第3课二次函数的实际应用(利润最值问题)(教师)

1 第3课时 二次函数的实际应用——最大(小)值问题

知识要点：

二次函数的一般式cbxaxy2(0a)化成顶点式abacabxay44)2(22，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．

即当0a时，函数有最小值，并且当abx2，abacy442最小值；

当0a时，函数有最大值，并且当abx2，abacy442最大值．

如果自变量的取值范围是21xxx，如果顶点在自变量的取值范围21xxx内，则当abx2，abacy442最值，如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性；如果在此范围内y随x的增大而增大，则当2xx时，

cbxaxy222最大，当1xx时，cbxaxy121最小；

如果在此范围内y随x的增大而减小，则当1xx时，cbxaxy121最大，当2xx时，cbxaxy222最小．

[例1]：求下列二次函数的最值：

（1）求函数322xxy的最值．

解：4)1(2xy

当1x时，y有最小值4，无最大值．

（2）求函数322xxy的最值．)30(x

解：4)1(2xy

∵30x，对称轴为1x

∴当12330有最大值时；当有最小值时yxyx．

[例2]：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

解：设涨价（或降价）为每件x元，利润为y元，

1y为涨价时的利润，2y为降价时的利润

则：)10300)(4060(1xxy

)60010(102xx

6250)5(102x

当5x，即：定价为65元时，6250maxy（元）

)20300)(4060(2xxy 月 日

2 )15)(20(20xx

6125)5.2(202x

当5.2x，即：定价为57.5元时，6125maxy（元）

综合两种情况，应定价为65元时，利润最大．

[练习]：1．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？

解：设每件价格提高x元，利润为y元，

则：)20400)(2030(xxy

)20)(10(20xx

4500)5(202x

当5x，4500maxy（元）

答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．

2．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？

解：设旅行团有x人)30(x，营业额为y元，

则：)]30(10800[xxy

)110(10xx

30250)55(102x

当55x，30250maxy（元）

答：当旅行团的人数是55人时，旅行社可以获得最大营业额．

[例3]： 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表：

若日销售量y是销售价x的一次函数．

⑴求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式；

⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？

解：⑴设一次函数表达式为bkxy．

则1525,220kbkb 解得401bk，•

即一次函数表达式为40xy．

⑵ 设每件产品的销售价应定为x元，

所获销售利润为w元

yxw)10()40)(10(xx

400502xx x（元） 15 20 30 …

y（件） 25 20 10 …

3 225)25(2x

当25x，225maxy（元）

答：产品的销售价应定为25元时，每日获得最大销售利润为225元．

【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：

⑴在“当某某为何值时，什么最大(或最小、最省)”的设问中，•“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；⑵求解方法是依靠配方法或最值公式，而不是解方程．

3．（2006十堰市）市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30•元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y(千克)•与销售单价x(元)

(30x）存在如下图所示的一次函数关系式．

⑴试求出y与x的函数关系式；

⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？

⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，•现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的范围(•直接写出答案)．

解：⑴设y=kx+b由图象可知，

3040020,:402001000kbkkbb解之得，

即一次函数表达式为100020xy)5030(x．

⑵ yxP)20()100020)(20(xx

200001400202xx

∵020a ∴P有最大值．

当35)20(21400x时，4500maxP（元）

（或通过配方，4500)35(202xP，也可求得最大值）

答：当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元．

⑶∵44804500)35(2041802x

16)35(12x

∴31≤x•≤34或36≤x≤39．

月 日

4 作业布置：

1．二次函数1212xxy，当x=_-1，_时，y有最_小_值，这个值是23．

2．某一抛物线开口向下，且与x轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为12xy(只写一个)，此类函数都有_大_值(填“最大”“最小”)．

3．不论自变量x取什么实数，二次函数y=2x2－6x+m的函数值总是正值，你认为m的取值范围是29m，此时关于一元二次方程2x2－6x+m=0的解的情况是_有解_(填“有解”或“无解”)

解：29)23(22mxy

∵0)23(22x，要使0y，只有029m∴29m

4．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线213.55yx的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是 4.5米 ．

解：当05.3y时，213.55yx05.3

45.052x，5.1x或5.1x（不合题意，舍去）

5．在距离地面2m高的某处把一物体以初速度V0（m/s）竖直向上抛出，•在不计空气阻力的情况下，其上升高度s（m）与抛出时间t（s）满足：S=V0t-12gt2（其中g是常数，通常取10m/s2），若V0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距离地面__7_m．

解：tts10525)1(52t

当1t时，5maxs，所以，最高点距离地面725(米)．

6．影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天

在某段公路上行驶上，速度为V（km/h）的汽车的刹车距离S（m）可由公式S=1100V2

确定；雨天行驶时，这一公式为S=150V2．如果车行驶的速度是60km/h，•那么在雨天

行驶和晴天行驶相比，刹车距离相差_36_米．

7．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价_5_元，最大利润为_625_元．

解：设每件价格降价x元，利润为y元，

则：)20)(70100(xxy

600102xx625)5((2x

5 当5x，625maxy（元）

答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．

8．如图，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A距地面的距离OA为1 m，球路的最高点B(8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m) ．

x y

A B

O

解：设9)8(2xay，将点A)1,0(代入，得81a

12819)8(8122xxxy

令0y，得09)8(812xy

98)8(2x

268x，)0,268(C，∴5.242688OC(米)

9．（2006年青岛市）在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕，•某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：

销售价x（元/千克） … 25 24 23 22 …

销售量y（千克） … 2000 2500 3000 3500 …

（1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x，y）所对应的点．连接各点并观察所得的图形，判断y与x之间的函数关系，并求出y与x之间的函数关系式；

（2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式，并求出当x取何值时，P的值最大？

解：（1）由图象可知，y是x的一次函数，

设y=kx+b，•

∵点（•25，2000），（24，2500）在图象上，

∴200025500,:25002414500kbkkbb解得 ，

∴y=-500x+14500．

（2）P=(x-13)·y=(x-13)·(-500x+14500)