初中数学代数几何解题技巧

初中数学代数几何解题技巧 1 如何用好题目中的条件暗示 有一类题目,我们在解前面几小题时,其解题思路与方法往往对解后面问题起着很好的暗示作用,现以一次函数中出现的两道题目为例予以说明,供同学们在学习过程中参考。

【例1】直线与x轴、y轴分别交于B、A两点,如图1。

图1 (1)求B、A两点的坐标; (2)把△AOB以直线AB为轴翻折,点O落在平面上的点C处,以BC为一边作等边△BCD。求D点的坐标。

解析:(1)容易求得,A(0,1)。 (2)如图2,

图2 ∵,A(0,1), ∴OB=,OA=1。 ∴在Rt△AOB中,容易求得∠OBA=30° ∵把△AOB以直线AB为轴翻折, ∴∠OBC=2∠OBA=60°,BO=BC。 ∴△OBC就是等边三角形 以BC为一边作等边△BCD,则D的落点有两种情形,可分别求得D的坐标为

(0,0),。 反思:在求得第(1)小题中B、A两点的坐标分别为B(,0),A(0,1),实质上暗示着Rt△AOB中,OA=1,OB=,即暗示着∠OBA=30°,为解第(2)小题做了很好的铺垫。

初中数学代数几何解题技巧 2 【例2】直线与x轴、y轴分别交于A、B,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC,∠BAC=90°,且点P(1,a)为坐标系中的一个动点,如图3。

图3 (1)求三解形ABC的面积。 (2)证明不论a取任何实数,三角形BOP的面积就是一个常数; (3)要使得△ABC与△ABP的面积相等,求实数a的值。

解析:(1)容易求得:A(,0),B(0,1), ∴。 (2)如图4,连接OP、BP,过点P作PD垂直于y轴,垂足为D,则三角形BOP的面积为

,故不论a取任何实数,三角形BOP的面积就是一个常数。

图4 (3)如图4,①当点P在第四象限时由第(2)小题中的结果:,与第(3)小题的条件可得:

∴, ∵, 初中数学代数几何解题技巧 3 ∴,∴。 ②如图5,当点P在第一象限时,用类似的方法可求得a=。

图5 反思:由第(1)小题中求得的与第(2)小题中证明所得的结论:三角形BOP的面积

就是一个常数,实质上暗示着第(3)小题的解题思路:利用 来解。 通过这两道题目的分析可以发现,在解题过程中,如果经常回头瞧一瞧、想一想,我们往往会发现,很多题目的解题思路原来就在题目之中。 分式运算的几点技巧 分式运算的一般方法就就是按分式运算法则与运算顺序进行运算。但对某些较复杂的题目,使用一般方法有时计算量太大,导致出错,有时甚至算不出来,下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。 一、 分段分步法

例1、 计算: 解:原式

说明:若一次通分,计算量太大,注意到相邻分母之间,依次通分构成平方差公式,采用分段分步法,则可使问题简单化。 初中数学代数几何解题技巧 4 同类方法练习题:计算 (答案:)

二、 分裂整数法

例2、 计算: 解:原式

说明:当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时,一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分;在解某些分式方程中,也可使用分裂整数法。 同类方法练习题:有一些“幸福”牌的卡片(卡片数目不为零),团团的卡片比这些多6张,圆圆的卡片比这些多2张,且知团团的卡片就是圆圆的整数倍,求团团与圆圆各多少张卡片？(答案:团团8张,圆圆4张)

三、 拆项法

例3、 计算: 解:原式 初中数学代数几何解题技巧 5 说明:对形如上面的算式,分母要先因式分解,再逆用公式,各个分式拆项,正负抵消一部分,再通分。在解某些分式方程中,也可使用拆项法。

同类方法练习题:计算: (答案:)

四、 活用乘法公式

例4、 计算: 解:当且时,

原式

说明:在本题中,原式乘以同一代数式,之后再除以同一代数式还原,就可连续使用平方差公式,分式运算中若恰当使用乘法公式,可使计算简便。

同类方法练习题:计算: (答案:)

五、 巧选运算顺序

例5、 计算: 初中数学代数几何解题技巧 6 解:原式

说明:此题若按两数与(差)的平方公式展开前后两个括号,计算将很麻烦,一般两个分式的与(差)的平方或立方不能按公式展开,只能先算括号内的。

同类方法练习题:解方程 (答案:)

六、 见繁化简

例6、 计算: 解:原式

说明:若运算中的分式不就是最简分式,可先约分,再选用适当方法通分,可使运算简便。 同类方法练习题:解方程 (答案:) 初中数学代数几何解题技巧 7 在分式运算中,应根据分式的具体特点,灵活机动,活用方法。方能起到事半功倍的效率。 多边形内角与问题的求解技巧 1、多边形的每个内角与与它相邻的外角互为补角。这个条件在题目中一般不会作为已知条件给出,因此,在解题时应根据需要加以利用。 例1 一个正多边形的每个内角都比与它相邻的外角的3倍还多20°,求此正多边形的边数。 分析:由于这个正多边形的每个外角与与它相邻的内角互为邻补角,根据题意,可先求出外角的大小,再求边数。 解:设每个外角的大小为x°,则与它相邻的内角的大小为(3x+20)度。根据题意,得

解得,即每个外角都等于40°。

所以,即这个正多边形的边数为9。 2、利用多边形内角与公式求多边形的边数时,经常设边数为n,然后列出方程或不等式,利用代数方法解决几何问题。 例2 已知一个多边形的每个内角都等于135°,求这个多边形的边数。 解法1:设多边形的边数为n,依题意,得

解得n=8,即这个多边形的边数为8。 解法2:依题意知,这个多边形的每个外角就是180°－135°=45°。

所以,多边形的边数,即这个多边形的边数为8。 3、正多边形各内角相等,因此各外角也相等。有时利用这种隐含关系求多边形的边数,比直接利用内角与求边数简捷(如上题解法2)。解题时要注意这种逆向思维的运用。 例3 一个多边形除去一个内角后,其余内角之与就是2570°,求这个多边形的边数。 分析:从已知条件可知这就是一个与多边形内角与有关的问题。由于除去一个内角后,其余内角之与为2570°,故该多边形的内角与比2570°大。又由相邻内、外角间的关系可知,内角与比2570°+180°小。可列出关于边数n的不等式,先确定边数n的范围,再求边数。 解:设这个多边形的边数为n,则内角与为(n－2)·180°。依题意,得

解这个不等式,得。 所以n=17,即这个多边形的边数为17。 说明:这类题都隐含着边数为正整数这个条件。 4、把不规则图形转化为规则图形就是研究不规则图形的常用方法,其解题关键就是构造合适的图形。 例4 如图1,求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的大小。 初中数学代数几何解题技巧 8 图1 分析:解题关键就是把该图形与凸多边形联系起来,从而利用多边形内角与定理来解决,因此可考虑连接CF。 解:连接CF。 ∵∠COF=∠DOE ∴∠1+∠2=∠OCF+∠OFC ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7 =∠OCF+∠OFC+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7 =(5－2)×180° 证明三角形全等的一般思路 一、当已知两个三角形中有两边对应相等时,找夹角相等(SAS)或第三边相等(SSS)。 例1、 如图1,已知:AC＝BC,CD＝CE,∠ACB＝∠DCE＝60°,且B、C、D在同一条直线上。 求证:AD＝BE

分析:要证AD＝BE 注意到AD就是△ABD或△ACD的边,BE就是△DEB或△BCE的边,只需证明△ABD≌△DEB或△ACD≌△BCE,显然△ABD与△DEB不全等,而在△ACD与△BCE中,AC＝BC,CD＝CE,故只需证它们的夹角∠ACD＝∠BCE即可。 而∠ACD＝∠ACE＋60°,∠BCE＝∠ACE＋60° 故△ACD≌△BCE(SAS) 二、当已知两个三角形中有两角对应相等时,找夹边对应相等(ASA)或找任一等角的对边对应相等(AAS) 例2、 如图2,已知点A、B、C、D在同一直线上,AC＝BD,AM∥CN,BM∥DN。 求证:AM＝CN 初中数学代数几何解题技巧

9 分析:要证AM＝CN 只要证△ABM≌△CDN,在这两个三角形中,由于AM∥CN,BM∥DN,可得 ∠A＝∠NCD,∠ABM＝∠D 可见有两角对应相等,故只需证其夹边相等即可。

又由于AC＝BD,而 故AB＝CD 故△ABM≌△CDN(ASA) 三、当已知两个三角形中,有一边与一角对应相等时,可找另一角对应相等(AAS,ASA)或找夹等角的另一边对应相等(SAS) 例3、 如图3,已知:∠CAB＝∠DBA,AC＝BD,AC交BD于点O。 求证:△CAB≌DBA

分析:要证△CAB≌△DBA 在这两个三角形中,有一角对应相等(∠CAB＝∠DBA) 一边对应相等(AC＝BD) 故可找夹等角的边(AB、BA)对应相等即可(利用SAS)。 四、已知两直角三角形中,当有一边对应相等时,可找另一边对应相等或一锐角对应相等 例4、 如图4,已知AB＝AC,AD＝AG,AE⊥BG交BG的延长线于E,AF⊥CD交CD的延长线于F。 求证:AE＝AF