高考物理 专题八 万有引力定律及其应用精准培优专练
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培优点八 万有引力定律及其应用
1. “万有引力与航天”几乎每年必考，以选择题为主。近几年的出题主要集中在天体质量、密度的计算，卫星运动的各物理量间的比较，以及卫星的发射与变轨问题。
2. 几点注意：
(1)考虑星球自转时星球表面上的物体所受重力为万有引力的分力，忽略自转时重力等于万有引力；
(2)由v＝GMr得出的速度是卫星在圆形轨道上运行时的速度，而发射航天器的发射速度要符合三个宇宙速度；
(3)卫星在运行中的变轨有两种情况：离心运动和向心运动。
典例1. (2018∙全国I卷∙20) 2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波，根据科学家们复原的过程，在两颗中星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈，将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子( )
A. 质量之积 B. 质量之和 C. 速率之和 D. 各自的自转角速度
【解析】双中子星做匀速圆周运动的频率f =12 Hz（周期T =1/12 s），由万有引力等于向心力，可得：212112(2π)mmGmrfr，212222(2π)mmGmrfr，r1+ r2= r = 40 km，联立解得：(m1+m2)=(2πf )2Gr3， B正确、A错误；由v1=ωr1=2πfr1，v2=ωr2=2πf r2，联立解得：v1+
v2=2πf r，C正确；不能得出各自自转的角速度，D错误。
【答案】BC
典例2. (2018∙全国II卷∙16) 2018年2月，我国500 m口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318+0253”，其自转周期T =5.19 ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为11226.6710Nm/kg。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A. 93510kg/m B. 123510kg/m C. 153510kg/m D. 183510kg/m 一、考点分析
二、考题再现
【解析】设脉冲星值量为M，密度为ρ，根据天体运动规律知：222MmGmrTr，34π/3MMVr，代入可得：153510kg/m，故C正确。
【答案】C
典例3.(2018∙全国III卷∙15) 为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为( )
A. 2 : 1 B. 4 : 1 C. 8 : 1 D. 16 : 1
【解析】设地球半径为R，根据题述，地球卫星P的轨道半径为RP =16R，地球卫星Q的轨道半径为RQ = 4R，根据开普勒定律，232364PPQQTRTR，所以P与Q的周期之比为TP∶TQ = 8∶1，选项C正确。
【答案】C
1．如图，地球和行星绕太阳做匀速圆周运动，地球和形状做匀速圆周运动的半径r1、r2之比为1 : 4，不计地球和行星之间的相互影响，下列说法不正确的是( )
A．行星绕太阳做圆周运动的周期为8年
B．地球和行星的线速度大小之比为1 : 2
C．由图示位置开始计时，至少再经过87年，地球位于太阳和行星连线之间
D．经过相同时间，地球、行星半径扫过的面积之比为1 : 2
【答案】B
【解析】地球和行星均绕太阳做匀速圆周运动，地球绕太阳做圆周运动的周期为T1 = 8年，根据32113222rTrT解得T2 = 8年，A正确；根据22MmvGmrr可知1221vv，B错误；根据122π2π2πTTt可得87t年，C正确；天体半径扫过的面积为2π2πSr，而2πtT，联立解得2πtrST，三、对点速练
故经过相同时间，地球和行星半径扫过的面积之比为1212SS，D正确。
2．(多选)2017年8月我国FAST天文望远镜首次发现两颗太空脉冲星。其中一颗星的自转周期为T（实际测量为1.83 s，距离地球1.6万光年），假设该星球恰好能维持自转不瓦解；地球可视为球体，其自转周期为T0；同一物体在地球赤道上用弹簧秤测得重力为两极处的0.9倍，已知万有引力常量为G，则该脉冲星的平
均密度ρ及其与地球的平均密度ρ0之比正确的是( )
A．23πGT B．3πGT C．202010TT D．202010TT
【答案】AC
【解析】星球恰好能维持自转不瓦解时，万有引力充当向心力，即222πMmGmRTR，又34π3MR，联立解得3πGT，A正确；设地球质量为M0，半径为R0，由于两极处物体的重力P等于地球对物体的万有引力，即020MmPGR，在赤道上，地球对物体的万有引力和弹簧秤对物体的拉力的合力提供向心力，则有200202π0.9MmGPmRTR，联立解得22002040πRMGT，地球平均密度002030πMVGT，C对。
3．(多选)一探测器探测某星球表面时做了两次测量．探测器先在近星轨道上做圆周运动测出运行周期为T；着陆后，探测器将一小球以不同的速度竖直向上抛出，测出了小球上升的最大高度h与抛出速度v的二次方的关系，如图所示，图中a、b已知，引力常量为G，忽略空气阻力的影响，根据以上信息可求得( )
A．该星球表面的重力加速度为2ba
B．该星球的半径为bT28aπ2
C．该星球的密度为3πGT2
D．该星球的第一宇宙速度为4aTπb
【答案】BC
4．我国首颗量子科学实验卫星于2016年8月16日1点40分成功发射。量子卫星成功运行后，我国将在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信，构建天地一体化的量子保密通信
与科学实验体系。假设量子卫星轨道在赤道平面，如图所示。已知量子卫星的轨道半径是地球半径的m倍，同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，图中P点是地球赤道上一点，由此可知( )
A．同步卫星与量子卫星的运行周期之比为n3m3
B．同步卫星与P点的速度之比为1n
C．量子卫星与同步卫星的速度之比为nm
D．量子卫星与P点的速度之比为n3m
【答案】D
【解析】根据GMmr2＝m4π2T2r，得T＝4π2r3GM，由题意知r量＝mR，r同＝nR，所以T同T量＝r3同r3量＝n3m3，故A错误；P为地球赤道上一点，P点角速度等于同步卫星的角速度，根据v＝ωr，所以有v同vP＝r同rP＝nRR＝n1，故B错误；根据GMmr2＝mv2r，得v＝GMr，所以v量v同＝r同r量＝nRmR＝nm，故C错误；v同＝nvP，v量v同＝v量nvP＝nm，得v量vP＝n3m，故D正确。
5. 某试验卫星在地球赤道平面内一圆形轨道上运行，每5天对某城市访问一次，下列关于该卫星的描述中正确的是(
)
A. 角速度可能大于地球自转角速度 B. 线速度可能大于第一宇宙速度
C. 高度一定小于同步卫星的高度 D. 向心加速度可能大于地面的重力加速度
【答案】A
【解析】设卫星的周期为T，地球自转的周期为T0，则有0002π2π552πTTTT，或者0002π2π52π5TTTT，可解得卫星的周期056TT或者054TT，即卫星的角速度可能大于地球自转角速度，也可能小于地球自转的角速度，A正确；由卫星的线速度GMvr可知，所有卫星的速度小于等于第一宇宙速度，B错误；卫星的高度越高则周期越大，由A选项解析可知，卫星的周期可能大于也能小于同步卫星的周期，所以卫星的高度可能大于也可能小于同步卫星的高度，C错误；根据牛顿第二定律2MmGmar，向心加速度2GMar，卫星的高度高于地面，所以其向心加速度小于地面的重力加速度，D错误。
6．(多选) 2015年12月10日，我国成功将中星1C卫星发射升空，卫星顺利进入预定转移轨道。如图所示是某卫星沿椭圆轨道绕地球运动的示意图，已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，卫星远地点P距地心O的距离为3R。则( )
A．卫星在远地点的速度大于3gR3
B．卫星经过远地点时速度最小
C．卫星经过远地点时的加速度大小为g9
D．卫星经过远地点时加速，卫星将不能再次经过远地点
【答案】BC
【解析】对地球表面的物体有GMm0R2＝m0g，得GM＝gR2，若卫星沿半径为3R的圆周轨道运行时有GMmR2＝
mv23R，运行速度为v＝GM3R＝3gR3，从椭圆轨道的远地点进入圆轨道需加速，因此，卫星在远地点的速度小于3gR3，A错误；卫星由近地点到远地点的过程中，万有引力做负功，速度减小，所以卫星经过远地点时速度最小，B正确；卫星经过远地点时的加速度a＝GMR2＝g9，C正确；卫星经过远地点时加速，可能变轨到轨道半径为3R的圆轨道上，所以卫星还可能再次经过远地点，D错误。
7．“天宫一号”目标飞行器在离地面343 km的圆形轨道上运行，其轨道所处的空间存在极其稀薄的大气。下列说法正确的是( )
A．如不加干预，“天宫一号”围绕地球的运动周期将会变小
B．如不加干预，“天宫一号”围绕地球的运动动能将会变小
C．“天宫一号”的加速度大于地球表面的重力加速度
D．航天员在“天宫一号”中处于完全失重状态，说明航天员不受地球引力作用
【答案】A
【解析】根据万有引力提供向心力有GMmr2＝m4π2rT2，解得：T＝4π2r3GM，由于摩擦阻力作用，卫星轨道高度将降低，则周期减小，A项正确；根据GMmr2＝mv2r，解得：v＝GMr，轨道高度
降低，卫星的线速度增大，故动能将增大，B项错误；根据GMmr2＝ma，得a＝GMr2，“天宫一号”的轨道半径大于地球半径，则加速度小于地球表面的重力加速度，C项错误；完全失重状态说明航天员对悬绳的拉力或对支持物体的压力为0，而地球对他的万有引力提供他随“天宫一号”围绕地球做圆周运动的向心力，D项错误。
8．2016年2月11日，科学家宣布“激光干涉引力波天文台(LIGO)”探测到由两个黑洞合并产生的引力波信号，这是在爱因斯坦提出引力波概念100周年后，引力波被首次直接观测到。在两个黑洞合并过程中，由于彼此间的强大引力作用，会形成短时间的双星系统。如图所示，黑洞A、B可视为质点，它们围绕连线上O点做匀速圆周运动，且AO大于BO，不考虑其他天体的影响。下列说法正确的是( )
A．黑洞A的向心力大于B的向心力
B．黑洞A的线速度大于B的线速度
C．黑洞A的质量大于B的质量
D．两黑洞之间的距离越大，A的周期越小
【答案】B
【解析】两黑洞靠相互间的万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律可知，A对B的作用力与B对A的作用力大小相等、方向相反，则黑洞A的向心力等于B的向心力，故A错误；两黑洞靠相互间的万有引力提
供向心力，具有相同的角速度，由题图可知A的轨道半径比较大，根据v＝ωr可知，黑洞A的线速度大于B的线速度，故B正确；由于mAω2rA＝mBω2rB，由于A的轨道半径比较大，所以A的质量小，故C错误；两黑洞靠相互间的万有引力提供向心力，所以GmAmBL2＝mA4π2T2rA＝mB4π2T2rB，又：rA＋rB＝L，得rA＝mBLmA＋mB，L为二者之间的距离，所以得：GmAmBL2＝mA4π2T2·mBLmA＋mB，即：T2＝4π2L3GmA＋mB，则两黑洞之间的距离越小，A的周期越小，故D错误。
