基本不等式学案
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四平市第一高级中学 2013级高一年级数学学科学案
学案类型： 新课 材料序号： 15 编稿教师： 刘强 审稿教师： 刘 强
课题：3.4基本不等式：2
b
a a
b +≤
一、学习目标： 1、学会推导不等式2
a b
ab +≤
，理解不等式的几何意义。
2、知道算术平均数、几何平均数的概念。
3、会用不等式求一些简单的最值问题。
二、学习重、难点： 教学重点：基本不等式2
a b
ab +≤
的推导及应用。
教学难点：理解“当且仅当a b =时取等号” 的意义
三、知识导学：
1、概念（基本不等式）：
一般的,对于任意的实数a,b ,我们有 ，当且仅当 时, 等号成立。
特别的,如果00a ,b >> ,我们用、a b 分别代替a,b ,可
得 。
我们通常把上式写成2
a b
ab +≤
(00a ,b >>)。
2、概念扩展：
回忆数列中的等差中项和等比中项的概念。
若两个数a,b , 且00a ,b >>,
2
a b
+是a,b 的 ，叫做a,b 的算术平均数 ab 是叫做a,b 的 ，叫做a,b 的几何平均数，
由基本不等式可得：a,b 的等差中项 a,b 的等比中项（,≥≤），特 别的，当a b =时，a,b 的等差中项等于a,b 的等比中项。
3、总结：
2
22
22
2
b a ab ab b a +≤⇒≥+，R b a ∈,，当且仅当b a =时，等号成立；
2
)2
(2b a ab b a ab +≤⇒+≤，*,R b a ∈，当且仅当b a =时，等号成立。
22112222b a b a ab b
a b a ab +≤+≤≤+=+。
4、最值定理：
两个实数0,0,a b >>
若它们的积为定值，则它们的和有最 值，当且仅当a b =成立。
若它们的和为定值，则它们的积有最 值，当且仅当a b =成立。
【注】最值定理条件：一正、二定、三相等。
四、典型例题：
1、基本不等式成立的条件
【例1】不等式m m 212≥+中等号成立的条件是________。
2、基本不等式求最值
【例2】已知10<<x ，则)1(x x -的最大值是________。
3、基本不等式的实际应用 【例3】（1）用篱笆围一个面积为1002m 的矩形菜园，问这个矩形的长和 宽各是多少时，所用篱笆最短。
最短的篱笆是多少？
（2）一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长和 宽各是多少时，菜园的面积最大，最大的面积是多少？
【例4】某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800立方米，深3米，如果池底每平方米造价为150元，池壁每平方米造价为120元，怎样设计造价最低?最低总造价是多少?
五、课堂练习：
1、在下列函数中，最小值是2的是 （ ）
A. )0,(55≠∈+=x R x x x y 且
B. )1(ln 1
ln e x x
x y <<+
= C. )(33R x y x x ∈+=- D. )2
0(cos 1cos π<<+
=x x x y 2、若2lg lg =+y x ，则y
x 1
1+的最小值为________。
3、某种汽车，购车费用为10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为9.0万元，年维修费用第一年是2.0万元，以后逐年递增2.0万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？
【思考】函数)3(3
1
>+-=
x x x y 的最小值是______。
2013级高一年级数学学科学案
参考答案
【例1】1=m 。
【例2】41。
【提示】4
1
]2)1([
)1(2=-+≤-x x x x ，当且仅当21=x 时，等号成立。
【例3】（1）设菜园的长为x m ，宽为y m ，则100=xy ，篱笆的长为)(2y x +m 。
由xy y
x ≥+2
，可得：1002≥+y x ，40)(2≥+y x 。
等号当且仅当y x =时成立，此时10==y x 。
因此，矩形的长、宽都为10m 时，所用篱笆最短，最短篱笆是40m 。
（2）设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，则36)(2=+y x ，18=+y x ，矩
形菜园的面积为xy 2m 。
由92
18
2==+≤y x xy ，可得81≤xy ， 当且仅当y x =，即9==y x 时，等号成立。
因此，这个矩形的长、宽都为9m 时，菜园的面积最大，最大面积 是812m 。
【例4】设底面的长为x m ，宽为y m ，水池总造价为z 元。
根据题意，有：
)(720240000)3232(1203
4800
150y x y x z ++=⨯+⨯⨯+⨯= 由容积为48003m ，可得：48003=xy 。
因此1600=xy 。
由基本不等式，可得：xy y x 2720240000)(720240000⨯+≥++， 即：297600
16002720240000=⨯+≥z 。
当且仅当y x =，即40==y x 时，等号成立。
所以，将水池的地面设计成边长为40m 的正方形时总造价最低，最 低总造价是297600元。
【课堂练习】
1、C 。
【提示】对A ，当0<x 时，不满足题意；对B ，只有当1ln =x ，即e x = 时取得，但e x ≠，所以取不到2；对C ，当13=x ，0=x 时，x x -+33取 得最小值2；对D ，当1c os =x 时，0=x ，但0=x 不在定义域内，所以取 不到2。
2、D 。
【提示】因为2lg lg =+y x ，所以100=xy 。
5
1
1211=≥+xy y x 。
3、设使用x 年平均费用最少。
由已知条件，汽车每年维修费用构成以2.0万元为首项，2.0万元为公差
的等差数列。
因此汽车使用x 年总的维修费用为
x x
2
2.02.0+万元。
设汽车的年平均费用为y 万元，则有：
310
1021101011.01022.02.09.0102=⨯+≥++=++=++
+=x x x x x x x x x
x y 。
当且仅当
10
10x
x =，即10=x 时，y 取最小值。
答：汽车使用10年平均费用最少。
【思考】5。
【提示】5323)3(3
131=+≥+-+-=+-=
x x x x y 。
