连接 AB 、 OB ． ABC ABO ；OBA OAB ， 切 O 于 A ，AC1）求1 ，求 O 的半径．解答】（1）证明：连接设O 的半径为 R ，过 O 作 ODOD BC ， BC AC ， OA AC ，四边形 OACD 是矩形，在 Rt ODB 中，由勾股定理得：222OB 2 OD 3 BD 2，即 R 212(3 R)2，解得：R 4 ，3 O 的半径是 5 ．解：（ 1） 四边形 ABCD 是平行四边形， AD / / BC FGE FBC325．（8分）如图，在 ABCD 中，点E 是边 AD 上一点，延长CE 到点F ，使 且 FB 与 AD 相交于点 G ．（2）用直尺和圆规在边 AD 上作出一点 P ，使 BPC ∽ CDP ，并加以证明．ODC DCA OAC 90 ， FBC DCE ，2）解： OD AC 1， OA CDR ，在 RtA CB 中， AB 10 ， AC 1 ，由勾股定理得： BC ( 10) 212 *3 FBC DCE ，作图要求：FGE DCEFEG DECD F ．证明：作 BC 和 BF 的垂直平分线，交于点 O ，作 FBC 的外接圆，连接 BO 并延长交 AD 于点 P ，PCB 90AD / / BCCPD PCB 90由（ 1）得 F DF BPCD BPCBPC ∽ CDP ．26．（ 10分）某商店购进一批成本为每件 30 元的商品．经调查发现，该商品每天的销售量 y （件）与销售单价 x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求该商品每天的销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式；（ 2）若商店按单价不低于成本价且不高于50 元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800 元，试利用函数图象确定销售单价将点 (30,100) 、 (45,70) 代入一次函数表达式得： 30k b 100 45k b 70 解得： k2 b 160 ，故函数的表达式为： y 2x 160 ；1)求这个二次函数的表达式；52)若点 M 为 x 轴上一点，求 MD 5 MA 的最小值．y kx b ，2)由题意得： w (x 30)( 2x 160) 2(x 55)21250 ， 2 0 ，故当 x 55 时， w 随 x 的增大而增大，而 当 x 50 时， w 有最大值，此时， w 1200 ，故销售单价定为 50 元时，该超市每天的利润最大，最大利润 1200元； (3)由题意得： (x 30)( 2x 160) 800 ， 解得： x 70 ， 销售单价最多为 70 元．227．( 10 分)如图，已知二次函数 y 4ax c(a 0)的图象交 x 轴于 A 、B 两点 (A 在 B 的左侧)，交 y 轴于点 C ．一次函数 y1 x b 的图象经过点 A ，与 y 轴交于点 D(0, 3) ，与这个二次函数的图象的另一个交点为 E ，且 AD : DE 3: 2 ． 最多为多少x 之间的函数关系式55MD MD，1解：(1)把 D(0, 3)代入 y x b 得 b 3，2 1一次函数解析式为 y 2 x 3 ，1当 y 0 时， x 3 0 ，解得 x 6 ，则 A( 6,0) ，2作 EF x 轴于 F ，如图， OD / / EF ， AO AD 3 ， OF DE 2 ，2OF OA 4 ，3E 点的横坐标为 4，把 A( 6,0) ， E(4, 5) 代入 y ax 24ax36a c 得36a24ac 0，1解得 a4 ， 16a 16ac5c3抛物线解析式为 1 y42 x x3 ；(2)作 MH AD 于H ， 作 D 点关于 x 轴的对称点 D ， 如图，则D (0,3) ，MAH DAO ， Rt AMH ∽ Rt ADO ， AMAD MHMH OD ，5AM即AM 35 MH 3在 Rt OAD 中， AD 32 623 5 ，MD 5 MA MD MH ，5D DH ADO ， Rt DHD ∽Rt DOA ，D H DD D H 6 12 5 ，即 ，解得 D H ， OA DA 6 3 5 5 MD 5 MA 的最小值为 12 5 ． 5528．（10 分）如图，在正方形 ABCD 中， AB 4，动点 P 从点 A 出发，以每秒 2 个单位的 速度，沿线段 AB 方向匀速运动， 到达点 B 停止．连接 DP 交 AC 于点 E ，以DP 为直径作 O 交 AC 于点 F ，连接 DF 、 PF ． （1）求证： DPF 为等腰直角三角形； （2）若点 P 的运动时间 t 秒．①当t 为何值时，点 E 恰好为 AC 的一个三等分点；② 将 EFP 沿 PF 翻 折 ， 得 到 QFP ， 当 点 Q 恰 好 落 在 BC 上 时 ， 求 t 的解答】 证明：（ 1） 四边形 ABCD 是正方形， AC 是对角线， DAC 45 ，在 O 中， DF 所对的圆周角是 DAF 和 DPF ，DAF DPF ，当点 M 、 H 、 D 共线时， MD 5MA 5MD MHD H ，此时 MD 5MA 的值最小，DPF 45 ，DFP 90 ，FDP DPF 45 ，DFP 是等腰直角三角形；（2）①当 AE:EC 1: 2时，AB / /CD ，DCE PAE ， CDE APE ， DCE∽ PAE ，DC CE，PA AE ，4 2，2t 1，解得， t 1 ；当 AE : EC 2:1 时，AB / /CD ，DCE PAE ， CDE APE ， DCE∽ PAE ，DC CE，PA AE ，4 1，2t 2，解得， t 4 ，点 P 从点 A 到 B ，t 的最大值是 4 2 2 ，当 t 4 时不合题意，舍去；由上可得，当t为 1时，点E 恰好为 AC 的一个三等分点；②如右图所示，DPF 90 ，DPF OPF ，OPF 90 ，DPA QPB 90 ，DPA PDA 90 ，PDA QPB又 DP O 的直径，4ax c （a 0）的图象交 x 轴于 A 、B 两点 （A 在 B12x b 的图象经过点 A ，与 y 轴交于点 D （0,3） ，（1）求证： D F ；点 Q 落在 BC 上， DAP B 90 ， DAP ∽ PBQ ， DA DPPB PQ ， DA AB 4 ， AP 2t ， DAP 90 DP 42 (2t) 2 2 4 t 2 ， PB 4 设 PQ a ，则 PE a ， DE DP a 2t ， 2 2 t 2 a ， AEP ∽ CED ，AP PE ，CD DE， 即 2t a4 2 4 t 2 a 解得， a 2t 4 t ， 2t PQ 2 2t 4 t 22t 4 2 4 t 2 ， 4 2t 2t 4 t 2 2t 解得， t 1 5 1(舍去)， t 2 5 1 即 t 的值是 5 1 ．。

苏教版九年级第一学期期末模拟考试数学试题一、选择题（本题有8小题，每小题3分，共24分）1．方程x2+2x=0的解是（）A．x1=0，x2=2 B．x1=0，x2=﹣2 C．x=2 D．x=﹣22．若△ABC∽△A′B′C′，相似比为2：3，则△ABC与△A′B′C′的周长的比为（）A．2：3 B．4：9 C．3：2 D．：3．如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0），以原点O位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（）A．（2，1）B．（2，0）C．（3，3）D．（3，1）4．某市6月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是（）A．21，21 B．21，21.5 C．21，22 D．22，225．如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（）A．AD=BD B．OD=CD C．∠CAD=∠CBD D．∠OCA=∠OCB6．如果将抛物线y=x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（）A．y=x2+1 B．y=x2﹣1 C．y=（x+1）2D．y=（x﹣1）27．若等边三角形ABC内接于⊙O，点P在上（P不与B、C重合），则∠BPC等于（）A．30°B．45°C．60°D．120°8．有一组数据如下：3，a，4，6，7，若它们的平均数是5，则这组数据的方差是（）A．10 B．C．D．2二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）9．一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为．10．已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1：2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为米．11．若关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是．12．某企业10月份净化污水3000吨，12月份净化污水3630吨，设该企业净化污水量的月均增长率为x，可列方程．13．若圆锥的底面直径为4cm，母线长为5cm，则其侧面积为cm2（结果保留π）．14．甲、乙、丙三人进行飞镖比赛，已知他们每人五次投得的成绩如图，那么三人中成绩最稳定的是．15．如图，在△ABC中，已知AD是BC边上的高，DC=1，BD=2，tanB=cos∠DAC，则AB的值为．16．如图，将边长为2cm的正方形绕其中心旋转45°，则两个正方形公共部分的面积为cm2．三、解答题（本题有9小题，共72分）17．（1）计算：20160﹣+4cos45°；（2）解方程：3x2﹣2x﹣1=0．18．某人的钱包内有10元钱，20元钱和50元钱的纸币各1张，从中随机取出2张纸币，用列表或画树状图的方法，求下列事件的概率：（1）取出纸币的总额是30元；（2）取出纸币的总额可购买一件51元的商品．19．如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧．（1）改圆弧所在的圆心坐标为；（2）连结AC，求线段AC和弧AC所围成图形的面积（结果保留π）．20．如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，D是AC上的一点，且AD=2，试在AB上确定一点E，使得△ADE与原三角形相似，并求出AE的长．21．根据学习函数的经验，小明对函数y=x2+的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完成：（1）函数y=x2+的自变量x的取值范围是．（2）下表是y与x的几组对应值，其中m= ；﹣﹣ 2（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，2），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）．22．某农户经销一种农产品，已知该产品的进价为每千克20元，调查发现，该产品每天的销量y （千克）与售价x（元/千克）有如下关系：y=﹣2x+80，设该产品每天的销售利润为w元．（1）售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（2）物价部门规定该产品的售价不得高于28元/千克，该农户若每天获利150元，售价应定为多少？23．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且=，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．（1）求证：△ACD是等边三角形；（2）连接OE，若DE=2，求OE的长．24．如图，线段MN表示一段高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A到MN 的距离为15m，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN=30°．若汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，方圆39m以内会受到噪音的影响，当其到达点P时，噪音开始影响这一排的居民楼；当其到达点Q时，它与这一排居民楼的距离为39m，求PQ的长度（精确到1m）（参考数据：≈1.7）25．一次函数y=x的图象如图所示，它与二次函数y=ax2﹣4ax+c的图象交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C．（1）求点C的坐标；（2）设二次函数图象的顶点为D．①若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式；②若CD=AC，且△ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式．参考答案与试题解析一、选择题（本题有8小题，每小题3分，共24分）1．方程x2+2x=0的解是（）A．x1=0，x2=2 B．x1=0，x2=﹣2 C．x=2 D．x=﹣2【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】利用因式分解法把方程转化为x=0或x+2=0，然后解两个一次方程即可．【解答】解：x（x+2）=0，x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=﹣2．故选B．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）2．若△ABC∽△A′B′C′，相似比为2：3，则△ABC与△A′B′C′的周长的比为（）A．2：3 B．4：9 C．3：2 D．：【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为2：3，∴△ABC与△A′B′C′的周长的比为2：3．故选：A．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．3．如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0），以原点O位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（）A．（2，1）B．（2，0）C．（3，3）D．（3，1）【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是，根据已知数据可以求出点C的坐标．【解答】解：由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是，∴=，又OB=6，AB=3，∴OD=2，CD=1，∴点C的坐标为：（2，1），故选：A．【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．4．某市6月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是（）A．21，21 B．21，21.5 C．21，22 D．22，22【考点】众数；条形统计图；中位数．【专题】数形结合．【分析】根据条形统计图得到各数据的权，然后根据众数和中位数的定义求解．【解答】解：这组数据中，21出现了10次，出现次数最多，所以众数为21，第15个数和第16个数都是22，所以中位数是22．故选C．【点评】本题考查了众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了条形统计图和中位数．5．如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（）A．AD=BD B．OD=CD C．∠CAD=∠CBD D．∠OCA=∠OCB【考点】菱形的判定；垂径定理．【专题】压轴题．【分析】利用对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，进而求出即可．【解答】解：∵在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，∴AD=DB，当DO=CD，则AD=BD，DO=CD，AB⊥CO，故四边形OACB为菱形．故选：B．【点评】此题主要考查了菱形的判定以及垂径定理，熟练掌握菱形的判定方法是解题关键．6．如果将抛物线y=x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（）A．y=x2+1 B．y=x2﹣1 C．y=（x+1）2D．y=（x﹣1）2【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先得到抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再得到点（0，0）向右平移1个单位得到点的坐标为（1，0），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向右平移1个单位得到点的坐标为（1，0），所以所得的抛物线的表达式为y=（x﹣1）2．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．7．若等边三角形ABC内接于⊙O，点P在上（P不与B、C重合），则∠BPC等于（）A．30°B．45°C．60°D．120°【考点】圆周角定理；等边三角形的性质．【分析】根据等边三角形的性质求出∠A的度数，再根据同弧所对的圆周角相等即可求出∠BPC的度数．【解答】解：如图所示：∵△ABC为等边三角形，∴∠A=60°，∴∠BPC=∠A=60°．故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的性质、圆周角定理；熟练掌握等边三角形的性质，熟记同弧所对的圆周角相等是解决问题的关键．8．有一组数据如下：3，a，4，6，7，若它们的平均数是5，则这组数据的方差是（）A．10 B．C．D．2【考点】方差；算术平均数．【专题】计算题．【分析】先利用平均数的定义得到3+a+4+6+7=5×5，解得a=5，然后根据方差公式计算这组三角形的方差．【解答】解：根据题意得3+a+4+6+7=5×5，解得a=5，所以这组数据为3，5，4，6，7，所以这组数据的方差=[（3﹣5）2+（5﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（7﹣5）2]=2．故选D．【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，计算公式是：s2=[（x1﹣x¯）2+（x2﹣x¯）2+…+（x n﹣x¯）2]．也考查了算术平均数．二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）9．一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为．【考点】概率公式．【分析】由一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，∴从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为：=．故答案为：．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．10．已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1：2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为26 米．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】应用题．【分析】首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案．【解答】解：如图，由题意得：斜坡AB的坡度：i=1：2.4，AE=10米，AE⊥BD，∵i==，∴BE=24米，∴在Rt△ABE中，AB==26（米）．故答案为：26．【点评】此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解坡度的定义．11．若关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是m≥﹣4 ．【考点】根的判别式．【专题】推理填空题．【分析】根据关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0有实数根，可得△≥0，从而可求得m的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0有实数根，∴△=42﹣4×1×（﹣m）≥0，解得，m≥4，故答案为：m≥4．【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是明确一元二次方程有实数根时△≥0．12．某企业10月份净化污水3000吨，12月份净化污水3630吨，设该企业净化污水量的月均增长率为x，可列方程3000（1+x）2=3630 ．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】利用等量关系：12月份净化污水吨数=10月份净化污水吨数×（1+平均每月增长的百分率）2，把相关数值代入即可求解．【解答】解：设该企业净化污水量的月均增长率为x，由题意得3000（1+x）2=3630．故答案为：3000（1+x）2=3630．【点评】本题考查从实际问题中抽象出一元二次方程，求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．13．若圆锥的底面直径为4cm，母线长为5cm，则其侧面积为10πcm2（结果保留π）．【考点】圆锥的计算．【分析】运用公式S侧=πrl计算．【解答】解：由题意，有圆锥的底面周长是4πcm，则圆锥的侧面积为S侧=×4π×5=10π（cm2）．故答案是：10π．【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．14．甲、乙、丙三人进行飞镖比赛，已知他们每人五次投得的成绩如图，那么三人中成绩最稳定的是乙．【考点】方差；折线统计图．【专题】图表型．【分析】根据方差的意义数据波动越小，数据越稳定即可得出答案．【解答】解：根据图形可得：乙的成绩波动最小，数据最稳定，则三人中成绩最稳定的是乙；故答案为：乙．【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．15．如图，在△ABC中，已知AD是BC边上的高，DC=1，BD=2，tanB=cos∠DAC，则AB的值为．【考点】解直角三角形．【专题】推理填空题．【分析】根据在△ABC中，已知AD是BC边上的高，DC=1，BD=2，tanB=cos∠DAC，可以得到∠ADB=∠ADC=90°，AD的长，从而可以得到AB的长，本题得以解决．【解答】解：∵在△ABC中，已知AD是BC边上的高，DC=1，BD=2，tanB=cos∠DAC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴，AC=，∴，解得，AD=，∴AB=，故答案为：．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是求出各边的长，找出所求问题需要的条件．16．如图，将边长为2cm的正方形绕其中心旋转45°，则两个正方形公共部分的面积为（8﹣8）cm2．【考点】旋转的性质．【专题】计算题．【分析】如图，设正方形的中心点为O，利用正方形的性质得∠OMC=∠OCM，∠OMB=∠OCB=45°，则∠BMC=∠BCM，所以BM=BC，再根据旋转的性质得∠ABM=∠CBD=45°，于是可判断△ABM 和△BCD为全等的等腰直角三角形，所以AB=BD，同理可得AF=AB，AE=AM=BC，设BC=x，则AE=x，BD=x，AB=AF=x，利用正方形的边长为2得x+x+x=2，解得x=2﹣，然后利用正方形的面积减去4个三角形的面积即可得到两个正方形公共部分的面积．【解答】解：如图，设正方形的中心点为O，∵点M和点C到正方形的中心的距离相等，即OM=OC，∴∠OMC=∠OCM，而∠OMB=∠OCB=45°，∴∠BMC=∠BCM，∴BM=BC，∵正方形绕其中心旋转45°，∴∠ABM=∠CBD=45°，∴△ABM和△BCD为全等的等腰直角三角形，∴AB=BD，同理可得AF=AB，AE=AM=BC，设BC=x，则AE=x，BD=x，∴AB=AF=x，∵AE+AB+BC=2，∴x+x+x=2，解得x=2﹣，∴S △BCD=•（2﹣）2=3﹣2，∴两个正方形公共部分的面积=22﹣4×（3﹣2）=（8﹣8）cm2．故答案为（8﹣8）．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．三、解答题（本题有9小题，共72分）17．（1）计算：20160﹣+4cos45°；（2）解方程：3x2﹣2x﹣1=0．【考点】实数的运算；零指数幂；解一元二次方程-因式分解法；特殊角的三角函数值．【分析】（1）分别根据0指数幂的运算法则、数的开方法则及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；（2）先把方程左边分解为两个因式积的形式，进而可得出结论．【解答】解：（1）原式=1﹣2+4×=1﹣2+2=1；（2）原方程可化为（3x+1）（x﹣1）=0，故3x+1=0或x﹣1=0，解得x1=﹣，x2=1．【点评】本题考查的是实数的运算，熟知0指数幂的运算法则、数的开方法则及特殊角的三角函数值是解答此题的关键．18．某人的钱包内有10元钱，20元钱和50元钱的纸币各1张，从中随机取出2张纸币，用列表或画树状图的方法，求下列事件的概率：（1）取出纸币的总额是30元；（2）取出纸币的总额可购买一件51元的商品．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）先列表展示所有3种等可能的结果数，再找出总额是30元所占结果数，然后根据概率公式计算；（2）找出总额超过51元的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：（1）列表：共有6种等可能的结果数，其中总额是30元占2种，所以取出纸币的总额是30元的概率=；（2）共有6种等可能的结果数，其中总额超过51元的有4种，所以取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率为．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．19．如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧．（1）改圆弧所在的圆心坐标为（2，1）；（2）连结AC，求线段AC和弧AC所围成图形的面积（结果保留π）．【考点】垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理；扇形面积的计算．【分析】（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．（2）连接DA、DC、AC，由勾股定理求出AD=DCDA=DC=，AC=2，得出DA2+DC2=AC2，由勾股定理的逆定理得出∠ADC=90°，由扇形面积公式和三角形面积公式即可得出结果．【解答】解：（1）作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心，如图1所示，圆心D的坐标为（2，1）；故答案为：（2，1）；（2）连接DA、DC，如图2所示：则DA=DC==，AC==2，∴DA2+DC2=AC2，∴△ADC是等腰直角三角形，∠ADC=90°，∴线段AC和弧AC所围成图形的面积=扇形ADC的面积﹣△DAC的面积=﹣××=﹣5．【点评】本题考查了垂径定理、坐标与图形性质、勾股定理、扇形面积的计算；熟练掌握垂径定理，通过作图求出圆心坐标是解决问题的关键．20．如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，D是AC上的一点，且AD=2，试在AB上确定一点E，使得△ADE与原三角形相似，并求出AE的长．【考点】相似三角形的判定．【分析】画出符合条件的两种情况的图形，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可．【解答】解：在AB上存在一点E，使得△ADE与△ABC相似，理由是：分为两种情况：①当∠ADE=∠C时，如图1：∵∠A=∠A，∠ADE=∠C，∴△ADE∽△ACB，∴∴，∴AE=；②当∠ADE=∠C时，如：2：∵∠A=∠A，∠ADE=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，∴AE=．∴在AB上存在一点E，使得△ADE与△ABC相似，符合条件的AE的长是或．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，注意：相似三角形的对应边成比例，注意一定要进行分类讨论啊．21．根据学习函数的经验，小明对函数y=x 2+的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完成：（1）函数y=x 2+的自变量x 的取值范围是 x ≠O ．（2）下表是y 与x 的几组对应值，其中m=； 1 2（3）如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，2），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可） 该函数没有最大值或该函数没有最小值或该函数不经过第四象限或该函数在x=0处断开． ．【考点】反比例函数综合题．【分析】（1）根据分母不能为零即可写出x的取值范围．（2）x=3代入解析式计算即可求出m．（3）描点法画图即可．（4）根据图象写一条符合该函数图象的性质即可．【解答】解；（1）函数y=x2+的自变量x的取值范围是x≠0．故答案为x≠0；（2）x=3时，m=32+=．故答案为；（3）该函数图象如图所示，（4）该函数没有最大值或该函数没有最小值或该函数不经过第四象限或该函数在x=0处断开．故答案为：该函数没有最大值或该函数没有最小值或该函数不经过第四象限或该函数在x=0处断开．【点评】本题考查函数的图象的性质，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想写出函数的性质，是一条开放性题目，难度不大．22．某农户经销一种农产品，已知该产品的进价为每千克20元，调查发现，该产品每天的销量y （千克）与售价x（元/千克）有如下关系：y=﹣2x+80，设该产品每天的销售利润为w元．（1）售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（2）物价部门规定该产品的售价不得高于28元/千克，该农户若每天获利150元，售价应定为多少？【考点】二次函数的应用．【专题】销售问题．【分析】（1）利用每千克利润×销量=总利润，进而利用配方法求出二次函数最值；（2）利用w=150，进而解方程得出答案．【解答】解：（1）由题意可得：w=（x﹣20（﹣2x+80）=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2（x﹣30）2+200，∵﹣2＜0，∴x=30时，w有最大值200，答：售价为30元/千克时，每天的销售利润最大，最大利润是200元；（2）当w=150时，可得﹣2（x﹣30）2+200=150，解得：x1=25，x2=35，∵35＞28，∴x2=35不合题意，应舍去，答：该农户若要每天获利150元，售价应定为每千克25元．【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的解法，正确得出w与x之间的函数关系是解题关键．23．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且=，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．（1）求证：△ACD是等边三角形；（2）连接OE，若DE=2，求OE的长．【考点】切线的性质；等边三角形的判定与性质．【分析】（1）由AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，得到AB⊥BE，由于CD∥BE，得到CD⊥AB，根据垂径定理得到，于是得到，问题即可得证；（2）连接OE，过O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等边三角形，得到∠DAC=60°又直角三角形的性质得到BE=AE，ON=AO，设⊙O的半径为：r则ON=r，AN=DN=r，由于得到EN=2+，BE=AE=，在R t△DEF与R t△BEO中，由勾股定理列方程即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，∴AB⊥BE，∵CD∥BE，∴CD⊥AB，∴，∵=，∴，∴AD=AC=CD，∴△ACD是等边三角形；（2）解：连接OE，过O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°∵AD=AC，CD⊥AB，∴∠DAB=30°，∴BE=AE，ON=AO，设⊙O的半径为：r，∴ON=r，AN=DN=r，∴EN=2+，BE=AE=，在R t△NEO与R t△BEO中，OE2=ON2+NE2=OB2+BE2，即（）2+（2+）2=r2+，∴r=2，∴OE2=+25=28，∴OE=2．【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，等边三角形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，过O作ON⊥AD于N，构造直角三角形是解题的关键．24．如图，线段MN表示一段高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A到MN 的距离为15m，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN=30°．若汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，方圆39m以内会受到噪音的影响，当其到达点P时，噪音开始影响这一排的居民楼；当其到达点Q时，它与这一排居民楼的距离为39m，求PQ的长度（精确到1m）（参考数据：≈1.7）【考点】解直角三角形的应用．【分析】连接PA．在直角△PAH中利用勾股定理来求PH的长度；通过解Rt△ADH、Rt△CDQ分别求得DH、DQ的长度，然后结合图形得到：PQ=PH+DQ﹣DH，把相关线段的长度代入求值即可．【解答】解：如图，连接PA，作AH⊥MN于H，作QC⊥AB于C．由题意知，AP=39m．在直角△APH中，PH===36（m）；在Rt△ADH中，DH=AH•cot30°=15（m）．在Rt△CDQ中，DQ===78（m）．则PQ=PH+HQ=PH+DQ﹣DH=36+78﹣15≈114﹣15×1.7=88.5≈89（m）．答：PQ的长度约为89m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理的应用．根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．25．一次函数y=x的图象如图所示，它与二次函数y=ax2﹣4ax+c的图象交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C．（1）求点C的坐标；（2）设二次函数图象的顶点为D．①若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式；②若CD=AC，且△ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）先求出对称轴为x=2，然后求出与一次函数y=x的交点，即点C的坐标；（2）①先求出点D的坐标，设A坐标为（m，m），然后根据面积为3，求出m的值，得出点A 的坐标，最后根据待定系数法求出a、c的值，即可求出解析式；②过点A作AE⊥CD于E，设A坐标为（m，m），由S△ACD=10，求出m的值，然后求出点A 坐标以及CD的长度，然后分两种情况：当a＞0，当a＜0时，分别求出点D的坐标，代入求出二次函数的解析式．【解答】解：（1）∵y=ax2﹣4ax+c=a（x﹣2）2﹣4a+c，∴二次函数图象的对称轴为直线x=2，当x=2时，y=x=，故点C（2，）；（2）①∵点D与点C关于x轴对称，∴D（2，﹣，），∴CD=3，设A（m，m）（m＜2），由S△ACD=3得：×3×（2﹣m）=3，解得m=0，∴A（0，0）．由A（0，0）、D（2，﹣）得：，解得：a=，c=0．∴y=x2﹣x；②设A（m，m）（m＜2），过点A作AE⊥CD于E，则AE=2﹣m，CE=﹣m，AC===（2﹣m），∵CD=AC，∴CD=（2﹣m），由S△ACD=10得×（2﹣m）2=10，解得：m=﹣2或m=6（舍去），∴m=﹣2，∴A（﹣2，﹣），CD=5，当a＞0时，则点D在点C下方，∴D（2，﹣），由A（﹣2，﹣）、D（2，﹣）得：，解得：，∴y=x2﹣x﹣3；当a＜0时，则点D在点C上方，∴D（2，），由A（﹣2，﹣）、D（2，）得：，解得，∴y=﹣x2+2x+．【点评】本题考查了二次根式的综合题，涉及了二次函数与一次函数的交点问题，三角形的面积公式，以及待定系数法求函数解析式等知识点，综合性较强，难度较大．。

九年级期末学情调研数学试题一、选择题（本大题共有８小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．0)30(tan o 的值是A ．33B ．0C ．1D ．32．一元二次方程0)2(=-x x 的解是A ．x 1=1，x 2=2B ．0=xC ．2=xD ．x 1=0，x 2=23．县医院住院部在连续10天测量某病人的体温与36℃的上下波动数据为：0.2, 0.3, 0.1, 0.1, 0, 0.2, 0.1, 0.1, 0.1, 0,则对这10天中该病人的体温波动数据分析不正确的是 A ．平均数为0.12B ．众数为0.1C ．中位数为0.1D ．方差为0.024．△ABC 为⊙O 的内接三角形，若∠AOC ＝160°，则∠ABC 的度数是A ．80°B ．160°C ．100°D ．80°或100°5．若二次函数c bx ax y ++=2的x 与y 的部分对应值如下表：则当0=x 时，y A ．5 B ．-3 C ．-13D ．-276．如图，在平面直角坐标系中，⊙A 经过原点O ，并且分别与x 轴、y 轴交于B 、C 两点，已知B （8，0），C （0，6），则⊙A 的半径为 A ．3B ．4C ．5D ．87．如图，在△ABC 中，EF ∥BC ，21=EB AE ，S 四边形BCFE =8，则S △ABC 等于 A ．9B ．10C ．12D ．138．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，反比例函数xay =与正比例函数x c b y )(+=在同一坐标系中的大致图象可能是A B C D二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上）9．如果线段c 是a 、b 的比例中项，且a=4，b=9，则c= ▲ ．10．不透明的袋子中装有4个红球、3个黄球和5个蓝球，每个球除颜色不同外其它都相同，从中任意摸出一个球，则摸出 ▲ 球的可能性最大．11．两个相似三角形的面积比为4：9，那么它们对应中线的比为 ▲ ． 12．若等腰三角形的两边分别为8和10，则底角的余弦值为 ▲ ． 13．在等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，D 为AC 上一点，若1tan DBC 3∠=，则AD ＝______。

九年级数学上学期期末模拟试题(考试时间：120分钟 总分：150分)一、选择题(每题3分，共18分) 1. 数据2，3，5，7，3的极差是( ▲ )A ．2B ．3C ．4D ．52. 如图，在平面直角坐标系中，直线OA 过点(2，1)，则tan α的值是( ▲ )第2题 第5题 A ．2 B ．21C ．55D 、5523. 在比例尺是1∶46000的城市交通游览图上，某条道路的图上距离长约8cm ，则这条道路的实际长度约为( ▲ )A ．310368⨯cm B ．4108.36⨯cm C ．51068.3⨯cm D ．61068.3⨯cm 4. 关于x 的一元二次方程022=-+m x x 有两个实数根，则m 的取值范围是( ▲ )A ．m ≥-1B ．m ＞-1C ． m ≤-1 且0≠mD ．m ≥-1且0≠m 5. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠OAB=40°，则∠ACB 的度数为( ▲ )A ．45°B ．40°C ．80°D ．50° 6. 关于二次函数2)1(212+--=x y 的图象与性质，下列结论错误．．的是( ▲ ) A ．抛物线与x 轴有两个交点 B ．当1=x 时，函数有最大值 C ．抛物线可由221-x y =经过平移得到 D ．当－1＜x ≤2时，函数y 的整数值有3个二、填空题(每题3分，共30分)7. 若x ＝0是关于x 的方程x 2―x ―a 2＋9＝0的一个根，则a 的值为 ▲ ． 8. 人数相同的九年级甲、乙两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：乙甲x x == 90，S 2甲=1.234,S 2乙=2.001,则成绩较为稳定的班级是 ▲ (填甲班或乙班)．9. 已知⊙O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为4，则⊙O 与直线l 的位置关系为 ▲ . 10. 如图，一个圆形转盘被分成6个圆心角都为60°的扇形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是 ▲ ．第10题 第14题 11. 已知△ABC ∽△DEF ，且21=DE AB ，则DEF ABC S S ∆∆= ▲ ．12. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，cosB=54，则AC 的长为 ▲ ．13. 一个圆锥的底面半径为1厘米，母线长为2厘米，则该圆锥的侧面积为 ▲ 平方厘米．(结果保留π)14. 如图,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠DAB=60°，则∠BCD 的度数是 ▲ ． 15．如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，O 为位似中心，相似比为1∶2，点A 的坐标为(1，0)，则D 点的坐标为 ▲ ． 16．如图，在直角坐标系xoy 中，若抛物线x x y 2212+=交x 轴 的负半轴于A ，以O 为旋转中心，将线段OA 按逆时针方向旋 转α(0°＜α≤360°)，再沿水平方向向右或向左平移若干个单 位长度，对应线段的一个端点正好落在抛物线的顶点处， 请直接写出所有符合题意的α的值是 ▲ ． 三、解答题(共102分)17. (本题满分12分)计算或解方程：(1) |2﹣tan60°|﹣(π﹣3.14)0+221-⎪⎭⎫⎝⎛-+． (2) x 2﹣6x+5= 0(配方法)18．(本题满分8分)前不久，我校初一、初二两个年级举行作文竞赛，根据初赛成绩，每个年级各选出5名选手分别组成初一代表队和初二代表队参加学校决赛．两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示． (1) 根据图示填写下表；(2) 结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好；19．(本题满分8分)如图，有5张形状、大小和质地都相同的卡片，正面分别写有字母：A ，B ，C ，D ，E 和一个等式，背面完全一致. 现将5张卡片分成两堆，第一堆：A ，B ，C ；第二堆：D ，E ，并从第一堆中抽出第一张卡片，再从第二堆中抽出第二张卡片．(1) 请用画树状图或列表法表示出所有可能结果；(卡片可用A ，B ，C ，D ，E 表示) (2) 将“第一张卡片上x 的值是第二张卡片中方程的解”记作事件M ，求事件M 的概率．x =1 A x =2 B x =－3 Cx 2+4x +3=0Dx －1=0 E第一堆第二堆20．(本题满分8分)某商店6月份的利润是2000元，要使8月份的利润达到3380元，平均每月利润增长的百分率是多少？21. (本题满分10分)为了弘扬“社会主义核心价值观”，市政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在一侧加固钢缆，已知钢缆底端D距广告牌立柱的距离CD为3米，从D点测得广告牌顶端A点和底端B点的仰角分别是60°和45°．(结果保留根号)(1) 求公益广告牌的高度AB；(2) 求加固钢缆AD和BD的长．22. (本题满分10分)如图，△ABC中，AC=BC，以BC上一点O为圆心，OB为半径作⊙O交AB于点D．已知经过点D的⊙O(1) 试判断CD与AC的位置关系，并加以证明；(2) 若△ACB ∽△CDB，且AC=3，求图中阴影部分的面积．23. (本题满分10分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，HH 点G是△ABC的重心，且AG⊥CG，CG的延长线交AB于H．(1) 求证：△CAG ∽△ABC；(2) 求S△AGH:S△ABC的值．24. (本题满分10分)某水果店出售某种水果，已知该水果的进价为6元/千克，若以9元/千克的价格销售，则每天可售出200千克；若以11元/千克的价格销售，则每天可售出120千克．通过调查验证，我发现每天的销售量y(千克)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系．(1) 求y(千克)与x(元)(x＞0)的函数关系式；(2) 当销售单价为何值时，该水果店销售这种水果每天获取的利润达到280元？(利润＝销售量×(销售单价－进价))(3) 该水果店在进货成本不超过720元时，销售单价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？25. (本题满分12分)如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是(﹣8，0)，点B 的坐标是(0，n)(n ＞0)．P 是直线AB 上的一个动点，作PC ⊥x 轴，垂足为C ．记点P 关于y 轴的对称点为P ′(点P ′不在y 轴上)，连接PP ′，P ′A ，P ′C ．设点P 的横坐标为m ．(1) 若点P 在第一象限，记直线AB 与P ′C 的交点为D ．当P ′D ：DC=5：13时，求m 的值；(2) 若∠AC P ′=60°，试用m 的代数式表示n ；(3) 若点P 在第一象限，是否同时存在m ，n ，使△P ′CA 为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的m ，n 的值；若不存在，请说明理由．26. (本题满分14分)已知点A(1x ，1y )、B(2x ，2y )在二次函数n mx x y ++=2的图像上，当1x =1、2x =3时，21y y =． (1) ①求m ；②若抛物线与x 轴只有一个公共点，求n 的值.(2) 若P(a ，b 1)，Q(3，b 2)是函数图像上的两点，且b 1＞b 2，求实数a 的取值范围.(3) 若对于任意实数1x 、2x 都有21y y ≥2，求n 的范围.初三数学期末试题答案一、选择题： 1-6 DBCADD 二、填空题：7.±3 8.甲 9.相交 10.3211.0.25 12.6 13.2π 14.120 15.(2,0) 16. 30°或150° 三、解答题： 17.(1) 5(6分)(2) 1、5(6分)18.(1)85，80，85 (6分) (2)略(2分) 19.(1)略 (4分)(2)31(4分) 20.30﹪(8分) 21.(1)3-33(4分) (2)6，32(各3分)22.(1)垂直，略 (2)6-23π(各5分) 23.(1)略(2)61(各5分) 24.(1)y=-40x+560(4分) (2)13,7 (3分) (3)600(3分) 25.(1)m=2140(3分) (2)n=m8316 m(3分)(3)m=38,n=4 ；m=8,n=8；不成立(各2分) 26.(1)①m=-4(3分) ②n=4(3分) (2)a ＜1或a ＞3 (5分) (3)n ≥5(3分)。

2019-2020学年江苏省无锡市滨湖区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是( ) A ．21x y +=B ．236x xy +=C ．14x x+= D ．232x x =-2．（3分）下列方程中，有两个不相等的实数根的是( ) A ．210x x --=B ．210x x ++=C ．210x +=D ．2210x x ++=3．（3分）若两个相似多边形的面积之比为4:9，则这两个多边形的周长之比为( ) A ．2:3B ．2:3C ．4:9D ．16:814．（3分）有9名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前4名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这9名同学成绩的( ) A ．平均数B ．方差C ．中位数D ．极差5．（3分）二次函数26y x x =-图象的顶点坐标为( ) A ．(3,0)B ．(3,9)--C ．(3,9)-D ．(0,6)-6．（3分）如图，四边形ABCD 内接于O ，若40A ∠=︒，则(C ∠= )A ．110︒B ．120︒C ．135︒D ．140︒7．（3分）如图是一个圆柱形输水管横截面的示意图，阴影部分为有水部分，如果水面AB 的宽为8cm ，水面最深的地方高度为2cm ，则该输水管的半径为( )A ．3cmB ．5cmC ．6cmD ．8cm8．（3分）在半径为3cm 的O 中，若弦32AB =则弦AB 所对的圆周角的度数为( ) A ．30︒B ．45︒C ．30︒或150︒D ．45︒或135︒9．（3分）如图，等边三角形ABC 的边长为5，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，将ADE ∆沿DE 折叠，点A 恰好落在BC 边上的点F 处，若2BF =，则BD 的长是( )A ．2B ．3C ．218D ．24710．（3分）已知二次函数2(1)5y x =--+，当m x n 且0mn <时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m n +的值为( ) A ．12B ．32C ．2D ．52二、填空题（共8小题）11．（2分）一元二次方程240x -=的解是 ．12．（2分）一个不透明的口袋中装有若干只除了颜色外其它都完全相同的小球，若袋中有红球6只，且摸出红球的概率为35，则袋中共有小球 只．13．（2分）某一时刻，一棵树高15m ，影长为18m ．此时，高为50m 的旗杆的影长为 m ． 14．（2分）已知一个圆锥底面圆的半径为6cm ，高为8cm ，则圆锥的侧面积为 2cm ．（结果保留)π15．（2分）在ABCD 中，ABC ∠的平分线BF 交对角线AC 于点E ，交AD 于点F ．若35AB BC =，则EFBF的值为 ．16．（2分）已知关于x 的方程2()0(a x m b a ++=、b 、m 为常数，0)a ≠的解是12x =，21x =-，那么方程2(2)0a x m b +++=的解 ．17．（2分）如图，若一个半径为1的圆形纸片在边长为6的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片能接触到的最大面积为 ．18．（2分）如图，在边长为4的菱形ABCD 中，60A ∠=︒，M 是AD 边的中点，点N 是AB 边上一动点，将AMN ∆沿MN 所在的直线翻折得到△A MN '，连接A C '，则线段A C '长度的最小值是 ．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分）解方程： （1）2210x x --=； （2）2(21)4(21)x x -=-．20．（8分）已知关于x 的方程2(1)20x k x k --+=，若方程的一个根是4-，求另一个根及k 的值．21．（6分）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，ABC ∆的顶点及点O 都在格点上（每个小方格的顶点叫做格点）．（1）以点O 为位似中心，在网格区域内画出△A B C '''，使△A B C '''与ABC ∆位似(A '、B '、C '分别为A 、B 、C 的对应点），且位似比为2:1； （2）△A B C '''的面积为 个平方单位；（3）若网格中有一格点D '（异于点)C '，且△A B D '''的面积等于△A B C '''的面积，请在图中标出所有符合条件的点D '．（如果这样的点D '不止一个，请用1D '、2D '、⋯、n D '标出）22．（8分）某射击队教练为了了解队员训练情况，从队员中选取甲、乙两名队员进行射击测试，相同条件下各射靶5次，成绩统计如下：命中环数678910甲命中相应环数的次数01310乙命中相应环数的次数20021（1）根据上述信息可知：甲命中环数的中位数是环，乙命中环数的众数是环；（2）试通过计算说明甲、乙两人的成绩谁比较稳定？（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙射击成绩的方差会．（填“变大”、“变小”或“不变”)23．（8分）“2020比佛利”无锡马拉松赛将于3月22日鸣枪开跑，本次比赛设三个项目：A．全程马拉松；B．半程马拉松；C．迷你马拉松．小明和小红都报名参与该赛事的志愿者服务工作，若两人都已被选中，届时组委会随机将他们分配到三个项目组．（1）小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为；（2）请利用树状图或列表法求两人被分配到同一个项目组的概率．24．（8分）如图，已知直线l切O于点A，B为O上一点，过点B作BC l⊥，垂足为点C，连接AB、OB．（1）求证：ABC ABO∠=∠；（2）若10AB=，1AC=，求O的半径．25．（8分）如图，在ABCD中，点E是边AD上一点，延长CE到点F，使FBC DCE∠=∠，且FB 与AD 相交于点G ． （1）求证：D F ∠=∠；（2）用直尺和圆规在边AD 上作出一点P ，使BPC CDP ∆∆∽，并加以证明．（作图要求：保留痕迹，不写作法．)26．（10分）某商店购进一批成本为每件30元的商品．经调查发现，该商品每天的销售量y （件)与销售单价x （元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求该商品每天的销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式；（2）若商店按单价不低于成本价且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，试利用函数图象确定销售单价最多为多少元？27．（10分）如图，已知二次函数24(0)y ax ax c a =++≠的图象交x 轴于A 、B 两点(A 在B 的左侧），交y 轴于点C ．一次函数12y x b =-+的图象经过点A ，与y 轴交于点(0,3)D -，与这个二次函数的图象的另一个交点为E ，且:3:2AD DE =． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点M 为x 轴上一点，求55MD 的最小值．28．（10分）如图，在正方形ABCD中，4AB=，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿线段AB方向匀速运动，到达点B停止．连接DP交AC于点E，以DP为直径作O 交AC于点F，连接DF、PF．（1）求证：DPF∆为等腰直角三角形；（2）若点P的运动时间t秒．①当t为何值时，点E恰好为AC的一个三等分点；②将EFP∆沿PF翻折，得到QFP∆，当点Q恰好落在BC上时，求t的值．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B 铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是( ) A ．21x y +=B ．236x xy +=C ．14x x+= D ．232x x =-解：A 、原方程为二元一次方程，不符合题意； B 、原方程为二元二次方程，不符合题意； C 、原方程为分式方程，不符合题意；D 、原方程为一元二次方程，符合题意，故选：D ．2．（3分）下列方程中，有两个不相等的实数根的是( ) A ．210x x --= B ．210x x ++=C ．210x +=D ．2210x x ++=解：在210x x --=中，△2(1)41(1)1450=--⨯⨯-=+=>，故该方程有两个不相等的实数根，故A 符合题意；在210x x ++=中，△214111430=-⨯⨯=-=-<，故该方程无实数根，故B 不符合题意； 在210x +=中，△04110440=-⨯⨯=-=-<，故该方程无实数根，故C 不符合题意； 在2210x x ++=中，△224110=-⨯⨯=，故该方程有两个相等的实数根，故D 不符合题意； 故选：A ．3．（3分）若两个相似多边形的面积之比为4:9，则这两个多边形的周长之比为( )AB ．2:3C ．4:9D ．16:81解：两个相似多边形的面积之比为4:9， ∴两个相似多边形的对应边的比为2:3， ∴两个相似多边形的周长的比为2:3，故选：B ．4．（3分）有9名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前4名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这9名同学成绩的( ) A ．平均数B ．方差C ．中位数D ．极差解：由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少． 故选：C ．5．（3分）二次函数26y x x =-图象的顶点坐标为( ) A ．(3,0) B ．(3,9)--C ．(3,9)-D ．(0,6)-解：2226699(3)9y x x x x x =-=-+-=--，∴二次函数26y x x =-图象的顶点坐标为(3,9)-．故选：C ．6．（3分）如图，四边形ABCD 内接于O ，若40A ∠=︒，则(C ∠= )A ．110︒B ．120︒C ．135︒D ．140︒解：四边形ABCD 内接于O ， 180C A ∴∠+∠=︒， 18040140C ∴∠=︒-︒=︒．故选：D ．7．（3分）如图是一个圆柱形输水管横截面的示意图，阴影部分为有水部分，如果水面AB 的宽为8cm ，水面最深的地方高度为2cm ，则该输水管的半径为( )A ．3cmB ．5cmC ．6cmD ．8cm解：如图所示：过点O 作OD AB ⊥于点D ，连接OA ， OD AB ⊥，142AD AB cm ∴==， 设OA r =，则2OD r =-，在Rt AOD ∆中，222OA OD AD =+，即222(2)4r r =-+， 解得5r cm =．∴该输水管的半径为5cm ；故选：B ．8．（3分）在半径为3cm 的O 中，若弦32AB =，则弦AB 所对的圆周角的度数为( ) A ．30︒B ．45︒C ．30︒或150︒D ．45︒或135︒解：如图所示，连接OA ，OB ， 则3OA OB ==， 32B =，222OA OB AB ∴+=， 90AOB ∴∠=︒，∴劣弧AB 的度数是90︒，优弧AB 的度数是36090270︒-︒=︒， ∴弦AB 对的圆周角的度数是45︒或135︒，故选：D ．9．（3分）如图，等边三角形ABC 的边长为5，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，将ADE ∆沿DE 折叠，点A 恰好落在BC 边上的点F 处，若2BF =，则BD 的长是( )A ．2B ．3C ．218D ．247解：ABC ∆是等边三角形，60A B C ∴∠=∠=∠=︒，5AB BC AC ===，沿DE 折叠A 落在BC 边上的点F 上， ADE FDE ∴∆≅∆，60DFE A ∴∠=∠=︒，AD DF =，AE EF =，设BD x =，5AD DF x ==-，CE y =，5AE y =-， 2BF =，5BC =， 3CF ∴=，60C ∠=︒，60DFE ∠=︒，120EFC FEC ∴∠+∠=︒，120DFB EFC ∠+∠=︒， DFB FEC ∴∠=∠， C B ∠=∠， DBF FCE ∴∆∆∽，∴BD BF DFFC CE EF ==， 即2535x x y y -==-， 解得：218x =， 即218BD =， 故选：C ．10．（3分）已知二次函数2(1)5y x =--+，当m x n 且0mn <时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m n +的值为( ) A ．12B ．32C ．2D ．52解：二次函数2(1)5y x =--+的大致图象如下：．①当01m x n <<时，当x m =时，y 取最小值，即22(1)5m m =--+， 解得：2m =-．当x n =时，y 取最大值，即22(1)5n n =--+， 解得：2n =或2n =-（均不合题意，舍去）；②当01m x n <时，当x m =时，y 取最小值，即22(1)5m m =--+， 解得：2m =-．当1x =时，y 取最大值，即22(11)5n =--+， 解得： 2.5n =，或x n =时，y 取最小值，1x =时，y 取最大值，22(1)5m n =--+， 2.5n =，118m ∴=， 0m <，∴此种情形不合题意，所以2 2.50.5m n +=-+=． 故选：A ．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11．（2分）一元二次方程240x -=的解是 2x =± ． 解：移项得24x =， 2x ∴=±．故答案：2x =±．12．（2分）一个不透明的口袋中装有若干只除了颜色外其它都完全相同的小球，若袋中有红球6只，且摸出红球的概率为35，则袋中共有小球 10 只．解：设袋中共有小球只， 根据题意得635x =，解得10x =， 所以袋中共有小球10只． 故答案为10．13．（2分）某一时刻，一棵树高15m ，影长为18m ．此时，高为50m 的旗杆的影长为 60 m ．解：设旗杆的影长为xm ， 由题意得，501518x =， 解得60x =，即高为50m 的旗杆的影长为60m ． 故答案为：60．14．（2分）已知一个圆锥底面圆的半径为6cm ，高为8cm ，则圆锥的侧面积为 60π 2cm ．（结果保留)π 解：根据题意得，圆锥的母线226810cm =+=， ∴圆锥的底面周长212r cm ππ=， ∴圆锥的侧面积21112106022lR cm ππ==⨯⨯=． 故答案为60π．15．（2分）在ABCD 中，ABC ∠的平分线BF 交对角线AC 于点E ，交AD 于点F ．若35AB BC =，则EF BF 的值为 38．解：四边形ABCD 是平行四边形， //AD BC ∴， AFB EBC ∴∠=∠，BF 是ABC ∠的角平分线， EBC ABE AFB ∴∠=∠=∠，AB AF ∴=， ∴35AB AF BC BC ==， //AD BC ，AFE CBE ∴∆∆∽， ∴35AF EF BC BE ==， ∴38EF BF =； 故答案为：38．16．（2分）已知关于x 的方程2()0(a x m b a ++=、b 、m 为常数，0)a ≠的解是12x =，21x =-，那么方程2(2)0a x m b +++=的解 30x =，43x =- ．解：关于x 的方程2()0a x m b ++=的解是12x =，21x =-，(a ，m ，b 均为常数，0)a ≠， ∴方程2(2)0a x m b +++=变形为2[(2)]0a x m b +++=，即此方程中22x +=或21x +=-，解得0x =或3x =-． 故答案为：30x =，43x =-．17．（2分）如图，若一个半径为1的圆形纸片在边长为6的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片能接触到的最大面积为 63π+ ．解：如图，当圆形纸片运动到与A ∠的两边相切的位置时，过圆形纸片的圆心O 作两边的垂线，垂足分别为D ，E ，连接AO ，则Rt ADO ∆中，30OAD ∠=︒，1OD =，3AD =， 1322ADO S OD AD ∆∴==， 23ADO ADOE S S ∆∴==四边形， 120DOE ∠=︒，3DOE S π∴=扇形，∴纸片不能接触到的部分面积为：3(3)333ππ-=- 1633932ABC S ∆=⨯⨯= ∴纸片能接触到的最大面积为：933363ππ-+=+．故答案为63π+．18．（2分）如图，在边长为4的菱形ABCD 中，60A ∠=︒，M 是AD 边的中点，点N 是AB 边上一动点，将AMN ∆沿MN 所在的直线翻折得到△A MN '，连接A C '，则线段A C '长度的最小值是 272- ．解：如图所示：在N 的运动过程中A '在以M 为圆心，MA 的长为半径的圆上， MA ∴'是定值，A C '长度取最小值时，即A '在MC 上时，过点M 作MF DC ⊥于点F ，在边长为4的菱形ABCD 中，60A ∠=︒，M 为AD 中点， 2MD ∴=，60FDM ∠=︒， 30FMD ∴∠=︒，112FD MD ∴==， cos303FM DM ∴=⨯︒=，2227MC FM CF ∴=+=，272A C MC MA ∴'=-'=-．故答案为：272-．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分）解方程： （1）2210x x --=； （2）2(21)4(21)x x -=-． 解：（1）2210x x --=，2212x x ∴-+=，2(2)2x ∴-=，22x ∴=±．（2）2(21)4(21)x x -=-， (214)(21)0x x ∴---=， 52x ∴=或12x = 20．（8分）已知关于x 的方程2(1)20x k x k --+=，若方程的一个根是4-，求另一个根及k 的值．解：关于x 的方程2(1)20x k x k --+=的一个根是4-， 164(1)20k k ∴+-+=，解得2k =-，∴原方程为2340x x +-=，解得4x =-或1x =，即方程的另一根为1，k 的值为2-．21．（6分）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，ABC ∆的顶点及点O 都在格点上（每个小方格的顶点叫做格点）．（1）以点O 为位似中心，在网格区域内画出△A B C '''，使△A B C '''与ABC ∆位似(A '、B '、C '分别为A 、B 、C 的对应点），且位似比为2:1； （2）△A B C '''的面积为 10 个平方单位；（3）若网格中有一格点D '（异于点)C '，且△A B D '''的面积等于△A B C '''的面积，请在图中标出所有符合条件的点D '．（如果这样的点D '不止一个，请用1D '、2D '、⋯、n D '标出）解：（1）如图所示，△A B C '''即为所求；（2）△A B C '''的面积为111462424262444610222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=---=；故答案为：10；（3）如图所示，所有符合条件的点D '有5个．22．（8分）某射击队教练为了了解队员训练情况，从队员中选取甲、乙两名队员进行射击测试，相同条件下各射靶5次，成绩统计如下：（1）根据上述信息可知：甲命中环数的中位数是 8 环，乙命中环数的众数是 环； （2）试通过计算说明甲、乙两人的成绩谁比较稳定？（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙射击成绩的方差会 ．（填“变大”、“变小”或“不变” )解：（1）把甲命中环数从小到大排列为7，8，8，8，9，最中间的数是8，则中位数是8； 在乙命中环数中，6和9都出现了2次，出现的次数最多，则乙命中环数的众数是6和9； 故答案为：8，6和9；（2）甲的平均数是：(78889)58++++÷=， 则甲的方差是：2221[(78)3(88)(98)]0.45-+-+-=，乙的平均数是：(669910)58++++÷=，则乙的方差是：2221[2(68)2(98)(108)] 2.85-+-+-=，所以甲的成绩比较稳定；（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差变小． 故答案为：变小．23．（8分）“2020比佛利”无锡马拉松赛将于3月22日鸣枪开跑，本次比赛设三个项目：A ．全程马拉松；B ．半程马拉松；C ．迷你马拉松．小明和小红都报名参与该赛事的志愿者服务工作，若两人都已被选中，届时组委会随机将他们分配到三个项目组．（1 （2）请利用树状图或列表法求两人被分配到同一个项目组的概率． 解：（1）小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为13；（2）画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两人被分配到同一个项目组的结果数为3，所以两人被分配到同一个项目组的概率31 93 ==．24．（8分）如图，已知直线l切O于点A，B为O上一点，过点B作BC l⊥，垂足为点C，连接AB、OB．（1）求证：ABC ABO∠=∠；（2）若10AB=，1AC=，求O的半径．【解答】（1）证明：连接OA，OB OA=，OBA OAB∴∠=∠，AC切O于A，OA AC∴⊥，BC AC⊥，//OA BC∴，OBA ABC∴∠=∠，ABC ABO∴∠=∠；（2）解：设O 的半径为R ，过O 作OD BC ⊥于D ，OD BC ⊥，BC AC ⊥，OA AC ⊥， 90ODC DCA OAC ∴∠=∠=∠=︒， ∴四边形OACD 是矩形，1OD AC ∴==，OA CD R ==，在Rt ACB ∆中，10AB =，1AC =，由勾股定理得：22(10)13BC =-=，在Rt ODB ∆中，由勾股定理得：222OB OD BD =+， 即2221(3)R R =+-， 解得：53R =， 即O 的半径是53．25．（8分）如图，在ABCD 中，点E 是边AD 上一点，延长CE 到点F ，使FBC DCE ∠=∠，且FB 与AD 相交于点G ． （1）求证：D F ∠=∠；（2）用直尺和圆规在边AD 上作出一点P ，使BPC CDP ∆∆∽，并加以证明．（作图要求：保留痕迹，不写作法．)解：（1）四边形ABCD 是平行四边形， //AD BC ∴ FGE FBC ∴∠=∠FBC DCE ∠=∠，∴∠=∠FGE DCE∠=∠FEG DEC∴∠=∠．D F（2）如图所示：点P即为所求作的点．证明：作BC和BF的垂直平分线，交于点O，作FBC∆的外接圆，连接BO并延长交AD于点P，∴∠=︒PCB90AD BC//∴∠=∠=︒90CPD PCB由（1）得F D∠=∠∠=∠F BPCD BPC∴∠=∠∽．BPC CDP∴∆∆26．（10分）某商店购进一批成本为每件30元的商品．经调查发现，该商品每天的销售量y （件)与销售单价x（元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；（2）若商店按单价不低于成本价且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，试利用函数图象确定销售单价最多为多少元？解：（1）设y 与销售单价x 之间的函数关系式为：y kx b =+， 将点(30,100)、(45,70)代入一次函数表达式得：301004570k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：2160k b =-⎧⎨=⎩， 故函数的表达式为：2160y x =-+；（2）由题意得：2(30)(2160)2(55)1250w x x x =--+=--+， 20-<，故当55x <时，w 随x 的增大而增大，而3050x ， ∴当50x =时，w 有最大值，此时，1200w =，故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；（3）由题意得：(30)(2160)800x x --+，解得：70x ，∴销售单价最多为70元．27．（10分）如图，已知二次函数24(0)y ax ax c a =++≠的图象交x 轴于A 、B 两点(A 在B的左侧），交y 轴于点C ．一次函数12y x b =-+的图象经过点A ，与y 轴交于点(0,3)D -，与这个二次函数的图象的另一个交点为E ，且:3:2AD DE =．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若点M 为x 轴上一点，求55MD 的最小值．解：（1）把(0,3)D -代入12y x b =-+得3b =-， ∴一次函数解析式为132y x =--， 当0y =时，1302x --=，解得6x =-，则(6,0)A -， 作EF x ⊥轴于F ，如图，//OD EF ， ∴32AO AD OF DE ==， 243OF OA ∴==， E ∴点的横坐标为4，当4x =时，1352y x =--=-， E ∴点坐标为(4,5)-，把(6,0)A -，(4,5)E -代入24y ax ax c =++得3624016165a a c a a c -+=⎧⎨++=-⎩，解得143a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线解析式为2134y x x =--+； （2）作MH AD ⊥于H ，作D 点关于x 轴的对称点D '，如图，则(0,3)D '， 在Rt OAD ∆中，223635AD =+=， MAH DAO ∠=∠，Rt AMH Rt ADO ∴∆∆∽， ∴AM MH AD OD =335AM MH =， 55MH AM ∴=， MD MD ='，55MD MA MD MH ∴+='+， 当点M 、H 、D '共线时，55MD MA MD MH D H +='+='，此时55MD MA +的值最小， D DH ADO ∠'=∠，Rt DHD Rt DOA ∴∆'∆∽，∴D H DD OA DA ''=，即6635D H '=，解得1255D H '=， 55MD MA ∴+的最小值为1255．28．（10分）如图，在正方形ABCD 中，4AB =，动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度，沿线段AB 方向匀速运动，到达点B 停止．连接DP 交AC 于点E ，以DP 为直径作O 交AC 于点F ，连接DF 、PF ．（1）求证：DPF ∆为等腰直角三角形；（2）若点P 的运动时间t 秒．①当t 为何值时，点E 恰好为AC 的一个三等分点； ②将EFP ∆沿PF 翻折，得到QFP ∆，当点Q 恰好落在BC 上时，求t 的值．【解答】证明：（1）四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线， 45DAC ∴∠=︒， 在O 中，DF 所对的圆周角是DAF ∠和DPF ∠， DAF DPF ∴∠=∠，45DPF∴∠=︒，又DP是O的直径，90DFP∴∠=︒，45FDP DPF∴∠=∠=︒，DFP∴∆是等腰直角三角形；（2）①当:1:2AE EC=时，//AB CD，DCE PAE∴∠=∠，CDE APE∠=∠，DCE PAE∴∆∆∽，∴DC CE PA AE=，∴42 21t=，解得，1t=；当:2:1AE EC=时，//AB CD，DCE PAE∴∠=∠，CDE APE∠=∠，DCE PAE∴∆∆∽，∴DC CE PA AE=，∴41 22t=，解得，4t=，点P从点A到B，t的最大值是422÷=，∴当4t=时不合题意，舍去；由上可得，当t为1时，点E恰好为AC的一个三等分点；②如右图所示，90DPF∠=︒，DPF OPF∠=∠，90OPF∴∠=︒，90DPA QPB∴∠+∠=︒，90DPA PDA∠+∠=︒，PDA QPB∴∠=∠，点Q 落在BC 上， 90DAP B ∴∠=∠=︒， DAP PBQ ∴∆∆∽， ∴DA DP PB PQ =， 4DA AB ==，2AP t =，90DAP ∠=︒， 2224(2)24DP t t ∴=+=+，42PB t =-， 设PQ a =，则PE a =，222DE DP a t a =-=+-， AEP CED ∆∆∽， ∴AP PE CD DE=， 即22424t a t a =+-， 解得，2242t t a t+=+， 2242t t PQ t+∴=+， ∴2242442242t t t t t+=-++， 解得，151t =--（舍去），251t =-， 即t 的值是51-．。

2019-2020学年江苏省无锡市江阴市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题）. 1．（3分）sin 60(︒= ) A ．12B ．33C ．32D ．32．（3分）若ABC DEF ∆∆∽，相似比为1:2，则ABC ∆与DEF ∆的周长比为( ) A ．2:1B ．1:2C ．4:1D ．1:43．（3分）体育课上，某班两名同学分别进行了5次短跑训练，要判断哪一名同学的成绩比较稳定，通常需要比较这两名学生成绩的( ) A ．平均数B ．频数分布C ．中位数D ．方差4．（3分）方程230x x -=的根是( ) A ．3x =B ．10x =，23x =C ．13x =，23x =-D ．13x =，23x =-5．（3分）如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，5OC cm =，8CD cm =，则(AE = )A ．2cmB ．3cmC ．5cmD ．8cm6．（3分）将抛物线2y x =向上平移1个单位，就得到抛物线( ) A ．21y x =+B ．2(1)y x =+C ．21y x =-D ．2(1)y x =-7．（3分）某人沿着坡度为1:2.4的斜坡向上前进了130m ，那么他的高度上升了( ) A ．50mB ．100mC ．120mD ．130m8．（3分）如图，在ABC ∆中，5AB =，3AC =，4BC =，将ABC ∆绕A 逆时针方向旋转40︒得到ADE ∆，点B 经过的路径为弧BD ，是图中阴影部分的面积为( )A ．1463π- B ．259π C ．3338π- D ．33π+9．（3分）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象如图所示，对称轴为过点1(2-，0)且平行于y 轴的直线，则下列结论中正确的是( )A ．0abc >B ．0a b +=C ．20b c +>D ．42a c b +<10．（3分）如图，O 是ABC ∆的外接圆，60A ∠=︒，点P 是ABC ∆外一点，6BP =，3CP =，则线段OP 的最大值为( )A ．9B ．4.5C ．33D 3二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在题中的横线上）11．（2分）如果在比例尺为1:1000000的地图上，A 、B 两地的图上距离是5.8cm ，那么A 、B 两地的实际距离是 km ．12．（2分）已知1x =是关于x 的一元二次方程220x x a -+=的一个根，则a 的值是 ． 13．（2分）二次函数22y x x m =-+的图象与x 轴只有一个公共点，则m 的值为 ． 14．（2分）已知某小区的房价在两年内从每平方米8100元增加到每平方米12500元，设该小区房价平均每年增长的百分率为x ，根据题意可列方程为 ．15．（2分）若圆锥的底面半径为2cm ，母线长为5cm ，则此圆锥的侧面积是 2cm ．16．（2分）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表：x⋯ 2- 1- 0 1 2 ⋯ y⋯10 5212⋯则当5y <时，x 的取值范围是 ．17．（2分）如图，ABCD 中，点E 、F 分别是边AD 、CD 的中点，EC 、EF 分别交对角线BD 于点H 、G ，则::DG GH HB = ．18．（2分）如图，已知射线BP BA ⊥，点O 从B 点出发，以每秒1个单位长度沿射线BA 向右运动；同时射线BP 绕点B 顺时针旋转一周，当射线BP 停止运动时，点O 随之停止运动．以O 为圆心，1个单位长度为半径画圆，若运动两秒后，射线BP 与O 恰好有且只有一个公共点，则射线BP 旋转的速度为每秒 度．三、解答题（本大题共10小题，共84分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分）（1）计算：2sin 603tan 459︒-︒+； （2）解方程：2410x x --=．20．（8分）某校为了深入学习社会主义核心价值观，对本校学生进行了一次相关知识的测试，随机抽取了部分学生的测试成绩进行统计（根据成绩分为A 、B 、C 、D 、E 五个组，x 表示测试成绩，A 组：90100x ；B 组：8090x <；C 组：7080x <；D 组：6070x <；E 组：60)x <，通过对测试成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答以下问题：（1）抽取的学生共有 人，请将两幅统计图补充完整； （2）抽取的测试成绩的中位数落在 组内；（3）本次测试成绩在80分以上（含80分）为优秀，若该校初三学生共有1200人，请估计该校初三测试成绩为优秀的学生有多少人？21．（8分）现有A 、B 两个不透明的盒子，A 盒中装有红色、黄色、蓝色卡片各1张，B 盒中装有红色、黄色卡片各1张，这些卡片除颜色外都相同．现分别从A 、B 两个盒子中任意摸出一张卡片．（1）从A 盒中摸出红色卡片的概率为 ；（2）用画树状图或列表的方法，求摸出的两张卡片中至少有一张红色卡片的概率． 22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的三个顶点都在格点上，点A 的坐标为(2,1)-，请解答下列问题：（1）画出ABC ∆关于x 轴对称的△111A B C ，点1A 的坐标为 ；（2）在网格内以点(1,1)为位似中心，把△111A B C 按相似比2:1放大，得到△222A B C ，请画出△222A B C ；若边AC 上任意一点P 的坐标为(,)m n ，则两次变换后对应点2P 的坐标为 ．23．（8分）如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是BC 的中点，CE AD ⊥于E ． （1）求证：2CD DE DA =；（2）当47BED∠=︒时，求ABC∠的度数．24．（8分）如图，某数学社团成员想利用所学的知识测量广告牌的高度（即图中线段MN的长），在地面A处测得点M的仰角为60︒、点N的仰角为45︒，在B处测得点M的仰角为30︒，5AB m=，MN AB⊥于点P，且B、A、P三点在同一直线上．求广告牌MN的长（结果保留根号）．25．（8分）如图，AB为O的直径，C、F为O上两点，且点C为BF的中点，过点C 作AF的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D．（1）求证：DE是O的切线；（2）当2BD=，3sin5D=时，求AE的长．26．（8分）某商场将进货单价为30元的商品以每个40元的价格售出时，平均每月能售出600个，调查表明：这种商品的售价每上涨1元，其销售量就减少10个．（1）为了使平均每月有10000元的销售利润且尽快售出，这种商品的售价应定为每个多少元？（2）当该商品的售价为每个多少元时，商场销售该商品的平均月利润最大？最大利润是多少？27．（10分）如图，已知二次函数22y x x m =-+的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，直线AC 交二次函数图象的对称轴于点D ，若点C 为AD 的中点． （1）求m 的值；（2）若二次函数图象上有一点Q ，使得tan 3ABQ ∠=，求点Q 的坐标；（3）对于（2）中的Q 点，在二次函数图象上是否存在点P ，使得QBP COA ∆∆∽？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．28．（10分）已知矩形ABCD 中，1AB =，2BC =，点E 、F 分别在边BC 、AD 上，将四边形ABEF 沿直线EF 翻折，点A 、B 的对称点分别记为A '、B '． （1）当23BE =时，若点B '恰好落在线段AC 上，求AF 的长； （2）设BE m =，若翻折后存在点B '落在线段AC 上，则m 的取值范围是 ．参考答案一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填在题后的括号内） 1．（3分）sin 60(︒= )A ．12B C D解：sin 60︒=． 故选：C ．2．（3分）若ABC DEF ∆∆∽，相似比为1:2，则ABC ∆与DEF ∆的周长比为( ) A ．2:1B ．1:2C ．4:1D ．1:4解：ABC DEF ∆∆∽，ABC ∆与DEF ∆的相似比为1:2， ABC ∴∆与DEF ∆的周长比为1:2．故选：B ．3．（3分）体育课上，某班两名同学分别进行了5次短跑训练，要判断哪一名同学的成绩比较稳定，通常需要比较这两名学生成绩的( ) A ．平均数B ．频数分布C ．中位数D ．方差解：由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两名学生了5次短跑训练成绩的方差． 故选：D ．4．（3分）方程230x x -=的根是( )A ．3x =B ．10x =，23x =C ．1x =，2x =D ．13x =，23x =-解：230x x -=， (3)0x x -=， 0x =，30x -=，10x =，23x =，故选：B ．5．（3分）如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，5OC cm =，8CD cm =，则(AE = )A ．2cmB ．3cmC ．5cmD ．8cm解：弦CD AB ⊥于点E ，8CD cm =， 142CE CD cm ∴==．在Rt OCE ∆中，5OC cm =，4CE cm =， 2222543()OE OC CE cm ∴=-=-=，538()AE AO OE cm ∴=+=+=．故选：D ．6．（3分）将抛物线2y x =向上平移1个单位，就得到抛物线( ) A ．21y x =+B ．2(1)y x =+C ．21y x =-D ．2(1)y x =-解：将抛物线2y x =向上平移1个单位得到的抛物线是21y x =+． 故选：A ．7．（3分）某人沿着坡度为1:2.4的斜坡向上前进了130m ，那么他的高度上升了( ) A ．50m B ．100mC ．120mD ．130m解：如图，根据题意知130AB =米，tan 1:2.4ACB BC==， 设AC x =，则 2.4BC x =， 则222(2.4)130x x +=，解得50x =或50x =-（负值舍去）， 即他的高度上升了50m ， 故选：A ．8．（3分）如图，在ABC ∆中，5AB =，3AC =，4BC =，将ABC ∆绕A 逆时针方向旋转40︒得到ADE ∆，点B 经过的路径为弧BD ，是图中阴影部分的面积为( )A ．1463π- B ．259π C ．3338π- D ．33π+解：5AB =，3AC =，4BC =，ABC ∴∆为直角三角形，由题意得，AED ∆的面积ABC =∆的面积，由图形可知，阴影部分的面积AED =∆的面积+扇形ADB 的面积ABC -∆的面积，∴阴影部分的面积=扇形ADB 的面积2405253609ππ⨯==， 故选：B ．9．（3分）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象如图所示，对称轴为过点1(2-，0)且平行于y 轴的直线，则下列结论中正确的是( )A ．0abc >B ．0a b +=C ．20b c +>D ．42a c b +<解：由图象可得， 0a >，0b >，0c <，故0abc <，故选项A 错误； 对称轴为直线12x =-，122b a ∴-=-，得a b =，0a b -=，故选项B 错误； 当1x =时，0y a b c =++<， 20b c ∴+<，故选项C 错误；对称轴为直线12x =-，当1x =时，0y <，2x ∴=-时的函数值与1x =时的函数值相等， 2x ∴=-时，420y a b c =-+<，42a c b ∴+<，故选项D 正确； 故选：D ．10．（3分）如图，O 是ABC ∆的外接圆，60A ∠=︒，点P 是ABC ∆外一点，6BP =，3CP =，则线段OP 的最大值为( )A ．9B ．4.5C ．33D ．3解：如图，连接OB ，OC ，60A ∠=︒， 120BOC ∴∠=︒，∴将POC ∆绕点O 顺时针旋转120︒，得到HOB ∆，连接PH ，过点O ，作OE PH ⊥，3PC BH ∴==，OH OP =，120POH ∠=︒， 30OHP OPH ∴∠=∠=︒，且OE PH ⊥，PE EH ∴==，PH ∴，在BPH ∆中，9PH BP BH +=，33OP ∴=，OP ∴的最大值为故选：C ．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在题中的横线上）11．（2分）如果在比例尺为1:1000000的地图上，A 、B 两地的图上距离是5.8cm ，那么A 、B 两地的实际距离是 58 km ．解：根据题意，15.858000001000000÷=（厘米）58=（千米）． 即实际距离是58千米． 故答案为：58．12．（2分）已知1x =是关于x 的一元二次方程220x x a -+=的一个根，则a 的值是 1- ． 解：将1x =代入方程得：210a -+=， 解得：1a =-， 故答案为：1-．13．（2分）二次函数22y x x m =-+的图象与x 轴只有一个公共点，则m 的值为 1 ． 解：根据题意得△2(2)40m =--=， 解得1m =． 故答案为1．14．（2分）已知某小区的房价在两年内从每平方米8100元增加到每平方米12500元，设该小区房价平均每年增长的百分率为x ，根据题意可列方程为 28100(1)12500x += ． 解：设该小区房价平均每年增长的百分率为x ， 依题意，得：28100(1)12500x +=．故答案为：28100(1)12500x +=．15．（2分）若圆锥的底面半径为2cm ，母线长为5cm ，则此圆锥的侧面积是 10π 2cm ． 解：圆锥的底面周长4cm π=，圆锥的侧面积211451022lr cm ππ==⨯⨯=，故答案为10π．16．（2分）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表：x⋯ 2- 1- 0 1 2 ⋯ y⋯10 5212⋯则当5y <时，x 的取值范围是 13x -<< ． 解：由表格可知，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴是直线1x =，该函数开口向上， 则当5y =-对应的x 的值是1x =-或3x =-， 故当5y <时，x 的取值范围是13x -<<， 故答案为：13x -<<．17．（2分）如图，ABCD 中，点E 、F 分别是边AD 、CD 的中点，EC 、EF 分别交对角线BD 于点H 、G ，则::DG GH HB = 3:1:8 ．解：连接AC 交BD 于O ，如图所示： 四边形ABCD 是平行四边形，OA OC ∴=，OB OD =，AD BC =，//AD BC ， BCH DEH ∴∆∆∽， ∴DH DE HB BC=， 点E 、F 分别是边AD 、CD 的中点， 2BC AD DE ∴==，EF 是ACD ∆的中位线，∴12DH DE HB BC ==，//EF AC ，12EF AC OA OC ===， DG OG ∴=，EG 是AOD ∆的中位线，EGH COH ∆∆∽，1122EG OA OC ∴==，12GH EG OH OC ==，2OH GH ∴=，3DG OG GH ==，6OB OD GH ==， 8HB GH ∴=，::3:1:8DG GH HB ∴=；故答案为：3:1:8．18．（2分）如图，已知射线BP BA ⊥，点O 从B 点出发，以每秒1个单位长度沿射线BA 向右运动；同时射线BP 绕点B 顺时针旋转一周，当射线BP 停止运动时，点O 随之停止运动．以O 为圆心，1个单位长度为半径画圆，若运动两秒后，射线BP 与O 恰好有且只有一个公共点，则射线BP 旋转的速度为每秒 30或60 度．解：射线BP 与O 恰好有且只有一个公共点， ∴射线BP 与O 相切，如图，当BP '与O 相切于D ，连接OD ， 则1OD =，2OB =，OD BP ⊥'， 30OBD ∴∠=︒，BP BA ⊥， 90ABP ∴∠=︒， 60PBP ∴∠'=︒，60302︒=︒， ∴射线BP 与O 恰好有且只有一个公共点，则射线BP 旋转的速度为每秒30︒，当BP ''与O 相切于E ，连接OE ， 同理30ABP ∠''=︒， 120PBP ∴∠''=︒，120602︒=︒， ∴射线BP 与O 恰好有且只有一个公共点，则射线BP 旋转的速度为每秒60︒，综上所述，射线BP 与O 恰好有且只有一个公共点，则射线BP 旋转的速度为每秒30︒或60︒，故答案为：30或60．三、解答题（本大题共10小题，共84分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分）（1）计算：2sin 603tan 459︒-︒+； （2）解方程：2410x x --=． 解：（1）原式323332=-+= （2）2410x x --=，2445x x ∴-+=，2(2)5x ∴-=，25x ∴=20．（8分）某校为了深入学习社会主义核心价值观，对本校学生进行了一次相关知识的测试，随机抽取了部分学生的测试成绩进行统计（根据成绩分为A 、B 、C 、D 、E 五个组，x 表示测试成绩，A 组：90100x ；B 组：8090x <；C 组：7080x <；D 组：6070x <；E 组：60)x <，通过对测试成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答以下问题：（1）抽取的学生共有400人，请将两幅统计图补充完整；（2）抽取的测试成绩的中位数落在组内；（3）本次测试成绩在80分以上（含80分）为优秀，若该校初三学生共有1200人，请估计该校初三测试成绩为优秀的学生有多少人？解：（1）本次抽取的学生共有：4010%400÷=（人)，故答案为：400；A所占的百分比为：100400100%25%÷⨯=，÷⨯=，C所占的百分比为：80400100%20%B组的人数为：40030%120⨯=，补全的统计图如下图所示；（2）由扇形统计图可知，抽取的测试成绩的中位数落在B组内，故答案为：B；（3）1200(25%30%)660⨯+=（人)，答：该校初三测试成绩为优秀的学生有660人．21．（8分）现有A、B两个不透明的盒子，A盒中装有红色、黄色、蓝色卡片各1张，B盒中装有红色、黄色卡片各1张，这些卡片除颜色外都相同．现分别从A、B两个盒子中任意摸出一张卡片．（1）从A 盒中摸出红色卡片的概率为13； （2）用画树状图或列表的方法，求摸出的两张卡片中至少有一张红色卡片的概率． 解：（1）从A 盒中摸出红色卡片的概率为13，故答案为：13．（2）画树状图如下：由树状图知，共有6种等可能结果，其中摸出的两张卡片中至少有一张红色卡片的有4种结果，∴摸出的两张卡片中至少有一张红色卡片概率为23． 22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的三个顶点都在格点上，点A 的坐标为(2,1)-，请解答下列问题：（1）画出ABC ∆关于x 轴对称的△111A B C ，点1A 的坐标为 (2,1) ；（2）在网格内以点(1,1)为位似中心，把△111A B C 按相似比2:1放大，得到△222A B C ，请画出△222A B C ；若边AC 上任意一点P 的坐标为(,)m n ，则两次变换后对应点2P 的坐标为 ．解：（1）如图所示，△111A B C 即为所求；点1A 的坐标为(2,1)；故答案为：(2,1)；（2）如图所示，△222A B C 即为所求；2P 的坐标为(23,23)m n -++． 故答案为：(23,23)m n -++．23．（8分）如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是BC 的中点，CE AD ⊥于E ． （1）求证：2CD DE DA =；（2）当47BED ∠=︒时，求ABC ∠的度数．【解答】证明（1）CE AD ⊥， 90CED ACB ∴∠=∠=︒， CDE ADC ∠=∠， CDE ADC ∴∆∆∽， ::CD AD DE CD ∴=，2CD DE AD ∴=．（2）D 是BC 的中点，BD CD ∴=；2CD DE AD =，2BD DE AD ∴=，::BD AD DE BD ∴=；又ADB BDE ∠=∠， BDE ADB ∴∆∆∽， BED ABC ∴∠=∠， 47BED ∠=︒， 47ABC ∴∠=︒．24．（8分）如图，某数学社团成员想利用所学的知识测量广告牌的高度（即图中线段MN 的长），在地面A 处测得点M 的仰角为60︒、点N 的仰角为45︒，在B 处测得点M 的仰角为30︒，5AB m =，MN AB ⊥于点P ，且B 、A 、P 三点在同一直线上．求广告牌MN 的长（结果保留根号）．解：在Rt APN ∆中，45NAP ∠=︒， PA PN ∴=，在Rt APM ∆中，tan MPMAP AP∠=， 设PA PN x ==米， 60MAP ∠=︒，tan 3MP AP MAP ∴=∠=，在Rt BPM ∆中，tan MPMBP BP∠=， 30MBP ∠=︒，5AB =， ∴3335xx =+， 52x ∴=，符合题意，53532MN MP NP x x -∴=-=-=（米)， 答：广告牌MN 的长为5352-米． 25．（8分）如图，AB 为O 的直径，C 、F 为O 上两点，且点C 为BF 的中点，过点C 作AF 的垂线，交AF 的延长线于点E ，交AB 的延长线于点D ． （1）求证：DE 是O 的切线； （2）当2BD =，3sin 5D =时，求AE 的长．【解答】（1）证明：连接OC ，如图， 点C 为弧BF 的中点， ∴弧BC =弧CF ．BAC FAC ∴∠=∠， OA OC =， OCA OAC ∴∠=∠． OCA FAC ∴∠=∠， //OC AE ∴，AE DE ⊥， OC DE ∴⊥．DE ∴是O 的切线；（2）3sin 5OC D OD ==， ∴设3OC x =，5OD x =，则532x x =+， 1x ∴=，3OC ∴=，5OD =，8AD ∴=，3sin 85AE AE D AD ===， 245AE ∴=．26．（8分）某商场将进货单价为30元的商品以每个40元的价格售出时，平均每月能售出600个，调查表明：这种商品的售价每上涨1元，其销售量就减少10个．（1）为了使平均每月有10000元的销售利润且尽快售出，这种商品的售价应定为每个多少元？（2）当该商品的售价为每个多少元时，商场销售该商品的平均月利润最大？最大利润是多少？解：（1）设该商品售价x 元，根据题意得： (30)[60010(40)]10000x x ---=，解得150x =，280x =（不合题意舍去），答：为了尽快售出，这种商品的售价应定为每个50元；（2）设该商品的利润为y 元，根据题意得： (30)[60010(40)]y x x =--- 210130030000x x =-+-；210(65)12250x =--+当售价为65元时，可得最大利润12250元．27．（10分）如图，已知二次函数22y x x m =-+的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，直线AC 交二次函数图象的对称轴于点D ，若点C 为AD 的中点． （1）求m 的值；（2）若二次函数图象上有一点Q ，使得tan 3ABQ ∠=，求点Q 的坐标；（3）对于（2）中的Q 点，在二次函数图象上是否存在点P ，使得QBP COA ∆∆∽？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设对称轴交x 轴于点E ，直线AC 交抛物线对称轴于点D ，函数的对称轴为：1x =，点C 为AD 的中点，则点(1,0)A -， 将点A 的坐标代入抛物线表达式并解得：3m =-， 故抛物线的表达式为：223y x x =--⋯①；（2）tan 3ABQ ∠=，点(3,0)B ，则AQ 所在的直线为：3(3)y x =±-⋯②，联立①②并解得：4x =-或3（舍去）或2，故点(4,21)Q -或(2,3)-；（3）不存在，理由：QBP COA ∆∆∽，则90QBP ∠=︒①当点(2,3)Q -时，则BP 的表达式为：1(3)3y x =--⋯③， 联立①③并解得：3x =（舍去）或43-，故点4(3P -，13)9， 此时::BP PQ OA AC ≠，故点P 不存在；②当点(4,21)Q -时，同理可得：点2(3P -，11)9， 此时::BP PQ OA OB ≠，故点P 不存在；综上，点P 不存在．28．（10分）已知矩形ABCD 中，1AB =，2BC =，点E 、F 分别在边BC 、AD 上，将四边形ABEF 沿直线EF 翻折，点A 、B 的对称点分别记为A '、B '．（1）当23BE =时，若点B '恰好落在线段AC 上，求AF 的长； （2）设BE m =，若翻折后存在点B '落在线段AC 上，则m 的取值范围是 5112m - ．解：（1）由翻折的性质得：1AB A B =''=，23BE B E ='=，AF A F ='， 90A BAD ∠'=∠=︒， 过点B '作B H BC '⊥于H ，延长HB '交AD 于Q ，连接B F '，如图1所示： 则四边形ABHQ 与四边形CDQH 是矩形，1HQ AB ∴==，90EHB B QF ∠'=∠'=︒，//B H AB '， CHB CBA ∴∆'∆∽，∴B H CH AB BC'=， 设B H a '=，即12a CH =， 2CH a ∴=，2422233EH BC BE CH a a ∴=--=--=-，在Rt EHB ∆'中，222EH B H B E +'='， 即22242(2)()33a a -+=， 解得：25a =或23a =（不合题意舍去）， 25B H ∴'=，815EH =，23155B Q HQ B H '=-'=-=， 设AF x =，四边形ABCD 与四边形CDQH 是矩形， 2AD BC ∴==，45DQ CH ==， 46255FQ AD DQ AF x x ∴=--=--=-， 22221B F A F A B x '='+''=+，在Rt FQB ∆'中，222631()()55x x +=-+， 解得：13x =， 13AF ∴=； （2）当F 与A 重合时，如图2所示： 四边形ABCD 是矩形，90B ∴∠=︒，AC ∴===， 由折叠的性质得：B E BE m '==，1AB AB '==，90AB E B '∠=∠=︒， 2CE BC BE m ∴=-=-，90CB E '∠=︒，1CB AC AB ''∴=-=-，在Rt CEB '∆中，由勾股定理得：2221)(2)m m +-=-，解得：m =； 当B '与C 重合时，E 为BC 的中点，如图3所示： 112m BC ==；若翻折后存在点B '落在线段AC 上，m 1m ；故答案为：5112m ．。

2019-2020学年苏科版九年级上期末数学试卷一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）二次函数y＝（x﹣4）2+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（）A．向上，直线x＝4，（4，5）B．向上，直线x＝﹣4，（﹣4，5）C．向上，直线x＝4，（4，﹣5）D．向下，直线x＝﹣4，（﹣4，5）2．（3分）在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张”梅花”，1张“红桃”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为（）A．B．C．D．3．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，＝，如果∠CAB＝40°，那么∠CAD的度数为（）A．25°B．50°C．40°D．80°4．（3分）有5根小木棒，长度分别为1cm，2cm，3cm，4cm，5cm．任取其中3根首尾相接，可搭出三角形的概率是（）A．B．C．D．5．（3分）将抛物线y＝x2﹣2向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为（）A．y＝（x+3）2+3B．y＝（x﹣3）2+1C．y＝（x+2）2+1D．y＝（x+3）2+1 6．（3分）若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜且k≠﹣2B．k C．k≤且k≠﹣2D．k7．（3分）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，BC＝24，∠A＝60°，点D为弧BC上一动点，CE垂直直线OD于点E，当点D由B点沿弧BC运动到点C时，点E经过的路径长为（）A．8πB．18C．πD．368．（3分）如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是（）A．20B．22C．24D．26二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）9．（3分）在一个不透明的布袋中装有4个白球和n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是，则n＝．10．（3分）在一次有12人参加的数学测试中，得100分、95分、90分、85分、75分的人数分别是1、3、4、2、2，那么这组数据的众数是分．11．（3分）已知O点是正方形ABCD的两条对角线的交点，则AO：AB：AC＝．12．（3分）已知方程x2+bx+3＝0的一根为+，则方程的另一根为．13．（3分）如图，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，O，A，B都是格点，若图中扇形AOB恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为．14．（3分）若函数y＝x2﹣2x﹣m的图象与坐标轴有三个公共点，则m的取值范围是．15．（3分）如图，E、F是线段AB的两个黄金分割点，AB＝1，则线段EF的长为．（结果保留根号）16．（3分）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中。