新课标高中数学必修一全册导学案及答案
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- 1 - §1.1.1集合的含义及其表示
[自学目标]
1．认识并理解集合的含义，知道常用数集及其记法;
2．了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义;
3．初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合.
[知识要点]
1． 集合和元素
(1)如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作aA;
(2)如果a不是集合A的元素,就说a不属于集合A,记作aA.
2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性.
3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn图.
4.集合的分类:有限集;无限集;空集.
5.常用数集及其记法:自然数集记作N,正整数集记作*N或N,整数集记作Z,有理数集记作Q,实数集记作R.
[预习自测]
例1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它.
（1）小于5的自然数;
（2）某班所有高个子的同学;
（3）不等式217x的整数解;
（4）所有大于0的负数;
（5）平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点.
分析：判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性.
例2.已知集合,,Mabc中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形
一定是 ( )
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
例3.设22,,2,,5,aNbNabAxyxayab若3,2A,求,ab的值.
分析: 某元素属于集合A,必具有集合A中元素的性质p,反过来,只要元素具有集合A中元素的性质p,就一定属于集合A.
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例4.已知2,,Mab,22,2,Nab,且MN,求实数,ab的值.
[课内练习]
1．下列说法正确的是（ ）
（A）所有著名的作家可以形成一个集合
（B）0与 0的意义相同
（C）集合NnnxxA,1 是有限集
（D）方程0122xx的解集只有一个元素
2．下列四个集合中，是空集的是 （ ）
A．}33|{xx B．},,|),{(22Ryxxyyx
C．}0|{2xx D．}01|{2xxx
3．方程组20{yxyx的解构成的集合是 （ ）
A．)}1,1{( B．}1,1{ C．（1，1） D．}1{.
4．已知}1,0,1,2{A，}|{AxxyyB，则B＝
5．若}4,3,2,2{A，},|{2AttxxB，用列举法表示B= .
[归纳反思]
1．本课时的重点内容是集合的含义及其表示方法，难点是元素与集合间的关系以及集合元素的三个重要特性的正确使用；
2．根据元素的特征进行分析，运用集合中元素的三个特性解决问题，叫做元素分析法。这是解决有关集合问题的一种重要方法；
3．确定的对象才能构成集合.可依据对象的特点或个数的多少来表示集合,如个数较少的有限集合可采用列举法,而其它的一般采用描述法.
4.要特别注意数学语言、符号的规范使用.
[巩固提高]
1．已知下列条件：①小于60的全体有理数；②某校高一年级的所有学生；③与2相差很小的数；④方程2x=4的所有解。其中不可以表示集合的有--------------------（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列关系中表述正确的是-----------------------------------------（ ）
A．200x B．00,0 C．0 D．0N
3．下列表述中正确的是----------------------------------------------（ ）
A．0 B．1,22,1 C． D．0N
4．已知集合A=23,21,1aaa，若3是集合A的一个元素，则a的取值是（ ） - 3 - A．0 B．-1 C．1 D．2
5．方程组3254xyxy的解的集合是---------------------------------------（ ）
A．1,1 B．1,1 C．,1,1xy D．1,1
6．用列举法表示不等式组240121xxx的整数解集合为：
7．设215022xxax，则集合21902xxxa中所有元素的和为：
8、用列举法表示下列集合：
⑴,3,,xyxyxNyN
⑵3,,yxyxNyN
9．已知A={1，2，x2－5x＋9}，B={3，x2＋ax＋a}，如果A={1，2，3}，2 ∈B，求实数a的值.
10.设集合,3AnnZn，集合21,ByyxxA，
集合，试用列举法分别写出集合A、B、C.
2,1,CxyyxxA - 4 - 1.1.2子集、全集、补集
[自学目标]
1.了解集合之间包含关系的意义.
2.理解子集、真子集的概念.
3.了解全集的意义,理解补集的概念.
[知识要点]
1.子集的概念：如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素（若aA,则aB），那么称集合A为集合B的子集（subset），记作BA或AB,.
BA还可以用Venn图表示.
我们规定:A.即空集是任何集合的子集.
根据子集的定义,容易得到:
⑴任何一个集合是它本身的子集,即AA.
⑵子集具有传递性,即若BA且BC,则AC.
2.真子集：如果BA且AB,这时集合A称为集合B的真子集（proper subset）.
记作：A B
⑴规定：空集是任何非空集合的真子集.
⑵如果A B, B C,那么A C
3.两个集合相等：如果BA与BA同时成立,那么,AB中的元素是一样的,即AB.
4．全集：如果集合S包含有我们所要研究的各个集合，这时S可以看作一个全集（Universal set），全集通常记作U.
5．补集：设AS,由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集
（complementary set）, 记作：SAð（读作A在S中的补集）,即
{,}.SAxxSxA且ð
补集的Venn图表示:
[预习自测]
例1．判断以下关系是否正确：
⑴aa； ⑵1,2,33,2,1； ⑶0；
⑷00； ⑸0； ⑹0；
例2.设13,AxxxZ,写出A的所有子集.
例3.已知集合,,2Maadad,2,,Naaqaq,其中0a且MN,求q和d的值(用a表示).
ABSASAðAUCUA - 5 -
例4.设全集22,3,23Uaa,21,2Aa,5UCA,求实数a的值.
例5.已知3Axx,Bxxa.
⑴若BA,求a的取值范围;
⑵若AB,求a的取值范围;
⑶若RCA RCB,求a的取值范围.
[课内练习]
1． 下列关系中正确的个数为（ ）
①0∈{0}，②Φ{0}，③{0，1}{（0，1）}，④{（a，b）}＝{（b，a）}
A）1 （B）2 （C）3 （D）4
2．集合8,6,4,2的真子集的个数是（ ）
（A）16 (B)15 (C)14 (D) 13
3．集合正方形A，矩形B，平行四边形C,梯形D,则下面包含关系中不正确的是（ ）
（A）BA (B) CB (C) DC (D) CA
4．若集合 ，则_____b．
5．已知M={x| 2≤x≤5}, N={x| a+1≤x≤2a1}.
（Ⅰ）若MN，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若MN，求实数a的取值范围.
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[归纳反思]
1. 这节课我们学习了集合之间包含关系及补集的概念,重点理解子集、真子集,补集的概念,注意空集与全集的相关知识,学会数轴表示数集.
2. 深刻理解用集合语言叙述的数学命题，并能准确地把它翻译成相关的代数语言或几何语言，抓住集合语言向文字语言或图形语言转化是打开解题大门的钥匙，解决集合问题时要注意充分运用数轴和韦恩图，发挥数形结合的思想方法的巨大威力。
[巩固提高]
1．四个关系式：①}0{；②0}0{；③}0{；④}0{.其中表述正确的是[ ]
A．①，② B．①，③ C． ①，④ D． ②，④
2．若U={x∣x是三角形}，P={ x∣x是直角三角形}，则PCU----------------------[ ]
A．{x∣x是直角三角形} B．{x∣x是锐角三角形}
C．{x∣x是钝角三角形} D．{x∣x是锐角三角形或钝角三角形}
3．下列四个命题：①0；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的有---------------------------------------------------[ ]
Ａ．０个 Ｂ．１个 Ｃ．２个 Ｄ．３个
４．满足关系1,2A 1,2,3,4,5的集合Ａ的个数是--------------------------[ ]
Ａ．５ Ｂ．６ Ｃ．７ Ｄ．８
５．若,xyR，,Axyyx，,1yBxyx，则,AB的关系是---[ ]
Ａ．A B Ｂ．A B Ｃ．AB Ｄ．AB
６．设A=5,xxxN,B={x∣1< x <6,x}N,则BCA
７．U={x∣},01582Rxxx，则U 的所有子集是
８．已知集合}5|{xaxA，xxB|{≥}2，且满足BA，求实数a的取值范围.
９．已知集合P={x∣},062Rxxx，S={x∣},01Rxax，
