九年级上期末考试数学试卷(含答案)

萍乡市2023-2024学年度第一学期教学质量监测九年级数学试卷说明：1．本卷共六大题，23小题，全卷满分120分，考试时间120分钟．2．本卷所有题均在答题卡上作答，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）1．在一元二次方程中，常数项是（）A．3B．C．D．02．下列命题是真命题的是（）A．有一个角是直角的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是菱形C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直的矩形是正方形3．在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球标号的和等于5的概率为（）A．B．C．D．4．几个大小相同，且棱长为1的小正方体所搭成的几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图的面积为（）（第4题）A．9B．6C．4D．35．如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，过点作轴的垂线，与函数的图象交于点，连接交轴于点D．若点的横坐标为1，，则点的横坐标为（）（第5题）A．3B．C．2D．6．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点为中点，连交于点．若的面积为2，则四边形的面积为（）（第6题）A．9B．10C．11D．12二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请把答案填在答题卡上）7．方程的根是______．8．如图，位似图形由三角尺与其在灯光照射下的中心投影组成，相似比为．若三角尺的一边长为，则投影三角形的对应边长为______．（第8题）9．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯．如果一共碰杯36次，则参加酒会的人数为______人．10．如图，线段是线段的两个黄金分割点，则线段______cm．（结果保留根号）（第10题）11．如图，点、为反比例函数图象上的两点，过、分别作轴，轴，垂足分别为、，连接．线段交于点，且点恰好为中点，的面积为，则______．（第11题）12．在平面直角坐标系中，矩形按如图所示放置，是的中点，且、、的坐标分别为，点是上的动点．当是腰长为5的等腰三角形时，则点的坐标为______．（第12题）三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（1）解方程：（2）如图，已知矩形中，，在上取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点处．若四边形与矩形相似，求的长．（第13题（2））14．如图，在平面直角坐系中，的三个顶点的坐标分别为，．（第14题）（1）画出关于轴对称的；（2）以点为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为，并写出点的坐标；（3）求的周长．（第14题）15．如图，在中，点、、分别在边、、上，且．若，求的值．（第15题）16．某中学有7位学生的生日是1月1日，其中男生分别记为，女生分别记为，，学校准备召开元旦联欢会，计划从这7位学生中抽取学生参与联欢会的访谈活动．（1）若任意抽取1位学生，则抽取的学生为女生的概率是______；（2）若先从男生中任意抽取1位，再从女生中任意抽取1位，求抽得的2位学生中至少有1位是或的概率．（请用“画树状图”或“列表”方法分析过程）17．已知：平行四边形的两边的长是关于的方程的两个实数根．（1）当为何值时，四边形是菱形？（2）若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．某商店以40元/千克的进价购买一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的函数关系如图所示．（1）根据图象，求与的函数关系式；（2）当商店销售利润达到2400元，且让顾客得到实惠的前提下，销售单价应定为多少元？19．如图，在Rt中，为的中点，为的中点．过点作交的延长线于点，连接．（第19题）（1）求证：四边形为菱形；（2）若，菱形的面积为40，求的长．20．如图，路灯（点）距地面8米，身高1.6米的小亮从距路灯的底部（点）20米的点沿所在的直线行走14米到点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？（第20题）五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．已知，点为等腰直角三角形的边上一点，且，反比例函数的图象经过点．（第21题）（1）求反比例函数的表达式；（2）若所在直线表达式为，当时，求的取值范围．22．如图，在Rt中，，过点的直线为边上一点．过点作于点，且交直线于点，连接．（第22题）（1）求证：；（2）当为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明理由；（3）在满足（2）的条件下，当满足______条件时，四边形是正方形（直接填写答案）．六、解答题（本大题共12分）23．【课本再现】（1）如图（1），在中，为上一点，是否与相似？（填“是”或“不是”）【类比探究】（2）如图（2），在中，为上一点，已知，求证：．【拓展应用】（3）在Rt，点为上一点，如图（3），点分别在上，，垂足为．若，求的值．（第23题）九年级数学参考答案及评分意见一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项．）1．C2．D3．B4．C5．C6．A．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．）7．0或38．9．910．11．（提示：）12．或或三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分．）13．（1）解：（2）解：设四边形与矩形相似，∴．∴（不合题意，舍去）．经检验是方程的根，∴．14．（第14题答）解：（1）如图，即为所求．（2）如图，即为所求作，点的坐标为．（3）周长∴的周长．15．解：∵，16．解：（1）；（2）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中抽得的2位学生中至少有一位是或的结果有6种，∴抽得的2位学生中至少有1位是或的概率为17．（1）∵四边形是菱形，∴，∵、的长是关于的一元二次方程的两个实数根，∴，∴解得，当为1时，四边形是菱形；（2）将代入中，得，解得，∵、的长是关于的一元二次方程的两个实数根，∴平行四边形的周长．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分．）18．解：（1）设，将（40，160），（120，0）分别代入，得解得与的函数关系式为：（2）∵销售单价为元/千克，则每千克的销售利润为元，依题意得解得因顾客得到实惠的前提下，故取，答：销售单价应定为60元．19．（1）证明：∵为的中点，∵为中点，∴四边形为平行四边形∵四边形为菱形．（2）∵四边形为菱形，∴点为中点，∴20．解：∵，，即同理，，则小亮的身影变短了，短了3.5米．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．解：（1）∵为等腰直角三角形，∴反比例函数的表达式为；（2）把代入中，得联立或，两函数图象交点为∴当时，的取值范围是或．22．解：（1）证明：∵，∵四边形是平行四边形，∴；（2）解：四边形是菱形．理由如下：∵由（1）知：四边形是平行四边形，∴，在Rt中，∵点是的中点，，∴，又∵四边形是平行四边形，∵四边形是菱形．（3）解：等腰直角三角形或或；理由如下：若为等腰直角三角形，则为的中点，∴，即四边形是菱形，∴四边形是正方形．六、（本大题共1小题，共12分．）23．解：（1）是（2）证明：∵，又，，，，即；（3）∵设，则，∴由（2）得，如图，过点作于点，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∴．（第23题（3）答）说明：以上各题还有不同解法（或证法）的同样分步给分．。

余姚市2023学年第一学期初中期末考试九年级数学试题卷温馨提示：1．本试卷分试题卷和答题卷两部分，试题卷6页，满分120分，考试时间120分钟．2．所有答案都必须做在答题卷规定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应．3．考试期间不能使用计算器．一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．抛物线的顶点坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．2．若线段，，则a 和b 的比例中项线段等于（ ）A ．1B ．2C ．4D ．83．任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，发生可能性最大的事件是（ ）A ．朝上一面的点数大于3B ．朝上一面的点数小于3C ．朝上一面的点数是3的倍数D ．朝上一面的点数是3的因数4．已知点A 是外一点，且的半径为5，则的长可能为（）A ．3B ．4C ．5D ．65．在中，，，，则边的长为（ ）A ．3B ．4CD6．如果一个正多边形的内角是，那么这个正多边形的边数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．87．下列命题中，错误的是（）A ．直径是圆中最长的弦B ．直径所对的圆周角是直角C ．平分弦的直径垂直于弦D ．垂直平分弦的直线必定经过圆心8．若二次函数的图象经过和两点，则m 的值为（ ）A ．1B ．C ．D ．9．如图，矩形的内部有5个全等的小正方形，小正方形的顶点E ，F ，G ，H 分别落在边，，，上，若，，则小正方形的边长为（ ）()212y x =-+()1,2()2,1()1,2-()2,1-1a =4b =O O OA Rt ABC △90C ∠=︒5AB =3sin 5A =AC 135︒()2215y x =-+(),m n ()3,n 1-5252-ABCD AB BC CD DA 20AB =16BC =A ．B ．5C ．D ．10．如图，在中，点D 是上一点（不与点A ，B 重合），过点D 作交于点E ，过点D 作交于点F ，点G 是线段上一点，，点H 是线段上一点，，若已知的面积，则一定能求出（）A ．的面积B ．的面积C ．的面积D ．的面积二、填空题（每小题4分，共24分）11．若两个相似多边形的相似之比是，则它们的周长之比是______．12．技术变革带来产品质量的提升．某企业技术变革后，抽检某一产品5000件，欣喜发现产品合格的频率已达到，若在相同条件下，我们可以用频率估计该产品合格的概率约为______．（结果保留两位小数）13．把函数的图象向上平移1个单位后所得图象的函数表达式是______．14．如图所示的图形叫弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械学家莱洛首先进行研究的．弧三角形是这样画的：先画正三角形，然后分别以点A ，B ，C 为圆心，长为半径画弧．若正三角形的边长为2cm ，则弧三角形的周长为______cm ．15．如图，一段抛物线：，记为，它与x 轴交于点O ，，将绕点顺时针旋转得到……，如此进行下去，得到一条连续的曲线，若点在这条曲线上，则m 的值为______．16．如图，在四边形中，，点E 是上一点，连结，，，ABC △AB DE BC ∥AC DF AC ∥BC AE AG GE =DF DH HF =BGH △ADE △BDF △ABG △CEF △2:50.991523y x =ABC AB ABC ()()505y x x x =--≤≤1C 1A 1C 1A 180︒2C ()2023,P m ABCD AD BC ∥AB AC CE ED，，，将沿翻折得到，若点恰好落在的延长线上，则______，______．三、解答题（第17、18、19题各6分，第20、21、22各8分，第23题10分，第24题12分，共66分）17．计算：（1）（2）已知，求18．在一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的球，其中1个白球，3个红球．（1）从袋中随机摸出一个球，求摸出的球是白球的概率．（2）从袋中随机摸出一个球，放回，摇匀，再随机摸出一个球，请用树状图或列表法求两次摸出的球颜色相同的概率．19．如图，在6×6的正方形网格中，点A ，B ，C 均在格点上，请按要求作图．（1）在图1中，将绕点A 顺时针方向旋转，作出经旋转后的．（其中点D ，E 分别是点B ，C 的对应点）．（2）在图2中，请用无刻度直尺找出过A ，B ，C 三点的圆的圆心，标出圆心O 的位置．20．如图，在中，是角平分线，点E 是边上一点，且．（1）求证：．（2）若，，求的长．BEC ADC ∠=∠10AB AC ==12BC =ACD △CD A CD '△A 'EDCE =BE =2sin 302cos30 tan 60︒-︒+︒12a b =2a b b+ABC △90︒ADE △ABC △AD AC ADE B ∠=∠ADB AED ∽△△3AE =5AD =AB21．如图，二次函数的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连结，．（1）求点A 和点C 的坐标．（2）若在第一象限的二次函数图象上存在点D ，使，求点D 的坐标．22．如图，四边形内接于，延长，交于点E ，．（1）求证：是等腰三角形．（2）若点C 是中点，，，求的长．23．平面直角坐标系中，点，在函数（b ，c 是常数）的图象上．（1）若，，求该函数的表达式，（2）若，求证：该函数的图象经过点．（3）已知点，，在该函数图象上，若，，试比较，的大小，并说明理由．24．如图，内接于，是的直径，，过点A 作，交于点E ，点F 是上一点，连结交于点G ，连结交于点H．211322y x x =--AC CD ACO DCO ∠=∠ABCD O AB DC DE DA =BCE △ BD11AB =4BC =AD ()1,m ()2,n 2y x bx c =++2m =1n =2m n =()3,2()3,0()12,y -()25,y 0m >0n <1y 2y ABC △O BC O tan 2ACB ∠=AD BC ⊥OAB EF BC CF AD（1）求证：．（2）若，，求的长．（3）设，，求y 关于x 的函数表达式．2023学年第一学期初中期末考试九年级数学参考答案及评分参考一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）题号12345678910答案ABADBDCBBB二、填空题（每小题4分，共24分）题号111213141516答案0.99610，4.4三、解答题（第17、18、19题各6分，第20、21题各8分，第22、23题10分，第24题12分，共66分）注：1．阅卷时应按步计分，每步只设整分．2．如有其它解法，只要正确，可参照评分标准，各步相应给分．17．解：（1）原式．（2）设，，原式．18．解：（1），（2）记三个红球为，，，摸两次球的所有可能结果如下：．19．解：（1）如图1，就是所求作的三角形．（2）如图2，点O 就是所求作的圆心．AFC HFE ∽△△10BC =8CF =EF OG x OC =AHy AD=2:5231y x =+2π1222=⨯-+1=1=a k =()20b k k =≠2255222k k k k k +⨯===1()4P =白球1红2红3红()105168P ∴==两次摸出的球颜色相同ADE △20．解：（1）在中，是角平分线，，，．（2），，，21．解：（1）二次函数的图象与x 轴交于点A 和B 两点，当时，，，，点，二次函数的图象与y 轴交于点C ，当时，，点．（2）如图，设与x 轴交于点E ，，，，，，点，设直线的函数表达式为．点，点直线的函数表达式为． ABC △AD BAD DAE ∴∠=∠B ADE ∠=∠ ADB AED ∴∽△△ADB AED ∽ △△AB ADAD AE ∴=3AE = 5AD =253AB ∴=211322y x x =-- 0y =2113022x x --=12x =-23x =∴()2,0A - 211322y x x =-- 0x =3y =-∴()0,3C -CD ACO DCO ∠=∠ 90AOC EOC ∠=∠=︒ CO CO =COA COE ∴≌△△2OE OA ∴==∴()2,0E CD )0(y kx b k =+≠ ()0,3C -()2,0E ∴CD 332y x =-令，得，当时，，点．22．解：（1），，四边形内接于，，，，，，是等腰三角形．（2）点C 是中点，，，，，，，，，，，，．23．解：（1）点，在函数（b ，c 为常数）的图象上，，，，该函数的表达式为．（2），，，，时，，该函数的图象经过点．（3），当时，，，当时，，抛物线经过点，抛物线的对称轴在直线的右侧，在直线的左侧，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，而抛物线开口向上，．211333222x x x --=-10x =24x = 4x =3y =∴()4,3D DE DA = A E ∴∠=∠ ABCD O 180A DCB ∴∠+∠=︒180BCE DCB ∠+∠=︒ BCE A ∴∠=∠BCE E ∴∠=∠BE BC ∴=BCE ∴△ BD4CD BC ∴==4BE BC ∴==11415AE AB BE ∴=+=+=BCE A ∠=∠ E E ∠=∠BCE DAE ∴∽△△BE CEDE AE∴=4DE DC CE CE =+=+ 4415CECE ∴=+6CE ∴=10DE CD CE ∴=+=10AD ∴= ()1,m ()2,n 2y x bx c =++1,42,b c m b c n ++=⎧∴⎨++=⎩2m = 1n =12,421,b c b c ++=⎧∴⎨++=⎩4,5.b c =-⎧∴⎨=⎩∴245y x x =-+2m n = ()1242b c b c ∴++=++37c b ∴=--()237y x bx b ∴=++--3x = ()233372y b b =++--=∴()3,20m > ∴1x =0y >0n < ∴2x =0y < ()3,0∴2x =3x =∴()12,y -()25,y 12y y ∴>24．解：（1）是的直径，，，，和是所对圆周角，，．（2）如图，连结，是的直径，，，，，，，，，，，，，，，是的直径，，，，，，，，，，，，，BC O AD BC ⊥ CACE ∴=AFC CFE ∴∠=∠ACF ∠ AEF ∠ AF ACF AEF ∴∠=∠AFC HFE ∴∽△△BF BC O 90BAC ∴∠=︒tan 2ACB ∠= 2AB AC ∴=222AB AC BC += 10BC =AC ∴=AD BC ⊥ 90ADC ∴∠=︒tan 2ACB ∠= 2AD CD ∴=222AD CD AC += 2CD ∴=4AD ∴=4ED AD ∴==BC O 90BFC ∴∠=︒10BC = 8CF =6BF ∴=90BFC HDC ∠=∠=︒ FCB DCH ∠=∠BFC HDC ∴∽△△BF CFHD CD∴=1.5HD ∴= 5.5HE ED HD ∴=+=AFC HFE ∽ △△AC CFHE EF∴=EF ∴=（3）设，则，，，，，，①如图，当点G 在线段上时，，，，，过点G 作于点M ，，，，，，，，．，，即，又，，，，，．②如图，当点G 在线段上时，同理可求得．OC r =2BC r =tan 2ACB ∠= 2AD CD ∴=2BD AD =25CD r ∴=45AD r =OD OG x OC= OG xr ∴=()1CG x r =-()1BG x r =+GM CF ⊥90GMF ∴∠=︒ 90ADC ∠=︒CAE CFE ∠=∠FGM ACB ∴∠=∠tan tan 2FGM ACB ∴∠=∠=2FM GM ∴=90GMC BFC ∠=∠=︒ GM BF ∴∥CG CM GB MF ∴=2CG CMGB GM∴=2CG CM GB GM =CM CD GM HD =2CD CGHD GB∴=(1)5(1)x r HD x +∴=-4(1)3555(1)55r x r x AH AD HD r x x +-∴=-=-=--3544AH xAD x-∴=-3544x y x -∴=-OB 3544x y x+=+。

2023-2024年度（上）九年级期末学情调研数学卷注意事项：1．数学试卷满分150分，考试时间为120分钟．2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效．4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A ，B ，C ，D 四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）1．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成，这四个图案中是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．若是关于x 的一元二次方程的一个根，则（ ）A ．6B ．9C ．D ．3．在平面直角坐标系中，已知点M 的坐标为，则下列说法不正确的是（ ）A ．点M 在第四象限B ．点M 关于x 轴的对称点的坐标为（6，5）C ．点M 关于y 轴的对称点的坐标为D ．点M 关于原点的对称点的坐标为4．下列函数中，当时，y 随x 的增大而减小的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是2的倍数的概率是（ ）A．B ．C ．D ．6．如图，五边形ABCDE 为⊙O 的内接正五边形，点P 为劣弧上的任意一点（不与D ，E 重合），则∠EPD的度数是（）第6题图A ．136°B ．144°C ．145°D ．150°7．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 顺时针旋转30°到正方形AB 'C 'D '，则图中阴影部分的面积为（）20x c +=c =6-9-()6,5-()6,5--()5,6-0x <1y x=-()211y x =-++21y x =--3y x=56342312»DE 3x =-第7题图A ．1BC ．D ．8．已知一次函数和反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致可能是（）第8题图A ．B ．C ．D ．9．如图，在矩形ABCD 中，，点E ，F 分别为BC ，CD 的中点，BF ，DE 相交于点G ，过点E 作，交BF 于点H ，则线段GH 的长是（）第9题图A ．B ．1C ．D ．10．如图，点A ，B 是半径为2的⊙O 上的两点，且）第10题图A ．圆心O 到AB 的距离为12-2y ax b =+c y x=2y ax bx c =++6,4AB AD ==EH CD ∥565453AB =B ．在圆上取异于A ，B 的一点C ，则△ABC 面积的最大值为C ．以AB 为边向上作矩形ABPQ ，交⊙O 于点P ，Q ，则扇形OPQ 的面积为πD ．取弦AB 的中点D ，当AB 绕点O 旋转一周时，点D 运动的路线长为2π二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．如果将抛物线向下平移2个单位长度，那么所得新抛物线的函数解析式是______．12．已知等腰三角形的两边长为方程的两根，则这个等腰三角形的周长为______．13．如图，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在反比例函数的图象上，AC 交y 轴于点B ．若点B是AC 的中点，△AOB 的面积为2，则k 的值为______．第13题图14．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，P 为BC 的中点，点Q 在射线AD 上，过点Q 作于点E ，连接PQ ．请解决下列问题：第14题图（1）______；（2）当△ABP 与△PEQ 相似时，______．三、（本大题共2小题，每小题8分、满分16分）15．解方程：．16．如图，OC 为⊙O 的半径，弦AB 垂直平分半径OC ，垂足为E ．若AB 的长为6，求⊙O 的半径．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和点2y x =2680x x -+=()0k y x x=<QE AP⊥AP =PQ =()()3112x x +-=D ，点D 在网格的格点上．（1）以点D 为位似中心，在网格内点D 上方画出△ABC 的位似图形且使得它们的相似比为2：1；（2）将（1）中的绕点D 顺时针旋转90°得到，画出．18．【观察】，，，…，，，，，，…，，，．【发现】根据以上材料，回答下列问题：（1）设参与上述运算的第一个因数为a ，第二个因数为b ，用等式表示a 与b 的数量关系是______．【类比】观察下列两数的积：，，，，…，，…，，，，．（2）猜想mn 的最大值为______，并用你学过的知识加以证明．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．如图，已知反比例函数的图象与直线相交于，B （3，n ）两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）求△AOB 的面积；（3）直接写出当时，对应的x 的取值范围．20．定远池河大桥，原名太平桥，位于安徽省定远县池河镇西官驿道上，雄跨于蜿蜒的池河之上，如图，拱桥的拱形是抛物线形状，在拱桥中，当水面宽度米时，水面离桥洞最大距离为1米，以水平面为x 轴，点O为原点建立平面直角坐标系．111A B C △111A B C △222A B C △222A B C △15959⨯=258116⨯=357171⨯=2832896⨯=2931899⨯=3030900⨯=3129899⨯=3228896⨯=573171⨯=582116⨯=59159⨯=179⨯278⨯377⨯476⨯m n ⨯764⨯773⨯782⨯791⨯11ky x=22y k x b =+()1,3A-12y y >8OA=（1）求该拱桥所在抛物线的解析式；（2）当水面离桥洞最大距离为3米时，求此时拱桥内水面的宽度．六、（本题满分 12 分）21．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆．AB 是⊙O 的直径，过点O 作于点E ，延长OE 至点D ，连接CD ，使．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若，求AC 的长．七、（本题满分12分）22．如图，过等边三角形ABC 的顶点A 作AC 的垂线l ，点P 为l 上一点（不与点A 重合），连接CP ，将线段CP 绕点C 逆时针旋转60°得到线段CQ ，连接QB ．（1）求证：；（2）连接PB 并延长交直线CQ 于点D ，且．①试猜想BC 和BQ 的数量关系，并证明；②若PB 的长．八、（本题满分14分）23．如图1，已知抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求线段AB 的长；（2）若点P 为直线BC 上方抛物线上的一点，当△BCP 的面积最大时，求点P 的坐标；OE AC ⊥D A ∠=∠AB CD ==AP BQ =PD CQ ⊥AC =223y x x =-++（3）如图2，若点M 为该抛物线的顶点，直线轴于点D ，在直线MD 上是否存在点N ，使点N 到直线MC 的距离等于点N 到点A 的距离？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2023-2024年度（上）九年级期末学情调研数学卷参考答案及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．B 2．D 3．D 4．D 5．C 6．B 7．C 8．B 9．A10．C 【解析】如图1，过点O 作于点H ，连接OA ，则．在Rt△AOH 中，由勾股定理得，∴圆心O 到AB 的距离为1，故选项A 正确；如图1，延长HO 交⊙O 于点C ，此时△ABC 的面积最大．∵，∴，∴△ABC 面积的最大值为B 正确；如图2，连接PA ，QB ．∵四边形ABPQ 是矩形，∴，∴PA ，QB 是⊙O 的直径，∴．在Rt △ABP 中，由勾股定理得．∵，∴，∴△POB 是等边三角形，∴，∴，∴，故选项C 错误；取弦AB 的中点D ，连接OD ，OA ，OB ．∵，∴，∴，∴当AB 绕点O 旋转一周时，点D 运动的路线是以O 为圆心，半径长是1的圆，∴点D 运动的路线长为，故选项D 正确．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11． 12．10 13．14．（1）2分） （2）4或5（3分） 【解析】（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴，∵点P 为BC 的中点，∴，∴．（2）∵四边形ABCD 是正方形，∴．∵，∴，∴．①MD x ⊥OH AB ⊥1122AH BH AB ===⨯=1HO ===213CH OC OH =+=+=11322ABC S AB CH =⋅=⨯=△90QAB PBA ∠=∠=︒224AP =⨯=2BP ===2PO BO ==PO BO BP ==60POB ∠=︒180120POQ POB ∠=︒-∠=︒2120π24π3603OPQS ⨯==扇形OA OB =OD AB ⊥1OD ===2π12π⨯=22y x =-8-4AB BC ==2BP CP ==AP ===90ABP ∠=︒EQ AP ⊥90PEQ ∠=︒ABP PEQ ∠=∠当时，．∵，∴，∴，∴．∵，∴．∵，∴；当时，．∵，∴，∴，∴四边形ABPQ 是矩形，∴．综上所述，PQ 的长为4或5．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．解：整理，得，因式分解，得，∴或，解得，．16．解：如图，连接OA ．∵OC 为⊙O 的半径，AB 垂直平分半径OC ，，∴，．设⊙O 的半径为r ，则．在Rt △OAE 中，由勾股定理得（负值舍去）．∴⊙O 的半径为．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．解：（1）如图，即为所作．ABP EPQ ∠=∠ABP QEP △△∽AD BC ∥APB PAQ ∠=∠EPQ PAQ ∠=∠AQ PQ =EQ AP ⊥12AE EP AP ===BP AP EP QP ==5PQ =BAP APQ ∠=∠ABP PEQ △△∽90BAD PAQ BAP ∠=∠+∠=︒90PAQ APQ ∠+∠=︒90AQP ∠=︒4PQ AB ==22150x x +-=()()530x x +-=50x +=30x -=15x =-23x =6AB =12OE OC =132AE BE AB ===12OE r =AE =3=r =111A B C △（2）如图，即为所作．18．解：（1）（2）1600证明：由题意，得．将代入mn ，得，∴当时，mn 的最大值为1600．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．解：（1）将代入，得，∴反比例函数的解析式为；∵点B （3，n ）在反比例函数的图象上，∴，∴点B 的坐标为．将，代入，得解得∴一次函数的解析式为．（2）设直线AB 与y 轴交于点C ．由，得点C 的坐标为（0，2），∴．（3）根据函数图象可知，当时，对应的x 的取值范围为或．20．解：（1）∵，∴该抛物线的对称轴为直线，A （8，0）．222A B C △60a b +=80m n +=80n m =-()2280401600mn m m m =-+=--+40m =()1,3A -11k y x=()1133k =-⨯=-13y x=-13y x=-1n =-()3,1-()1,3A -()3,1B -22y k x b =+223,31,k b k b -+=⎧⎨+=-⎩21,2,k b =-⎧⎨=⎩2y x =-+2y x =-+()1124422AOB AOC BOC B A S S S OC x x =+=⋅-=⨯⨯=△△△12y y >10x -<<3x >8OA =842x ==∵水面离桥洞最大距离为1米，∴该抛物线顶点坐标为（4，1）．设该抛物线解析式为，把A （8，0）代入，得，解得，∴该拱桥所在抛物线的解析式为．（2）由题意，得．把代入，得，解得．答：此时拱桥内水面的宽度为六、（本题满分12分）21．（1）证明：如图，连接OC ．∵，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴，即．∵OC 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线．（2）解：∵，∴．在Rt △COD 中，由勾股定理得．∵，∴∵，∴．七、（本题满分12分）22．（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，∴，．由旋转，得，，∴，∴，即．()241y a x =-+()20841a =-+116a =-()214116y x =--+132-=-2y =-()214116y x =--+()2124116x -=--+14x =+24x =-((44+--=OE AC ⊥90DEC ∠=︒90D DCE ∠+∠=︒A D ∠=∠90A DCE ∠+∠=︒OA OC =A ACO ∠=∠90ACO DCE ∠+∠=︒90DCO ∠=︒OC CD ⊥AB CD ==OC =OD ===1122COD S OC CD OD CE =⋅=⋅△OC CD CE OD⋅===OE AC ⊥2AC CE ==AC BC =60ACB ∠=︒CP CQ =60PCQ ∠=︒60ACB PCQ ∠=∠=︒ACB PCB PCQ PCB ∠-∠=∠-∠ACP BCQ ∠=∠在△ACP 和△BCQ 中，∴，∴．（2）解：①．证明如下：如图，连接PQ ．由旋转，得，，∴△CPQ 是等边三角形．∵，∴，∴PD 是CQ 的垂直平分线．∵点B 在PD 上，∴．②由（1）知，∴，，∴∵，∴，∴，∴．在Rt △CDP 中，，∴，∴．∵，，∴．∵，∴．∴，∴．八、（本题满分14分）23．解：（1）令，得，解得，，即，B （3，0），∴．（2）由抛物线知，点C 的坐标为（0，3）．如图1，连接OP ，设，,,,AC BCACP BCQ CP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ACP BCQ SAS ≌△△AP BQ =BC BQ =CP CQ =60PCQ ∠=︒PD CQ ⊥CD DQ =BC BQ =ACP BCQ≌△△AP BQ =CBQ CAP ∠=∠AC BC BQ AP ====CA AP ⊥90CAP ∠=︒90CBQ CAP ∠=∠=︒4CP ==9030CPD PCQ ∠=-∠=︒︒122CD CP ==PD ==90CBQ CAP ∠=∠=︒BC BQ =45BCQ ∠=︒90CDB ∠=︒45CBD BCQ ∠=︒=∠2BD CD ==2PB PD BD =-=-0y =2230x x -++=11x =-23x =()1,0A -()314AB =--=223y x x =-++()2,23P m m m -++则．∵，∴当时，，此时，，∴当△BCP 的面积最大时，点P 的坐标为．（3）存在满足条件的点N ．如图2，过点N 作于点H ，连接NA ．由抛物线可知，抛物线的顶点为M （1，4），与y 轴的交点为C （0，3）．设直线MC 的解析式为，把M （1，4）代入，得，解得，∴直线MC 的解析式为，∴，∴．当时，．设N （1，n ），则，∴，解得∴点N 的坐标为或．BCP OCP OBP BOC S SS S =+-△△△△()2111332333222m m m =⨯⨯+⨯⨯-++-⨯⨯()23327228m =--+302-<32m =278S =最大()2233152323224m m -++=-+⨯+=()315,24NH MC ⊥223y x x =-++3y ax =+43a =+1a =3y x =+45CMN ∠=︒MN =NH AN =MN =4MN n =-AN =4n -=4n =-±(1,4-+(1,4--。

九年级数学（上）期末试卷（含答案）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．某斜坡的坡度i＝l：，则该斜坡的坡角为（）A．75°B．60°C．45°D．30°3．将抛物线y＝﹣3x2﹣1向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y＝﹣3（x+2）2+1B．y＝﹣3（x﹣2）2﹣3C．y＝﹣3（x+2）2﹣3D．y＝﹣3（x﹣2）2+14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，若sin B＝，则sin A＝（）A．B．C．D．5．若反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（）A．k＜B．k＞C．k＞2D．k＜26．如图，在△ABC中，点D、E和点F、G分别是边AB、AC的三等分点，△ABC的面积为18，则四边形DEGF的面积为（）A．2B．3C．6D．97．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点C作CE⊥CD交AB的延长线于点E，添加下列条件仍不能判断△CEB与△CAD相似的是（）A．∠CBA＝2∠A B．点B是DE的中点C．CE•CD＝CA•CB D．＝8．如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，＝．若∠C＝110°，则∠ABC的度数等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示．下列结论中正确的个数有（）个．①abc＞0；②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；③3a+c＞0；④当ax2+bx+c＞3时，x的取值范围是0＜x＜2．A．1个B．2个C．3个D．4个10．已知二次函数y＝﹣x2+2x+3，截取该函数图象在0≤x≤4间的部分记为图象G，设经过点（0，t）且平行于x轴的直线为l，将图象G在直线l下方的部分沿直线l翻折，图象G在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象M，若函数M的最大值与最小值的差不大于5，则t的取值范围是（）A．﹣1≤t≤0B．﹣1≤t≤﹣C．﹣D．t≤﹣1或t≥0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴的一个交点的坐标是（﹣1，0），则图象与x轴的另一个交点的坐标是．12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是△ABC内的一点，将△ACD以点C为旋转中心，顺时针旋转90°得到△BCE，若点A、D、E共线，则∠AEB的度数等于．13．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点A（﹣2，m），将直线y＝﹣x沿y轴向上平移n个单位长度，交y轴于点B，交反比例函数图象于点C，连接OC，若BC＝OA，则n的值为．14．四边形ABCD是一张矩形纸片，点E在AD上，将△ABE沿BE折叠，使点A落在矩形的对角线BD上，连接CF，若DE＝1，请探究下列问题：（1）如图1，当F恰好为BD的中点时，AE＝；（2）如图2，当点C、E、F在同一条直线上时，AE＝．三、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）15．计算：（3﹣π）0﹣2cos30°﹣+|1﹣tan60°|．16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上．（1）将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB1C1，画出△AB1C1；（2）在给定的网格中，以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，画出△A2B2C2．四、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）17．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，1）．（1）求此二次函数的表达式；（2）用配方法求顶点坐标．18．已知，如图：AB是⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于D，DE⊥AC于点E，求证：DE是⊙O的切线．五、（本大题共2小题，每小题10分，总计20分）19．小聪在学习解直角三角形的知识后，萌生了测量他家对面位于同一水平面的楼房高度的想法，他站在自家C处测得对面楼房顶端A的仰角为37°，然后又下楼至楼底的D 处，测得对面楼房顶端A的仰角为60°，已知CD的距离为40米，请你用小聪测得的数据求出对面楼房AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）20．如图，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝6，AC＝4，以A为圆心，AB为半径画圆，与边BC交于另一点D．（1）求BD的长；（2）连接AD，求∠DAC的余弦值．六、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）21．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（m，4）、B（2，n）的两点，与坐标轴分别交于M、N两点．（1）求一次函数的解析式；（2）根据图象，直接写出不等式kx+b﹣＜0的解集；（3）求△AOB的面积．七、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）22．某大学生利用暑假40天社会实践参与了某公司旗下一家加盟店经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如下表所示：销售量p（件）p＝50﹣x销售单价q（元/件）当1≤x≤20时，q＝30+x当21≤x≤40时，q＝20+（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件（2）这40天中该加盟店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，公司为鼓励加盟店接收大学生参加实践活动决定每销售一件商品就发给该加盟店m（m≥2）元奖励．通过该加盟店的销售记录发现，前10天中，每天获得奖励后的利润随时间x（天）的增大而增大，求m的取值范围．八、（本大题共1小题，每小题14分，总计14分）23．如图①，在正方形ABCD中，B为边BC上一点，连接AE，过点D作DN⊥AE交AE、AB分别于点F、N．（1）求证：△ABE≌△DAN；（2）若E为BC中点，①如图②，连接AC交DP于点M，求CM：AM的值；②如图③，连接CF，求tan∠CFE的值．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析．解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、是中心对称图形，故此选项正确；故选：D．2．某斜坡的坡度i＝l：，则该斜坡的坡角为（）A．75°B．60°C．45°D．30°【分析】根据坡度i与坡角α之间的关系为i＝tanα计算即可．解：设该斜坡的坡角为α，∵斜坡的坡度i＝1：，∴tanα＝＝，则α＝30°，故选：D．3．将抛物线y＝﹣3x2﹣1向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y＝﹣3（x+2）2+1B．y＝﹣3（x﹣2）2﹣3C．y＝﹣3（x+2）2﹣3D．y＝﹣3（x﹣2）2+1【分析】先确定抛物线y＝﹣3x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），再利用点平移的坐标变换规律得到点（0，﹣1）平移后所得对应点的坐标为（﹣2，﹣3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．解：抛物线y＝﹣3x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），把点（0，﹣1）向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度所得对应点的坐标为（﹣2，﹣3），所以平移后的抛物线解析式为y＝﹣3（x+2）2﹣3．故选：C．4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，若sin B＝，则sin A＝（）A．B．C．D．【分析】根据题目的已知设AC＝4a，AB＝5a，然后利用勾股定理求出BC的长，最后利用锐角三角函数的定义进行计算即可．解：在△ABC中，∠C＝90°，sin B＝＝，∴设AC＝4a，AB＝5a，∴BC＝＝＝3a，∴sin A＝＝＝，故选：A．5．若反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（）A．k＜B．k＞C．k＞2D．k＜2【分析】根据反比例函数的图象和性质，由1﹣2k＜0即可解得答案．解：∵反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，∴1﹣2k＜0，解得k＞，故选：B．6．如图，在△ABC中，点D、E和点F、G分别是边AB、AC的三等分点，△ABC的面积为18，则四边形DEGF的面积为（）A．2B．3C．6D．9【分析】由点D、E、F、G分别是边AB、AC的三等分点，可得DF∥EG∥BC，AD：AE：AB＝1：2：3，即可证得△ADF∽△AEG∽△ABC，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得S△ADF：S△AEG：S△ABC的值，再根据△ABC的面积为18，继而求得答案．解：∵点D、E、F、G分别是边AB、AC的三等分点，∴DF∥EG∥BC，AD：AE：AB＝1：2：3，∴△ADF∽△AEG∽△ABC，∴S△ADF：S△AEG：S△ABC＝1：4：9，∵△ABC的面积为18，∴S△ADF＝2，S△AEG＝8，∴四边形DEGF的面积为8﹣2＝6．故选：C．7．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点C作CE⊥CD交AB的延长线于点E，添加下列条件仍不能判断△CEB与△CAD相似的是（）A．∠CBA＝2∠A B．点B是DE的中点C．CE•CD＝CA•CB D．＝【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可．解：∵CE⊥CD，∴∠EDC＝90°，∵∠BCA＝90°，∴∠BCE＝∠DCA＝90°﹣∠BCD，∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴DC＝DB＝DA，∴∠DAC＝∠A，∴∠BCE＝∠DCA＝∠A，∵∠CBA＝2∠A，∠CBA+∠A＝90°，∴∠A＝∠BCE＝∠DCA＝30°，∠CBA＝60°，∴∠E＝∠CBA﹣∠BCE＝30°，∴∠BCE＝∠DCA＝∠E＝∠A，∴△CEB∽△CAD，∴A不符合题意，∵点B是DE的中点，∴BE＝BC，∴∠BCE＝∠E，∴∠BCE＝∠E＝∠DCA＝∠A，∴△CEB∽△CAD，∴B不符合题意，∵CE•CD＝CA•CB，∴＝，∵∠BCE＝∠DCA，∴△CEB∽△CAD，∴C不符合题意．由＝，由于∠E和∠A不能判断相等，故不能判断△CEB与△CAD相似，∴D符合题意，故选：D．8．如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，＝．若∠C＝110°，则∠ABC的度数等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°【分析】连接AC，根据圆内接四边形的性质求出∠DAB，根据圆周角定理求出∠ACB、∠CAB，计算即可．解：连接AC，∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，∴∠DAB＝180°﹣∠C＝70°，∵＝，∴∠CAB＝∠DAB＝35°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝55°，故选：A．9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示．下列结论中正确的个数有（）个．①abc＞0；②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；③3a+c＞0；④当ax2+bx+c＞3时，x的取值范围是0＜x＜2．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利由抛物线的位置可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b＝﹣2a，然后根据x ＝﹣1时函数值为0可得到3a+c＝0，则可对③进行判断；根据抛物线在直线y＝3上方所对应的自变量的范围可对④进行判断．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴的右侧，∴﹣＞0，∴b＞0，∵抛物线交y轴的正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故①错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，故②正确；∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，故③错误；∵（0，3）关于直线x＝1的对称点的坐标为（2，3），∴当ax2+bx+c＞3时，x的取值范围是0＜x＜2，故④正确．故选：B．10．已知二次函数y＝﹣x2+2x+3，截取该函数图象在0≤x≤4间的部分记为图象G，设经过点（0，t）且平行于x轴的直线为l，将图象G在直线l下方的部分沿直线l翻折，图象G在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象M，若函数M的最大值与最小值的差不大于5，则t的取值范围是（）A．﹣1≤t≤0B．﹣1≤t≤﹣C．﹣D．t≤﹣1或t≥0【分析】找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则t的范围可知．解：如图1所示，当t等于0时，∵y＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点坐标为（1，4），当x＝0时，y＝3，∴A（0，3），当x＝4时，y＝﹣5，∴C（4，﹣5），∴当t＝0时，D（4，5），∴此时最大值为5，最小值为0；如图2所示，当t＝﹣1时，此时最小值为﹣1，最大值为4．综上所述：﹣1≤t≤0，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴的一个交点的坐标是（﹣1，0），则图象与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）．【分析】由二次函数的解析式得出图象的对称轴，由图象的对称性即可得出答案．解：∵二次函数y＝x2﹣2x+m的图象的对称轴为x＝﹣＝1，与x轴的一个交点的坐标是（﹣1，0），∴由二次函数图象的对称性得：二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）；故答案为：（3，0）．12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是△ABC内的一点，将△ACD以点C为旋转中心，顺时针旋转90°得到△BCE，若点A、D、E共线，则∠AEB的度数等于90°．【分析】由旋转的性质得∠DCE＝90°，CD＝CE，则△CDE是等腰直角三角形，得∠ADC＝∠CEB＝135°，从而得出答案．解：∵将△ACD以点C为旋转中心，顺时针旋转90°得到△BCE，∴∠DCE＝90°，CD＝CE，∠ADC＝∠CEB，∴∠CDE＝∠CED＝45°，∴∠ADC＝∠CEB＝135°，∴∠AEB＝∠CEB﹣∠CED＝90°，故答案为：90°．13．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点A（﹣2，m），将直线y＝﹣x沿y轴向上平移n个单位长度，交y轴于点B，交反比例函数图象于点C，连接OC，若BC＝OA，则n的值为．【分析】由直线解析式求得A的坐标，进而求得反比例函数的解析式，根据定义求得C 的横坐标，把横坐标代入反比例函数的解析式求得C的坐标，代入y＝﹣x+n即可求得n的值．解：∵直线y＝﹣x与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点A（﹣2，m），∴m＝﹣（﹣2）＝1，k＝﹣2m，∴k＝﹣2，∵BC＝OA，∴C的横坐标为﹣1，把x＝﹣1代入y＝﹣得，y＝2，∴C（﹣1，2），∵将直线y＝﹣x沿y轴向上平移n个单位长度，得到直线y＝﹣x+n，∴把C的坐标代入得2＝+n，求得n＝，故答案为：．14．四边形ABCD是一张矩形纸片，点E在AD上，将△ABE沿BE折叠，使点A落在矩形的对角线BD上，连接CF，若DE＝1，请探究下列问题：（1）如图1，当F恰好为BD的中点时，AE＝；（2）如图2，当点C、E、F在同一条直线上时，AE＝．【分析】（1）当点F恰好为BD中点时，由折叠的性质得EF⊥BD，即可求证∠ABE＝∠DBE＝∠ADB＝30°，即可求出DE长；（2）当点C、E、F在同一直线上时，易知BF＝BA＝CD，∠BCF＝∠DEC，∠BFC＝∠CDE＝90°，可求证△BFC≌△CDE（AAS），再根据△DEF∽△CED的相似比求解即可．解：（1）当点F恰好为BD中点时，由折叠的性质得EF⊥BD，∴EB＝ED，∴∠EBD＝∠EDB，由折叠的性质得∠ABE＝∠EBD，∴∠ABE＝∠DBE＝∠ADB，又∵∠ABE+∠DBE+∠ADB＝90°，∴∠ABE＝30°，∴∠DBE＝30°，∠ADB＝30°，∴BE＝DE＝1，∴AE＝BE＝＝．故答案为：；（2）当点C、E、F在同一直线上时，根据翻折的性质可知：BF＝BA＝CD，∠BCF＝∠DEC，∠BFC＝∠CDE＝90°，∴△BFC≌△CDE（AAS），∴FC＝DE＝1，设AE＝x，可得EF＝x，∵∠DEF＝∠CED，∠EFD＝∠EDC，∴△DEF∽△CED，∴DE2＝EF•EC，∴12＝x（x+1），解得：x＝或x＝（舍去负值），∴AE＝，故答案为：．三、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）15．计算：（3﹣π）0﹣2cos30°﹣+|1﹣tan60°|．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质、二次根式的性质、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．解：原式＝1﹣2×﹣2+﹣1＝1﹣﹣2+﹣1＝﹣2．16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上．（1）将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB1C1，画出△AB1C1；（2）在给定的网格中，以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，画出△A2B2C2．【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应点B1，C1即可；（2）利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．解：（1）如图，△AB1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求．四、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）17．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，1）．（1）求此二次函数的表达式；（2）用配方法求顶点坐标．【分析】（1）通过待定系数法求解．（2）将抛物线解析式化为顶点式求解．解：（1）将（1，0），（0，1）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，∴y＝﹣x2﹣x+1．（2）∵y＝﹣x2﹣x+1＝﹣（x+）2+，∴抛物线顶点坐标为（﹣，）．18．已知，如图：AB是⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于D，DE⊥AC于点E，求证：DE是⊙O的切线．【分析】连接OD，根据等腰三角形的性质证得∠C＝∠ABC，∠ODB＝∠ABC，进而得到∠ODB＝∠C，由平行线的性质得到OD∥AC，继而可得DE⊥OD，由切线的判定定理可得DE为⊙O的切线．【解答】证明：连接OD，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，又∵OD＝OB∴∠ODB＝∠ABC，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE为⊙O的切线．五、（本大题共2小题，每小题10分，总计20分）19．小聪在学习解直角三角形的知识后，萌生了测量他家对面位于同一水平面的楼房高度的想法，他站在自家C处测得对面楼房顶端A的仰角为37°，然后又下楼至楼底的D 处，测得对面楼房顶端A的仰角为60°，已知CD的距离为40米，请你用小聪测得的数据求出对面楼房AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）【分析】根据正切的定义得出AB＝BD•tan∠ABD＝BD＝1.73BD，＝0.75，即可得出BD≈40.8米，从而得出AB＝1.73BD＝70.6米．解：作CE⊥AB于E，则CE＝BD，BE＝CD，在Rt△ABD中，tan∠ABD＝，∴AB＝BD•tan∠ABD＝BD＝1.73BD，在Rt△ACE中，tan∠ACE＝＝，∴＝0.75，∴BD≈40.8（米），∴AB＝1.73BD≈70.6（米）．答：楼房AB的高度约为70.6米；20．如图，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝6，AC＝4，以A为圆心，AB为半径画圆，与边BC交于另一点D．（1）求BD的长；（2）连接AD，求∠DAC的余弦值．【分析】（1）过点A作AH⊥BD于H，利用面积法求出AH，再利用勾股定理求出BH，由垂径定理即可解决问题；（2）过点D作DM⊥AC于M，利用面积法求出DM，再由勾股定理求出AM即可解决问题．解：（1）过点A作AH⊥BD于H，如图1所示：∵Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝6，AC＝4，∴AB＝＝＝2，∵AB•AC＝BC•AH，∴AH＝＝＝，∴BH＝＝＝，∵AH⊥BD，∴BH＝HD＝，∴BD＝；（2）过点D作DM⊥AC于M，如图2所示：由（1）得：AH＝，BD＝，AB＝2，∴AD＝AB＝2，CD＝BC﹣BD＝6﹣＝，，∵AH•CD＝DM•AC，∴DM＝＝＝，在Rt△ADM中，由勾股定理得：AM＝＝＝，∴cos∠DAC＝＝＝．六、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）21．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（m，4）、B（2，n）的两点，与坐标轴分别交于M、N两点．（1）求一次函数的解析式；（2）根据图象，直接写出不等式kx+b﹣＜0的解集；（3）求△AOB的面积．【分析】（1）将A，B两坐标先代入反比例函数求出m，n，然后由待定系数法求函数解析式．（2）根据直线在曲线下方时x的取值范围求解．（3）由S△AOB＝S△AON﹣S△BON求解．解：（1）∵（m，4），（2，n）在反比例函数y＝图象上，∴4＝，n＝，解得m＝1，n＝2，∴A（1，4），B（2，2），把（1，4），（2，2）代入y＝kx+b中得，解得，∴一次函数解析式为y＝﹣2x+6．（2）由图象可得当0＜x＜1或x＞2时，直线y＝﹣2x+6在反比例函数y＝（x＞0）图象下方，∴﹣2x+6＜的解集为0＜x＜1或x＞2，∴kx+b﹣＜0的解集为0＜x＜1或x＞2．（3）把y＝0代入y＝﹣2x+6得0＝﹣2x+6，解得x＝3，∴点N坐标为（3，0），∴S△AOB＝S△AON﹣S△BON＝ON•y A﹣ON•y B＝ON（y A﹣y B）＝×3×（4﹣2）＝3．七、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）22．某大学生利用暑假40天社会实践参与了某公司旗下一家加盟店经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如下表所示：销售量p（件）p＝50﹣x销售单价q（元/件）当1≤x≤20时，q＝30+x当21≤x≤40时，q＝20+（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件（2）这40天中该加盟店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，公司为鼓励加盟店接收大学生参加实践活动决定每销售一件商品就发给该加盟店m（m≥2）元奖励．通过该加盟店的销售记录发现，前10天中，每天获得奖励后的利润随时间x（天）的增大而增大，求m的取值范围．【分析】（1）分别令当1≤x≤20时和当21≤x≤40时的函数值为35，然后求得对应的x的值即可；（2）分为当1≤x≤20时和当21≤x≤40时两种情况，列出列出与天数的函数关系式，然后利用二次函数和反比例函数的性质求解即可；（3）先求得抛物线的对称轴方程，然后依据前10天的利润随x的增大而增大列出关于m的不等式求解即可．解：（1）当1≤x≤20时，30+x＝35，解得x＝10当21≤x≤40时，20+＝35，解得x＝35，经检验，x＝35是分式方程的解．（2）当1≤x≤20时，w＝（30+﹣20）（50﹣x）＝﹣（x﹣15）2+612.5，当x＝15时，w有最大值为612.5当21≤x≤40时，w＝（20+﹣20）（50﹣x）＝﹣525，当x＝21时，w有最大值为725∵612.5＜725∴第21天时获得最大利润，最大利润为725（3）W＝x2+15x+500+m（50﹣x）＝x2+（15﹣m）x+500+50m，∵前10天每天获得奖励后的利润随时间x（天）的增大而增大，∴对称轴为x＝﹣＝15﹣m＞9.5，解得：m＜∴2≤m＜．八、（本大题共1小题，每小题14分，总计14分）23．如图①，在正方形ABCD中，B为边BC上一点，连接AE，过点D作DN⊥AE交AE、AB分别于点F、N．（1）求证：△ABE≌△DAN；（2）若E为BC中点，①如图②，连接AC交DP于点M，求CM：AM的值；②如图③，连接CF，求tan∠CFE的值．【分析】（1）由AAS证明△ABE≌△DAN即可；（2）①由全等三角形的性质得BE＝AN＝BC，则AN＝AD＝CD，再证△CDM∽△ANM，得＝＝2即可；②过点C作CM⊥DN于M，设AB＝AD＝CD＝2a，则BE＝a，由全等三角形的性质得BE＝AN＝a，AE＝DN＝a，再证△CDM∽△DNA，求出CM＝a，DM＝a，则MF＝a，然后由锐角三角函数定义得tan∠MCF＝，最后由平行线的性质得∠CFE＝∠MCF，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠B＝∠DAN＝90°，∵DN⊥AE，∴∠AFN＝90°，∴∠FAN+∠ANF＝90°，∵∠ADN+∠ANF＝90°，∴∠FAN＝∠AND，即∠BEA＝∠AND，在△ABE和△DAN中，，∴△ABE≌△DAN（AAS）；（2）解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AB＝BC＝CD，∵E为BC中点，∴BE＝CE＝BC，同（1）得：△ABE≌△DAN（AAS），∴BE＝AN＝BC，∴AN＝AD＝CD，∵AB∥CD，∴△CDM∽△ANM，∴＝＝2；②过点C作CM⊥DN于M，如图③所示：设AB＝AD＝CD＝2a，则BE＝a，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE＝＝＝a，同（1）得：△ABE≌△DAN（AAS），∴BE＝AN＝a，AE＝DN＝a，∵∠DAN＝90°，DN⊥AE，∴AF＝＝＝a，∴NF＝＝＝a，∵CM⊥DN，∴∠CMD＝90°＝∠DAN，∴∠DCM+∠CDM＝90°，∵∠CDM+∠NDA＝90°，∴∠DCM＝∠NDA，∴△CDM∽△DNA，∴＝＝，即＝＝，解得：CM＝a，DM＝a，∴MF＝DN﹣NF﹣DM＝a﹣a﹣a＝a，∴tan∠MCF＝＝＝，∵DN⊥AE，CM⊥DN，∴AE∥CM，∴∠CFE＝∠MCF，∴tan∠CFE＝tan∠MCF＝．。