2022-2023学年初中八年级下数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：115 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）1. 下列运算正确的是( )A.B.C.D.2. 在下列多项式的乘法中，不可以用乘法公式计算的是（ ）A.B.C.D.3. 如果，且，则下列选项正确的是（ ）A.，B.，C.,异号，且负数的绝对值大D.,异号，且正数的绝对值大4. 如图，已知等腰，，是上一点，线段与关于直线对称，射线交射线于点，连接，．则下列关系正确的是 a ⋅=a 5a 5=6(2a)3a 3=−2x −1(x −1)2x 2÷=a 3a 41a(2m +n)(2n −m)(m +3)(−m −3)1212(5m −3n)(5m +3n)(−m +n)(m −n)mn >0m +n <0m >0n <0m <0n <0m n m n △ABC AB=BC D AC BE BA BD CE BD F AE AF ()A.B.C.D.5. 是等腰三角形，，且，则 A.B.C.D.6. 等腰三角形两边长分别为和，则它的周长为（ ）A.B.C.D.或卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）7. 化简：________.8. 锦江 在与的积中不含项，则的值为________．9. 分解因式： ________ ．10. 如图， 的边长为．其三条角平分线交于点，若，则点到的距离∠AFE +∠ABE =180∘∠AEF =∠ABC 12∠AEC +∠ABC=180∘∠AEB=∠ACB△ABC AB =AC ∠C =2∠A ∠A =()18∘30∘36∘54∘49917221722÷(−)−ab a 2a 2a b b a =x +p −2x +1x 2x p 4−1=x 2△ABC AB 5O =5S △ABO O AC________.11. 如图，在中， ，是高，如果厘米，厘米， 厘米，那么点到直线的距离为________厘米．12. 三角形三边长分别为，，，则的取值范围是________．三、 解答题 （本题共计 11 小题 ，每题 5 分 ，共计55分 ）13. 计算：．14. 先化简再从、、中选一个你喜欢的数代入求值． 15. 解方程.；.16. 如图，于，于，若，．△ABC ∠ACB =90∘CD AB =5BC =3AC =4C AB 3x 4x (x −y −(x −y)(y +x)12)21212÷(−1)x −4−9x 21x −31334(1)=1−2xx −212−x (2)+=3x +11x −16−1x 2DE ⊥AB E DF ⊥AC F BD =CD BE =CF (1)AD ∠BAC求证：平分；直接写出，，之间的等量关系．17. 尺规作图：把图（实线部分）补成以虚线为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽蝴蝶的图案．（不用写作法，保留作图痕迹）18. 如图，四边形中，，点为的中点，且平分．求证：平分；求证：；判断之间的数量关系，并说明理由.19. 近年来，随着我国科学技术的迅猛发展，很多行业已经由“中国制造”升级为“中国创造”，高铁事业是“中国创造”的典范，它包括字头的动车以及字头的高铁．已知，由站到站高铁的平均速度是动车平均速度的倍，行驶相同的路程千米，高铁比动车少用 个小时，（1）求动车的平均速度；（2）若以“速度与票价的比值”定义这两种列车的性价比，人们出行都喜欢选择性价比高的方式．现阶段站到站的动车票价为㎡元/张，高铁票价为 元/张，求动车票价为多少元/张时，高铁的性价比等于动车的性价比？ 20. 如图，已知中，，，，，是的边上的两个动点，其中点以每秒个单位长度的速度从点出发，向终点运动，点同时以每秒个单位长度的速度从点出发，沿向终点运动，设运动的时间为．根据以上信息，回答下面问题：求的长度；当为何值时，点在边的垂直平分线上？当点在边上运动时，是否存在的值，使为等腰三角形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．21. 如图，在中，，点在上，过点的直线分别交于点，交的延长线(1)AD ∠BAC (2)AB AC AE l ABCD ∠D =∠ABD =90∘O BD OA ∠BAC (1)OC ∠ACD (2)OA ⊥OC (3)AB 、CD 、AC D G A B 1.2400518A B (m +50)△ABC ∠B =90∘AB =16cm AC =20cm P Q △ABC P 1A B Q 2B BC −CA A ts (1)BC (2)t P AC (3)Q CA t △BCQ t △ABC AB =AC D BC D AB E AC于点，且．求证．22. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．已知点的坐标为，点为坐标原点，，抛物线的顶点为．（1）求出抛物线的解析式，并写出点的坐标；（2）如图，将抛物线向下平移个单位，得到抛物线，设与轴的交点为，顶点为，当是等边三角形时，求的值；（3）在（2）的条件下，如图，设点为线段上一动点，过点作轴的垂线分别交抛物线于、两点，试探究在直线上是否存在点，使得以为顶点的三角形与全等，若存在，直接写出点，的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 如图，直线与轴、轴分别相交于点和．直接写出坐标：点________，点________；以线段 为一边在第一象限内作▱，其顶点在双曲线 上．①求证：四边形 是正方形；②试探索：将正方形沿轴向左平移多少个单位长度时，点恰好落在双曲线上.F BE =CF DE =DF 1:y =a −2ax +c (a <0)C 1x 2x A B y C A (−1,0)O OC =3OA C 1G C 1G 2C 1k (k >0)C 2C 2x ,A ′B ′G ′△A ′B ′G ′k 3M OB ′M x ,C 1C 2P Q y =−1N P,Q,N △AOQ M N y =−2x +2x y A B (1)A B (2)AB ADCB D (3,1)y =(x >0)k x ABCD ABCD x C y =(x >0)k x参考答案与试题解析2022-2023学年初中八年级下数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）1.【答案】D【考点】同底数幂的乘法同底数幂的除法幂的乘方与积的乘方完全平方公式【解析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，完全平方公式及同底数幂的除法来解答即可.【解答】解：， ，故错误；， ，故错误；， ，故错误；，,故正确.故选.2.【答案】A【考点】平方差公式完全平方公式【解析】根据平方差公式的特点：两数的和与两数的差的积；完全平方公式的特点，两个数的和或差的积，对各选项分析判断后利用排除法求解．A a ⋅=a 5a 6AB =8(2a)3a 3BC =−2x +1(x −1)2x 2CD ÷=a 3a 41a D D【解答】解:, ，不是相同的两个数的和与差的积，故本选项错误；, ,可以利用完全平方公式进行计算，故本选项正确;, ,可以看成是与的和与差的积，符合平方差公式，故本选项正确；, ，符合完全平方公式，故本选项正确.故选．3.【答案】B【考点】有理数的乘法有理数的加法绝对值【解析】依据有理数的乘法法则可知、同号，依据有理数的加法法则可作出判断．【解答】解：∵，∴，或，．又∵，∴，．故选．4.【答案】B【考点】等腰三角形的性质轴对称的性质【解析】由轴对称的性质可得，四边形中，＝，＝，故和都是等腰三角形，利用等腰三角形的性质以及角的大小关系，即可得到正确结论．【解答】解：由轴对称的性质可得，四边形中，，，A (2m +n)(2n −m)B (m +3)(−m −3)=−1212(m +3)122C (5m −3n)(5m +3n)5m 3nD (−m +n)(m −n)=−(m −n)(m −n)A m n mn >0m >0n >0m <0n <0m +n <0m <0n <0B ABEF AB EB AF EF △ABE △EBC ABEF AB=EB AF =EF ∠BAF=∠BEF∴，∵等腰中，，∴，∴，∴四边形中，，故错误；∵中，，中，，∴，故正确；∵，∴，，∴，∴，故错误；∵，，，∴，故错误；故选.5.【答案】C【考点】三角形内角和定理等腰三角形的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴，∵，∴.∵，∴，即，∴.故选.6.【答案】C∠BAF=∠BEF △BCE ∠BEC <90∘∠BEF >90∘∠BAF >90∘ABEF ∠AFE +∠ABE <180∘A △ABE ∠AEB =−∠ABE 180∘2△BCE ∠BEC =−∠CBE 180∘2∠AEF=−∠AEB −∠BEC 180∘=−−180∘−∠ABE 180∘2−∠CBE 180∘2=(∠ABE +∠CBE)12=∠ABC 12B AB=CB =EB ∠AEB=∠EAB ∠BEC=∠BCE ∠AEC=∠EAB +∠ECB >∠CAB +∠ACB ∠AEC +∠ABC >∠CAB +∠ACB +∠ABC =180∘C ∠AEB=∠EAB ∠BAC=∠BCA ∠BAE >BAC ∠AEB >ACB D B AB =AC ∠B =∠C ∠C =2∠A ∠B =∠C =2∠A ∠A +∠B +∠C =180∘∠A +2∠A +2∠A =180∘5∠A =180∘∠A =36∘C【考点】三角形三边关系等腰三角形的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）7.【答案】【考点】分式的化简求值【解析】（1）（2）在做分式除法与减法混合运算题时，运算顺序是先做括号内的减法，此时要注意把各分母先因式分解，确定最简公分母进行通分；做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分．（3）中关键是化简，然后把给定的值代入求值．【解答】解：.故答案为：.8.【答案】【考点】ba +b÷(−)−ab a 2a 2a b b a =⋅a −b a ab −a 2b 2=⋅a −b a ab (a −b)(a +b)=b a +b b a +b 12多项式乘多项式【解析】此题暂无解析【解答】解：，∵与的积中不含，∴，∴，故答案为：.9.【答案】【考点】因式分解-运用公式法【解析】此题暂无解析【解答】解：，故答案为：.10.【答案】【考点】角平分线的性质三角形的面积【解析】作于，于，根据三角形的面积公式求出OD ，根据角平分线的性质得到OE=OD ，即可解得.【解答】(x +p)(−2x +1)=−2+x +p −2px +p =+(p −2)+(1−2p)x +p x 2x 3x 2x 2x 3x 2x +p −2x +1x 2x 1−2p =0p =1212(2x +1)(2x −1)4−1x 2=(2x +1)(2x −1)(2x +1)(2x −1)2OD ⊥AB D OE ⊥AC E OD ⊥AB OE ⊥AC解：作于，于.，.点是三条角平分线的交点，，即点到的距离为.故答案为：.11.【答案】【考点】三角形的面积【解析】根据，即可求出的值．【解答】解：在中，，，，，，，.故答案为：．12.【答案】【考点】三角形三边关系【解析】OD ⊥AB D OE ⊥AC E ∵=AB ×OD =OD =5S △ABO 1252∴OD =2∵O ∴OE =OD =2O AC 22125=AB ⋅CD =AC ⋅BC S △ABC 1212CD ∵△ABC ∠ACB =90∘AC =4BC =3AB =5∴=AB ⋅CD =AC ⋅BC S △ABC 1212∴4×3=5CD ∴CD =1251251<x <7根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可得：．【解答】解：∵三角形的三边长分别是，，，∴的取值范围是．故答案为：.三、 解答题 （本题共计 11 小题 ，每题 5 分 ，共计55分 ）13.【答案】解：原式．【考点】完全平方公式平方差公式【解析】首先利用完全平方公式与平方差公式计算，然后再合并同类项即可求得答案．【解答】解：原式．14.【答案】原式，∵且，∴，则原式．1<x <7x 34x 1<x <71<x <7=−xy +−(−)x 214y 2x 214y 2=−xy +12y 2=−xy +−(−)x 214y 2x 214y 2=−xy +12y 2=÷(−)x −4(x +3)(x −3)1x −3x −3x −3=÷x −4(x +3)(x −3)4−x x −3=⋅x −4(x +3)(x −3)x −3−(x −4)=−1x +3x ≠±3x ≠4x =13=−=−1+313310分式的化简求值【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的的值代入计算可得．【解答】原式，∵且，∴，则原式．15.【答案】解：，，，∴，解得，经检验，是原分式方程的解.，，可得,即，解得，经检验，是原分式方程的解.【考点】解分式方程——可化为一元一次方程【解析】将分式化为一元一次方程求解.通分后化简为一元一次方程求解即可.x =÷(−)x −4(x +3)(x −3)1x −3x −3x −3=÷x −4(x +3)(x −3)4−x x −3=⋅x −4(x +3)(x −3)x −3−(x −4)=−1x +3x ≠±3x ≠4x =13=−=−1+313310(1)=1−2x x −212−x +=12x x −212−x =12x −1x −22x −1=x −2x =−1x =−1(2)+=3x +11x −16−1x 2+=3(x −1)−1x 2x +1−1x 26−1x 23(x −1)+x +1=64x =8x =2x =2解：，，，∴，解得，经检验，是原分式方程的解.，，可得,即，解得，经检验，是原分式方程的解.16.【答案】证明：∵于，于，∴，∴与均为直角三角形，∵∴，∴，∵，，∴平分.解：．理由如下：∵，平分，∴，∵，在与中，∵∴，∴，∴．【考点】全等三角形的性质与判定角平分线的定义角平分线的性质【解析】(1)=1−2xx −212−x +=12x x −212−x =12x −1x −22x −1=x −2x =−1x =−1(2)+=3x +11x −16−1x 2+=3(x −1)−1x 2x +1−1x 26−1x 23(x −1)+x +1=64x =8x =2x =2(1)DE ⊥AB E DF ⊥AC F ∠E=∠DFC =90∘△BED △CDF {BD =CD ，BE =CF ，Rt △BDE ≅Rt △CDF (HL)DE =DF DE ⊥AB DF ⊥AC AD ∠BAC (2)AB +AC =2AE BE =CF AD ∠BAC ∠EAD=∠CAD ∠E=∠AFD =90∘△AED △AFD∠EAD =∠CAD ，AD =AD ，∠E =∠AFD ，△AED ≅△AFD (AAS)AE =AF AB +AC =AE −BE +AF +CF =AE +AF=2AE △BDE ≅△CDF AD ∠BAC（1）根据相“”定理得出，故可得出＝，所以平分；（2）由（1）中可知＝，平分，故可得出，所以＝，故＝＝＝．【解答】证明：∵于，于，∴，∴与均为直角三角形，∵∴，∴，∵，，∴平分.解：．理由如下：∵，平分，∴，∵，在与中，∵∴，∴，∴．17.【答案】解：．【考点】利用轴对称设计图案【解析】将三角形不在对称轴的那两个顶点分别向轴引垂线并延长相同长度得到对应点，顺次连接．【解答】解：HL △BDE ≅△CDF DE DF AD ∠BAC △BDE ≅△CDE BE CF AD ∠BAC △AED ≅△AFD AE AF AB +AC AE −BE +AF +CF AE +AE 2AE (1)DE ⊥AB E DF ⊥AC F ∠E=∠DFC =90∘△BED △CDF { BD =CD ，BE =CF ，Rt △BDE ≅Rt △CDF (HL)DE =DF DE ⊥AB DF ⊥AC AD ∠BAC (2)AB +AC =2AE BE =CF AD ∠BAC ∠EAD=∠CAD ∠E=∠AFD =90∘△AED △AFD ∠EAD =∠CAD ，AD =AD ，∠E =∠AFD ，△AED ≅△AFD (AAS)AE =AF AB +AC =AE −BE +AF +CF =AE +AF =2AE l．18.【答案】证明：过点作于，∵，平分，∴，∵点为的中点，∴，∴，∴平分；在和中，，∴，∴，同理求出，∴，∴；.∵，∴，同理可得，∵，∴．【考点】角平分线性质定理的逆定理(1)O OE ⊥AC E ∠ABD =90∘OA ∠BAC OB =OE O BD OB =OD OE =OD OC ∠ACD (2)Rt △ABO Rt △AEO {AO =AOOB =OE Rt △ABO ≅Rt △AEO(HL)∠AOB =∠AOE ∠COD =∠COE ∠AOC =∠AOE +∠COE =×=12180∘90∘OA ⊥OC (3)AB +CD =AC Rt △ABO ≅Rt △AEO AB =AE CD =CE AC =AE +CE AB +CD =AC角平分线的性质直角三角形全等的判定全等三角形的判定全等三角形的性质【解析】（1）过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而求出，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明；（2）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，同理求出，然后求出，再根据垂直的定义即可证明；（3）根据全等三角形对应边相等可得，，然后证明即可．【解答】证明：过点作于，∵，平分，∴，∵点为的中点，∴，∴，∴平分；在和中，，∴，∴，同理求出，∴，∴；.∵，∴，同理可得，O OE ⊥AC E OB =OE OE =OD HL △ABO △AEO ∠AOB =∠AOE ∠COD =∠COE ∠AOC =90∘AB =AE CD =CE (1)O OE ⊥AC E ∠ABD =90∘OA ∠BAC OB =OE O BD OB =OD OE =OD OC ∠ACD (2)Rt △ABO Rt △AEO {AO =AO OB =OERt △ABO ≅Rt △AEO(HL)∠AOB =∠AOE ∠COD =∠COE ∠AOC =∠AOE +∠COE =×=12180∘90∘OA ⊥OC (3)AB +CD =AC Rt △ABO ≅Rt △AEO AB =AE CD =CE AC =AE +CE∵，∴．19.【答案】(1)千米每小时；元.【考点】由实际问题抽象为分式方程分式方程的应用【解析】(1)设动车平均速度为千米每小时，则高铁平均速度为1.2千米每小时，根据题意可得：，解方程即可；根据题意得：，解得：，经检验，是原分式方程的解，动车票价为每张元时，高铁与动车的性价比相等.【解答】解：(1)设动车平均速度为千米每小时，则高铁平均速度为1.2千米每小时，根据题意可得：，解得：千米每小时，经检验，是原分式方程的解，答：动车平均速度为千米每小时；根据题意得：，解得：，经检验，是原分式方程的解，答：动车票价为每张元时，高铁与动车的性价比相等.20.【答案】解： ，，，∴.故的长度为.∵点在边的垂直平分线上，∴，，在中， ，即，解得： .①当时，如图所示，AC =AE +CE AB +CD =AC 240(2)250x x +=4001.2x 518400x (2)=240m 240×1.2m +50m =250m =250250x x +=4001.2x 518400x x =240x =240240(2)=240m 240×1.2m +50m =250m =250250(1)∠B =90∘AB =16cm AC =20cm AC ===12(cm)A −A C 2B 2−−−−−−−−−−√−202162−−−−−−−−√BC 12cm (2)P AC PC =PA =t PB =16−t Rt △BPC B +B =C C 2P 2P 2+=122(16−t)2t 2t =252(3)CQ =BQ 1图则.，∴，，∴，∴，∴，∴，∴秒．②当时，如图所示，图则，∴秒．③当时，如图所示，图过点作于点，，∴，∴，∴，∴秒．综上所述：当为秒或秒或秒时，为等腰三角形．【考点】勾股定理动点问题1∠C =∠CBQ ∵∠ABC =90∘∠CBQ +∠ABQ =90∘∠A +∠C =90∘∠A =∠ABQ BQ =AQ CQ =AQ =10BC +CQ =22t =22÷2=11CQ =BC 22BC +CQ =24t =24÷2=12BC =BQ 33B BE ⊥AC E BE ===AB ⋅BC AC 12×1620485CE ==B −B C 2E 2−−−−−−−−−−√365CQ =2CE =14.4BC +CQ =26.4t =26.4÷2=13.2t 111213.2△BCQ等腰三角形的判定与性质三角形的面积【解析】由勾股定理即可求解；点在边的垂直平分线上，则，在中，由即可求解；用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和三种情况，分别得到关于的方程，可求得的值．【解答】解： ，，，∴.故的长度为.∵点在边的垂直平分线上，∴，，在中， ，即，解得： .①当时，如图所示，图则.，∴，，∴，∴，∴，∴，∴秒．②当时，如图所示，图则，∴秒．③当时，如图所示，P AC PC =PA =t,PB =16−t Rt △BPC B +B =C C 2P 2P 2t BQ CQ BQ =BC,CQ =BC BQ =CQ t t (1)∠B =90∘AB =16cm AC =20cm AC ===12(cm)A −A C 2B 2−−−−−−−−−−√−202162−−−−−−−−√BC 12cm (2)P AC PC =PA =t PB =16−t Rt △BPC B +B =C C 2P 2P 2+=122(16−t)2t 2t =252(3)CQ =BQ 11∠C =∠CBQ ∵∠ABC =90∘∠CBQ +∠ABQ =90∘∠A +∠C =90∘∠A =∠ABQ BQ =AQ CQ =AQ =10BC +CQ =22t =22÷2=11CQ =BC 22BC +CQ =24t =24÷2=12BC =BQ 3图过点作于点，，∴，∴，∴，∴秒．综上所述：当为秒或秒或秒时， 为等腰三角形．21.【答案】证明：如图，过点作交于点．∵，∴，．∵，∴，∴，∴，又，∴，在和中， ∴,∴．【考点】含30度角的直角三角形等边三角形的性质【解析】3B BE ⊥AC E BE ===AB ⋅BC AC 12×1620485CE ==B −B C 2E 2−−−−−−−−−−√365CQ =2CE =14.4BC +CQ =26.4t =26.4÷2=13.2t 111213.2△BCQ E EG//AC BC G EG//AC ∠ACB =∠BGE ∠F =∠DEG AB =AC ∠B =∠ACB ∠B =∠BGE BE =GE BE =CF GE =CF △CDF △GDE∠CDF =∠GDE∠F =∠DEG,CF =GE.△CDF ≅△GDE (AAS)DF =DE此题暂无解析【解答】证明：如图，过点作交于点．∵，∴，．∵，∴，∴，∴，又，∴，在和中， ∴,∴．22.【答案】解：(1)∵点的坐标为，∴，∴，∴点的坐标为，将、坐标代入，得：，解得：，∴抛物线的解析式为，所以点的坐标为．(2)设抛物线的解析式为，即，过点作轴于点，设，E EG//AC BC G EG//AC ∠ACB =∠BGE ∠F =∠DEG AB =AC ∠B =∠ACB ∠B =∠BGE BE =GE BE =CF GE =CF △CDF △GDE ∠CDF =∠GDE∠F =∠DEG,CF =GE.△CDF ≅△GDE (AAS)DF =DE A (−1,0)OA =1OC =3OA C (0,3)A C y =a −2ax +c x 2{ a +2a +c =0c =3{ a =−1c =3C 1y =−+2x +3=−(x −1+4x 2)2G (1,4)C 2y =−+2x +3−k x 2y =−(x −1+4−k)2G'G'D ⊥x D BD'=m∵为等边三角形，∴，则点的坐标为，点的坐标为，将点、的坐标代入，得：，解得：（舍），，∴；(3)设，则、，∴，∵、均为钝角，∴，如图，延长交直线于点，则，又∵，∴，，∴，∴，∴，即，解得：（负值舍去），当时，，点，∴点坐标为，即；或，即；如图，△A'B'G'G'D =B'D =m 3–√3–√B'(m +1,0)G'(1,m)3–√B'G'y =−(x −1+4−k )2{ −+4−k =0m 24−k =m 3–√{ =0m 1=4k 1{ =m23–√=1k 2k =1M(x,0)P(x,−+2x +3)x 2Q(x,−+2x +2)x 2PQ =OA =1∠AOQ ∠PQN △AOQ ≅△PQN 2PQ y =−1H ∠QHN =∠OMQ =90∘△AOQ ≅△PQN OQ =QN ∠AOQ =∠PQN ∠MOQ =∠HQN △OQM ≅△QNH(AAS)OM =QH x =−+2x +2+1x 2x =1±13−−√2x =1+13−−√2HN =QM =−+2x +2=x 2−113−−√2M(,0)1+13−−√2N (+,−1)1+13−−√2−113−−√2(,−1)13−−√(−,−1)1+13−−√2−113−−√2(1,−1)3同理可得，∴，即，解得：（舍）或，当时，点的坐标为，，∴点的坐标为即，或即；综上点、；、；、；、．【考点】待定系数法求二次函数解析式二次函数综合题等边三角形的性质全等三角形的性质与判定【解析】本题主要考查二次函数的综合问题，掌握待定系数法求函数解析式、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点．【解答】解：(1)∵点的坐标为，∴，∴，∴点的坐标为，将、坐标代入，得：，解得：，∴抛物线的解析式为，所以点的坐标为．(2)设抛物线的解析式为，即，过点作轴于点，设，△OQM ≅△PNH OM =PH x =−(−+2x +3)−1x 2x =−1x =4x =4M (4,0)HN =QM =−(−+2x +2)=6x 2N (4+6,−1)(10,−1)(4−6,−1)(−2,−1)(,0)M 11+13−−√2(,−1)N 113−−√(,0)M 21+13−−√2(1,−1)N 2(4,0)M 3(10,−1)N 3(4,0)M 4(−2,−1)N 4A (−1,0)OA =1OC =3OA C (0,3)A C y =a −2ax +c x 2{ a +2a +c =0c =3{ a =−1c =3C 1y =−+2x +3=−(x −1+4x 2)2G (1,4)C 2y =−+2x +3−k x 2y =−(x −1+4−k)2G'G'D ⊥x D BD'=m∵为等边三角形，∴，则点的坐标为，点的坐标为，将点、的坐标代入，得：，解得：（舍），，∴；(3)设，则、，∴，∵、均为钝角，∴，如图，延长交直线于点，则，又∵，∴，，∴，∴，∴，即，解得：（负值舍去），当时，，点，∴点坐标为，即；或，即；如图，△A'B'G'G'D =B'D =m 3–√3–√B'(m +1,0)G'(1,m)3–√B'G'y =−(x −1+4−k )2{ −+4−k =0m 24−k =m 3–√{ =0m 1=4k 1{ =m23–√=1k 2k =1M(x,0)P(x,−+2x +3)x 2Q(x,−+2x +2)x 2PQ =OA =1∠AOQ ∠PQN △AOQ ≅△PQN 2PQ y =−1H ∠QHN =∠OMQ =90∘△AOQ ≅△PQN OQ =QN ∠AOQ =∠PQN ∠MOQ =∠HQN △OQM ≅△QNH(AAS)OM =QH x =−+2x +2+1x 2x =1±13−−√2x =1+13−−√2HN =QM =−+2x +2=x 2−113−−√2M(,0)1+13−−√2N (+,−1)1+13−−√2−113−−√2(,−1)13−−√(−,−1)1+13−−√2−113−−√2(1,−1)3同理可得，∴，即，解得：（舍）或，当时，点的坐标为，，∴点的坐标为即，或即；综上点、；、；、；、．23.【答案】,①证明：过点作轴于点，∵，∴，在与中，∴，∴，∴.∴，即，∴平行四边形是正方形.②解：过点作轴，∵，∴同理可得出：，∴，，∴，即点纵坐标为，△OQM ≅△PNH OM =PH x =−(−+2x +3)−1x 2x =−1x =4x =4M (4,0)HN =QM =−(−+2x +2)=6x 2N (4+6,−1)(10,−1)(4−6,−1)(−2,−1)(,0)M 11+13−−√2(,−1)N 113−−√(,0)M 21+13−−√2(1,−1)N 2(4,0)M 3(10,−1)N 3(4,0)M 4(−2,−1)N 4(1,0)(0,2)(2)D DE ⊥x E A (1,0)，B (0,2)，D (3,1)AE =OB =2，OA =DE =1△AOB △DEA OB =EA ，∠AOB =∠DEA ，OA =ED ，△AOB ≅△DEA (SAS)AB =AD ∠ABO =∠DAE ∠ABO +∠BAO =∠DAE +∠BAO =90∘∠BAD =90∘ABCD C CF ⊥y △AOB ≅△DEA △AOB ≅△BFC OB =CF =2BF =OA =1OF =3C 3【考点】一次函数图象上点的坐标特点反比例函数图象上点的坐标特征反比例函数综合题全等三角形的性质与判定【解析】分别令，求出的值；令，求出的值即可得出点与点的坐标；①过点作轴于点，由全等三角形的性质可得出，故可得出，再利用待定系数法求出直线的解析式即可得出，由此可得出结论；②过点作轴，利用，同理可得出：，即可得出点纵坐标，如果点在图象上，利用纵坐标求出横坐标即可．【解答】解：∵令，则；令，则，∴.故答案为：；.①证明：过点作轴于点，∵，∴，在与中，∴，∴，∴.∴，即，∴平行四边形是正方形.②解：过点作轴，∵，∴同理可得出：，∴，，∴，即点纵坐标为，(1)x =0y y =0x B A (2)D DE ⊥x E △AOB ≅ΔDEA AB =AD AD AB ⊥AD C CF ⊥y △AOB ≅ΔDEA △AOB ≅△BFC C (1)x =0y =2y =0x =1A (1,0)，B (0,2)(1,0)(0,2)(2)D DE ⊥x E A (1,0)，B (0,2)，D (3,1)AE =OB =2，OA =DE =1△AOB △DEA OB =EA ，∠AOB =∠DEA ，OA =ED ，△AOB ≅△DEA (SAS)AB =AD ∠ABO =∠DAE ∠ABO +∠BAO =∠DAE +∠BAO =90∘∠BAD =90∘ABCD C CF ⊥y △AOB ≅△DEA △AOB ≅△BFC OB =CF =2BF =OA =1OF =3C 3。
