二次函数与几何图形综合
类型1 利用二次函数图象解决与线段、三角形相关的问题
以函数图象为背景的几何题，图象背景往往就是一件衣服，基本套路是依据“点在图象上→点的坐标满足解析式”求出函数解析式，从而根据题目条件求出更多点的坐标，进而求出线段长度、三角形面积．
1．(牡丹江中考)如图，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A(0，3)，B(－1，0)，请回答下列问题：
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．
2．二次函数y＝－x2＋mx＋n的图象经过点A(－1，4)，B(1，0)，y＝－1
2x＋b经过点B，且
与二次函数y＝－x2＋mx＋n交于点D.
(1)求二次函数的表达式；
(2)点N是二次函数图象上一点(点N在BD上方)，过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交BD于点M，求MN的最大值．
3．如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)三点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．
类型2 二次函数图象与“线段之和最短”问题
如果两条线段有公共端点，那么直接构造“线段之和最短”问题解决，如果两条线段没有公共端点，那么需要通过平移将两条线段构造得有公共端点，然后应用“线段之和最短”问题解决．
4．如图，已知抛物线y＝
2
8
(x＋2)(x－4)与x轴交于点A、B(点A位于点B的左侧)，与y
轴交于点C，M为抛物线的顶点．
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)设动点N(－2，n)，求使MN＋BN的值最小时n的值．
5．如图，已知抛物线y＝－1
m
(x＋2)(x－m)(m>0)与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，
且点A在点B的左侧．
(1)若抛物线过点G(2，2)，求实数m的值；
(2)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使AH＋CH最小，并求出点H的坐标．
6．如图，抛物线y ＝－12
x 2
＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝2，OC ＝3.
(1)求抛物线的解析式．
(2)点D(2，2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P ，使得△BDP 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，∠AOC 的平分线交AB 于点D ，E 为BC 的中点，已知A(0，4)，C(5，0)，二次函数y ＝45x 2
＋bx ＋c 的图象抛物线经
过A ，C 两点．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)F ，G 分别为x 轴，y 轴上的动点，顺次连接D ，E ，F ，G 构成四边形DEFG ，求四边形DEFG 周长的最小值．
8.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(3，0)．请解答下列问题：
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E(2，m)在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长．
9.如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+(2k-1)x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点.
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；
(3)对于(2)中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由.
参考答案
1.(1)∵抛物线y ＝ax 2
＋2x ＋c 经过点A(0，3)，B(－1，0)，∴⎩⎨⎧c ＝3，0＝a －2＋c.解得⎩⎨⎧a ＝－1，
c ＝3.
∴
抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.
(2)∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴抛物线的顶点坐标为(1，4)．∴BE ＝2，DE ＝4.∴BD ＝BE 2＋DE 2＝2 5.
2.(1)∵二次函数y ＝－x 2
＋mx ＋n 的图象经过点A(－1，4)，B(1，0)，∴⎩⎨⎧4＝－1－m ＋n ，
0＝－1＋m ＋n.
解
得⎩⎨⎧m ＝－2，n ＝3.
∴二次函数的表达式为y ＝－x 2－2x ＋3. (2)∵y ＝－12x ＋b 经过点B ，∴－12×1＋b ＝0.解得b ＝12.∴y ＝－12x ＋12.设M(m ，－12m ＋1
2)，则N(m ，－m 2－2m ＋3)，∴MN ＝－m 2－2m ＋3－(－12m ＋12)＝－m 2－32m ＋52＝－(m ＋34)2＋49
16
.
∴MN 的最大值为49
16.
3.(1)∵该抛物线过点C(0，－2)，设该抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx －2.将A(4，0)，B(1，0)
代入，得⎩⎨⎧16a ＋4b －2＝0，a ＋b －2＝0.
解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝52.
∴此抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋5
2x －2.
(2)设D 点的横坐标为t(02t －2.过D 作y 轴的平行线交AC
于E.由题意可求得直线AC 的解析式为y ＝12x －2.∴E 点的坐标为(t ，12t －2)．∴DE ＝－12t 2＋5
2
t －2－(12t －2)＝－12t 2＋2t.∴S △DCA ＝12×(－1
2t 2＋2t)×4＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4.∴当t ＝2时，△DCA 面积最大．∴D(2，1)．
4.(1)令y ＝0，得2
8(x ＋2)(x －4)＝0，解得x 1＝－2，x 2＝4；令x ＝0，得y ＝－ 2.∴A(－2，0)、B(4，0)、C(0，－2)．
(2)过点A(－2，0)作y 轴的平行线l ，则点B 关于l 的对称点B′(－8，0)，又M(1，－9
82)，连接B′M 与l 的交点即为使MN ＋BN 值最小的点．设直线B′M 的解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧0＝－8k ＋b ，－982＝k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－18 2.b ＝－ 2.∴y ＝－182x － 2.∴当x ＝－2时，n ＝－3
4 2. 5.(1)抛物线过点G(2，2)时，－1
m (2＋2)(2－m)＝2，解得m ＝4.
