二项式定理习题课(教学课件201909)

二项式定理

概 念 篇

【例 1】求二项式 ( a－ 2b)4 的展开式 .

分析：直接利用二项式定理展开 .

解：根据二项式定理得 (a－ 2b)4=C 04 a4+C 14 a3( － 2b)+C 24 a2(－ 2b)2+C 34 a( － 2b)3+C 44 ( －

2b) 4

=a4 － 8a3b+24a2b2－ 32ab3 +16b4.

说明：运用二项式定理时要注意对号入座，本题易误把－ 2b 中的符号“－”忽略 .

【例 2】展开 (2x－ 32 ) 5.

2x

分析一：直接用二项式定理展开式.

解法一： (2x－ 3 5 0 5 1 4 3 2 3 3 2 3 2 3 3

2x2 ) =C 5 (2x) +C 5 (2x) (－ 2x2 )+C 5 (2x) (－ 2x2 ) +C 5 (2x) (－ 2x2 ) +

C 54 (2x)( － 3 ) 4+C 55 (－ 3 )5

2x2 2x2

=32x5－ 120x2+ 180

－ 135 + 405

－ 243

x 4 7 10 .

x 8x 32x

分析二：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开 .

解法二： (2x－ 3 5 (4x3 3)5

2x2 ) = 32x10

= 110 ［ C 05 (4x3)5+C 15 (4x3 )4(－ 3)+C 52 (4x3)3(－ 3)2+C 35 (4x3)2(－ 3)3+C 45 (4x3)(－ 3)4 + 32x

C 55 (－3) 5］

1 二项式定理

知识点一

1．二项式定理

公式(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋C2nan－2b2＋…＋Crnan－rbr所表示的规律叫做二项式定理．

2、相关概念

(1)公式右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式．

(2)各项的系数Crn(r＝0,1,2，…，n)叫做展开式的二项式系数．

(3)展开式中的Crnan－rbr叫做二项展开式的通项，记作：Tr＋1，它表示展开式的第r＋1项．

(4)在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Crnxr＋…＋Cnnxn

3、展开式具有以下特点

(1)项数：共有n＋1项；

(2)二项式系数：依次为C0n，C1n，C2n，…，Crn，…，Cnn；

(3)每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂、b的升幂排列展开；

(4)通项是第r＋1项．

例题精讲

[例1] (1)用二项式定理展开(2x－32x2)5.

(2)化简：C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－…＋(－1)rCrn(x＋1)n－r＋…＋(－1)nCnn.

[思路点拨] (1)二项式的指数为5，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．

[答案]

(1)(2x－32x2)5＝C05(2x)5＋C15(2x)4·(－32x2)＋…＋C55(－32x2)5

＝32x5－120x2＋180x－135x4＋4058x7－24332x10.

(2)原式＝C0n(x＋1)n＋C1n(x＋1)n－1(－1)＋C2n(x＋1)n－2(－1)2＋…＋Crn(x＋1)n－r(－1)r＋…＋Cnn(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.

变式训练

1．求(3x＋1x)4的展开式．

解：法一：(3x＋1x)4＝C04(3x)4＋C14(3x)3·1x＋C24(3x)2·(1x)2＋C34(3x)(1x)3＋C44(1x)4

学科教师辅导讲义

学员编号： 年 级：高二 课 时 数： 3

学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：

教学内容

1．二项式定理：

011()()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCbnNLL，

2．基本概念：

①二项式展开式：右边的多项式叫做()nab的二项展开式。

②二项式系数:展开式中各项的系数rnC(0,1,2,,)rn.

③项数：共(1)r项，是关于a与b的齐次多项式

④通项：展开式中的第1r项rnrrnCab叫做二项式展开式的通项。用1rnrrrnTCab表示。

3．注意关键点：

①项数：展开式中总共有(1)n项。

②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。()nab与()nba是不同的。

③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幂排列。b的指数从0逐项减到n，是升幂排列。各项的次数和等于n.

④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.rnnnnnnCCCCC项的系数是a与b的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：

令1,,abx 0122(1)()nrrnnnnnnnxCCxCxCxCxnNLL

令1,,abx 0122(1)(1)()nrrnnnnnnnnxCCxCxCxCxnNLL

5．性质：

①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0nnnCC，···1kknnCC

②二项式系数和：令1ab,则二项式系数的和为0122rnnnnnnnCCCCCLL，

变形式1221rnnnnnnCCCCLL。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：

3.2二项式定理

1 / 6 【课题】 3．2 二项式定理

【教学目标】

知识目标：

了解二项式定理的概念，二项式展开式的特征及其通项公式．

能力目标：

学生的数学计算技能和数学思维能力得到提高．

【教学重点】

通项公式．

【教学难点】

通项公式的应用．

【教学设计】

从分析4()ab展开式的计算入手，引入二项式定理．教学要求是了解二项式定理的概念，二项式展开式的特征及其通项公式．结合引例，介绍二项展开式的特征：（1）展开式共有1n项；（2）各项的次数都是n，及a与b的指数和为n；并且，第一个字母a依照降幂顺序，第二个字母b依照升幂顺序；（3）各项的系数依次为012C,C,C,,Cnnnnn．例1是写成展开式的训练题，基本方法是求出对应的二项式系数，依照规律，顺次书写．例2与例3都是通项公式的应用问题．其基本思路都是利用已知条件，寻求字母的指数满足的条件，得到等式，确定m的值．

【教学备品】

教学课件．

【课时安排】

2课时．(90分钟)

【教学过程】

教 学

过 程 教师

行为 学生

行为 教学

意图 时间

*揭示课题

3．2 二项式定理．

*创设情境 兴趣导入

我们知道，如果a,b是任意实数，那么

222)2abaabb（，

33223)33abaababb（．

介绍

了解

0

3.2二项式定理

2 / 6 教 学

过 程 教师

行为 学生

行为 教学

意图 时间

下面计算

4)()()()()ababababab（．

显然，计算结果中的各项都是从每个括号里任取一个字母的乘积，因而各项都是4次式，其所含字母的形式分别为

432234aabababb，，，，

在上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即04C种，所以4a的系数是04C；恰有1个取b的情况有14C种，所以3ab的系数是14C；恰有2个取b的情况有24C种，所以22ab的系数是24C；恰有3个取b的情况有34C种，所以3ab的系数是34C；恰有4个取b的情况有44C种，所以4b的系数是44C．