解线性方程组的迭代法 ppt课件

a13 L a23 L 0L
O
a1n a2n
a3n M
0
0
a12 a11
a13 L a11
a1n a11
a21 a22
0
a23 L a22
a2 n a22
BJ
a31 a33
a32 a33
0
L
a3n a33
M
M
M
OM
an1 ann
an2 ann
an3 ann
j 1
n
aij x(jk )
j i1
bi )
x ( k 1) 1
1 a11
(a12 x2(k)
a13 x3(k )
a14 x4(k )
a1n xn(k )
b1 )
x ( k 1) 2
1 a22
(a21 x1(k1)
a23 x3(k )
a24 x4(k )
a2n xn(k )
b2 )
x ( k 1) 2
2
得 x(1) = ( 0.5000, 2.8333, -1.0833 )T
M
x(9) = ( 2.0000, 3.0000, -1.0000 )T
举例（续）
SOR 迭代格式
x1( k x2( k
1) 1)
x(k) 1
x(k) 2
1
2 x1(k)
x(k) 2
2
8
x ( k 1) 1
Jacobi 迭代
令 A = D - L- U， 其中 D diag(a11, a22,K , ann),
0
L
a21
M
an1
0 a12 L
0 OO
,

k
在Rn中，点列的收敛等价于每个分量的收敛。即
对x(k ) ( x1(k ) , x2(k ) , , xn(k) )T ,
x ( x1 , x2 , , xn )T Rn ,
则lim k
x(k)
x
lim
k
x(k) i
xi ,(i
1, 2,
, n)
同理，A(k) 的收敛与所选择的范数无关。
1 0 1 0 0 0
r( A E) 2, 特 征 值1的 几 何 重 数 是3 2 1,
因 此, 特 征 值1的 几 何 重 数 小 于 代 数数 重2,
故A不 可 相 似 对 角 化. 由P 1 AP J ,得AP PJ, J
2
1
1
1
2
1
1
2
即 A p1, p2 , p3 p1, p2 , p3 1 2
(M+N)x=b
Mx=-Nx+b
x=-M-1Nx+M-1b
Ax b x Bx g, B M1N , g M 1b
Ax b x Bx g, 基本迭代法的迭代格式
B M 1 N , g M 1b
x(k1) Bx(k ) g
(k 0,1, 2, )
其中B Rnn称为迭代矩阵，g是已知的n维向量，
给定x(0) ,由迭代格式x(k1) Bx(k) g,(k 0,1, 2, )
即可产生迭代序列{ x(k) }。
当 lim x(k) x 时， k
对 x(k1) Bx(k) g 取极限 得 x Bx g Ax b
注：如何分裂A是一个关键问题。
8 -3 2 20 例：对线性方程组Ax b，其中A= 4 11 -1 , b 33

第五章 线性方 程组的解法
1
整体 概述
一 请在这里输入您的主要叙述内容
二
请在这里输入您的主要 叙述内容
三 请在这里输入您的主要叙述内容
2
问题的提出：
在自然科学与工程技术中，很多 问题的解决常常归结为求解线性方程 组，如电学中的网络问题，机械和建 筑结构的设计和计算等，因此利用计 算机求解线性方程组就成为一个非常 重要的问题。
a(k) kj
ak(kj1)
/ak(kk1)
对于i=k+1，k+2，…，n，n+1计算
ai(kj)ai(kj1)ai(kk1)ak(k)j
其中j=k，k+1，k+2，…，n，n+1。 当k=n，即
27
继续这种过程，第n次消元后增广矩阵为
1
a(1) 12
(A(n) b(n))
1
a(1) 13
a(2) 23
会导致舍入误差的扩散，这是它的缺陷。
30
G-J消去法的一般求解过程如下：
消元过程：对于k=1，2，…，n，执行
设
a(k1) kk
0
，对于j=k，k+1，…，
n，n+1计算
a(k) kj
ak(kj1)
/ak(kk1)
对于i=k+1，k+2，…，n，计算
ai(kj)ai(kj1)ai(kk1)ak(k)j 其中j=k，k+1，k+2，…，n，n+1
0
0
a(2) n3
a(2) nn
an(2,n)1
19
如此继续计算下去，第k-1次消元结 束后就得到增广矩阵
a1(01)

VS
详细描述
高斯消元法的基本思想是将线性方程组转 化为上三角矩阵，然后通过回代过程求解 未知数。在消元过程中，通过行变换将方 程组的系数矩阵变为上三角矩阵，然后通 过回代过程求解未知数。该方法具有较高 的计算效率和精度，适用于大规模线性方 程组的求解。
迭代法
总结词
迭代法是一种求解线性方程组的方法，通过不断迭代逼近解的过程。
在物理领域的应用
力学系统
利用线性方程组描述多体系统的 运动状态，分析系统的平衡点和 稳定性，以及如何通过调整系统
参数实现稳定运动。
电路分析
通过线性方程组表示电路中的电流 和电压关系，分析电路的阻抗、导 纳和转移矩阵等参数，为电路设计 和优化提供依据。
波动方程
利用线性方程组描述波动现象，如 声波、光波和水波等，分析波的传 播规律和特性。
线性方程组解ppt课件
目录 CONTENT
• 线性方程组的基本概念 • 线性方程组的解法 • 线性方程组的解的性质 • 线性方程组的应用 • 线性方程组解的软件实现
01
线性方程组的基本概念
线性方程组的定义
线性方程组
由有限个线性方程组成的方程组，其中每个方程包含一个或多个 未知数。
线性方程
形如 ax + by + c = 0 的方程，其中 a, b, c 是常数，x 和 y 是未 知数。
详细描述
迭代法的基本思想是通过不断迭代逼近解的过程，最终得到线性方程组的近似解。迭代法有多种形式，如雅可比 迭代法、高斯-赛德尔迭代法和松弛迭代法等。这些方法通过迭代更新解的近似值，最终得到满足精度要求的解。 迭代法适用于大规模线性方程组的求解，但计算效率相对较低。
矩阵求解法
总结词