2021-2022年北师大版数学必修五 3.1.1不等关系和3.1.2不等关系与不等式(一)课件p

3.1 不等关系与不等式

3.1.1 不等关系与不等式（一）

从容说课

通过本节课的学习让学生从一系列的具体问题情境中感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用，这是学习本章的基础，也是不等关系在本章内容的地位与作用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较的过程，即能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，这是学习本章第三节的基础.在本节课的学习过程中还安排了一些简单的学生易于处理的问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，这也是学生学习本章的情感基础.

根据本节课教学内容，应用观察、抽象归纳、思考、交流、探究，得出数学模型，进行启发式教学并使用投影仪辅助.

教学重点 1.通过具体的问题情景，让学生体会不等量关系存在的普遍性及研究的必要性；

2.用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题；

3.理解不等式或不等式组对于刻画不等关系的意义和价值.

教学难点 1.用不等式或不等式组准确地表示不等关系；

2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题.

教具准备 投影仪、胶片、三角板、刻度尺

三维目标

一、知识与技能

1.通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系；

2.了解不等式或不等式组的实际背景；

3.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题.

二、过程与方法

1.采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学；

2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；

3.设计较典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性.

三、情感态度与价值观

1.通过具体情境，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系，鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学学习态度；

1 教学设计

1．1 不等关系

整体设计

教学分析

本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展．在本节课的学习过程中，学生将通过现实生活中的实例，了解我们周围存在的形形色色的不等关系，进而更深层次地从理性角度建立不等观念．

通过本节课的学习，让学生从一系列的具体问题情境中，感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用．对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较的过程，即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来．在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题，其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望．

三维目标

1．会用不等符号表示实际问题中的不等关系，能列出问题中的不等式或不等式组．

2．通过本节学习，让学生感受到不等关系是客观存在的广泛的数量关系．

3．通过对富有实际意义问题的解决，激发学生的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的结构美，激发学生的学习兴趣．

重点难点

教学重点：用不等式(组)表示实际问题中的不等关系，并用不等式(组)研究含有不等关系的问题，理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值．

教学难点：用不等式或不等式组准确地表示出不等关系． 2 课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.(插图导入)教材章头插图安排一幅芭蕾舞的优美画面，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课．

思路2.(情境导入)列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系．这些不等关系怎样在数学上表示出来呢？让学生自由地展开联想，教师组织不等关系的相关素材，让学生用数学的观点进行观察、归纳，使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中大量存在着．这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，从而进入进一步的探究学习，由此引入新课．

课题 §3.1不等式与不等关系

课型 新授课 课时 备课时间

教学目 标 知识与技能 掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；

过程与方法 通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；

情感态度与价值观 通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.

重点 掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；

难点 利用不等式的性质证明简单的不等式。

教学方法

教学过程

1.课题导入

在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。

请同学们回忆初中不等式的的基本性质。

（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；

即若abacbc

（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；

即若,0abcacbc

（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。

即若,0abcacbc

2.讲授新课

1、不等式的基本性质：

（1）,abbcac

（2）abacbc

（3）,0abcacbc

（4）,0abcacbc

2、探索研究

思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：

（1）,abcdacbd；

（2）0,0abcdacbd；

（3）0,,1;nnnnabnNnabab。

证明：

1）∵a＞b， ∴a＋c＞b＋c ①

∵c＞d，

∴b＋c＞b＋d． ②

由①、②得 a＋c＞b＋d．

2）bdacbdbcbdcbcaccba0,0,

3）反证法）假设nnba，

则：若nnnnabababab这都与ba矛盾，

∴nnba．

3.随堂练习1

1、课本P82的练习3

2、在以下各题的横线处适当的不等号：

2．1 一元二次不等式的解法 明目标、知重点 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.把握图像法解一元二次不等式的方法.3.培育应用数形结合、分类争辩思想方法的力气．

1．一元二次不等式的有关概念

(1)一元二次不等式：形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫作一元二次不等式．

(2)一元二次不等式的解：一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫作这个一元二次不等式的解．

(3)一元二次不等式的解集：一元二次不等式的全部解组成的集合，叫做一元二次不等式的解集．

2．一元二次不等式的解集

设方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等的实数根x1、x2，且x1

则ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为{x|xx2}；

ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集为{x|x1

3．不等式的恒成立问题

(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集是R的等价条件是a>0且Δ<0；

(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集是R的等价条件是a<0且Δ<0.

(3)分别参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：

k≥f(x)恒成立k≥f(x)max；

k≤f(x)恒成立k≤f(x)min.

[情境导学]

对于一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若令y＝0，就得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，若令y>0或y<0，就得到不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0.如何解不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0？这就是本节所要学习的主要内容．

探究点一 一元二次不等式的概念

问题1 甲、乙两辆汽车相向而行，在一个弯道上相遇，弯道限制车速在40 km/h以内，由于突发状况，两车相撞了，交警在现场测得甲车的刹车距离接近但未超过12 m，乙车的刹车距离刚刚超过10 m，又知这两辆汽车的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有以下函数关系：