(北师大版)数学必修五：3.1《不等关系》ppt课件

文字表述 1.1～1.4m 符号表示 1.1≤h≤1.4
超过1.4m h＞1.4
不足1.1m h＜1.1
3、如图，y=f(x) 反应了某公司产品的销售收入 y 万元与 销售量x t 的函数关系，y=g(x)反应了该公司产品的销售 成本与销售量的函数关系。试问：
﹙1﹚当销售量为多少时，该公司赢利（收入大于成本）； ﹙2﹚当销售量为多少时，该公司亏本（收入小于成本）？
y
y=f(x)
b
o
a
y=g(x)
x
4、 某用户计划购买单价分别为60元，70 元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超 过500元。根据需要，软件至少买三片， 磁盘至少买2盒，问：软件数与磁盘数应 满足什么条件？
解：设软件数为x,磁盘数为y,据题意可得：
60x 70 y 500

x 3且x N
y 2且y N
抽象概括：
1 常量与常量之间的不等关系。 2 变量与常量之间的不等关系。 3 函数与函数之间的不等关系。 4 一组变量之间的不等关系。
三、知识应用
1. 一杯糖水的质量为b克,其中含a克糖， 这时，糖水不够甜，于是又加入m克糖，求： （1）加糖后糖水变甜了吗？ （2）如何用不等式来表示这个不等关系？ （3）生活中还有其它的例子来表示这一关系吗？
2.有如图所示的两种广告牌，其中图（1）是由两个 等腰直角三角形构成的，图（2）是一个矩形，从图 形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种大 小关系用含字母a,b的不等式表示出来。
a a
b b
结论：图形 1的面积大于图形 2的面积，
1 2
a2

1 2
b2

ab

• [例8] 甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路
程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半 时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同， 则 ( ) A．甲先到教室 B．乙先到教室 C．两人同时到教室 D．谁先到教室不确定
• •
• 分析：用路程＝速度×时间，求甲、乙两人
所用的时间，再用比较法求解．
• [例2] 已知x>1，比较x3＋6x与x2＋6的大小． • 解析：∵(x3＋6x)－(x2＋6)＝x3－x2＋6x－6 • ＝x2(x－1)＋6(x－1)＝(x－1)(x2＋6)， • ∵x>1，∴(x－1)(x2＋6)>0，∴x3＋6x>x2＋6.
• [变式训练2] 设m∈R，x∈R，比较x2－x＋1
解析： 设甲用时间为 T， 乙用时间为 2t， 步行速度为 a， 跑步速度为 b(且 b>a)，距离为 s， s s a＋b 2 2 s s 则 T＝ ＋ ＝ ＋ ＝s× ； a b 2a 2b 2ab 2s ta＋tb＝s⇒2t＝ . a＋b sa＋b a＋b2－4ab 2s ∴T－2t＝ － ＝s× 2ab a＋b 2aba＋b sa－b2 ＝ >0.故 T>2t. 2aba＋b
•
•
(2)在证明不等式时还可以利用已经证明的结论， 或者利用不等式的性质对不等式进行变形，使不 等式变成简单易于比较大小的形式，再比较大小 得出结论，需要注意的是，有些结论的递推是双 向的，而有些是单向的，例如，不等式性质中的 对称性就是双向的，而传递性就是单向的，在不 等式两边同乘一个数或式子的时候，必须先判断 要乘的数或式子的符号，决定相乘后是否改变符 号． (3)有些不容易从正面证明的不等式还可以采用反 证法进行证明，具体可以根据课本对性质4的推论 3的证明方法和步骤，它可以把难以从正面说明的 问题转化为其反面进行说明.

探究结果
1. 对于任意实数a，b，总有 a2 b2 2ab 如何证明？
当且仅当a=b时，等号成立.
特别地，如果 a 0,b 0 ，我们用 a , b 分别代替a，b，可得
a b 2 ab，即a b ab， 2
当且仅当a=b时，等号成立.
探究结果 1. 对于
a，b，总有 a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立.
2. 如果a，b都是
，那么 a b ab 2
当且仅当a=b时，等号成立.
我们称上述不等式为
ab ，其中 2 称为a，b的算术
平均数， ab 称为a，b
. 因此，基本不等式又被称为
均值不等式.
探究结果 1. 对于
a，b，总有 a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立.
当且仅当a=b时，等号成立.
文字语言可叙述为：两个非负实数的算术平均数不小于它们 的几何平均数.
从数列的角度看：两个正实数的等差中项不小于它们正的等 比中项.
课堂升华 几何解释
如图，AB是圆O的直径，AC=a,BC=b,过点C作CD⊥AB交圆O上半
圆于D. 由射影定理可知
D
CD ab, 而OD a b ,
同向相加可得 a b c ab ac bc, 当且仅当a b c时，等号成立.
例题讲解
例2 若a b 1，比较P lg a lg b，Q 1 (lg a lg b)， 2
R lg a b 的大小关系. 2
解 因为a b 1，所以 lg a lg b 0,
由 ab a b , 2
证明 (方法2)
ab
2
ab 2ab
ab(b a) 2ab
11
ba

设儿童身高为h（单位：m）物品外部尺寸长、 宽、高之和为p(单位：cm),请在下表空格内填上 对应的数学符号（﹤，≤，﹥，≥） 文字 表述 符号 表示 不超过 160cm
１.１～１.４ m
超过1.4m
不足1.1m
1.1 h 1.4
h 1.4 h 1.1 p 160
例3 下图给出的是我国长江流域片各省、自治区、直辖市水质状况直 方图。请根据图中信息将各省、自治区、直辖市污染程度按小到大的顺序 （＜，≤）进行排列。 优于Ⅲ 2001年长江流域片各省、自治区、直辖市水质状况 类（含）
谢谢大家，再见！
那么这些不等关系用什 么来表示呢？
问题情景：两条1m长的小铁丝，如果把一条铁丝围
成一个圆，把另一条铁丝围成一个正方形.
1m
设两个图形的周长和面积分别为 C 圆 , C 方 ， 圆 , 方 .试判 断(1)两个周长的大小关系；（2）两个面积的大小关系.
s s
2
解:
(1)
C
圆=
C
2
方
1 1 1 1 2 2 (2) S圆 0.08( m ) S 0.06( m ) 方 2 4 4 16
3.设点A与平面 的距离为d，Ｂ为平面 上的任意一点，写出d满足的不等式. 0≤ d≤|AB| 4.如下图：在一个面积为350平方米的矩形地基 上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长Ｌ 大于宽Ｗ的4倍．写出L与W的关系
5m 5m 5m

5m
( L 10)(W 10) 350, L 4W L 0 W 0
60x 70 y 500 x 3且x N y 2且y N
这是一个不等式组的问题