(完整)高考数学理科导数大题目专项训练及答案

高一兴趣导数大题目专项训练

班级 姓名

1.已知函数()fx是定义在[,0)(0,]ee上的奇函数，当(0,]xe时，有()lnfxaxx（其中e为自然对数的底，aR）．

（Ⅰ）求函数()fx的解析式；

（Ⅱ）试问：是否存在实数0a，使得当[,0)xe，()fx的最小值是3？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由；

（Ⅲ）设ln||()||xgxx（[,0)(0,]xee），求证：当1a时，1|()|()2fxgx；

2. 若存在实常数k和b，使得函数()fx和()gx对其定义域上的任意实数x分别满足：()fxkxb和()gxkxb，则称直线:lykxb为()fx和()gx的“隔离直线”．已知2()hxx，()2lnxex（其中e为自然对数的底数）．

(1)求()()()Fxhxx的极值；

(2) 函数()hx和()x是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

3. 设关于x的方程012mxx有两个实根α、β，且。定义函数.12)(2xmxxf（I）求)(f的值；（II）判断),()(在区间xf上单调性，并加以证明；

（III）若,为正实数，①试比较)(),(),(fff的大小；

②证明.|||)()(|ff

4. 若函数22()()()xfxxaxbexR在1x处取得极值.

（I）求a与b的关系式（用a表示b），并求()fx的单调区间；

（II）是否存在实数m，使得对任意(0,1)a及12,[0,2]xx总有12|()()|fxfx

21[(2)]1mame恒成立，若存在，求出m的范围；若不存在，请说明理由．

5．若函数2ln,fxxgxxx

（1）求函数xgxkfxkR的单调区间；

（2）若对所有的,xe都有xfxaxa成立，求实数a的取值范围.

6、已知函数.23)32ln()(2xxxf

（I）求f(x)在[0，1]上的极值；

（II）若对任意0]3)(ln[|ln|],31,61[xxfxax不等式成立，求实数a的取值范围；

（III）若关于x的方程bxxf2)(在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围

7.已知 ()lnfxaxbx，其中0,0ab.（Ⅰ）求使)(xf在0,上是减函数的充要条件；（Ⅱ）求)(xf在0,上的最大值；（Ⅲ）解不等式11ln1ln21xxxx．

8.已知函数21()ln2fxxx.

（1）求函数()fx在[1,e]上的最大值、最小值；

（2）求证：在区间[1,)上，函数()fx的图象在函数32()3gxx的图象的下方；

（3）求证：[()]()nnfxfx≥22(nnN*）.

9.已知函数)0()(,ln)(axaxgxxf，设)()()(xgxfxF。

（Ⅰ）求F（x）的单调区间；

（Ⅱ）若以)3,0)((xxFy图象上任意一点),(00yxP为切点的切线的斜率21k

恒成立，求实数a的最小值。

（Ⅲ）是否存在实数m，使得函数1)12(2mxagy的图象与)1(2xfy的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说名理由。

10.已知函数21()2,()log2afxxxgxx－（a＞0，且a≠1），其中为常数．如果()()()hxfxgx 是增函数，且()hx存在零点（()hx为()hx的导函数）．

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1

参考答案

1．解：（Ⅰ）当[,0)xe时，(0,]xe，故有()ln()fxaxx，由此及()fx是奇函数得()ln()()ln()fxaxxfxaxx，因此，函数()fx的解析式为

ln()(0)()ln(0)axxexfxaxxxe；

（Ⅱ）当[,0)xe时，11()ln()()axfxaxxfxaxx：

①若10ae，则11111()0fxaxexee()fx在区间[,0)e上是增函数，故此时函数()fx在区间[,0)e上最小值为()()ln3feaee，得4ae，不符合10ae，舍去。②若1ae，则令1()0(,0)fxxea，且()fx在区间1,ea上是减函数，而在区间1,0a上是增函数，故当1xa时，min11[()]1lnfxfaa．

令21131ln3faeaa．

综上所述，当2ae时，函数()fx在区间[,0)e上的最小值是3．

（Ⅲ）证明：令1()|()|()2Fxfxgx。当0xe时，注意到lnxx（设h(x)=x-lnx，利用导数求h(x)在0xe的最小值为1，从而证得x-lnx1），故有

ln1ln1()|ln|ln22xxFxxxxxxx．

①当02x时，注意到1lnxx，故

1111112()1ln1(1)02222xFxxxxxxxxx；

②当2xe时，有222211ln1ln421ln2()10xxxxFxxxxx，故函数()Fx在区间[2,]e上是增函数，从而有

ln213()2ln2(1ln2)0222Fx。

因此，当0xe时，有1|()|()2fxgx。

又因为()Fx是偶函数，故当0ex时，同样有()0Fx，即1|()|()2fxgx．

综上所述，当1a时，有1|()|()2fxgx； 2. 【解】(Ⅰ) ()()()Fxhxx22ln(0)xexx，

22()()()2exexeFxxxx． 当xe时，()0Fx．

当0xe时，()0Fx，此时函数()Fx递减；

当xe时，()0Fx，此时函数()Fx递增；

∴当xe时，()Fx取极小值，其极小值为0．

(Ⅱ)解法一：由（Ⅰ）可知函数)(xh和)(x的图象在ex处有公共点，因此若存在)(xh和)(x的隔离直线，则该直线过这个公共点． 设隔离直线的斜率为k，则直线方程为)(exkey，即

ekekxy． 由)()(Rxekekxxh，可得02ekekxx当Rx时恒成立．

2)2(ek，

由0，得ek2． 下面证明exex2)(当0x时恒成立．

令()()2Gxxexeexexe2ln2，则

22()()2eeexGxexx， 当xe时，()0Gx．

当0xe时，()0Gx，此时函数()Gx递增；

当xe时，()0Gx，此时函数()Gx递减；

∴当xe时，()Gx取极大值，其极大值为0．

从而()2ln20Gxexexe，即)0(2)(xexex恒成立．

∴函数()hx和()x存在唯一的隔离直线2yexe．

解法二： 由(Ⅰ)可知当0x时，()()hxx (当且当xe时取等号) ．……7分

若存在()hx和()x的隔离直线，则存在实常数k和b，使得 ()()hxkxbxR和()(0)xkxbx恒成立，

令xe，则ekeb且ekeb

kebe，即ekeb． 后面解题步骤同解法一．

3. （I）解：01,2mxx是方程的两个实根，

.1,m

.1)()(212)(22mf

.1)(f …………3分

（II）12)(2xmxxf，

.)1()1(2)1(2)2()1(2)(22222xmxxxxmxxxf …………4分

当.0))((1,),(2xxmxxx时 …………5分

而0)(xf，

),()(在xf上为增函数。 …………7分

（III）①且,0,0

..0)()(,0)()(

…………9分

由（II），可知).()()(fff …………10分

②同理，可得).()()(fff