乙甲264397589701023115873210湖北省宜昌市长阳县第二高级||中学 2021 -2021学年高二3月月考 (文 )试卷共22小题 ,1~12为四选一单项选择题 ,13~16为填空题 ,17~22为解答题 .考试时间120分钟 ,总分150一、选择题：本大题共12小题 ,每题5分 ,共60分 ,在每一小题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项符合题目要求的 ,答案填写在答题卷上.1.从学号为1～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加体育测试 ,采用系统抽样的方法 ,那么所选5名学生的学号可能是 ( )A.1,2,3,4,5B.5,15,25,35,45C.2,4,6,8,10D.4,13,22,31,40 2.:p x ∀∈R ,210x x -+> ,:(0,)q x ∃∈+∞ ,sin 1x > ,那么以下命题为真命题的是 ( )A.p q ∧B.p q ⌝∨C.p q ∨⌝D.p q ⌝∧⌝3.有100张卡片(从1号到100号) ,从中任取1张 ,取到卡片是7的倍数的概率是 ( )A.750 B.7100 C.748 D.15100 4.某赛季 ,甲、乙两名篮球运发动都参加了10场比赛 ,他们每场比赛得分的情况用如下列图的茎叶图表示 ,假设甲运发动的中位 数为a ,乙运发动的众数为b ,那么a b -的值是 ( )A.7B.8C.9D.105.椭圆12222=+y a x 的一个焦点与抛物线x y 82=的焦点重合,那么该椭圆的离心率是 ( )C.26.函数211y x x=++在1x =处的切线方程是 ( ) A.20x y -+= B.40x y --= C.40x y +-= D.20x y ++=7.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的虚轴长为2 ,焦距为,那么双曲线的渐近线方程为 ( )左视图俯视图主视图A.2y x =±B.2y x =±C.22y x =± D.12y x =±8.设a ∈R , "1a >〞是 "11a<〞 的 ( ) A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件9、如图是计算11113539++++的值的一个程序框图 ,其中判断框内应填的是 ( )A.20i ≥B.20i ≤C.20i >D.20i <10.一个几何体的三视图如下列图 ,主视图与左视图都是腰长为5底为8的 等腰三角形 ,俯视图是边长为8的正方形 ,那么此几何体的侧面积为 ( ) A.48 B.64 C.80 D.12011、.在区间[]5,1-上随机取一个实数m ,那么方程1422=-+my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆的概率为 ( )A.52 B.21 C.31 D.53 12.函数()ln f x x x =-在区间(0,e] (e 为自然对数的底 )上的最||大值为 ( )A.1-B.0C.1D.1e - 二、填空题：本大题共4小题 ,每题5分 ,共20分 ,答案填写在答题卷上. 13. 在空间直角坐标系中 ,点(1,0,2)A 与点6,1)B -,那么,A B 两点间的距离 是 . 14. .θ服从,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的均匀分布 ,那么2sin 3θ<成立的概率为 .15..数列有如下性质：假设数列{a n }为等差数列 ,当na a a nn +++=21b 时 ,数列{b n }也是等差数列；类比上述性质 ,在正项等比数列{c n }中 ,当 =n d 时 ,数列{d n }也是等比数列 .16.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中 ,给出以下命题: ①直线1A B 与1B C 所成的角为60ο；②动点M 在外表上从点A 到点1C 经过的最||短路程为1；③假设N 是线段1AC 上的动点 ,那么直线CN 与平面1BDC 所成角的正弦值的取值范围是[3；④假设P Q 、是线段AC 上的动点 ,且1PQ = ,那么四面体11PQB D 的体积恒为6.那么上述命题中正确的有 . (填写所有正确命题的序号 ) 三、解答题(本大题共6小题 ,共70分) 17. (本小题总分值10分 )一个盒子中装有2个红球和2个白球 ,这4个球除颜色外完全相同. (1 )无放回的从中任取2次 ,每次取1个 ,取出的2个都是红球的概率； (2 )有放回的从中任取2次 ,每次取1个 ,取出的2个都是红球的概率.18、 (本小题总分值12分 )点M 与两个定点(0,0)O ,(3,0)A 的距离的比为12,点M 得轨迹为曲线C . (1 )求曲线C 的轨迹方程；(2 )过原点且倾斜角为 135的直线交曲线C 于A 、B 两点 ,求弦AB 的长 .0.10[0,10)频率频数分组19、 (本小题总分值12分 )2021年厦门航空公司在调查男女乘客140人是否晕机的情况中 ,男乘客60人 ,其中晕机为15人 ,女乘客80人 ,其中晕机为35人 . (1 )根据以上的数据建立一个列联表(2)能否在犯错误的概率不超过的前提下认为晕机与性别有关 (1 )给定临界值表(2 ),))()()(()(2d b c a d c b a bc ad n K ++++-=其中d c b a n +++=为样本容量 .20、 (本小题总分值12分 )点列),(1+n n a a (+∈N n )在函数21)(+-=x x f 的图象上 ,)0(1f a =且11+=n n a b (1)求4321,,,b b b b(2)根据以上的结果猜想n b 的表达式 ,并证明.21、． (本小题总分值12分 )某市政府为了确定一个较为合理的居民用电标准 ,必须先了解全市 居民日常用电量的分布情况．现采用抽样调查的方式 ,获得了n 位居民在2015年的月均用电量 (单位：度 )数据 ,样本统计结果如以下列图表： (1 )求n 的值和月均用电量的平均数估计值；(2 )如果用分层抽样的方法从用电量小于30度的居民中抽取5位居民 ,再从这5位居民中选2人 ,那么至||少有1位居民月 均用电量在20至||30度的概率是多少 ?22、 (本小题总分值12分 )函数()()ln f x x x a x =+- ,其中a 为常数． (1 )当1a =-时 ,求()f x 的极值；(2 )假设()f x 是区间)1,21(内的单调函数 ,求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题1～5. BCAAD ； 6～； 11～12.CA. 二、填空题13、略 14、略 15、略 16、略17、解： (1 )记两个红球为1a ,2a ；两个白球为1b ,2b ,无放回的取球共有情况：1221(,),(,)a a a a ,1221(,),(,)b b b b ,1112(,),(,)a b a b ,2122(,),(,)a b a b ,1112(,),(,)b a b a , 2122(,),(,)b a b a 共12情况 ,取到两个红球的情况2种…………………………………3分所以1()6P A =……………………………………………………………………………5分 (2 )有放回的取两个球共有11121112(,),(,),(,),(,)a a a a a b a b ,21222122(,),(,),(,),(,)a a a a a b a b ,11121112(,),(,),(,)(,)b b b b b a b a ,,22212122(,),(,),(,),(,)b b b b b a b a 共16情况 ,取到两个红球的情况4种……………8分41()164P B ==……………………………………………………………………………10分18、略19、解：(1)2×2的列联表如下：………………………6分(2)假设是否晕机与性别无关 ,那么2k 的观测值()25.5905080604535-45151402=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=k<10.83………………………11分答：不能在犯错的概率不超过的前提下 ,认为晕机与性别有关……………12分20、()()21011-==f a 解：又,11+=n n a b ,21111=+=∴a b ……………2分 ()1+n n a a ，在函数()的21+-=x x f 图象上 , 分分分，分65554,41144331133221214433322121 =-==+=-==+=∴-=+-=∴+-=∴+b a a b a a b a a a a n n(2)猜想分），（81* N n n b n ∈+=11112111211111111=+-++=+-++-=+-+=-++n n n n n n n n n a a a a a a a b b 证明：又()2,21011=-==b f a {}n b ∴是以2为首||项 ,1为公差的等差数列；∴分），（121* N n n b n∈+= 21、解： (1 )因为频数等于45时频率为 ,所以451000.45n ==………………2分 月均用电量的平均数：50.1150.1250.3350.2450.15550.1531.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=……………6分(2 )用电量小于30度的居民共有50位 ,用分层抽样的方法从用电量小于30度的居民中抽取5位居民 ,那么第|一组抽1人 ,第二组抽1人 ,第三组抽3人………………………………9分 从这5位居民中选2人 ,共有10种选法 ,至||少有1位居民月均用电量在20至||30度的共有9种………………………………………12分至||少有1位居民月均用电量在20至||30度的概率是910 (12)分22、解： (1 )当1a =-时 ,0)()1)(12(12112)(2>-+=--=--='x xx x x x x x x x f …………2分所以()f x 在区间)1,0( 内单调递减 ,在),1(+∞内单调递增……………………………4分于是()f x 有极小值0)1(=f ,无极大值……………………………………………………6分(2 )易知x a x x f 12)(-+='在区间)1,21(内单调递增 , 所以由题意可得012)(=-+='x a x x f 在)1,21(内无解…………………………………8分即0)21(≥'f 或0)1(≤'f …………………………………………………………………10分解得实数a 的取值范围是),1[1],(+∞--∞ ……………………………………………12分。
2020-2021学年高一数学必修二期中测试卷2020-2021学年高一数学必修二期中测试卷一、单项选择题1.已知向量a＝(1，m)，向量b＝(－1，3)，若a∥b，则m等于()A.3B.－3C.4答案：B解析：由题意得1×3－m×(－1)＝0，∴m＝－3.2.已知i为虚数单位，z＝(1+i)/(1-i)，则复数z的虚部为()A.－2iB.2iC.2D.－2答案：D解析：z＝(1+i)/(1-i)＝(1+i)×(1+i)/(1-i)×(1+i)＝(1+i)×(1+i)/(1+1)＝(1+2i+i²)/2＝(2i-1)/2＝-1/2+i，故虚部为－2.3.已知边长为2的正方形ABCD中，E为AD的中点，连接BE，则BE·EA等于()A.－2B.－1C.1D.2答案：B解析：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，E(0,1)，BE＝(－2,1)，EA＝(0，－1)，BE·EA＝－1.4.(2019·淮北、宿州模拟)已知i为虚数单位，在复平面内，复数(1+i)/(1-i)的共轭复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：D解析：由题意可得(1+i)/(1-i)＝(1+i)×(1+i)/(1-i)×(1+i)＝(1+2i+i²)/(1+1)＝(2i)/(2)＝i，故其共轭复数为－i，对应的点位于第四象限.5.在长方形ABCD中，E为CD的中点，F为AE的中点，设AB＝a，AD＝b，则BF等于()A.－a＋b/4B.a－b/4XXXD.a＋b/3答案：B解析：如图所示，由平面向量线性运算及平面向量基本定理可得BF＝AF－AB＝AE－AB＝(1/2)AD－AB＝(1/2)(b－a)－a＝(b－3a)/4.6.在△ABC中，∠A＝120°，AB·AC＝－2，则|BC|的最小值是()A.2B.4C.√3D.12答案：C解析：AB·AC＝|AB||AC|cosA＝－(1/2)|AB||AC|，故|AB||AC|＝4，|BC|＝|AC－AB|≥|AB|－|AC|＝√3，当且仅当∠ABC＝60°时取等，故|BC|的最小值是√3.9.在三角形ABC中，如果sin2A+sin2B<sin2C，那么三角形ABC不可能是哪种形状？A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形答案：C解析：根据正弦定理，sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R，其中a、b、c为三角形的三边，R为三角形外接圆的半径。
数学试卷一、选择题（每小题5分，共12小题60分） 1.)275752cos sin +的值为( ) A.12 B. 12-C.32D. 32-【答案】C 【解析】 【分析】根据辅助角公式即可求值. 【详解】()2236275sin 752sin 45752cos 75s in 75⎫=+=+==⎪⎪⎭+, )2263cos 75sin 75+=⨯=故选：C .【点睛】本题考查三角函数式求值，属于基础题. 2. 若αβ，都是锐角，且255sin α=，()10sin αβ-=，则cos β= ( ) A.22B.210 22- 22 【答案】A 【解析】 【分析】由()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦，根据两角差的余弦公式展开.结合已知条件，求出()cos ,cos ααβ-，代入即得.【详解】()100,0,sin 22ππαβαβ<<<<-=， ()()23100,cos 1sin 210παβαβαβ∴<-<∴-=--=. 2255sin ,cos 1sin 55ααα=∴=-=. ()()()531025102cos cos cos cos sin sin 2βααβααβααβ⎡⎤∴=--=-+-==⎣⎦.故选：A .【点睛】本题考查三角恒等变换，属于中档题.3. 已知△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且22()a b c ab +=+，30B =︒，4a =，则ABC ∆的面积为（ ）A. 4B. 33C. 43D. 3【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理和三角形面积公式求解.【详解】因为22()a b c ab +=+，即222a b c ab +-=-.所以2221cos 22a b c C ab +-==-，所以120C =︒，又30B =︒，所以30.A B ==即4a b ==，故ABC ∆的面积1134443222S absinC ==⨯⨯⨯=故选C.【点睛】本题考查运用余弦定理和面积公式解三角形，属于基础题.4. 如图是一个正方体的表面展开图，则图中“2”在正方体中所在的面的对面上的是( )A. 0B. 9C. 快D. 乐【答案】A 【解析】 【分析】将展开图还原成正方体，即得答案. 【详解】将展开图还原成正方体，如图所示所以“2”在正方体中所在的面的对面上的是“0”. 故选：A .【点睛】本题考查正方体的展开图，属于基础题.5. 在ABC ∆中，,2,45a x b B ===︒，若三角形有两解，则x 的取值范围是（ ） A. 2x >B. 2x <C. 222x <<D.23x <<【答案】C 【解析】 试题分析：由题意得，sin sin4522a B x x==，要使得三角形有两解，则满足222x x<<，解得222x <<，故选C.考点：三角形解的个数的判定.6. 已知△ABC 中，bcosB ＝ccosC ，则△ABC 的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 试题分析：由正弦定理将已知条件转化为sin cos sin cos sin 2sin 222B B C C B C B C =∴=∴=或222B C B C ππ+=∴+=或B C=，所以三角形为等腰三角形或直角三角形 考点：正弦定理解三角形7. 已知集合302x A xx ⎧⎫+⎪⎪=⎨⎬-⎪⎪⎩⎭，{}B y y m =<，若A B ⊆，则实数m 的取值范围为( ) A. ()2∞+， B. [)2∞+， C. ()3∞-+，D. [)3∞-+，【答案】B 【解析】 【分析】求出集合A ，由A B ⊆ ，结合数轴，可得实数m 的取值范围. 【详解】解不等式302x x +≤- ，得32x -≤<，[)3,2A ∴=- . A B ⊆，可得2m ≥ .故选：B . 【点睛】本题考查集合间的关系，属于基础题.8. 若不等式组()22230410x x x x a ⎧--≤⎪⎨+-+≤⎪⎩的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A. (]4∞--， B. [)4∞-+， C. []420-，D. [)420-，【答案】B 【解析】 【分析】解不等式2230x x --≤，得其解集为[]1,3-.由不等式组()22230410x x x x a ⎧--≤⎪⎨+-+≤⎪⎩的解集不是空集，故存在[]13,x ∈-，使得不等式()2410x x a +-+≤成立，只需()2min14a x x+≥+，即求实数a 的取值范围.【详解】解不等式2230x x --≤，得13x -≤≤.不等式组()22230410x x x x a ⎧--≤⎪⎨+-+≤⎪⎩的解集不是空集，∴存在[]13,x ∈-，使得不等式()2410x x a +-+≤成立.即存在[]13,x ∈-，使得214a x x +≥+成立，只需()2min14a x x+≥+.又当[]13,x ∈-时，函数()22424y x x x =+=+-在[]1,3-上单调递增，1x ∴=-时，()2min43x x+=-，13,4a a ∴+≥-∴≥-.故选：B .【点睛】本题考查不等式能成立问题，属于中档题.9. 已知x y ，均为正实数，若()1a x y =-，，()21b =，，且a b ⊥，则141x y ++的最小值是( )A. 622+B. 32+C. 642+D. 63【答案】B【解析】 【分析】 由a b ⊥得0a b =，可得()212x y ++=.由()14141411211112x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+=+⨯=+⨯⨯++ ⎪ ⎪⎣⎦+++⎝⎭⎝⎭展开，利用基本不等式可求141x y ++的最小值. 【详解】()(),,1,2,1a b a x y b ⊥=-=,()0,210,21,212a b x y x y x y ∴=∴+-=∴+=∴++=.()14141410,01211112x y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎡⎤>>∴+=+⨯=+⨯⨯++ ⎪ ⎪⎣⎦+++⎝⎭⎝⎭ (118621118162642322212y x x y y x x y ⎛+≥⨯+⨯=⨯+=+ ⎛⎫+=⨯++ ⎪+⎝⎭+⎝当且仅当()181212y xx y x y +⎧=⎪+⎨⎪++=⎩，即2132x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩.141x y ∴++的最小值为322+故选：B .【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查基本不等式，属于中档题.10. 已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为6π和8π，则两平行截面间的距离是( ) A. 1 B. 2 C. 1或7 D. 2或6【答案】C 【解析】 【分析】求出两个平行截面圆的半径,由勾股定理求出球心到两个截面的距离.分两个平行截面在球心的同侧和两侧讨论，即得两平行截面间的距离.【详解】设两平行截面圆的半径分别为12,r r ，则121226,28,3,4r r r r ππππ==∴==.∴球心到两个截面的距离分别为222212534,543d d =-==-=.当两个平行截面在球心的同侧时，两平行截面间的距离为12431d d -=-=； 当两个平行截面在球心的两侧时，两平行截面间的距离为12437d d +=+=. 故选：C .【点睛】本题考查球的截面间的距离，属于基础题.11. 如图是正方体的展开图，则在这个正方体中:①AF 与CN 是异面直线； ②BM 与AN 平行； ③AF 与BM 成60角； ④BN 与DE 平行. 以上四个命题中，正确命题的序号是( )A. ①②③B. ②④C. ③④D. ②③④【答案】A 【解析】 【分析】将正方体的展开图还原为正方体ABCD -EFMN ，对选项逐一判断，即得答案. 【详解】将正方体的展开图还原为正方体ABCD -EFMN ，如图所示可得：AF 与CN 是异面直线，故①正确；连接AN ，则BM 与AN 平行，故②正确；//,BM AN NAF ∴∠是异面直线AF 与BM 所成的角，NAF 为等边三角形，60NAF ∴∠=，故③正确；BN 与DE 是异面直线，故④错误.故选：A .【点睛】本题考查空间两直线的位置关系，属于基础题.12. 对一切实数x ，不等式210x a x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. (),2-∞- B. [)2,-+∞C. []2,2-D. [)0,+∞【答案】B 【解析】【详解】当0x =时，得任意实数a 均满足题意，当0x ≠时，211x a x x x--≥=--，又12x x ⎛⎫--≤- ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当1x =±取得等号，故2a ≥- 二、填空题（每小题5分，共4小题20分）13. 设当x θ=时，函数()sin 3f x x x =+取得最大值，则tan()4πθ+=__．【答案】23+ 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，求出θ的值代入即可得到答案． 【详解】()sin 32sin()3f x x x x π==+；当x θ=时，函数()f x 取得最大值 2,32k k z ππθπ∴+=+∈；26k πθπ∴=+，k z ∈；∴313tan()tan(2)tan()234644631kπππππθπ++=++=+==+-．故答案为23+．【点睛】本题考查三角函数的最值，两角和的正切值，属于基础题．14. 在地平面上有一旗杆OP（O在地面），为了测得它的高度h，在地平面上取一长度为20m 的基线AB，在A处测得P点的仰角为30°，在B处测得P点的仰角为45°，又测得30AOB∠=︒，则旗杆的高h等于_____m．【答案】20【解析】【分析】由题意，利用直角三角形的边角关系表示出,OB OA与OP的关系，再利用余弦定理求得OP 即h的值．【详解】由题意得,PO OA PO OB⊥⊥，因为在B处测得P点的仰角为45°，得OB OP h==，又因为在A处测得P点的仰角为30°，即30PAO∠=，在PAO∆中，3tan30OPOA h︒==；AOB∆中，由余弦定理可得2222cosAB OA OB OA OB AOB=+-⋅∠，即22400323cos30h h h h=+-⋅⋅︒，解得20h=，∴旗杆OP的高度为20m．故答案为20．【点睛】本题主要考查了直角三角形的边角关系和余弦定理解三角形的实际应用．考查了学生运用数学知识解决实际问题的能力，属于基础题．15. 已知函数()1,01,03xxxf xx⎧<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥⎪⎪⎝⎭⎩，则不等式()13f x≥的解集为______________.【答案】[]3,1- 【解析】 【分析】利用分段函数的表达式，通过()13f x ≥，转化为不等式组求解即可． 【详解】因为()1,01,03xx x f x x ⎧<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，所以()13f x ≥等价于 0113x x <⎧⎪⎨≥⎪⎩或01133xx ≥⎧⎪⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ 解0113x x <⎧⎪⎨≥⎪⎩可得-<3≤0x ； 解01133x x ≥⎧⎪⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩可得01x ≤≤ ，综上可得31x -≤≤ ， 所以不等式的解集为[]3,1-【点睛】本题考查分段函数以及解不等式，属于简单题．16. 关于函数()2236f x sin x cos x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ①()y f x =的最大值为2； ②()y f x =最小正周期是π； ③()y f x =在区间132424ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数； ④将函数22y sin x =的图象向左平移3π个单位后，将与原函数图象重合. 其中说法正确的有__________. 【答案】①② 【解析】 【分析】由两角和的正弦公式、两角差的余弦公式把()sin 2cos 236f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开，再由辅助角公式得()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.对选项逐一判断，即得答案. 【详解】()sin 2cos 2sin 2cos cos 2sin cos 2cos sin 2sin363366f x x x x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫=++-=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2322sin 23x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.()f x ∴的最大值为2，最小正周期为π，故①，②正确；当13,2424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5172,31212x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()f x 不是减函数，故③错误； 将函数2sin 2y x =的图象向左平移3π个单位，得22sin 22sin 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不与原函数图象重合，故④错误. 故答案为：①②.【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的性质和图象平移，属于中档题.三、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）17. 函数()22sin sin 232f x x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）当,312x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域. 【答案】（Ⅰ）()f x 的单调递减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）()f x 的值域为23,23⎡-⎣【解析】 【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式以及辅助角公式把函数()f x 化为()sin A x ωϕ+的形式，再由正弦函数的单调区间即可求解.（Ⅱ）根据正弦函数的单调性即可求解. 【详解】（Ⅰ）()1cos 22cos sin 232xf x x x -=-⋅sin 23cos 232sin 233x x x π⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，令()3222232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得()71212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， ∴函数()f x 的单调递减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增. ∴()min 233f f x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，()max 2312x f f π⎛⎫==- ⎪⎝⎭， ∴函数()f x 的值域为23,23⎡⎤--⎣⎦.【点睛】本题主要二倍角公式、辅助角公式以及三角函数的单调区间、最值，需熟记公式以及三角函数的性质，属于基础题.18. 高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，B 、E 、F 为山脚两侧共线的三点，在山顶A 处测得这三点的俯角分别为30︒、60︒、45︒，计划沿直线BF 开通穿山隧道，现已测得BC 、DE 、EF 三段线段的长度分别为3、1、2.（1）求出线段AE 的长度； （2）求出隧道CD 的长度. 【答案】（1）)231+（2）3【解析】 【分析】（1）由已知在△AEF 中，由正弦定理即可解得AE 的值；（2）由已知可得∠BAE ＝90°，在Rt △ABE 中，可求BE 的值，进而可求CD ＝BE ﹣BC ﹣DE 的值．【详解】（1）由已知可得EF ＝2，∠F ＝45°，∠EAF ＝60°－45°＝15°， 在△AEF 中，由正弦定理得：AE EFsin F sin EAF=∠∠，即24515AE sin sin =︒︒，解得()231AE =+；（2）由已知可得∠BAE ＝180°﹣30°﹣60°＝90°， 在Rt △ABE 中，()2431BE AE ==+，所以隧道长度43CD BE BC DE =--=．【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19. 已知向量()()()322131a b c t R =-==-∈，，，，，，. （1）求a tb +的最小值及相应的t 值； （2）若a tb -与c 共线，求实数t 的值.【答案】（175，45t =；（2）35.【解析】 分析】（1）求出向量a tb +的坐标，求出a tb +，根据二次函数求最值，即得答案； （2）求出向量a tb -的坐标，根据向量共线定理的坐标表示，可求实数t 的值.【详解】（1）()()()3,2,2,1,32,2,a b a tb t t t R =-=∴+=-++∈，()()2223225813a tb t t t t ∴+=-+++=-+，又224495813555y t t t ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭， 45t ∴=时，min 495y =， 即当45t =时，min497555a tb +==. （2）()()32,2,3,1a tb t t c -=---=-，且a tb -与c 共线，()()()3321320,5t t t ∴--⨯--⨯-=∴=. 【点睛】本题考查向量运算的坐标表示和向量共线的坐标表示，属于基础题.20. 如图，在四边形ABCD 中，90DAB ∠=，135ADC ∠=，5AB =，22CD =，1AD =，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积.【答案】()2521π+，1093π 【解析】 【分析】过点C 作CE 垂直于直线AD ，垂足为E ，由题意可得CDE △是等腰直角三角形. 四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成的几何体为：一个圆台挖去一个圆锥.其中圆台的上下底面圆的半径分别为,EC AB ，高为AE ；圆锥的底面圆的半径为EC ，高为DE .根据圆台和圆锥的表面积、体积的计算公式可得几何体的表面积和体积.【详解】过点C 作CE 垂直于直线AD ，垂足为E .如图所示3,45,15E ADC DC CDE ∴∠=∠=∴是等腰直角三角形，22,2CD EC ED ===.又1,3AD AE AD DE =∴=+=. ()2252332BC ∴=-+=.四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成的几何体为：一个圆台挖去一个圆锥.其中圆台的上下底面圆的半径分别为,EC AB ，高为AE ；圆锥的底面圆的半径为EC ，高为DE .∴所得几何体的表面积()()2525322222521S ππππ=⨯+⨯+⨯+⨯⨯=+，体积()2221109252532233V πππ=++⨯⨯-⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查旋转体的表面积和体积，属于中档题.21. 如图，在正三棱柱'''ABC A B C -中，底面ABC ∆边长为2，D 为BC 的中点，三棱柱33V =的体积.（1）求三棱柱的表面积；（2）求异面直线AB 与'C D 所成角的余弦值. 【答案】（1）318；（2）1020. 【解析】 【详解】 【分析】分析：（1）由三棱柱体积33V =，求出高AA′=3，由此能求出三棱柱的表面积；（2）取AC 中点E ，连结DE 、C′E，由D 为BC 中点，得DE∥AB，从而∠C′DE 是异面直线AB 与C′D 所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AB 与C′D 所成角的余弦值．详解：（1）∵在正三棱柱ABC ﹣A′B′C′中，底面△ABC 边长为2，D 为BC 的中点，三棱柱体积33V =，01·22sin 60332ABCV SAA AA ==⨯⨯⨯'⨯=' 解得高AA′=3，∴三棱柱的表面积：013232322sin 602ABCABB A S S S ''=+=⨯⨯+⨯⨯⨯矩形= 2318+；（2）取AC 中点E ，连结DE 、C′E， ∵D 为BC 中点，∴DE∥AB，∴∠C′DE 是异面直线AB 与C′D 所成角（或所成角的补角）， ∵DE=AB=1，C′D=C′E===，∴cos∠C′DE===．点睛：本题考查三棱柱的表面积的求法，考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养；异面直线的夹角常用方法有：将异面直线平移到同一平面中去，达到立体几何平面化的目的. ．22. 已知a ，b 为常数，函数()2f x x bx a =-+.（1）当1a b =-时，求关于x 的不等式()0f x 的解集；（2）当21a b =-时，若函数()f x 在()21-，上存在零点，求实数b 的取值范围；（3）对于给定的12x x R ∈，，且12x x <，()()12f x f x ≠，证明:关于x 的方程()()()12123f x f x f x ⎡⎤=+⎣⎦在区间()12x x ，内有一个实数根. 【答案】（1）当2b >时，不等式()0f x ≥的解集为{1x x b ≥-或}1x ≤；当2b =时，不等式()0f x ≥的解集为R ；当2b <时，不等式()0f x ≥的解集为{1x x ≥或}1x b ≤-；（2）3,4234⎛-- ⎝；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）当1a b =-时，()()()2111f x x bx b x b x ⎡⎤=-+-=---⎣⎦，分11b ->，11b -=，11b -<三种情况讨论，求不等式()0f x ≥的解集；（2）当21a b =-时，()221f x x bx b =-+-，其图象的对称轴为2b x =.分22b≤-，212b -<<，12b≥三种情况讨论，即求实数b 的取值范围； （3）设()()()()12123g x f x f x f x ⎡⎤=-+⎣⎦.由()()12f x f x ≠，得()()120g x g x <.对于给定的12,x x R ∈，且12x x <，()()12f x f x ≠，得()f x 在区间()12,x x 上单调，故()g x 在区间()12,x x 上有且只有一个零点，即方程()()()12123f x f x f x ⎡⎤=+⎣⎦在区间()12x x ，内有一个实数根.【详解】（1）当1a b =-时，()()()2111f x x bx b x b x ⎡⎤=-+-=---⎣⎦.当11b ->，即2b >时，由()0f x ≥得1x b ≥-或1x ≤，∴不等式()0f x ≥解集为{1x x b ≥-或}1x ≤.当11b -=，即2b =时，()()210f x x =-≥恒成立，∴不等式()0f x ≥的解集为R . 当11b -<，即2b <时，由()0f x ≥得1≥x 或1x b ≤-，∴不等式()0f x ≥的解集为{1x x ≥或}1x b ≤-.综上，当2b >时，不等式()0f x ≥的解集为{1x x b ≥-或}1x ≤； 当2b =时，不等式()0f x ≥的解集为R ；当2b <时，不等式()0f x ≥的解集为{1x x ≥或}1x b ≤-.（2）当21a b =-时，()221f x x bx b =-+-，其图象的对称轴为2bx =. 当22b≤-，即4b ≤-时，()f x 在()2,1-上单调递增， ()f x 在()2,1-上存在零点，()()120f f ∴-<，即得304b -<<.4,b b φ≤-∴∈.当212b-<<，即42b -<<时，()f x 在()2,1-上存在零点，()()()()242102010b b f f ⎧∆=---≥⎪∴->⎨⎪>⎩或()()2010f f ⎧-=⎪⎨>⎪⎩或()()2010f f ⎧->⎪⎨=⎪⎩或()()102f f -<，解得043b <≤-423b ≥+b φ∈或0b =或304b -<<.342,4234b b -<<∴-<≤-.当12b≥，即2b ≥时，()f x 在()2,1-上单调递减， ()f x 在()2,1-上存在零点，()()120f f ∴-<，即得304b -<<.2,b b φ≥∴∈.综上，34234b -<≤-∴实数b 的取值范围为3,4234⎛⎤-- ⎥⎝⎦.（3）设()()()()12123g x f x f x f x ⎡⎤=-+⎣⎦. 当12,x x 给定时，()()12123f x f x ⎡⎤+⎣⎦为定值. ()()()()()()()()2121212122211233339g x g x f x f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴=--+=--⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,()()()()1212,0f x f x g x g x ≠∴<.又对于给定的12,x x R ∈，且12x x <，()()12f x f x ≠，()f x ∴在区间()12,x x 上单调，即()g x 在区间()12,x x 上单调，()g x ∴在区间()12,x x 上有且只有一个零点，即方程()()()12123f x f x f x ⎡⎤=+⎣⎦在区间()12x x ，内有一个实数根. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法、函数的零点和方程的根，考查分类讨论的数学思想，属于难题.。
巴东一中2021年春季学期高二第一次月考数学试题(满分：150分 时间：120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 下列计算不正确的有（ ）A. 32()3x x '=B. ()cos sin x x '=-C. 1()x x e e -+-'=-D. 1(ln(1))1x x '+=+ 故选：C2．已知随机变量X ~()90,B p ，且()2161E X +=，则()D X =（ ） A ．10B ．15C ．20D ．30【解】因为()()212121180161E X E X np p +=+=+=+=，所以13p =， 故()119012033D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭．故选C ． 设P 是曲线21ln 2y x x x =--上的一个动点，记此曲线在P 点处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是（ ） A.3,24ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦ B.3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D.30,,24πππ⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭故选A 4某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，则他第一次失败、第二次成功的概率是（ ）A ．110 B ．15 C ．45 D ．910故选A 5.P 为曲线ln y x =上一动点，Q 为直线1y x =+上一动点，则min |PQ|等于（ ）A ．0B ．22C 2D ．2 故选C6．在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布2(100,)σ，(0)σ>，若ξ在(80,120)内的概率为0.8，则ξ落在(0,80)内的概率为（ ） A ．0.05 B ．0.1 C ．0.15 D ．0.2【解】ξ服从正态分布2(100,)N σ，∴曲线的对称轴是直线100x =，ξ在(80,120)内取值的概率为0.8，ξ∴在(0,100)内取值的概率为0.5，ξ∴在(0,80)内取值的概率为0.50.40.1-=．故选B ．7．掷一枚硬币两次，记事件A =“第一次出现正面”，B =“第二次出现反面”，则有（ ） A ．A 与B 相互独立 B ．()()()⋃=+P A B P A P B C ．A 与B 互斥 D ．1()2P AB =【解】对于选项A ，由题意得事件A 的发生与否对事件B 的发生没有影响，所以A 与B 相互独立，所以A 正确．对于选项B ，C ，由于事件A 与B 可以同时发生，所以事件A 与B 不互斥，故选项B,C 不正确．对于选项D ，由于A 与B 相互独立，因此1()()()4P AB P A P B ==，所以D 不正确．故选A ．8．下列关于回归分析的说法中错误的是（ ） A ．回归直线一定过样本中心(),x yB ．残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适C ．甲、乙两个模型的2R 分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好D ．两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好答案：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列命题为真命题的是（ ）A. 若12,z z 互为共轭复数，则12z z 为实数B. 若i 为虚数单位，n 为正整数，则421n i +=-C. 复数12i -在复平面对应点在第三象限D. 复数为2i --的虚部为i -故选：ABC10．（多选）已知双曲线()222:109x y C a a -=>的左，右焦点分别为12,F F ，一条渐近线方程为34y x =-，P 为C 上一点，则以下说法正确的是（ ）A ．C 的焦点到渐近线的距离为3B ．218PF PF -=C ．C 的离心率为54D ．C 的焦距为10 答案：ACD附：参考公式：()()()()()22n ad bc K a c b d a b c d -=++++ ，其中n a b c d =+++. A.1112n n ++> B. 2 2.706k <C. 有90%的把握认为，在恶劣气候飞行中，晕机与否跟男女性别有关D. 没有理由认为，在恶劣气候飞行中，晕机与否跟男女性别有关【解】由列联表数据，知1112211122211261528156284646n n n n n n n n n n +++++++=⎧⎪+=⎪⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎪+=⎪⎩，得11221121213182719n n n n n +++=⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩，∴11121246627919n n n ++==>=，即A晕机 不晕机 合计男 12 15 27 女613 19 合计 182846∴2246(1213615)0.77518281927K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯< 2.706，即B 正确,且没有理由认为，在恶劣气候飞行中，晕机与否跟男女性别有关；即D 正确.故选：ABD12. 如图，棱长为的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）A. 直线1D P 与AC 所成的角可能是6πB. 平面11D A P ⊥平面1A APC. 三棱锥1D CDP -的体积为定值D. 平面1APD 截正方体所得的截面可能是直角三角形【解】对于A ，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，()()()10,0,1,1,0,0,0,1,0D A C ，设()()1,,01,01P a b a b <<<<,()()11,,1,1,1,0D P a b AC =-=- ()11221cos ,0112D P AC D P AC D P ACa b ⋅==<++-⨯1301,01,,24a b D P AC π<<<<∴<<,∴直线D 1P 与AC 所成的角为,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭，故A 错误；对于B ，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1D 1⊥AA 1，A 1D 1⊥AB ，∵AA 1AB ＝A ，∴A 1D 1⊥平面A 1AP ，∵A 1D 1⊥平面D 1A 1P ，∴平面D 1A 1P ⊥平面A 1AP ，故B 正确；对于C ，1111122CDD S=⨯⨯=，P 到平面CDD 1的距离BC ＝1， ∴三棱锥D 1﹣CDP 的体积：111111326D CDP P CDD V V --==⨯⨯=为定值，故C 正确；对于D ，平面APD 1截正方体所得的截面不可能是直角三角形，故D 错误；故选：BC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 某老师安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学从周一至周六值班，每天安排1人，每人至少1天，若甲连续两天值班，则不同的安排方法种数为______.（请用数字作答） 答案：12014. 已知()f x 的导函数为'()f x ，()(1)(2)(3)(4)f x x x x x x =----，则'(1)f = 答案：6-15.已知点A 是抛物线22(0)y px p =>上一点，F 为其焦点，以F 为圆心、FA 为半径的圆交准线于B ，C 两点，若FBC 为等腰直角三角形，且ABC的面积是方程是________． 【解】由题意可知2cos 452DF BF==，且DF p =，得BF =， 所以AF =，根据抛物线的定义，可知点A 到准线的距离d =，11222ABCSBC d p =⨯=⨯=()0p >，解得：4p =，所以抛物线方程28yx = 16.已知函数()f x =，()ln g x x =（a R ∈），若曲线()y f x =与曲线()y g x =相交，且在交点处有相同的切线，则a =_____，切线的方程为______（直线的方程写成一般式）. 【解】设曲线()y f x =与曲线()y g x =的交点为00(,)P x y ，则0lnx =，因为()f x '=，1()g xx '=，01x=，所以a =，将其代入0lnx =，0x =，因为00x >，所以0ln 2x =，所以20x e =，所以2a e =.所以02y =，切线的斜率为21e ，所以所求切线方程为：2212()y x e e-=-，即220x e y e -+=. 故答案为：2e；220x e y e -+=. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本题满分10分)已知()12nx -展开式中只有第5项的二项式系数最大. （1）求展开式中含2x 的项； （2）设()201212nn n x a a x a x a x -=++++，求12323n a a a na ++++的值.【解】（1）因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以8n =()182rr r r T C x +=-，0,1,,8r =，所以当2r时，()22222182252T C x x +=-=.（2）12310231020a a a a ++++=18. (本题满分12分)已知抛物线2y x =．求过点1(,2)2--且与抛物线相切的直线方程。
