具有分布时滞的广义系统的周期解问题

第２９卷第５期　工　程　数　学　学　报　ｖ０１．２９　Ｎｏ．５　２０１２￣１０Ｊｑ　ＣＨＩＮＥＳＥ　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　Ｏｃｔ．２０１２　文章编￣：１００５—３０８５（２０１２）０５—０７２５—０８　具有分布时滞的广义系统的周期解问题木　张志信，蒋威　（安徽大学数学科学学院，合肥２３００３９）　摘要：周期解问题已成为广义系统领域的一个重要分支，它在许多实际问题中有着更为广泛的应用．本　文主要讨论含有离散时滞和分布时滞的广义系统的周期解问题．利用特征方程和傅里叶级数理论　给出了广义系统周期解存在的充分必要条件，并给出了二维广义系统周期解存在性的代数判据．　利用不动点定理讨论了非线性广义时滞系统周期解的存在唯一性的若干充分条件．最后给出数值　算例说明主要结果．　关键词：广义系统；分布时滞；特征方程；周期解　分类号：ＡＭＳ（２０００）３４Ｋ１５　中图分类号：Ｏ１７５．１５　文献标识码：Ａ　１　引言　从二十世纪７０年代后期开始，人们普遍发现在控制理论、金融管理、生物学、物理学和人　工智能等等现代科学中存在退化现象，用广义系统来描述与刻画实际应用中经常遇到的一些系　统，要比使用正常系统来得自然、方便，而且精确地多．这就促使人们对退化这些困难的课题　开始认真地分析，并形成一系列的学术专著［卜６］和论文【７＿１３］．目前从国内外研究成果来看，研　究广义系统的较多，并且大多数研究成果仅限于常微分方程的情形，或者说较少顾及广泛存在　的，而且至关重要的“时滞”的影响．在实际建模时，为了简化系统的复杂程度，很自然地忽　略时滞系统的时滞而将时滞系统约简为常微分方程系统，这样做是不可靠的．事实上，容易　举出反例［１４】，存在这样的时滞系统，其约简的微分方程的零解不稳定，但对任意的时滞，原　方程的零解是稳定的．反之亦然，对周期解的存在性也有类似的结论，一个时滞微分系统存　在Ｈｏｐｆ分岔时，其约简的常微分系统却可以不产生Ｈｏｐｆ分岔．　广义周期系统因其具有广泛的应用背景ｆ如：电讯工程中的强迫振动，生态系统和经济系　统中周期环境的竞争平衡等），受到广大学者们的关注．关于广义系统周期解的存在性问题，　许多学者【１０—１３】得出很多成果，而具有分布时滞的广义系统的周期解问题研究不多［１２Ｊ，相关研　究工作尚需进一步完善．文献『１５１给出了一类时滞微分方程非常数周期解的存在性及其个数估　计．本文则是在现有研究成果的基础上，利用特征方程和傅里叶级数理论给出了广义系统周期　解存在的充分必要条件，在此基础上，我们给出了非线性广义时滞系统的周期解的存在唯一性　条件．　收稿日期：２０１１．０３－０４．　作者简介：张志信（１９７９年１２月生），男，博士，讲师．研究方向：广义系统的周期解和分　数阶微分系统的稳定性．　基金项目：国家自然科学基金（１１０７１００１）￣教育部博士点基金（２００９３４０ｌ１１０ｏｏ１）；安徽省高校自然科学基金（ＫＪ　２０１０ＺＤ０２；ＫＪ２０１１Ａ０２０；ＫＪ２００９Ａ００５Ｚ）：安徽大学２１１项目（ＫＪＱＮ１００１；ＫＪＴＤ００２Ｂ）￣安徽大学博士科研启　动经费．

　７２６　工　程　数　学　学　报　第２９卷　２　具有分布时滞的线性广义系统的周期解　考虑广义系统　Ｅ　）：　）＋Ｂ　一下）＋　＋　，　其中ｒ＞０，７－＞０，ｘ（ｔ）∈Ｒ　为状态变量，Ｅ，Ａ，Ｂ，Ｃ∈Ｒ　”为常量阵，￣Ｊｔｄｅｔ（Ｅ）＝０．　定理１广义系统（１）存在非常数周期解的充要条件是特征方程　：　二　二　！二：：皇二！　二！二　：２　１：０　Ｉ　（１）　有纯虚根．　证明　先证充分性．如果（２）有纯虚根　：　，令　（ｔ）＝ｅ　乱Ｐｊ　Ｐ∈Ｒｎ１弋入（１）式得　０　ＥＴ？ｉｅｖ乱Ｐ＝Ａｅｎ　Ｐ＋Ｂｅｎ‘（ｔ－－￣）Ｐ＋Ｃ／　ｅ　（　＋　）ＰｄＯ，　—ｒ　约去ｅ　乱化简可得　『一叩　Ｅ一叼　Ａ一叼　ｅ—　Ｂ一（１一ｅ－Ｖｉｒ）　］Ｐ＝０，　（３）　由　：７７ｉ是（２）的纯虚根可得　ｄｅｔ（一叼　Ｅ一叼　Ａ一叩ｔｅ一　Ｂ一（１一ｅ－７７ｉｒ）　）＝０．　推出方程（３）有非零解　，则　（￡）：ｅ　乱－ｐ即为（１）的非常数周期解．充分性得证．　再证必要性．设ｘ（ｔ）∈Ｒ　为方程（１）的非常数周期解，且不妨设　（￡）的周期为Ｔ＝２１，则　有　（　）连续且可微．我们利用傅里叶级数将　（ｔ）展开为　其中　因为ｘ（ｔ）可微，所以　＋∞　（ｔ）：∑　ｅ　，　（４）　＝一ｏ。　１　ｆｚ　＝　／　（ｔ１）ｅ　￡‘，ｚ　：妻Ｔｉｋ￣ｒ　＿毕　（ｔ）＝∑Ｔ　ｅ毕　把（４）式和（５）式代入（１）式得　∑－ｔ－ｏｏ［竽Ｅ—Ａ—Ｂ。一半ｒ—　（　一。一　）］　。半ｔ：。，　将（６）式两边同时乘以ｌｅ一　，ｍ＝０，土１，士２，…，并对ｔ从一ｆ到ｌ积分得　羹［竽Ｅ－Ａ－Ｂｅ－半ｒ—　（　一ｅ一罕）］　ｅ　＝。　（５）　（６）

　第５期　张志信，蒋威：具有分布时滞的广义系统的周期解问题　７２７　当ｋ：ｍ时，有　当ｋ≠ｍ时，有　ｅ　＝　ｅ　＝　２ｌｉ（ｋ￣ｍ）．ｅ　弹１（ｅ　ｆ—ｅ　（　从而由（７）式得　１　（ｅｌ（ｋ－ｍ）１ｒ＿ｅ－－ｉ（ｋ－ｍ）７ｒ）　１　２　ｎ（（尼一ｍ）７ｒ）＝。　Ｅ—Ａ—Ｂｅ－ｉ　．ｒ—ｃ　（１　上式乘以　，得　ｅ　）］　＝０，ｍ＝０，　［＿　Ｅ一罕Ａ一罕ｅ一平　Ｂ一（１－ｅ－平　）ｃ］　＝。，仇＝。，±１’±２，　若（２）无纯虚根，则对任意的ｍ≠０都有　＝０．故由（４）式可知　（ｔ）＝ｃｏ（常数），显然与假　设矛盾，所以（２）式有纯虚根，定理１证毕．　推论１广义系统　）＝　ｔ）＋Ｂ　一　）＋ｃ　＋　８　存在非常数周期解的充要条件是特征方程　１　！　二　二　！二　：里二！　二！二　：！　Ｉ：０　ｌ　ｉ　有纯虚根．其中ｒ＞０，７－＞０，　（￡）∈　为状态变量，Ｉ是单位矩阵，Ａ，Ｂ，Ｃ∈Ｒｎ　为常量　阵．　定理２考虑ｎ＝２时，广义系统　，０　Ｅｄｃ（ｔ）＝Ａｘ（ｔ）＋Ｂｘ（ｔ一７．）＋Ｃ／ｚ（ｔ＋Ｏ）ｄＯ，ｒ＞０　存在非常数周期解的充要条件是方程组　（ｂ２２　。＋ｆ　ｌ　＋ｌ　１　）ｓｉｎ（Ｔｙ）一（ＩＭ０１＋ｌＭ￣Ｉ）ｙ　ｃｏｓ（ｒｙ）一（ＩＭ４ｌ＋ｌＭ５１）ｙｓｉｎ（ｒｙ）　（ｃ２２Ｙ　＋２Ｉ＾　Ｉ）ｃｏｓ（ｒｙ）一ｌＢｔｙ　ＣＯＳ（２Ｔｙ）一Ｉ＾死Ｉ　ｃｏｓ（２ｒｙ）＋ＩＭ７ｌＹｓｉｎ（ｒｙ—Ｔｙ）　一ＩＭｓ［ｙｓｉｎ（ｒｙ＋Ｔｙ）＋ｃ２２Ｙ。＋ＩＣｌ—ＩＡｉｙ　＝０，　（１　ｆ＋Ｉ尬０１）　２　ｓｉｎ（Ｔｙ）＋（ｂ２２ｙ。＋ＩＭＴｌｙ＋ｌＭｓ［ｙ）ＣＯＳ（Ｔｙ）＋（ｃ２２Ｙ。＋２ｆＭ￣１）ｓｉｎ（ｒｙ）　一（１Ｍ１１ｌ＋ｌＭ１２Ｉ）Ｙｃｏｓ（ｒｙ）＋ｊＭ１３１Ｙ　ｓｉｎ（２Ｔｙ）一１Ａ　ｌ　ｓｉｎ（２ｒｙ）　一（ＩＭ７Ｉ＋ｌＭｓ１）Ｙｃｏｓ（ｒｙ＋ｒｙ）＋ａ２２ｙ。＋ＩＭ１１Ｉ＋ＩＭ１２Ｉ

　０　７２８　工　程　数　学　学　报　第２９卷　有非零实根，其中　Ａ＝（ａｉｊ）２×２，Ｂ＝（ｂｉｊ）２×２，Ｃ＝（Ｃｉｊ）２￣２，Ｅ　如＝（　），　＝（　），　＝（　），　Ｍ６＝　Ｃｌｌ　Ｃ２１　。），Ａ　＝（：：　ｉ　），Ａ　：（：：：　＝（　），尬。＝（　），　ａｌ－　ａｌ。）　＝（　：　。），　。＝（：　：　），　ｃｔ　＝（　；），　Ｘｌ（ｔ），ｘ２（ｔ）为纯量函数．　证明　由定理１，该广义系统有非常数周期解，即方程　ｈ（Ａ）＝　Ｅ—ＡＡ—Ａｅ－－ＡｒＢ一（１一ｅ－Ａｔ）　有纯虚根，等价ｈ（ｙｉ）＝０成立．即Ｒｅｈ（ｙｉ）＝０，Ｉｍｈ（ｙｉ）＝０，据此证明￣Ｐ，－Ｉ．　ｈ（ｙｉ）＝Ｉ—ｙ２Ｅ—ｙｉＡ—ｙｉｅ－ｙｉｒＢ一（１一ｅ－ｙｉｒ）ｃ　（　。：）一（　：　）　ｔ一　ｔ　ｃｃ。ｓｃ丁　一　ｓ　ｎｃ丁　（＼／：　：：　）　一（１－ｃｏｓ（ｒｙ）＋ｉ　ｓｉｎ（ｒｙ）　（　：［一Ｙ　一ａｌｌｙｉ—ｙｉ（ｃｏｓ（ｒｙ）一ｉｓｉｎ（ｒｙ））ｂｌｌ一（１一ｃｏｓ（ｒｙ）＋ｉｓｉｎ（ｒｙ））ｃｎ］　×［一ａ２２ｙｉ—ｙｉ（ＣＯＳ（Ｔｙ）一ｉ　ｓｉｎ（Ｔｙ））ｂ２２一（１一ｃｏｓ（ｒｙ）＋ｉ　ｓｉｎ（ｒｙ））ｃ２２］　一［一ａ１２ｙｉ—ｙｉ（ｃｏｓ（ｒｙ）一ｉｓｉｎ（ｒｙ））ｂ１２一（１一ｃｏｓ（ｒｙ）＋ｉｓｉｎ（ｒｙ））ｃ１２］　ａ２１ｙｉ—ｙｉ（ｃｏｓ（ｒｙ）一ｉｓｉｎ（ｒｙ））ｂ２１一（１一ｃｏｓ（ｒｙ）＋ｉｓｉｎ（ｒｙ））ｃ２１］　、ｌ●／　２　２　１　２　Ｃ　ｂ　ｎ　Ｃ　６　／，●●●一一／　Ｉｌ　、ｌ●／　２　２　１　２　６　Ｃ　ｎ　６　Ｃ　／，，●●一／　＝　Ｍ　、、●／　ｂ　０　Ｌ　１　ｌ　２　６　０　／，，●●一一／　Ｉｌ　

、ｌ●／　２　ｓ｜

　第５期　张志信，蒋威：具有分布时滞的广义系统的周期解问题　７２９　展开易得　Ｒｅｈ（ｙｉ）＝（ｂ２２Ｙ。＋ＩＭ１｛ｙ＋ＩＭｐｌｙ）ｓｉｎ（Ｔｙ）一（ＩＭｏＩ＋ＩＭ３１）ｙ。ｃｏｓ（Ｔｙ）　一（１Ｍ４ｌ＋ＩＭｓＩ）ｙｓｉｎ（ｒｙ）一（ｃ２２Ｙ。＋￣１Ｍ６１）ｃｏｓ（ｒｙ）一ＩＢｌｙ　ｃｏｓ（２￣－ｙ）　一ＪＭ６ｌ　ｃｏｓ（２ｒｙ）＋ＩＭ７ｌＹ　ｓｉｎ（ｒｙ—Ｔｙ）一ｌＭｓｌＹ　ｓｉｎ（ｒｙ＋ｒｙ）＋ｃ２２Ｙ　＋ＩＣＩ—ＩＡ｝ｙ。，　Ｉｍｈ（ｙｉ）：（』　Ｉ＋ＩＭｌｏｆ）ｙ　ｓｉｎ（Ｔｙ）＋（ｂ２２ｙ。＋ＩＭＴ｛ｙ＋ＩＭｓｌｙ）ＣＯＳ（Ｔｙ）　＋（ｃ２２Ｙ　＋２ｆＭ￣１）ｓｉｎ（ｒｙ）一（］Ｍｌｌｌ＋ＩＭ１２］）ｙｃｏｓ（ｒｙ）＋ＩＭ１３］Ｙ　ｓｉｎ（２￣－ｙ）　一ＩＭ６ｌ　ｓｉｎ（２ｒｙ）一（１Ｍ７Ｉ＋ｌＭｓＩ）ｙｃｏｓ（１－ｙ＋ｒｙ）＋ａ２２Ｙ。＋ｌＭｌｌ１＋１Ｍ１２１．　显然由Ｒｅｈ（ｙｉ）＝０，Ｉｍｈ（ｙｉ）＝０，可得定理２成立．定理２证毕．　３　非线性广义时滞系统的周期解　我们考虑如下形式的非线性广义系统　Ｅ　（　）＝Ａｘ（ｔ）＋ｓ（ｔ，　（　一７＿））　（８）　周期解的存在唯一性问题．其中ｘ（ｔ）∈Ｒ”为状态变量，７－＞０，Ｅ，Ａ∈Ｒ　为常量阵，ｊ（ｔ＋　Ｔ，Ｘ）＝ｆ（ｔ，　），Ｔ＞０是常数，Ｉｎｄ（Ｅ）：１且ｄｅｔ（Ｅ）：０．　下面介绍本文所需定义和引理．　定义１对于矩阵对（Ｅ，　），如果存在不全为零的常数　，使得ｄｅｔ（ＡＥ＋Ａ）≠０，则　称（Ｅ，Ａ）是正则的，此时我们称相应的系统（８）是正则的．　引理１１１６］系统　Ｉ　Ｅ２（ｔ）：Ａｘ（ｔ）＋，（　），ｔ　ｔｏ，　≮　Ｉ　ｘ（ｔｏ）＝　（　０），ｔ＝ｔｏ　的解存在唯一的充要条件是矩阵对（Ｅ，　）是正则的．　我们记　ＣＴ＝｛　（ｔ）ｌ钆（　＋Ｔ）＝　（　），ｕ（ｏ）＝　（　），　（￡）∈　【－７．，　），　定义　ＩｌｕｌＩ＝ｓｕｐ　ｌｕ（ｔ）Ｉ，　一７．　ｔ　Ｔ　则（ＣＴ，Ｉ１．Ｉ１）是一个Ｂａｎａｃｈ空间．　Ｐ＝　一Ｅ。Ｅ）Ａ。ｌＩ，Ｑ＝　ＩＩｅＥＤＡｔＥＤＩＩ，　其中ＥＤ表示Ｅ的Ｄｒａｚｉｎ逆．　定理３如果系统（８）满足下列条件：　１）　系统（８）正则且对应的齐次系统无非平凡的　周期解；　２）对任意的　１，Ｕ２，ＩＩｆ（ｔ，Ｕ１）一ｆ（ｔ，　２）Ｉｌ　ＬＩＩ￣Ｉ—ｕ２Ｉ１，Ｌ　０是常数，（ＱＴ＋Ｐ）Ｌ＜１；　则系统（８）存在唯一的　周期解．

　７３０　工　程　数　学　学　报　第２９卷　证明　对任意的　（　）∈ＣＴ，考虑周期边值问题　｛Ｅ圣＠）＝Ａ　）＋，０，ｕ＠一７＿）），　０　，　（９）　ｌ　（０）＝　）．　由引理１和分步法可知系统（９）有唯一解，又由文献［３，１７］可得系统有唯一的周期解表达式　（ｔ）＝ｅＥＤＡｔＥＤＥ叼＋／ｅＥＤＡ（　一ｓ）．ＥＤｓ（ｔ，ｕ（ｔ一７））ｄｓ一（　—ＥＤＥ）ＡＤｓ（ｔ，ｕ（ｔ一丁）），　其中卵∈Ｒ　．　我们定义映射Ｆ：ｕ（ｔ）∈ＣＴ，则　Ｆｕ（ｔ）＝ｅＥ。Ａ　ＥＤＥ叼＋／ｅＥＤＡ（　一ｓ）ＥＤｓ（ｔ，ｕ（ｔ一７－））ｄｓ一（　—ＥＤＥ）ＡＤｓ（ｔ，，“（ｔ一７－））．　下面证明映射　在　中是压缩的，对于任意的Ｕ　∈ＣＴ，ｉ＝１，２，我们有　ＩＩＦｕ　（ｔ）一Ｆｕ　（ｔ）ｌｌ　／Ｉ　ＥＤＡ（　一ｓ）ＥＤｌｌ　ＩＩｓ（ｔ，　（　一下））一，（　，　。（ｔ一下））１ｌｄｓ　＋ｌＩ（Ｉ—ＥＤＥ）ＡＤＩｌ　ＩＩｓ（ｔ，　（ｔ一下））一ｓ（ｔ，ｕ２（ｔ一下））ｌＩ　（ＱＴ＋Ｐ）Ｌｌｌｕｌ—Ｕ２ＩＩ．　由（ＱＴ＋Ｐ）Ｌ＜１，可知映射Ｆ在　中是压缩的，由此可知系统（８）在［０，＋。。）上有唯一　的　周期解．定理３证毕．　４　具体例子　考虑二维广义系统　ｆ　１（　）＝Ｘｌ（ｔ）一　２（ｔ）＋　２（ｔ一１）＋　１　Ｘｌ（ｔ＋Ｏ）ｄＯ，　０：　１（ｔ）＋　１（　一１）　的周期解的存在性．这里　Ｅ＝（　：），　＝（　），Ｂ＝（：　），　＝（　：），　则与定理２的方程组相对应的方程组为　Ｉ　Ｙ。ｃｏｓ（２ｙ）一Ｙ。＝０，　Ｉ　Ｙ。ｓｉｎ（２ｙ）＝０．　显然有非零解Ｙ＝　７ｒ（　＝土１，－ｔ－２，…），故由定理２可知，原方程组存在非零的周期解，下面　我们来求出它的解．为方便计算，取Ｙ＝７ｒ，由定理１的（３）式可得　Ｅ＋丌　Ａ＋丌ｔｅ一　Ｂ＋ｃ　一ｅ一　（ｐＰ　ｌ－＝０，